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Texte intégral

(1)1. 2. Notions de base 1 Notions sur les ensembles 1.1 Appartenance.. 1.2 Inclusion, égalité. Opérations élémentaires dans f!lJ(E) 1.3 1.4 Propriétés des opérations élémentaires 1.5 Produit d'ensembles . 2 Applications................. 2.1 Définition et exemples d'applications 2.2 Injectivité, surjectivité, bijectivité .. 2.3 Image directe, image réciproque d'une partie. 2.4 Restriction, prolongement, application induite 2.5 Fonction indicatrice d'une partie 3 Eléments de logique . 3.1 Généralités . 3.2 Propriétés des éléments d'un ensemble E 3.3 Opérations élémentaires sur les assertions 3.4 Comparaison des propriétés des éléments de E 3.5 Propriétés de l'ensemble E . 4 Stratégies de démonstration. . . . . . . . 4.1 Quelques cas particuliers rencontrés . 4.2 Stratégies pour démontrer une propriété universelle 4.3 Stratégies pour démontrer une propriété existentielle 4.4 Stratégies pour démontrer une implication 5 HowTo . Entiers naturels et Dénombrements 1 Entiers naturels . . . 1.1 Principe de récurrence . . . 1.2 Opérations dans N 2 Ensembles finis, ensembles dénombrables. 2.1 Notion de cardinal des ensembles finis 2.2 Ensembles dénombrables 3 Dénombrement . 3.1 Réunions d'ensembles . 3.2 Produits cartésiens d'ensembles finis 3.3 Applications entre ensembles finis 3.4 Parties d'un ensemble fini 4 Analyse combinatoire . 4.1 Tirages successifs avec remise ou p-listes . 4.2 Tirages successifs sans remise ou arrangements 4.3 Tirages simultanés ou combinaisons . 4.4 Propriétés des coefficients binomiaux. HowTh.... . . 5. Contenu protégé par copyright. 1. 2 2 2. 3 3 6. 7 7 9 14 15. 16. 18 18 19 19 20 22 23 23 24 24 25. 29 31. 32 32. 36 38 38. 43 44 44. 47 48 50 51 51 52 53 54. 58.

(2) 3. Espaces probabilisés finis Le langage des probabilités 1 1.1 Expérience aléatoire Evénements aléatoires. 1.2 1.3 Liens avec les opérations ensemblistes Systèmes complets d'événements. . . 1.4 2 Probabilité sur un ensemble n fini . . . . 2.1 Exemple fondamental: probabilité uniforme 2.2 Notion de probabilité sur un ensemble fini . 2.3 Propriétés des probabilités finies . . . . . . 2.4 Construction d'une probabilité sur un ensemble fini 3 Probabilités conditionnelles . . . . . . . . . . . . Introduction.. ..... ..... 3.1 3.2 Probabilité conditionnelle de A sachant B 3.3 Formule des probabilités composées 3.4 Formule des probabilités totales. 3.5 Formule de Bayes . . . . 4 1ndépenda nce en proba bi 1ité . 4.1 Indépendance de deux événements Indépendance mutuelle de plusieurs événements 4.2 5 How To . . . . . . . . . . . . . . . .. 59 60 60 60 61 61 62 62 63 64 67 69 69. 4. Les nombres réels Opérations dans IR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 Addition et multiplication. 1.2 Puissances entières d'un nombre réel non nul 1.3 Identités remarquables: formule du binôme et identité géométrique 2 Relation d'ordre sur IR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Compatibilité des opérations et de la relation d'ordre 2.2 Majorants et parties majorées. 2.3 Borne supérieure. 2.4 IR possède la propriété de la borne supérieure Conséquences de la relation d'ordre. . . 3 3.1 Valeur absolue d'un nombre réel 3.2 Partie entière d'un réel . . . 3.3 Intervalles de IR et convexité . . 4 Droite numérique achevée. . . . . . . . 4.1 Addition et multiplication dans i 4.2 Relation d'ordre total dans i 5 Approfondissements............ IR a la propriété d'Archimède. . . 5.1 5.2 Approximation décimale d'un réel. IR est non dénombrable 5.3 5.4 Racines nièmes d'un réel positif. 79 80 80 81 81 82 83 83 84 85 86 86 88 89 91 92 92 93 93 94 95 96. 5. Fonctions numériques : généralités 1 Propriétés des fonctions numériques 1.1 Opérations algébriques sur les fonctions Symétries........ 1.2 1.3 Fonctions réelles et ordre 1.4 Fonctions monotones 2 Fonctions usuelles . . . 2.1 Fonctions en escalier 2.2 Fonctions polynômes et fonctions rationnelles 2.3 Fonctions logarithmes et exponentielles 2.4 Fonctions puissances d'exposants réels. . . .. Contenu protégé par copyright. 69 71 72 73 74 74 76 78. 99 100 100 100 102 103 106 106 107 107 111.

(3) 2.5. 6. . 113. L'ensemble des nombres complexes 1 Notation algébrique des nombres complexes . . . . 1.1 Le nombre complexe i . 1.2 Parties réelle et imaginaire d'un nombre complexe. 1.3 Les nombres réels forment un sous-ensemble de C . 1.4 Opérations algébriques dans C 1.5 Conjugaison......... . 1.6 Interprétation géométrique . 2 Notation exponentielle des nombres complexes 2.1 Module d'un nombre complexe. 2.2 Nombres complexes de module 1 . . . . 2.3 Formules d'Euler et Moivre .. 2.4 Forme exponentielle d'un nombre complexe non nul 3 Racines nièmes d'un nombre complexe . 3.1 Racines nièmes de 1 . 3.2. 7. Fonctions trigonométriques. Racines nièmes d'un nombre complexe quelconque. 4. 3.3 Calcul des racines carrées en écriture algébrique Application aux équations polynomiales, happy end! !. 5. 4.1 Equations 4.2 Equations 4.3 Equations 4.4 Equations How To. polynomiales polynomiales polynomiales polynomiales. de de de de. degré degré degré degré. 2 3 . 4 . . . . . supérieur ou égal à 5 . .. Polynômes à une indéterminée 1 Polynômes à une indéterminée 1.1 Définition de l'ensemble OC[X] 1.2 Degré d'un polynôme . . . . . 1.3 Fonction polynomiale associée 2 Opérations dans OC[X]. . . 2.1 Addition des polynômes . 2.2 Multiplication interne dans OC[X] 2.3 Multiplication externe dans OC[X] 2.4 Calculs dans OC[X] . 3 Dérivation dans OC[X] . . . 3.1 Polynôme dérivé .. 3.2 Dérivées successives 3.3 Formules de Taylor et Taylor Mac Laurin . . 4 Divisibilité dans OC[X] 4.1 Multiples et diviseurs . 4.2 Théorème Fondamental de la division euclidienne dans OC[X] 4.3 Pratique de la division euclidienne . 5 Racines d'un polynôme . 5.1 Caractérisation des racines d'un polynôme 5.2 Racines multiples . Conséquences.... 5.3 6 Factorisation des polynômes 6.1 Factorisation dans qX] . 6.2 Factorisation dans IR[X] . 7 How To. Contenu protégé par copyright. 115 116 116 117 117 118 120 121 122 122 123 125 126 129 129 131 133 134 134 135 137 139 140. 143 144 144 145 145 146 146 147 149 150 151 151 152 153 155 155 156 159 159 159 161 164 165 165 167 l~Q.

(4) 171. 8 Suites réelles 1. 2. 3. 4. 5. 9. Généralités sur les suites réelles . 1.1 Défi nition des su ites de nom bres réels 1.2 Opérations sur les suites réelles . 1.3 Suites réelles et ordre . Suites réelles convergentes . 2.1 Suites convergentes vers 0 .. 2.2 Propriétés des suites convergentes vers 0 . 2.3 Suites convergentes . 2.4 Propriétés fondamentales des suites convergentes Théorèmes de convergence . .. . 3.1 Opérations algébriques sur les suites convergentes 3.2 Convergence par comparaison et encadrement 3.3 Convergence des suites monotones 3.4 Convergence des suites adjacentes Suites divergentes vers +00 ou -00 . . . 4.1 Définitions.. . . 4.2 Opérations algébriques et limites dans ïR 4.3 Comparaisons et limites dans ïR 4.4 Limites monotones dans ïR How To . . . . . . ..... 172 172 174 175 178 178 180 182 183 187 187 188 189 190 194 194 195 196 197 198. Etude de suites particulières. 199. 1. 200 200 201 204 205 206 208 210 213 216. 2. 3. Suites 1.1 1.2 Suites 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5. de référence. . . . . . . .. . . Comportement asymptotique des suites de références Comparaison des suites de références. récurrentes . . . . . Suites arithmétiques. Suites géométriques. Su ites arith mético-géométriq ues Suites récurrentes linéaires d'ordre 2 Suites récurrentes: U n +! = f(u n ). HowTh...... .. .. 10 Limites de fonctions 1. 2. 3. 4. 5. Notions de limite . 1.1 Limite finie au point a E l 1.2 Extensions de la notion de limite 1.3 Unicité de la limite . . . . 1.4 Limite à gauche et à droite Propriétés fondamentales . . . . . 2.1 Caractérisation séquentielle de la limite 2.2 Limites finies et fonctions localement bornées 2.3 Limites et inégalités . Théorèmes d'existence de limites . 3.1 Opérations sur les fonctions possédant une limite 3.2 Changement de variable ou composition des limites 3.3 Théorème de convergence par encadrement 3.4 Cas des fonctions monotones . Limites des fonctions usuelles . . . .. 4.1 Limites des fonctions trigonométriques. 4.2 Limites des fonctions exponentielles 4.3 Limites de la fonction logarithme .. 4.4 Limites des fonctions puissances .. 4.5 Comparaison des fonctions usuelles. Etude des branches infinies .. Contenu protégé par copyright. 217 218 218 219 221 222 223 223 225 226 227 227 228 229 230 232 232 232 234 235 235 236.

(5) 6. How To. .. 239. Il Comparaison locale des fonctions 1 Fonction dominée par une autre fonction 2 Fonction négligeable devant une autre fonction 3 Fonctions équivalentes au voisinage d'un point. 3.1 Règles de calculs sur les équivalents .. 3.2 Incompatibilité des équivalents avec l'addition 3.3 Quelques équivalents usuels. 4 Application aux suites réelles 5 How To .. 241 242 243 244. 12 Fonctions continues sur un intervalle 1 Continuité en un point . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 1.1 Continuité à droite et à gauche. . . . . . . . 1.2 Propriétés fondamentales des fonctions continues en un point Opérations sur les fonctions continues en un point 1.3 1.4 Composition des fonctions continues en un point . . 2 Continuité globale. Opérations algébriques sur les fonctions continues 2.1 2.2 Composée des fonctions continues . 2.3 Restriction d'une fonction continue. 2.4 Prolongement par continuité Les résultats fondamentaux . 3 3.1 Image continue d'un intervalle 3.2 Image continue d'un segment. Théorème de la bijection . . . 3.3 4 Application à l'étude des suites définies implicitement . . 5 How To. 255. 13 Systèmes d'équations linéaires 1 Systèmes d'équations linéaires 1.1 Définitions-exemples. Systèmes équivalents . 1.2 Substitution..... 1.3 1.4 Opérations élémentaires sur les lignes 2 Résolutions de systèmes particuliers. 2.1 Systèmes diagonaux . 2.2 Systèmes triangulaires . 2.3 Résolution des systèmes triangulaires par remontée. 2.4 Solutions d'un système triangulaire. 2.5 Systèmes échelonnés . . . 2.6 Définitions . . . . . . . . . . .. 2.7 Résolution des systèmes échelonnés La méthode du pivot de GAUSS 3 3.1 Théorème Fondamental . Pratique de la méthode de GAUSS 3.2 Structure de l'ensemble des solutions . 4 4.1 Résultats basiques. . . . . . . .. 4.2 Systèmes de Cramer. . . . . . . . 5 How To solve a system of linear equations. 277. Contenu protégé par copyright. 246 247 249 251 254. 256 256 257 258 258 259 259 259 260 260 263 263 266 271 274 276. 278 278 279 280 280 280 281 281 282 282 284 284 285 286 286 287 289 289 289 294.

(6) 14 Calcul Matriciel 1 Définition et opérations dans Mn,p(lK) . 1.1 Définition de Mn,p(lK) .. 1.2 Egalité de deux matrices . 1.3 Addition de deux matrices . 1.4 Multiplication des matrices par un scalaire 1.5 Produit de matrices 1.6 Transposition 1.7 Conjugaison . . . . 2 Matrices carrées . . . . . . 2.1 Exemples importants 2.2 Opérations dans Mn(lK) 2.3 Puissances d'une matrice carrée 2.4 Polynômes de matrices 3 Matrices inversibles . . . . . . . . 3.1 Définition de GLn(lK) 3.2 Propriétés des matrices inversibles 3.3 Lien fondamental avec les systèmes de CRAMER 4 Détermination pratique de l'inverse . 4.1 Point de vue systèmes d'équations linéaires 4.2 Algorithme de GAUSS-JORDAN . . . . 4.3 Utilisation d'une relation polynomiale 5 How To .. 295. 15 Séries numériques 1 Généralités . 1.1 Définition des séries numériques .. 1.2 Opérations algébriques sur les séries 1.3 Convergence des séries . . . . . . . 1.4 Condition nécessaire de convergence 2 Séries à termes positifs . . . . . . . . . . . 2.1 Condition nécessaire et suffisante de convergence 2.2 Comparaison des séries à termes positifs 2.3 Utilisation d'équivalents . 3 Séries absolument convergentes . 3.1 Définition et caractérisation. . . . . 3.2 Condition suffisante de convergence 4 Conséquences de la convergence absolue . 4.1 Sommation par paquets . 4.2 Modification de l'ordre des termes . 4.3 Convergence des produits de convolution. 5 Séries de référence . 5.1 Séries géométriques & dérivées 5.2 Séries de RIEMANN 5.3 Série exponentielle. How To . 6. 319. 16 Espaces probabilisés: cas général 1 Probabilité sur 1.1 Espace probabilisable (n, A) 1.2 Espace probabilisé (n, A, P) 1.3 Propriétés usuelles des probabilités 1.4 Propriétés de continuité monotones 2 Conditionnement . 2.1 Probabilité conditionnelle . 2.2 Formule des probabilités composées. 347 349 349 353 354 356 358 358 359. n. .. Contenu protégé par copyright. 296 296 297 297 297 298 301 302 302 302 303 304 307 307 307 308 309 312 312 313 316 318. 320 320 321 322 327 328 328 329 329 330 330 331 332 332 335 337 339 339 342 344 346.

(7) 3. 4. 2.3 Formule des probabilités totales. 2.4 Formule de Bayes . Indépendance en probabilité . 3.1 Indépendance de deux sous-tribus 3.2 Indépendance d'une famille d'événements How To .. 360 361 361 361 362 364. 17 Variables aléatoires réelles 1 Variables aléatoires réelles finies . 1.1 Définition-Exemples . 1.2 Fonction d'une variable aléatoire réelle finie Loi de probabilité d'une variable aléatoire finie 2 Définition.... . . 2.1 2.2 Propriétés des lois de probabilités .. 2.3 Loi d'une fonction d'une variable aléatoire réelle finie . 2.4 Fonction de répartition . .. Moments d'une variable aléatoire réelle finie . 3 3.1 Espérance d'une variable aléatoire réelle finie 3.2 Variance . . . 3.3 Moments d'ordre r . 4 Variables aléatoires discrètes infinies . 4.1 Généralités sur les variables aléatoires réelles discrètes. 4.2 Loi de probabilité d'une variable aléatoire réelle discrète. 4.3 Fonction de répartition d'une variable aléatoire réelle discrète 4.4 Espérance d'une variable aléatoire réelle discrète. 4.5 Moments d'ordre supérieur 5 How To .. 365. 18 Lois discrètes usuelles 1 La loi uniforme . . . 2 La loi hypergéométrique. 3 La loi de Bernouilli La loi binomiale .. 4 5 La loi géométrique. 6 Loi de Poisson 7 How To . . . .. 391 393 394 397 398 399 402 403. 19 Espaces vectoriels 1 Espaces vectoriels sur lK . 1.1 Structure algébrique. 1.2 Calculs dans un espace vectoriel 1.3 Exemples d'espaces vectoriels . 2 Sous-espaces vectoriels . . . . 2.1 Définition et caractérisation. . 2.2 Exemples de sous-espaces vectoriels 2.3 Intersection de sous-espaces vectoriels Sommes de sous-espaces vectoriels 2.4 3 Familles de vecteurs . 3.1 Sous-espace vectoriel engendré par une partie 3.2 Famille génératrice " . 3.3 Famille libre . 3.4 Base d'un espace vectoriel 3.5 Exemples de bases. 4 How To .. 405. Contenu protégé par copyright. 367 367 367 368 368 368 369 370 372 372 374 376 376 376 379 381 384 388 390. 408 408 409 410 412 412 414 417 418 421 421 423 425 430 432 434.

(8) 20 Applications linéaires 1. 2. 3. 4. 5. Généralités . . . . 1.1 Définitions 1.2 Isomorphismes . 1.3 Opérations sur les applications linéaires Noyau et image d'une application linéaire . . . 2.1 Image directe d'un s.e.v. par une application linéaire 2.2 Image réciproque d'un s.e.v. par une application linéaire Image d'une famille de vecteurs . . . . . 3.1 Image d'une famille génératrice .. 3.2 Image d'une famille libre . 3.3 Caractérisation des isomorphismes Exemples d'applications linéaires . . . . . 4.1 Applications linéaires de JKn dans JKP . 4.2 Dérivation des polynômes . 4.3 Projecteurs et projections 4.4 Involutions et symétries . . How To ... 2. 3. 4. 5. Espaces vectoriels de dimension finie 1.1 Définitions-exemples. 1.2 Existence de bases. . Dimension...... 1.3 1.4 Exemple fondamental 1.5 Exemples d'espaces vectoriels de dimension finie. Sous-espaces vectoriels d'un e.v. de dimension finie . . 2.1 Dimension des sous-espaces. . 2.2 Sommes de sous-espaces 2.3 Sous-espaces supplémentaires en dimension finie. Familles de vecteurs d'un e.v. de dimension finie . . . . . 3.1 Familles libres et génératrices dans un e.v. de dimension finie. 3.2 Rang d'une famille de vecteurs .. Applications linéaires en dimensions finies 4.1 Formule du rang . . . 4.2 Rang d'une application linéaire HowTh .. 22 Théorie du Rang 1. 2. 3. 4. 438 438 439 441 443 443 444 446 446 447 447 448 448 450 450 453 455. 457. 21 Dimension finie 1. 437. Représentation matricielle des familles de vecteurs . . . 1.1 Exemple introductif . . . . . . . . 1.2 Matrice représentative d'un vecteur, d'une famille de vecteurs 1.3 Isomorphismes de En sur Mn,l (JK) . Représentation matricielle des applications linéaires . . 2.1 Exemple introductif. . . . . . . . . . . .. 2.2 Matrice représentative d'une application linéaire dans des bases 2.3 Calcul de l'image d'un vecteur avec la matrice représentative . 2.4 Isomorphismes de Lrr;.(Ep, Fn ) sur Mn,p(JK) 2.5 Composition des applications linéaires et produit matriciel . . Rang d'une matrice . . . .. 3.1 Définition . 3.2 Propriétés du rang des matrices . 3.3 Calcul du rang d'une matrice par la méthode de GAUSS 3.4 Mise en oeuvre . Conséquences . 4.1 Etude des familles de vecteurs. Contenu protégé par copyright. 458 458 458 460 462 464 465 465 467 468 472 472 474 475 475. 477 478. 479 481 481 481 482 483 484 485 486 488 489 491 492 493 495 496 496 496.

(9) 5. 4.2 Etude d'une application linéaire . . . . . 4.3 Etude d'une matrice . . . 4.4 Etude des systèmes d'équations linéaires . . How To . . . . . ... 498 499 500 502. 23 Dérivation 1 Dérivabilité. . . 1.1 Fonction dérivable en un point 1.2 Fonction dérivée . . . . . . . Opérations algébriques sur les fonctions dérivables. 1.3 1.4 Fonctions dérivées des fonctions usuelles .. 2 Théorèmes fondamentaux .. . 2.1 Extremums locaux d'une fonction dérivable Théorème de ROLLE. . . 2.2 Théorèmes des ACCROISSEMENTS FINIS . . 2.3 2.4 Fonctions monotones dérivables . 2.5 Exemple d'utilisation des accroissements finis 3 Dérivées d'ordre supérieur . . 3.1 Définition 3.2 Opérations algébriques sur les fonctions n fois dérivables Convexité.. . 4 4.1 Définitions . 4.2 Inégalité des cordes . 4.3 Les pentes sont croissantes 4.4 Inégalité des tangentes 4.5 Point d'inflexion . . . . 4.6 Inégalités et convexité. 5 How To .. . ...... 503. 24 Intégration sur un segment 1 Construction de l'intégrale . 1.1 Intégrale des fonctions en escalier . 1.2 Intégrale des fonctions continues sur un segment 2 Propriétés de l'intégrale .. 2.1 Linéarité . 2.2 Relation de Chasles . . . 2.3 Estimations d'intégrales. 2.4 Valeur moyenne . . . . . Lien fondamental entre intégrales et primitives. 3 3.1 Intégrale fonction de sa borne supérieure. 3.2 Primitives d'une fonction continue sur un intervalle Théorème fondamental du calcul intégral 3.3 3.4 Accroissements finis des fonctions de classe . . 4 Calculs d'intégrales. 1ntégration à vue . . . . . . . . . . . 4.1 4.2 Intégration par opérations algébriques 4.3 Intégration par parties .. 4.4 Changement de variable. Applications......... .. 5 Sommes de Riemann .. 5.1 5.2 Equations différentielles du premier ordre Prolongement des fonctions de classe 5.3 6 How To ... 535. el. en . Contenu protégé par copyright. 504 504 508 508 511 515 515 515 516 518 519 521 521 522 525 525 525 526 528 529 530 531. 537 537 539 541 541 543 544 546 546 546 547 548 549 550 550 551 551 552 554 554 555 557 .')!'iR.

(10) 25 Formules de Taylor et développements limités 1 Formules de Taylor . . . . . . . , .. , .. 1.1 Polynômes de Taylor d'une fonction de classe 1.2 Formule de Taylor avec reste intégrale 1.3 Formule de Taylor-Lagrange 1.4 Formule de Taylor-Young 2 Développements limités 2.1 Généralités .. , . . . . . 2.2 Propriétés,..., 2.3 Développements limités des fonctions usuelles 2.4 Opérations sur les développements limités 2.5 Applications des développements limités 3 How To , , .. 561. en. 562 562 563 565 566 567 567 568 570. 571 574 577. 26 Vecteurs aléatoires discrets 1 Couples de variables aléatoires 1.1 Loi conjointe, . . . 1.2 Lois marginales .. 1.3 Lois conditionnelles 1.4 Indépendance de deux variables aléatoires Loi d'une fonction d'un couple de variables aléatoires 1.5 2 Moments . . . . . . , . . . .. .,.... 2.1 Propriétés de l'espérance . 2.2 Variance d'une somme et covariance 3 Vecteurs aléatoires . 3.1 Loi conjointe de Xl, , X n , lois marginales. 3.2 Indépendance de n variables aléatoires 3.3 Somme de n variables aléatoires 4 Convergence et approximations . , .. 4.1 Loi faible des grands nombres. 4.2 Convergence en loi 5 How~ .. 579. 27 Réduction des endomorphismes 1 Réduction des endomorphismes . 1.1 Endomorphismes diagonalisables . 1.2 Eléments propres d'un endomorphisme 1.3 Valeurs propres d'un endomorphisme 1.4 Sous-espaces propres . 1.5 Caractérisations des endomorphismes diagonalisables 2 Réduction des matrices carrées & Applications. 2.1 Changement de base . , . 2.2 Matrices diagonalisables . . . 2.3 Exemples de diagonalisations 2.4 Applications 3 How To. 609. 28 Fonctions numériques de deux variables réelles 1 Préliminaires topologiques. . . 1.1 Structure affine de 1R 2 . 1.2 Structure euclidienne 1.3 Structure topologique . 2 Fonctions de deux variables .. 2.1 Graphes et courbes de niveaux 2,2 Exemples"... 2.3 Fonctions partielles , . . . . .. 635. Contenu protégé par copyright. 580 580 583 585 587 588 591 591 595 597 598 598 598 602 602 604 607. 611 611 611 613 616 619 623 623 627 629 632 634. 636 636 637 639 642 642 643 644.

(11) 3. 4. 5. Continuité des fonctions de deux variables .. 3.1 Définitions . . . . . . . . . . . 3.2 Opérations sur les fonctions continues 3.3 Propriétés fondamentales des fonctions continues 3.4 Etude de la continuité de quelques fonctions. Calcul différentiel de deux variables . . . 4.1 Développement limité à l'ordre 1 4.2 Dérivées partielles . . . . . . .. 4.3 Fonctions de classe C1(D) . 4.4 Gradient des fonctions de classe Cl(D) How To " . . . . . . . .. . ..... 29 Statistique descriptive 1. 2. 3. Description statistique d'une population 1.1 Population, individus, échantillons . 1.2 Caractères quantitatifs et qualitatifs 1.3 Séries statistiques associées à un échantillon Représentations d'une série statistique . 2.1 Diagrammes en bâtons pour un caractère qualitatif 2.2 Diagrammes en bâtons pour un caractère quantitatif discret 2.3 Histogrammes pour les caractères quantitatifs continus Caractéristiques de position et de dispersion 3.1 Caractéristiques de position. 3.2 Caractéristiques de dispersion.. Contenu protégé par copyright. 645 645 646 648 650 650 650 651 652 654 656 657. 658 658 658 659 660 660 661 661 662 662 664.

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