A331 – Primo-accointances
Déterminer le nombre pair n qui a les deux propriétés suivantes :
P1 : c’est le seul entier inférieur à 2012 et supérieur à 17 tel que les huit entiers qui l’encadrent : n – 17, n – 11, n – 7, n – 1, n + 1, n + 7, n + 11 et n + 17 sont tous premiers.
P2 : c’est le plus grand entier tel que les nombres entiers inférieurs à lui et premiers avec lui sont tous premiers.
Justifier votre réponse pour chacune des deux propriétés.
Solution proposée par Patrick Gordon Propriété P1
On peut déjà, au titre de la propriété P1, éliminer tous les nombres n qui se terminent par 4 ou 6. En effet, n – 1 ou n + 1 se terminerait par 5 et ne saurait être premier.
De même, si n se termine par 2 ou 8, n – 7 ou n + 7 se terminerait par 5 et ne saurait être premier.
La prise en compte de n – 17, n – 11, n + 11 et n + 17 n'ajoute rien.
Restent donc les nombres n = 0 mod. 10, c’est-à-dire les nombres 20, 30… 2010. Soit 200 nombres, qu'il n'est pas possible d'examiner un à un.
Revenons alors sur la condition "n – 1 est premier" en examinant l'incidence du facteur 3.
Cette condition conduit à écarter 40 car 39 est divisible par 3, et du même coup tout n = 40 + 30k, c’est-à-dire : 40, 70, 100… 1990.
De même, la condition "n + 1 est premier" conduit à écarter 20 car 21 est divisible par 3, et du même coup tout n = 20 + 30k, c’est-à-dire : 20, 50, 80… 2000.
La condition "n – 7 est premier" conduit à écarter 40 + 30k car 33 est divisible par 3, et n'apporte rien de plus.
La condition "n + 7 est premier" conduit à écarter 20 + 30k car 27 est divisible par 3, et n'apporte rien de plus.
La condition "n – 11 est premier" conduit à écarter 20 + 30k car 9 est divisible par 3, et n'apporte rien de plus.
La condition "n + 11 est premier" conduit à écarter 40 + 30k car 51 est divisible par 3, et n'apporte rien de plus.
La condition "n – 17 est premier" conduit à écarter 20 + 30k car 3 est divisible par 3, et n'apporte rien de plus.
La condition "n + 17 est premier" conduit à écarter 40 + 30k car 57 est divisible par 3, et n'apporte rien de plus.
Au total donc ne restent en lice que les nombres 30k, c’est-à-dire : 30, 60, 90… 2010. Il en reste tout de même 67, qu'il n'est toujours pas possible d'examiner un à un.
Mais, si l'on introduit le facteur 7, on peut restreindre encore le champ à examiner.
En effet, l'ajout à n de – 17, – 11, – 7, – 1, + 1, + 7, + 11 et + 17 ajoute mod. 7 respectivement : 4, 3, 0, 6, 1, 0, 3. Ainsi, les nombres 30k égaux mod. 7 à 0, 1, 3, 4, 6 ont un "dérivé" divisible par 7. Le champ se restreint donc aux nombres 30k égaux à 2 ou 5 mod. 7. Un tableau EXCEL nous indique qu'il n'y en a plus que 19.
On peut alors raisonner sur le facteur 11.
L'ajout à n de – 17, – 11, – 7, – 1, + 1, + 7, + 11 et + 17 ajoute mod. 11 respectivement : 5, 0, 4, 10, 1, 7, 0, 6. Ainsi, les nombres 30k égaux mod. 0, 1, 4, 5, 6, 7, 10 ont un "dérivé"
divisible par 11. Le champ se restreint dès lors aux nombres 30k qui sont, d'une part égaux à 2 ou 5 mod. 7 et, en outre, égaux à 2, 3, 8 ou 9 mod. 11. Un tableau EXCEL nous indique qu'il n'y en a plus que 6, à savoir :
30 240 1020 1080 1230 1290
Mais ce même tableau nous indique que :
240, 1020 et 1080 ont un "dérivé" divisible par 13, 1230 a un "dérivé" divisible par 17,
1290 a un "dérivé" divisible par 19.
Il ne reste donc plus que la solution : n = 30.
Propriété P2.
On remarque déjà que les nombres entiers inférieurs à n et premiers avec lui sont impairs, puisque n est pair.
Un nombre impair composé, tel que 9 ou 15 (s'il est < n) ne peut pas, aux termes de l'énoncé, être premier avec n. Donc n doit comporter tous les facteurs premiers inférieurs à lui, y compris 2, puisqu'il est pair. Il doit donc être de la forme 2a 3b 5c … avec des exposants a, b, c… non nuls. Mais attention! Si le plus grand facteur premier de n est p, n doit être inférieur au carré du suivant de p dans la liste des nombres premiers. Par exemple n = 22 32 = 36 ne convient pas car 5² = 25 < n et 25 est donc un nombre premier avec n mais non premier.
Cette exigence que n ne soit pas trop grand conduit à ne retenir que l'option a = b = c… = 1 et par conséquent n sera de la forme 2 × 3× 5… Mais, comme 2 × 3× 5 × 7 × 11 = 2310 dépasse 2012, il faut s'arrêter au facteur 7.
Les candidats sont donc :
2 × 3 = 6, à éliminer car n doit être > 17
2 × 3× 5 = 30, qui convient parce que 7² = 49 > n
2 × 3× 5 × 7 = 210, qui ne convient pas parce que 11² = 121 < n.
Reste donc 30, qui satisfait bien la condition P1, car
30 – 17 = 13
30 – 11 = 19
30 – 7 = 23
30 – 1 = 29
30 + 1 = 31
30 + 7 = 37
30 + 11 = 41
30 + 17 = 47
qui sont tous des nombres premiers.
Compte tenu de ce que, au titre de la propriété P1, 30 est la seule solution, ce même 30 est bien le plus grand entier cherché.
