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Texte intégral

(1)Table des matières Préface Un vaste et magnifique sujet . . Audience visée et objectifs du livre Systèmes de numérotage et de référence Remerciements . . . . . . . . . . . . . .. 1 Introduction 1 Minima et maxima . . . . . . . . . . . 2 Le calcul des variations et ses rejetons 3 Contenu du livre . . . . . . . . . . . . 4 Quelques révisions d'analyse classique Plus petite borne supérieure et plus grande borne inférieure 4.1 4.2 Espace euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . Produit cartésien, boules, et continuité 4.2.1 4.2.2 Ensembles ouverts, fermés ou compacts 4.3 Fonctions . 4.3.1 Définitions et convention Continuité d'une fonction 4.3.2 2. Existence, convexités et convexification 1 Introduction............ . Théorème d'existence de Weierstrass . 2 Extrema des fonctions à valeurs réelles étendues. 3 4 Semi-continuités inférieure et supérieure 5 Existence de points minimisants dans U . . . . 5.1 U compact . 5.2 U fermé mais pas nécessairement borné 5.3 Condition de croissance à l'infini . . . . 5.4 Quelques propriétés de l'ensemble des points minimisants 6 ~ Principe variationnel d'Ekeland . 7 Convexité, quasi-convexité, convexité stricte et unicité 7.1 Convexité et concavité . . . 7.2 Quasi-convexité . 7.3 Convexité stricte et unicité. Contenu protégé par copyright. xi XI. XII. xiii XIV. 1 1 2 3 5 5 6. 6 7. 10 10 10 13 13 14 14 18 24 24 27. 29 32 33 36 36 43 44.

(2) 8. 9. 10. 3. Sous-espaces linéaire et affine et intérieur relatif. 8.1 Définitions................. 8.2 Domaine des fonctions convexes. . . . . . Convexification et transformée de Fenchel-Legendre 9.1 Fonctions convexes sci comme enveloppe supérieure de fonc tions affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Transformée de Fenchel-Legendre 9.3 Convexification sci et bi-transformée de Fenchel-Legendre 9.4 Infima de la fonction objectif et de sa convexifiée sci .. . . 9.5 Problèmes primai et dual et théorème de dualité de Fenchel Exercices. 47 47 49 50 50 56 59 63 64 68. Semi-différentiabilité, différentiabilité, continuité et convexités 71 1 Introduction................. 71 2 Fonctions numériques d'une variable réelle. 74 2.1 Continuité et différentiabilité . . . . 76 2.2 Théorème de la moyenne 77 2.3 Propriété de la dérivée d'une fonction dérivable partout 79 2.4 Théorème de Taylor . . . . . . . . . . . . . 80 3 Fonctions numériques de plusieurs variables réelles . . . . . . . 81 3.1 L'approche géométrique par la différentielle . . . . . . . 81 3.2 Semi-différentielles, différentielles, gradient, et dérivées par 84 tielles 3.2.1 Définitions.......... 84 3.2.2 Exemples et contre-exemples 88 3.2.3 Gradient........... 93 3.2.4 Différentielle de Fréchet . . . 94 3.3 Différentielle et semi-différentielle de Hadamard. 97 3.4 Opérations sur les fonctions semi-différentiables . 102 3.4.1 Opérations algébriques, enveloppes inférieure et su périeure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 3.4.2 Règle de dérivation en chaîne des fonctions composées104 3.5 Fonctions lipschitziennes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 3.5.1 Définitions et leur semi-différentielle de Hadamard. 109 3.5.2 ~ Semi-différentielles supérieure et inférieure de Dini et de Hadamard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III 3.5.3 ~ Semi-différentielles supérieure et inférieure au sens de Clarke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 3.5.4 ~ Propriétés des semi-différentielles supérieures et inférieures 114 3.6 Continuité, semi-différentielle de Hadamard, et différentielle de Fréchet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 3.7 Théorème de la moyenne pour les fonctions de plusieurs va riables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 120 3.8 Fonctions de classes C(O) et C(1) . . . . . . . 3.9 Fonctions de classe C(p) et matrice hessienne 124. Contenu protégé par copyright.

(3) 4. 5. 6 7 4. Fonctions convexes et semiconvexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 4.1 Fonctions convexes directionnelement dérivables 127 4.2 ~ Semi-différentiabilité et continuité d'une fonction convexe. 130 4.2.1 Convexité et semi-différentiabilité 131 4.2.2 Convexité et continuité . . . . . . . . . . . . . . . . 134 ~ Semi-différentielle d'Hadamard inférieure en un point frontière 4.3 du domaine 139 4.4 ~ Fonctions semi··convexes et Hadamard semi-différentiabilité 141 ~ Semi-différentielle d'un extremum paramétrisé . . . . . . . . . . . 148 5.1 Semi-différentielle d'un infimum par rapport à un paramètre 149 152 5.2 Infimum d'une fonction quadratique paramétrisée. . Résumé de la semi-différentiabilité et de la différentiabilité. 158 Exercices............................ 160. Conditions d'optimalité 163 1 Introduction.................... 163 Optimisation différentiable sans contraintes . . 164 2 2.1 Quelques résultats de base et exemples. 165 2.2 Plus petite et plus grande valeurs propres 175 ~ Hadamard semi-différentielle de la plus petite valeur propre 177 2.3 3 Conditions d'optimalité pour un convexe U . . . . . . . 179 3.1 Cônes........................ 179 3.2 Fonction objectif convexe Gateaux différentiable 181 3.3 Fonction objectif semi-différentiable . 188 ~ Fonction objectif convexe arbitraire . . . . . . 190 3.4 192 4 Directions admissibles et cônes tangents à U . . . . . . . 4.1 Ensemble des directions admissibles ou des demi-tangentes 192 4.2 Propriétés des cônes tangents Tu(x) et Su(x) . . . 195 4.3 ~ Cône tangent de Clarke et autres cônes tangents 199 5 Orthogonalité, transposition et cônes duaux 202 Orthogonalité et transposition 202 5.1 5.2 Cônes duaux . . . . . . . . . . . . . 205 6 Conditions nécessaires d'optimalité pour U arbitraire. 210 6.1 Condition nécessaire d'optimalité. . . . . . . . 210 210 6.1.1 Fonction objectif Hadamard semi-différentiable . 6.1.2 ~ Fonction objectif arbitraire. 211 6.2 Condition nécessaire duale d'optimalité 213 7 Contraintes d'égalité et d'inégalité affines . . . 215 7.1 Caractérisation de Tu(x) 215 7.2 Cônes duaux pour contraintes linéaires. 216 Optimisation linéaire. . . . . . . . . . . 221 7.3 7.4 Quelques éléments de jeux de somme nulle. 228 7.5 Problèmes primaI et dual de Fenchel et lagrangien 232 7.6 Optimisation quadratique . . . . . . . . . . 234 7.7 Fonction objectif Fréchet différentiable. . . 241 7.8 Fonction objectif quadratique non convexe. 241. Contenu protégé par copyright.

(4) 8 9 5. 7.9 Lemme de Farkas et sa généralisation . . . ~ Aperçu de l'optimalité via les sous-différentielles Exercices .. Optimisation différentiable avec contraintes 1 Problèmes avec contraintes .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Contraintes d'égalité: Théorème des multiplicateurs de Lagrange 2.1 Cône tangent des directions admissibles . . . . . . . . . 2.2 Matrice jacobienne et théorème de la fonction implicite 2.3 Théorème des multiplicateurs de Lagrange. . . . . . . Contraintes d'inégalité: Théorème de Karush-Kuhn-Tucker . 3 4 Contraintes d'égalité et d'inégalité simultanées 5 Exercices...................... 243 244 246 249 249 250 250 251 253 264 279 296. Annexe A. Fonction inverse et fonction implicite 1 Théorème de la fonction inverse. . Théorème de la fonction implicite. 2. 301 301 302. Annexe B. Corrigés des exercices 1 Exercices du Chapitre 2 2 Exercices du Chapitre 3 3 Exercices du Chapitre 4 4 Exercices du Chapitre 5. 304 304 315 321 331. Éléments de bibliographie. 341. Index des notations. 350. Index. 352. Contenu protégé par copyright.

(5) Table des figures 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8. Fonctions discontinues ayant un point minimisant dans [0,1]. Exemple d'une fonction semi-continue inférieurement. Fonction sci, mais pas scs en O. . . . . . . . . . . . . . Fonction convexe et fonction concave . . . . . . . . . . Exemple de fonction quasi-convexe, mais pas convexe. Exemples de fonctions convexes: f pas sci, cl f, et 9 sci. . La fonction f(x, y) = x 2 jy pour y ~ E: > 0 et E: petit. Les cas y E dom f (gauche) et y ~ dom f (droite).. 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10. Exemples de dérivées à droite et à gauche. . . . . . Région délimitée par les fonctions Q et {3. . . . . . La fonction f(x) = Ixl au voisinage de x = 0 pour n = 1. . Exemple 3.5. Exemples 3.6 et 3.8 en échelle logarithmique. Exemple 3.7. Enveloppe supérieure de deux fonctions .. . Enveloppe supérieure de trois fonctions. . . . Les deux fonctions convexes 91 et 92 sur [0,1] de l'Exemple 4.1. Fonction de l'Exercice 7.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4.1. Ensembles de niveau en forme de banane de la fonction de Rosenbrock à 0.25, l, 4, 9, 16.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 Fonctions de base (4)0, ... ,4>i, ... ,4>n) de (0, 1).. . . . . . . . . 172 Cône fermé non-convexe de sommet O. . . . . . . . . . . . . . . . 180 Cône convexe fermé de sommet 0 généré par le convexe fermé V. 180 Cône fermé en 0 généré dans ]R3 par un non convexe V. . . . . . 181 Tangence du convexe U à l'ensemble de niveau de f passant par xE U.182 Tangence du sous-espace affine A ou linéaire S à un ensemble de niveau de f. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 Tangence de U à un ensemble de niveau de la fonction f en x E U . . 189 Demi-tangente dh(O; +1) au chemin h(t) dans U au point h(O) = x .. 192 Cusp ou corne au point x E au : U et Tu(x). 194 Premier exemple: U et Tu(x). . 194 195 Deuxième exemple: U et Tu(x). Troisième exemple: U et Tu(x). 195. 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 4.11 4.12 4.13. P;. Contenu protégé par copyright. 15 22 26 37 44 50 51 54 75 79 86 89 91 92 104 104 131 160.

(6) 4.14 Quatrième exemple: U et Tu(x). 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7. Function y = h(x) . Production Ci(Pi) en fonction de la puissace Pi. Détermination des puissances Pi en fonction de '\1. La région U de l'Exemple 3.1. . L'ensemble des contraintes U de l'Exemple 3.3. L'ensemble des contraintes U de l'Exemple 3.4. L'ellipse E et la ligne L en fonction de c.. . ... Contenu protégé par copyright. 196 257 263 264. 269 274 277. 299.

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