Sur les classes ambiges et les ordres monogenes d'une extension cyclique de degre premier impair sur
Q ou sur un corps quadratique imaginaire
J. J . PAYAIV
I. Rappels et definition
Soit K / k u n e e x t e n s i o n de corps de h o m b r e s , lNotons A k ct A K les a n n e a u x d ' e n t i e r s respectifs de k et K . L ' e x i s t e n c e de 0 dans AK v 5 r i f i a n t A~: ~- Ak[O] -- o n dira alors que l ' o r d r e m a x i m a l est monog~ne - - o u t r e son iatSr~t ))historique~), a l ' a v a n t a g e de faciliter e o n s i d 6 r a b l e m e n t les ealculs dans AK. Cette existence a
~t~ ~tudi6e e a ddtail n o t a m m e n t dans le cas [ K : k ] = 3 ou 4 (voir [2] e t [9]).
C'est ainsi que s'il existe 0 tel que A~: = Ak[O] et si on pose S = TrK/k 0, on voR f a c i l e m e n t que ~ ~-- uO + vO ~, a v e c u, v A~, v~rifie A K = Ak[~] si e t s e u l e m e n t si u + v ( S - - O ) e s t u n e u n i t ~ d e A K. D a n s l e cas k = Q , l e t h ~ o r 4 m e d e T h u e moat.re alors qu'il existe a u plus u n h o m b r e fini de classes m o d u l o Z de 0 tels que A ~ = Z[0].
D a n s ce qui suit, k d6signera, s a u f m e n t i o n explicite d u contraire, soit le corps Q des n o m b r e s r a t i o n a e l s , soit a n corps q u a d r a t i q u e imaginaire. On s u p p o s e r a en o u t r e que K / k est cyclique de degr6 p r e m i e r i m p a i r p et on n o t e r a AK/k le d i s c r i m i n a n t de K / k et a u n g 6 n 6 r a t e u r de G = G a l K / k . On sait que A~:/k = ( ~ 1 0 2 - . . O,)p-1, oh les i d 6 a u x 0 1 . . . P, sont p r e m i e r s e n t r e e u x d e u x d e u x . E n o u t r e si K / k est m o d 6 r 6 m e n t ramifide (resp s a u v a g e m e n t ramifi6e) les p~ sont tous p r e m i e r s (resp Pl ou P l e t P2 s o n t puissances d ' i d 6 a u x p r e m i e r s au- dcssus de (p), les a u t r e s ~ 6 t a n t premiers).
N o t o n s U K (resp Uk) le g r o u p e des unit6s de AK (resp Ak), ~4p le ~0-groupe des classes ambiges de K/k, c'est-~-dire des classes i n v a r i a n t e s p a r a, et hk. p la p a r t i c i p a t i o n de p a u n o m b r e de classes h~ de k.
On salt, voir [3], que
hk, p . pt-1 Card ~ i = JUt, : Uk N NK/kK* ]
240 z . J . PAYAN
et q u e Uk VI NK/kK* = ~:VU K 6 q u i v a u t ~: r o u t e classe a m b i g e e s t elasse d ' i d d a u x a m b i g e s . Ce qui pr6cbde m o n t r e q u e si h~.p -= 1, ~4p est u n e s p a c e v e e t o r i e l s u r Z/pZ de d i m e n s i o n t - - 1 - - [ U k : U k V I N K * ] . Si p # 3 ou si p = 3 e t k # Q ( % / - 3), U~ = NUK; il e n r6sulte qu'fl e x i s t e u n e r e l a t i o n de d 6 p e n d a n c e m o d u l o les i d d a u x p r i n c i p a u x e n t r e les i d 6 a u x ~ . . . ~ de K r a m i f i 6 s d a n s K/k, e t u n e seule a u p r o d u i t prSs p a r u n 616merit de (Z/pZ)*.
Soit 0 e Ax; l'6galit6 AK = A~[O] est v r a i e si et s e u l e m e n t si le d i s c r i m i n a n t A(O) de 0 v6rffie A(O) 9 A~ = A~/~. P o u r q u ' u n tel 0 existe, fl f a u t qu'il n ' y air p a s de d i v i s e u r s c o m m u n s e x t r a o r d i n a i r e s des d i s c r i m i n a n t s . D a n s le c a s k = Q, c e t t e derniSre c o n d i t i o n est v6rifide si et s e u l e m e n t si t o u s l e s h o m b r e s p r e m i e r s q a v e c q < p s o n t i n e r t e s (voir [6]).
N o u s s u p p o s e r o n s d 6 s o r m a i s h~,~---- 1.
P o u r t o u t p, f i g u r a n t d a n s l ' 6 e r i t u r e de A,:/~, n o u s p o s e r o n s o~A~c =- ~ e t n o u s p o u v o n s ~noncer:
Remarque 1. Si A K est A k - m o n o g b n e alors ~ I ~ 2 " ' " ~t ~ 1.
I1 s u f f i t p o u r s ' e n c o n v a i n c r e de v o i r que si A x = Ak[O] alors /VK/k~(0)---- ( ~ 1 ~ 2 . . . ~t) p(p-1) o h ~(0) d6signe la diff~rente de 0. I1 en r 6 s u l t e alors ~(0) ( ~ 1 ~ 2 . . . ~,)p_l. ( L ' 6 c r i t u r e 9~ ~ 1 p o u r u n id6al 9~ de AK s i g n i f i c a n t qu'fl est 6gal, a u p r o d u i t pros p a r u n iddal principal, ~ u n id6al de Ak.)
II. Le cas p = 3
Si k ---- Q, ~l~/~ = (~olp 2 . . . p,)2 oh les p~ s o n t des n o m b r e s p r e m i e r s v d r i f i a n t p~ ~ 1 ( 3 ) p o u r t ~ - - 2 , . . . , t et Pl--=-1(3) si K/Q m o d 6 r 6 m e n t ramifi6e, Pl ~--9 sinon. On salt (voir p a r e x e m p l e [5]) que K e s t le corps de r u p t u r e d u p o l y n S m e X a - 3 m X - a m a v e c m = p l . . . p , = ( a 2 + 2 7 6 2 ) / 4 e t a - - = 1 ( 3 ) d a n s l e c a s m o d 6 r 6 m e n t r a m i f i 6 , m = P2 9 9 9 P, = ( a2 -[- 362)/4 a v e e a ~ 1(3) e t b ~ 0(3) si 3 est r a m i f i 6 .
N o u s p o u v o n s alors dnoncer:
PROl'OSI~IO~ 1. Pour que A K soit monog~ne (dans le cas K cyclique de degr~ 3 sur Q) i f faut a (pi-1)!3 ~--- l(p/) (resp (3a) (p~ 1)/a ~: l(p~)) ~)our i = 2, 3, . . . , t si K/Q est mod6r~ment ( r e s p sauvagement) ramifide.
Ddmonstration. On e x p r i m e q u e m (resp 3urn) e s t u n e n o r m e en u t i l i s a n t le t h ~ o r ~ m e de t t a s s e , m est u n e n o r m e locale p o u r t o u s l e s q p r e m i e r s a v e c m.
E n u t i l i s a n t la f o r m u l e d u p r o d u i t (voir [11]), il r e s t e ~ derire q u e m (resp 9m) est u n e n o r m e locale p o u r t o u s l e s Pl a v e e i > 2. Cela r e v i e n t ~ e x p r i m e r , c o m p t e t e n u de am n o r m e , que a (resp 3a) est u n e n o r m e locale p o u r t o u s l e s Pl a v e e i > 2 d ' o h la condition.
S U ] ~ L E S ( ? L A S S E S Ak~CIBIGES E T L E S O R D R E S M O N O G E N E S D ~ U N E E X T E N S I O N CYCLIQUE 241
Remarque 2. Carte propridt6 p e u t s ' o b e t n i r ~ p a r t i r des r6sUltats de [5].
_Remarque 3. P o u r qua Ax soit monog4ne il f a u t qu'il n ' y air p a s de diviseur e x t r a o r d i n a i r e c o m m u n , c'est-~-dire qua 2Z soit i n e r t e dans K/Q. On v o i t facile- merit que e e t t e condition d q u i v a u t s a impair.
Remarque 4. Si b 2 = 1 ou si a ~ 1 dans le cas m o d 6 r 6 m e n t ramffi6, A r e s t monoggne. C e n e s e n t pas les seuls cas oh A ~ est m o n o g b n e (voir [10] et r e m a r q u e 7 p o u r des e x a m p l e s ) .
Example 1. L a propridt6 p o u r A K d ' e t r e m o n o g g n e ne d g p e n d pas s e u l e m e n t d u d i s c r i m i n a n t de K/Q c o m m a le m o n t r e le eas des d e u x corps eubiques de discri- m i n a n t (19 • 43) 2. L ' u n associ6/~ la d 6 c o m p o s i t i o n 19.43 = (1 ~ 2 7 • 112)/4 a u n o r d r e m a x i m a l monog~ne ( r e m a r q u e 4), l ' a u t r e est assoei6 s l ' 6 e r i t u r e 19.43 = (552 q- 27.32)/4 et o n v o l t f a e i l e m e n t qua 556 =~ 1(19) l ' o r d r e m a x i m a l n ' e s t d o n e pas m o n o g g n e (prop. 1).
S u p p o s o n s m a i n t e n a n t k = Q ( % / - 3) e t no~ons P0 l'id6al p r e m i e r de Ak qui divise 3. On sait qua K = k(a ~/3) a v e c a E Ak e t ~ sans f a c t e u r cubique.
N o u s excluons le cas oh ~ E Uk, c'est-~-dire K corps des raeines 9-igmes de l'unit~
et n o u s n o r m a l i s e r o n s u n p e u plus le choix de c~ e n s u p p o s a n t d ' u n e p a r t qua c~ ~ 13~ de l ' a u t r e qua ~Ak n ' e s t pas le carr6 d ' u n idgal.
N o u s e o m m e n c o n s p a r 6noneer:
PROPOSITION 2. U k = U k n N K * si et seulement si tous les p~ distincts de P0 qui divisent cr vdrifient Nk/ep i ~-~ 1(9).
Dgmonstration. On e x p r i m e qua ( - - 1 -k V / - - 3)/2 est u n e n o r m e en utilisant le t h 6 o r 6 m e de Hasse. Comma il y a a u plus u n diviseur p r e m i e r s a u v a g e m e n t ramifi6 la f o r m u l a d u p r o d u i t des s y m b o l e s de H f l b e r t (voir [5] et [10]) m o n t r e qu'il suffit d ' e x p r i m e r qua ( - - 1 q- ~v/~- 3)/2 est n o r m e locale p o u r t o u s les p~ distincts de P0. Cette derni~re condition 6 q u i v a u t t r i v i a l e m e n t s YVk/QI3 ~ ~ 1(9).
L a th6orie de K u m m e r (voir p a r e x a m p l e [4]) explieit6e d a n s n o t r e eas p a r t i c u l i e r [K = Q ( ~ r 3, cr c~ normalis6 c o m m a il a 6t6 pr6eis6 ci-dessus] pr6eise les liens e n t r e Ag/k et c~.
P o s o n s ~Ak = Pl . . 9 ~)r~2-~-i "'" ~32s"
Po ne divise pas
cas a ~ ~ ~3 m o d p3 alors AK/k = (PIP2 9 9 9 ~s) 2 c a s b ~ 3 m o d p ~ a l o r s A x / a = ( p ~ P l P 2 - . . p ~ ) 2 cas c ~ - ~ 3 m o d p o a l o r s A K / k =
(Po3PlP2 ..P~)2
~0 = ~)1 cas d AK/k = (~)04~1~)2 , . .
Os) 2.
242 ;r. J. PAYA~ "
E n 6 c r i v a n t la d 6 e o m p o s i t i o n de
Oc~/3AK
e n p r o d u i t d ' i d 6 a u x p r e m i e r s , on o b t i e n t la r e l a t i o n s u i v a n t e e n t r e les ~c a s a , b , c 9 9 9 9 9 1
cas d ~ 0 ~ l . - . ~ , ~ + l 9 9 . ~2 ~ 1.
C o m p t e t e n u de la r e m a r q u e 1 e t de la p r o p o s i t i o n 1 n o u s p o u v o n s dcrire:
PttOPOSITIO~ 3. Darts les cas c) et d) A~: : Ak[~ l/z] si ~ sans facteur carrd.
S i U k = U k f] N K * , A K n'est j a m a i s Ak-monogene dans le cas b) et dans les autres cas il est ndcessaire que o~ soit sans facteur carrg y o u r que A K soit monogene.
T e r m i n o n s cet e x a m e n d u eas k = Q ( ~ r 3) en e x a m i n a n t l ' 6 v e n t u a l i t 6 K / Q abdlienne. On n o t e r a alors K 0 l ' e x t e n s i o n i n t e r m 6 d i a i r e eyclique de degr~ 3 sur Q. O n s a i t (voir [5]) q u e K = Q ( % / - - 3)((fi~/~) l/a) oh f i e t /~ s e n t des 616ments eonjuguds c o n v e n a b l e s de A k. L ' e n s e m b l e des r 6 s u l t a t s p r @ 4 d e n t s a p p l i q u 5 ~ ce eas p a r t i c u l i e r entra~ne:
PROPOSITION 4. S i K o est ramifige en dehors de 3 il y a deux relations de d@eendanc inddpendantes entre les iddaux ambiges de K / k ; l'une s'obtient en dcrivant la ddcom- position de a 1/~ dans A~:, l' autre en dtendant a K la relation de d@endance des iddaux arnbiges de Ko/Q. S i t o u s l e s nombres p r e m i e r s q # 3 ramifigs dans Ko/Q vdrifient q ~ 1(9) il existe une classe ambige ne contenant p a s d'iddal ambige, ( - - 1 -[- ~v / - - 3)/2 est done norme sans etre norme d'unitd.
III. Le cas p ~ 5
S u p p o s o n s q u ' i l existe 0 tel que A~: = Ak[O], on p e u t alors 6erire:
p--1
(O)AK = A 'V[ ( 0 - - = . . i = l
en r e m a r q u a n t que 1 - - a t = (1 - - ai)ui, i a v e c u~, i E Z [ G ] et c o m p t e t e n u de l ' u n i c i t 5 de la r e l a t i o n de d 6 p e n d a n c e on o b t i e n t la:
P~OPOSITION 5. S i 19 > 5 il y a une seule relation de d@endance entre les iddaux ambiges et si Ate = Ak[O] elle s'dcrit ?~1 9 . 9 ?~, - - (0 - - a~O)AK.
kNous s o m m e s m a i n t e n a n t en m e s u r e de d ~ m o n t r e r le
T ~ o n n M ~ . S i K / k est sauvagement ramifide A~: n'est p a s Ak-monogene s a u l p e u t etre dans les deux cas particuliers suivants:
S U R L E S C L A S S E S AIVIBIGES E T L E S 0 R D R E S I~OlqOGEI~ES D ' U N E EXTEIqSIOIq C Y C L I Q U E 243
a) O---- 5 et
k=Q(%/-- 1)
b) O = 7 e t k - - - - Q ( % / - - 3).
D4monstration. S u p p o s o n s AK = Ak[O] e t posons ~i ---- 0 - - ~0 p o u r i = 1, 2 . . . . , O - - 1. I1 est clair que ~%/~vj est duns Uzc e t e n p u r t i c u l i e r
q?2 (Pl "J[- 0"9?i 0~:?I
-- - - I + 6 U : .
E c r i v o n s que NK/k(q~2/q%) 6 Uk. K / k 6 r a n t s a u v a g e m e n t ramifidc en ~, on suit (voir [10] chap. V w 3 l e m m e 5) que
1 -[- Tr~/~ - - + NK/~ - - m o d TrK/~ AK
NKI ~ i + 971 / ~Pi ~Di
d'oh NK/~(ip2/ip:) = 2 rood TrK/~ Am, c'est-s N~c/~(io2/i% ) = 2 mod p. Si distinct de Q(%/-- 1) ct Q(%/-- 3) on obtient -P 1 ~ 2 m o d p oe qui est impossible. Si k = Q ( % / - - 1) (resp k = Q ( % / - 3)) o n a NK/,C~z/9: racine q u a t r i 6 m e (resp sixi~me) de l'unit6. Cela i m p l i q u e 0 = 5 duns le p r e m i e r cas, 0 = 7 duns le second.
Exemole 2. Ce th4or~me d o n n e la possibilit4 d ' e x h i b e r f a c i l e m e n t des corps p o u r lesquels la ~>bonne)) r e l a t i o n e n t r e classes ambiges cst v6rifide, oh il n ' y a pus de diviseurs c o m m u n s e x t r a o r d i n a i r e s et oh A K n ' c s t pus monog~ne. C'est n o t a m m e n t le cas de l ' e x t e n s i o n cyclique de dcgr6 5 sur Q et de c o n d u c t e u r 5 ~ e~ de l ' e x t e n s i o n cyclique de dcgr4 7 sur Q e t de c o n d u c t e u r 7 2.
L a r e m a r q u e s u i v a n t e m o n t r e qu'fl n ' y a pus d ' o b s t a c l e dfi a u degr6 duns le cas moddrd.
t~emarque 5. Si 2 O + 1 est premier, posons alors 2 0 + 1 ~ l, le corps K de d i s c r i m i n a n t F - : a u n a n n e u u d ' e n t i e r s monog6ne. I1 s u f f i t p o u r le voir de r e m a r q u e r que K est le sous-corps r6el m a x i m a l de Q(r o h r racine p r i m i t i v e l-i4me de l'unit4 e~ de v6rifier que AK ---- Z[r + r
Si o n r e m p l a c e k p a r u n corps de n o m b r e s s u n e infinit4 d'unit4s, l ' e x e m p l e des corps c y c l o t o m i q u c s Q(f+:)/Q(f) m o n t r e que lu r a m i f i c a t i o n s a u v a g e n ' e s t plus n 4 c e s s a i r e m e n t u n obstacle s l ' e x i s t c n c e d ' u n 0 tel que A~:-~ Ak[O].
L a propri4t6 s u i v a n t e i n d i q u e a v e c u n p e u plus de pr6cision la c o m p l e x i t 4 d u probl~me duns le cas mod4r4:
PROPOSITION 6. _Pour que AK soit monogene, il f a u t et il suffit que l'id4al ?~: . . . ~, soit orincioal et Ooss~de une base ~v vgrifiant
i) Trs:/~ ~ =- 0;
ii) oour i : 1 , 2 . . . . , ( 0 - - 3)/2, (1 + a + a 2 - ] - . . . ~ a ~ ) ~ 0 A g - - ~ l . . . ~ , .
244 a . J . PAYA:N
D d m o n s t r a t i o n . L a c o n d i t i o n n 6 c e s s a i r e r 6 s u l t e d e l a p r o p o s i t i o n 5. I n v e r s e m e n t s o i t ~0 v 6 r i f i a n t i) e t ii): l a r a m i f i c a t i o n m o d 6 r 6 e e n t r a l n e H i ( G , A K ) - - - - 0 d ' o h l ' e x i s t e n c e d ' u n 0 d e A K t e l q u e ~ = 0 - ~0; l a c o n d i t i o n ii) e n t r M n e (0 - - a~+~O)AK = ~ . . . ~3, p o u r i = 1 , . . . , ( p - - 3)/2. L ' 6 g a l i t 6 1 ~ aJ ----
aJ(1 - - av-J) m o n t r e a l o r s q u e (0 - - aIO)AK = ~31 9 9 9 ~ , p o u r i = 1, 2, . . . , p - - 1 d ' o h A(O) ---- ( ~ ) 1 . - .
~0,) p-l"
.Remarque 6. S u p p o s o n s l a r e l a t i o n ~ 1 . . . ~ , ~ 1 v 6 r i f i 4 e e t n o t o n s ~o u n e b a s e d e c e t i d 4 a l e t p o s o n s a~0o/~o = % , u o e s t n n e u n i t 6 d e n o r m e 1. O n s a i t q u e l ' a p p l i c a t i o n ~ , ~ q u i g u n e n t i c r ~ d e K a s s o c i e
~ , , ( ~ ) = ~ § u0 ~ § - ~ + ~ o, ..
"~o ~ § § +~
+~-~~
e s t A ~ - l i n 6 a i r e d e r a n g 1. S o n n o y a u K e r r e s t d o n c u n s o u s A k - m o d u l e d e r a n g p ~ 1 d e AK. L a c o n d i t i o n i) ( q u i e s t d ' a i l l e u r s l a s e u l e d a n s le c a s p = 3) e s t 6 q u i v a l e n t e g K e r ~-o f3 U K # ~.
R e m a r q u e 7 (J. M A ~ T ~ E ~ ) . S i k = Q e t si t o u t s u n i t ~ d e n o r m s 1 e s t t o t a l e m e n t p o s i t i v e a l o r s K e r r fl U ~ ---- r e t A r n ' e s t p a s m o n o g 6 n e . ( O n s a i t g r g c e g [1]
q u e l e n o m b r e d e c l a s s e s d e K e s t a l o r s p a i r e t o n t r o u v e d a n s [7] u n e x e m p l e d e c e t t e s i t u a t i o n , g s a v o i r p ---- 3, AK/Q ~ 1009~).
J ' a i e u d e f r u c t u e u s e s c o n v e r s a t i o n s a v e c F r a n c o i s e B e r t r a n d i a s e t N i c o l e M o s e r p e n d a n t l ' 6 1 a b o r a t i o n d e ce t r a v a i l . J e l e s e n r e m e r c i e .
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