Note sur la torsion

(1)

N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

J. H AAG

Note sur la torsion

Nouvelles annales de mathématiques 4

^e

série, tome 15 (1915), p. 108-112

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(2)

NOTE SUR L4 TORSION;

PAR M. J. HAAG,

Professeur à la Faculté des Sciences de Clermont-Ferrand.

Imaginons une courbe (C), définie comme arête de rebroussement de l'enveloppe du plan

(i) A#-hB^-f-C*n-D = o,

où A, B, C, D sont des fonctions données d'un para-

**mètre *.**

(3)

Proposons-nous de calculer la torsion ^ de cette courbe. On sait que les coordonnées x, y, z du point de contact du plan (i) avec (C) sont définies par l'équa- tion (i) et les suivantes :

(3)

k'x -+- B'y H- Cz +D' = o, M'x -h B> -4- Cz + D'=o,

les accents étant des indices de dérivation par rapport à t. Cela posé, désignons par ( a , 6, c ) , ( a , , b{, c4) , (a2> b2, c2) les cosinus directeurs de la tangente, de la normale principale et de la binormale. Cette dernière droite est perpendiculaire au plan ( i ) ; on a donc

avec

(5) X*=

Écrivons maintenant les formules de Frenet :

ds Si

T'

Multiplions-les respectivement par a , , £ , , cK et ajou- tons. 11 vient

—i

«5 ds

Or, on sait que

La formule ( 7 ) s'écrit, dès lors,

(8) ^I

T =

da*

~ds~

a2

a dbî

~ds~

b2

b dc²

~ds~

c, c

X2

=

7*

ds

c, =

A' B' G'

A B C

x' y z'

ab2.

(4)

Or, les équations (i), (2), ( 3 ) , dérivées totalement par rapport à t, entraînent les suivantes :

(9) A a ? ' + B / + C z' = o, (10) k'x'-h B'j'-f- Cz'= o,

(11) A"V-t- B>'-+- C V = — (Awa? -+- Wy -+- C"* H- D'") = *, /: étant obtenu par élimination de # , y , s entre (1), (2), (3) et (11), ce qui donne

( 1 2 )

en posant

03) A = A A' A"

A'"

B B' B"

B"

G G' G*

G"

D D D"

D'"

A

"" V

0 =

A A' A"

B B' B"

G G G' Si nous résolvons maintenant le système ( 9 ) , (10), ( i i ) par rapport à #', yf} zf, nous avons

(14) *'= | ( B C - CB), y= £ (GA'-AC),

Portant dans (8) et développant suivant la dernière ligne, il vient

05) Y = — ^ | l ( B C ' - . C B ' ' —AC')ÏH-(AB/-BA')Î].

Mais, si l'on élève les équations (14) au carré et qu'on les ajoute, on voit que le crochet de ( i 5 ) égale j^sf'2. Finalement, (i5) devient

1

T

(5)

( 1» )

ou, en tenant compte de (5) et (12),

i 8 »

(16)

On peut aussi établir cette formule, en partant de la formule bien connue

x' y z' x" y z»

On a, en dérivant (9) et tenant compte de (10),

( 1 8 )

Dérivons cette équation, ainsi que (10) et tenons compte de (11); nous obtenons

( 1 9 )

Cz'"= — (A/af-+• B>"-+- CV) = k.

Les équations (9), (18), (19), résolues par rapport à A, B, G, nous donnent

(2 O)

k(x'y"—/x")

= ,

en désignant par D le déterminant qui est au numéra- teur de (17). La formule (17) peut alors s'écrire

k%

en tenant compte de (12).

Faisons maintenant le produit 3D, lignes par lignes.

On trouve, en tenant compte des équations (9), (10),

(6)

(i i), (18), (19) et posant

A " / + B ' / + C'V = ja, AV-f- B>'"+- C V = p, AV-+- B>'"-4- C"z" = 0,

o o k

(11) oD = o — k j k p

P o r t a n t dans ( 2 1 ) , on retrouve la formule ( 1 6 ) .