Universit´e de Pau et des Pays de l’Adour Master 1 MMS, 2015 D´epartement de Math´ematiques Analyse Num´erique Fondamentale
TD 4 - M´ethode des diff´erences finies pour des probl`emes elliptiques.
Exercice 1. Diff´erence finie d’ordre 2.
Soitu∈C3(R). D´eterminera,b,c pour que la diff´erence finie a un+b un+1+c un+2
h
soit une approximation d’ordre au moins 2 deu0(xn).
Exercice 2. Diff´erence finie d’ordre 4.
Soitu∈C6(R). D´eterminera,b,c,d,epour que la diff´erence finie a un−2+b un−1+c un+d un+1+e un+2
h2
soit une approximation d’ordre au moins 4 deu00(xn).
Exercice 3. Diff´erence finie d’ordre p.
Soitu∈Cp+1(R). Montrer qu’il existe a0,a1,· · ·,ap tel que la diff´erence finie a0un+a1 un+1+· · ·+ap un+p
h
soit une approximation d’ordre au moinsp de u0(xn).
Exercice 4. Equation de Poisson avec conditions de Dirichlet non-homog`enes.
On consid`ere le probl`eme suivant:
−u00(x) =f(x) pour x∈]0,1[, u(0) =a et u(1) =b.
1. Proposer un sch´ema aux diff´erences finies d’ordre 2 pour approcher la solution de cette ´equation.
2. Comment se traduisent les conditions aux limites non-homog`enes ?
Exercice 5. Discr´etisation d’un probl`eme de Laplace en dimension 1.
1. Montrer que le probl`eme suivant est bien pos´e
−u00(x) = cos(x) pour x∈]0, π[, u(0) = 2 et u0(π) +u(π) = 3.
D´eterminer la solution exacte de ce probl`eme.
2. Proposer une discr´etisation de ce probl`eme par diff´erence finies sans et avec points fantˆomes. On donnera les formulations ´elimin´ees correspondantes.
3. Impl´ementer la discr´etisation ´elimin´ee avec point fantˆome sous Matlab.
1