C O R R E S P O N D A N O E 8 M U L T I V O Q U E S A B S T R A I T E 8 . P a r W . S I M O N S E N

SUR LA RESOLUTION D'UN PROBLEME DE LA THEORIE DES CORRESPONDANOE8 MULTIVOQUES ABSTRAITE8.

P a r W . S I M O N S E N

~, COPEI~HAGUE.

1. Le b u t de l ' o u v r a g e pr6sent est l'~tude et la r4solution du probl~me s u i v a n t : ]~tant donnSs trois ensembles a b s t r a i t s , n o n vides, P , Q et R, u n e c o r r e s p o n d a n c e f e n t r e P e t Q, et une c o r r e s p o n d a n c e g e n t r e P e t R ; on cherche des conditions n~cessaires et suffisantes p o u r l'existence d ' u n e c o r r e s p o n d a n c e h e n t r e Q et R telle que l'6galit~

hf ~ g

soit remplie, et p o u r l'unicit~ d ' u n e telle c o r r e s p o n d a n c e h.

Dans u n o u v r a g e pr~c6dent 1, nous a v o n s r~solu ce probl~me dans le cas p a r t i - culier oh f est une c o r r e s p o n d a n c e u n i v o q u e ; ce cas et le cas oh g est u n i v o q u e s e r o n t trait~s dans la section 5 ci-dessous.

R6sumons, pr~alablement, quelques d6finitions et notions de la th~orie des c o r r e s p o n d a n c e s m u l t i v o q u e s partielles et des c o r r e s p o n d a n c e s m u l t i v o q u e s (pro- pres) 2.

P et Q 6 t a n t des ensembles arbitraires, n o n vides, nous d6finirons u n e

correspon- dance (multivoque)" partielle f

e n t r e P et Q c o m m e u n ensemble (vide ou n o n vide) des paires ordonn6es (x, y) telles que x e P e t y e Q. Dans le cas, oh t o u t x e P e s t l'~l~ment p r e m i e r dans une paire au moins et t o u t y e Q est c o n t e n u c o m m e deuxi~me

~l~ment dans une p a i r e au moins - - et dans ce cas s e u l e m e n t - - nous dirons que f est u n e

correspondance (multivoque) propre

ou, plus court, une

correspondance

e n t r e P et Q; r o u t e e o r r e s p o n d a n c e est done,

afortiori,

u n e c o r r e s p o n d a n c e partielle.

Si f e s t une c o r r e s p o n d a n e e partielle e n t r e P et Q, la c o r r e s p o n d a n c e partielle inverse f-1 e n t r e Q et P sera d~finie c o m m e l ' e n s e m b l e des paires (y, x) inverses a u x

1 A c t a m a t h e m a t i c a , 84 (1950), pp. 225 229, cit~ d a n s la suite c o m m e I I .

2 V o i r , aussi, n o t r e o u v r a g e d a n s A c t a m a t h e m a t i c a , 81 (1949), pp. 291-297, a u q u e l n o u s r e n v e r r o n s p o u r la d~finition et les propri4t~s des n o t i o n s d ' e n s e m b l e i n v a r i a n t r e l a t i v e m e n t h u n e c o r r e s p o n d a n c e f e t de elasse, d6termin6e p a r f. Cet o u v r a g e sera cit~ d a n s la suite c o m m e I.

paires (x, y) E f ; on a u r a donc (f-1)-1 = f, et les relations (x, y) 9 et (y, x) 9 sont

~quivalentes.

Soient f u n e correspondance partielle entre P e t Q, et A u n sous-ensemble arbi- traire de P . Nous d~signerons p a r

f A

l'ensemble des 615ments y 9 Q, pour lesquels il exist 9 u n x 9 A, tel que (x, y) 9 en particulier, pour t o u t

x 9 P, f{x}

sera l'ensemble des 51~ments y 9 Q, pour lesquels (x, y) 9

P a r une

correspondance univoque f

entre P et Q nous e n t e n d r o n s une corre- spondance telle que, pour t o u t

x 9 P, f{x}

ne contient q u ' u n seul 515ment (dSsign6 h a b i t u e l l e m e n t p a r

f(x)).

Nous pouvons m a i n t e n a n t d 6 m o n t r e r quelques th6or8mes sur des correspon- dances partielles.

(1.1). Si f est une correspondance partielle entre P e t Q, les relations (x, y) 9

y 9 et

x 9

sont ~quivalentes.

Cela est i m m ~ d i a t en v e r t u de la dSfinition de l'ensemble

f{x}.

(1.2). Si (fa) est u n systgme arbitraire des correspondanees partielles f a entre P e t Q, l'union f = ~.~" f~ sera u n e eorrespondanee partielle entre P o t Q, et on a u r a

Cr

pour t o u t x 9 P :

f{x} = ~ fo,{x} .

(1.3)

E n elf 9 si

y 9

on a u r a (x, y) 9 et, p a r consSquent, (x, y) 9 pour u n a u moins, donc

y 9

et y 9 ~ ' f ~ ( x } , d ' o h il suit que.f(x}

~ ~_,~f~{x}.

Rdciproque- m e n t , s i y

9 ~f~,{x},

on a u r a pour u n a convenable: y eft{x}, donc

(x, y ) e f ~ f

ou

y 9

et, p a r consequent,

~ f ~ { x } ~ f { x } .

(1.4). Si (fa) 9 u n syst6me arbitraire des eorrespondances partielles f a entre P et Q, l'intersection f ~ / ~ f a sera une eorrespondance partielle entre P e t Q, et

(X

on a u r a pour t o u t x 9 P :

f{x} = 1-1fa{x} .

(1.5)

0r

L a relation

y 9 f{x}

d o n n a n t (x, y) 9 f et, p a r suite, (x, y) 9 f a pour t o u t a ou

y 9

on o b t i e n t y 9 ce qui m o n t r e que f{x} c

l ~ f a { x } .

D ' a u t r e part, si y e I _ / f ~ { x } , o n a u r a pour t o u t a :

y 9

et (x, y ) 9 d ' o h il suit que

(x, y ) 9

ou

y 9

il s'ensuit que

[ 1 f ~ { z } c f{x}.

D'un problem9 de la th6orie des correspondances multivoques abstraites. 303 (1.6). Si

f'

et

f "

sont des correspondances partielles arbitraires entre P ct Q, la difference f = f " - - f ' sera une correspondance patti 9 entre P e t Q, et on a u r a p o u r t o u t x 9 P :

f(x} ~- f " ( x } - f ' { x } .

(1.7)

E n effet, lorsque

y 9

on a u r a (x, y) 9 et, p a r suite,

(x, y) 9

ou

y 9

et (x, y) ~ f ' ou

y ~f'(x},

d ' o h il suit que

y 9

donc

f{x} ~f"(x}--f'(x}.

R6eiproquement,

y 9 f"(x}--f'(x}

impliquera que

y 9 f"{x}

ou

(x, y) 9 f",

et

y ~ f'{x}

ou (x, y ) ~ f ' , donc

(x, y ) 9 f

ou

y 9

on en conclut

q u e f " ( x } - - f ' ( x } ~ f{x}.

Une condition n~cessaire et suffisante pour q u ' u n e correspondance partielle soit une correspondance (propre) est fournie par le t h e o r e m 9 s u i v a n t :

(1.8). P o u r q u ' u n e correspondance p a t t i 9 f entre P e t Q soit une correspon- dance, il f a u t et il suffit que

f(x} ~ 0

p o u r t o u t x 9 P et que, pour t o u t y 9 Q, il exist 9 u n x 9 P tel q u ' o n ait

y 9

L a v~rit5 de ce th~or~me r~sulte i m m S d i a t e m e n t de la d~finition des ensembles de la f o r m 9

f(x}

et de la d~finition d ' u n e correspondance (propre) entre P et Q.

D4duisons ensuite quelques th~or~mes sur des correspondances, c o n s t i t u a n t u n s u p p l e m e n t a u x th~or~mes de la section 1 de I.

(1.9). Si f et g sont des correspondances entre P e t Q, la relation f c g entralnera que f-1 ~ g-1.

E n effet, (y, x) 9 impliquera (x, y) 9 done (x, y) 9 g e t (y, x) 9 g - i . (1.10). Soient f ' et f " des correspondances entre P e t Q, g' et

g"

des correspon- dances entre Q et R, et soient f ' ~ f " et g ' c g " ; on a u r a donc

g ' f ' c g"f".

Lorsque

(x, z) 9 g'f',

il exist 9 u n y 9 Q tel que (x, y) 9 et (y, z) 9 g', d ' o h il suit que (x, y) ~ f " et (y, z) 9 g " et, par suite,

(x, z) ~ g"f".

Nous pouvons m o n t r e r que les ensembles de la forme

f(x},

oh f 9 une corre- spondance entre P e t Q, caract~risent la correspondance f ; on peut, en effet, prouver le th~or~me s u i v a n t :

(1.11). Soient f ' e t f " des correspondances entre P e t Q; la r e l a t i o n f ' ~ f " sera

~quivalente s la condition que

f'{x} %if{x}

pour t o u t x 9 P. P a r consequent, l'~galit~

f ' = f " revient au m~me que

f'{x} ~-f"{x}

pour t o u t x 9 P .

Si

f ' ~ f " , y ef'{x}

implique (x, y) 9 donc (x, y) e f " et y 9 on a alors

f'{x}~f"(x}.

D ' a u t r e part, si pour t o u t x 9 P cette condition 9 remplie, nous aurons pour t o u t 9

(x, y) 9 y 9

donc

y ~f"(x}

ou (x, y) 9 d ' o h r~sulte que f ' ~ f " . Le rest 9 du th5or~me est imm~diat, l'Sgalit~ f ' ~ f " 5 t a u t ~quivalente a u x

d e u x relations simultan~es f ' ~_ f " et f " ~ f ' .

(1.12). P o u r que la e o r r e s p o n d a n e e f e n t r e P e t Q soit u n i v o q u c , il f a u t et il suffit q u ' o n ait f f - l { y } = {y} p o u r t o u t y E Q.

L o r s q u e f e s t u n e e o r r e s p o n d a n c e u n i v o q u e , on a u r a p o u r t o u t y e Q: {y}

ff-l{y}, et p o u r t o u t y* ~ f f - ' { y } il existe un x* e f - ~ { y } tel que y* e l { x * } ; on a alors y e f { x * } et, p a r consSquent, y * = y, l ' e n s e m b l e f{x*} ne e o n t e n a n t q u ' u n seul

~l~ment. De 1s r6sulte que ff-~{y} ~ {y}, donc ff-~{y} = {y}.

I n v e r s e m e n t , si ff-~{y} = {y} p o u r t o u t y e Q, il existe p o u r t o u t x E P u n y e Q tel qua y e / { x } ; on a u r a doric x ef-~{y} et, p a r suite, f { x } ~ f f - l { y } = {y}, ee qui m o n t r e que f{x} ne e o n t i e n t q u ' u n seul ~l~ment, d ' o h il suit que f doit gtre u n e eorre- s p o n d a n c e u n i v o q u e .

(1.13). Soient f une c o r r e s p o n d a n c e e n t r e P et Q, e la c o r r e s p o n d a n c e i d e n t i q u e e n t r e Q et Q (c.-s e{y} = {y} p o u r t o u t y 6 Q) et k u n e c o r r e s p o n d a n c e e n t r e Q et P telle qua f k = e ; alors f sera une c o r r e s p o n d a n c e u n i v o q u e , et on a u r a k ~ f-~.

De la r e l a t i o n f k ~- e on tire f - l f k = f - l e ~ - f - 1 et f/ok -1 ~ e]c -1 = k -1. P o u r t o u t y ~ Q on a u r a donc f - l { y } _~ f-~f]c{y} ~_ k{y}, d ' o h il v i e n t f - x ~ k, en a p p l i q u a n t (1.11); de m~me, p o u r t o u t x e P on a u r a ]c-~{x} --~ fk]c-~{x} ~ f { x } , d o r m a n t / c -1 _~f en v e r t u de (1.11), donc ]c ~ f - 1 d'aprSs (1.9). I1 s'ensuit qua k : f - L C o m m e f k ~ e, nous o b t e n o n s ff-1 _~ e; s l'aide de (1.12) nous v e r r o n s alors que f doit ~tre

u n e c o r r e s p o n d a n c e u n i v o q u e .

(1.14). Soient

(f~)

u n systSme des c o r r e s p o n d a n c e s

f~

e n t r e P e t Q, et f ~ --, f a ; ~"

0r

alors f sara u n e c o r r e s p o n d a n c e e n t r e P et Q, et on a u r a p o u r t o u t x e P :

f{x} = . ~ f~{x}. (1.15)

(x

T o u t e f~ ~ t a n t une c o r r e s p o n d a n e e partielle e n t r e P et Q, il r~sulte de (1.2) que f e s t elle-m~me une c o r r e s p o n d a n c e partielle e n t r e P e t Q et qua (1.15) est r u l a b l e . P o u r t o u t x e P , nous aurons, d'apr~s (1.8), fo,{x} ~ 0 p o u r u n ~ quelconque, donc f{x} ~ O; et s i y e Q, il existe p o u r u n a a r b i t r a i r e m e n t choisi u n x e P tel qua y era{x}, d ' o h il suit que y e f { x } . L a condition (1.8) 5 t a n t ainsi remplie p a r f, il s'ensuit qua f e s t u n e c o r r e s p o n d a n c e .

(1.16). Soient ( f ~ ) u n syst~me des c o r r e s p o n d a n c e s f~ e n t r e P et Q, et f ~- H f o , ;

0r

p o u r qua f soit u n e c o r r e s p o n d a n c e e n t r e P e t Q, il f a u t et il suffit que i / f o , { x } ~ 0

0r

p o u r t o u t x e P et qua, p o u r t o u t y e Q, il existe u n x e P tel q u e y e l ~ f o , { x } ; on

og

a u r a alors p o u r t o u t x e P :

f{x} -~- l l f~,{x} . (1.17)

0r

D 'un probl6me de la th6orie des correspondances multivoques abstraites. 305 De (1.4) il suit que f est u n e c o r r e s p o n d a n c e partielle e n t r e P e t Q et que (1.17) est remplie: Le reste d u t h 6 o r 4 m e se d 6 m o n t r e ~ l'aide de (1.8).

(1.18). Soient f ' et f " des c o r r e s p o n d a n c e s e n t r e P e t Q, e t f = f " - f ' ; p o u r que f soit u n e c o r r e s p o n d a n c e e n t r e P e t Q, il f a u t et il suffit que f " { x } --f'{x} ~ 0 p o u r t o u t x ~ P et que, p o u r t o u t y c Q , il existe un x ~ P tel que y ~ f " { x } et y ~f'{x}; on a u r a alors p o u r t o u t x e P :

f(x} = f " { x } - - f ' { x } . (1.19)

L a d 6 m o n s t r a t i o n d u t h 6 o r 4 m e est t o u t h fait analogue s la d 6 m o n s t r a t i o n d u (1.16); on e m p l o y e r a (1.6) et (1.8).

2. Nous nous o c c u p e r o n s m a i n t e n a n t d u p r o b l 6 m e 6nonc6 au d 6 b u t de la section 1.

Soient P , Q et R des ensembles, n o n r i d e s , f une c o r r e s p o n d a n c e e n t r e P e t Q et g une c o r r e s p o n d a n c e e n t r e P e t R ; nous e h e r c h e r o n s des conditions n6cessaires et suffisantes p o u r l'existence d ' u n e c o r r e s p o n d a n c e h e n t r e Q et R telle que

hf = g; (2.1)

t o u t e c o r r e s p o n d a n c e h satisfaisante ~ (2.1) sera d6sormais appell6e, p o u r abr6ger, une correspondance admissible.

Supposons, d ' a b o r d , l ' e x i s t e n c e d ' u n e c o r r e s p o n d a n c e admissible h. D e (2.1) et (1.11) r6sulte, que p o u r t o u t x E P on doit a v o i r hf{x} = g{x}, et c o m m e f{x} = L ~ {u}, on aura

hf{x}

= h ~__' {U) = L ~ h{U}, doric

y@f(x} yff(x} yff{x}

g{x} = ~__," h{y} . (2.2)

yfff{x}

S i y e Q, on a u r a p o u r t o u t x* e f - l { y } d'apr4s (1.1): y ef{x*}, d ' 6 u il suit que h { y } c hf{x*} = g{x*}; p a r cons6quent, on a u r a :

h{y} ~ I ~ g{x*} (y e Q ) . (2.3)

x*@f-l{y}

De (2.3) et de la relation h{y} ~ O, q u ' o n o b t i e n t s l'aide de (1.8), il r6sulte que la condition

1 1 g { x * } ~ 0 (y e Q) (2.4)

x*~f--l{y}

doit ~tre remplie.

E n e m p l o y a n t (2.2) et (2.3), nous d e d u i r o n s encore la condition

g{~} c 2 7 H g{x*} (x e P ) . (2.5)

y@f{x} ~ * @ f - l { y } 2 0 - 6 4 2 1 3 8 Acta mathematica. 84

Or, s i x ~ P et y ef{x},on a u r a d'apr6s (1.1): x Ef-l{y}, d ' o h il suit que H g{x.}

x*@f--l{y}

g{x}; on a donc aussi ~,~

]ff[g{x*}~_g{x}

et, en v e r t u de (2.5):

y@f{x} x*@f-l{yl

g{x} = ~ H g{x*} (x e P) .

(2.6)

y@f{x) x*~f--l{y}

Nous a v o n s ainsi d 6 m o n t r 6 que (2.4) et (2.6) sont des.conditions n6cessaires p o u r l'existence d ' u n e c o r r e s p o n d a n c e admissible. D ' a u t r e p a r t , les conditions (2.4) et (2.6) sont suffisantes p o u r l ' e x i s t e n c e d ' u n e telle c o r r e s p o n d a n c e .

Supposons, en effet, ces conditions remplies, et posons

= / / g { x * } (y e Q). (2.7)

x*@f-l{y}

De (2.4) r6sulte que h{y} ~ 0 p o u r t o u t y ~ Q; de plus, nous a u r o n s en v e r t u de (2.6) :

g{x}

= ~,~ h{y} (x e P ) . (2.8)

yEf(x)

g 6 r a n t une c o r r e s p o n d a n e e e n t r e P e t R, nous v e r r o n s s l'aide de (1.8) que, p o u r t o u t z e R, il existe u n x e P tel que z c g{x}; de (2.8) r6sulte alors qu'il existe u n

y e f{x}

tel que z e h(y}. On en eonelut que l ' e n s e m b l e h des paires ordonn6es (y, z), oh y c Q et z ~ h(y), est une c o r r e s p o n d a n c e e n t r e Q et R, en a p p l i q u a n t (1.8);

de plus, nous p o u v o n s m o n t r e r que h est u n e c o r r e s p o n d a n c e admissible. E n effet, nous o b t e n o n s p a r (2.8):

g{x}

= ~ h{y} = h ~ ' {y} =

~f{x},

d o n c h f = g en v e r t u

y@f(x} yGf{x}

de (1.11), (2.1) 6 r a n t Mnsi remplie p a r h.

E n outre, si h est u n e c o r r e s p o n d a n c e admissible quelconque, on a u r a en v e r t u de (2.3) et (2.7):

J {y} (y E Q), (2.9)

d ' b u il suit, en a p p l i q u a n t (1.11), que

h c h . (2.10)

E n r6sum6, nous a v o n s 6tabli le th6or~me s u i v a n t :

(2.11). P o u r qu'il existe u n e c o r r e s p o n d a n c e admissible, il f a u t et il suffit que

et que

H g{x,} ~ 0 p o u r t o u t y e Q,

x * ~ 1 (y}

(2.12)

D'un problgme de la thdorie des eorrespondances multivoques abstraites. 307 g{x} = ~,,~ 1 I g{x*} p o u r t o u t x ~ P ; (2.13)

yEf{x} x*@f--l{y}

torsque ces d e u x conditions sont satisfaites, la c o r r e s p o n d a n c e h, d o n n @ p a r

h{Y} = H g{x*} (y e Q) , (2.14)

x*@f--l{yI

sera u n e c o r r e s p o n d a n c e admissible, et on a u r a p o u r r o u t e c o r r e s p o n d a n c e admis- sible h :

h _ ~ . (2.15)

Q u a n t a u probl~me de t'unicit6 d ' u n e c o r r e s p o n d a n c e admissible, nous le t r a i t 6 r o n s dans la section 3 ci-dessous. E n g6n6ral, s'il existc u n e c o r r e s p o n d a n c e admissible, il en existe plusieurs, c o m m e o n v e r r a p a r u n e x e m p l e simple dans la section 6.

S u p p o s a n t m a i n t e n a n t dans le r e s t e de la section pr6sente, /~ l ' e x c e p t i o n de (2.24) et (2.25), qu'il existe u n e c o r r e s p o n d a n e e admissible, (2.11) 6 t a n t ainsi remplie, nous nous p r o p o s e r o n s de c h e r c h e r des conditions p o u r q u ' u n e c o r r e s p o n d a n c e h e n t r e Q et R soit u n e c o r r e s p o n d a n c e admissible. N o u s allons en m o n t r e r le t h 6 o r g m e : (2.16). Soit h u n e c o r r e s p o n d a n e e e n t r e Q e t R ; p o u r que h soit u n e correspon- d e n c e admissible, il f a u t et il suffit que lea d e u x conditions s u i v a n t e s soient remplies :

a) p o u r t o u t y e Q on ait

h{y} ~ h{y} ; (2.17)

b) p o u r t o u t x e P il existe p o u r u n z ~ g{x} q u e l e o n q u e u n y e f{x} tel que Si h eat ~ne e o r r e s p o n d a n c e admissible, il suit de (2.11), que la c o n d i t i o n a) eat satisfaite; de plus, s i x e P e t z ~ g{x}, il r~sulte de (2.2) qu'il existe u n y e f { x } tel que z e h{y}, la c o n d i t i o n b) 6 t a n t ainsi remplie.

D ' a u t r e p a r t , lea d e u x conditions a) e t b) seront suffisantes p o u r que h soit u n e c o r r e s p o n d a n c e admissible. On aura, e n crier, p o u r t o u t x ~ P , cn a p p l i q u a n t

(2.17):

hi{x} = X h{y} =

f{x}

= g { x } , y Cf{x) y Cf(x}

donc hf{x} ~ g{x}; de plus, p o u r u n z ~ g{x} a r b i t r a i r e il existe u n y e f{x} tel que z ~ h{y} ~ hf{x}, d ' o h il suit que g{x} ~ hf{x}. I1 rSsulte que hf{x} = g{x} p o u r t o u t x c P ; a p p l i q u a n t ( ! . l l ) , nous v e r r o n s que hf = 9, h g r a n t ainsi u n e e o r r e s p o n d a n c e admissible.

L a derni~re c o n d i t i o n b) de (2.16) p e u t ~tre t r a n s f o r m 6 e u n peu. E n effet, si h est u n e c o r r e s p o n d a n c e a d m i s s i b l e et z e R, o n a u r a p o u r u n x ~ g-l{z} a r b i t r a i r e : z e g{x} en v e r t u de (1.1); s l'aide de (2.16, b)) n o u s v e r r o n s q u ' i l existe u n y e f { x } tel que z c h{y}. I n v e r s e m e n t , si h e s t u n e c o r r e s p o n d a n c e e n t r e Q et R, r e m p l i s s a n t (2.16, a)) et la condition que, p o u r t o u t z e R et t o u t x e g-l{z}, il existe u n y e f { x } tel que z 9 h{y}, la condition (2.16, b)) sera r e m p l i e aussi; car s i x ~ P e t z c g{x}, on a u r a p a r (1.1): x ~ g-l{z}, d ' o h il s u i t qu'il existe u n y 9 tel que z c h{y). N o u s a v o n s d o n c 6 t a b l i le t h 6 o r 6 m e :

(2.18). Soit h u n e c o r r e s p o n d a n c c e n t r e Q et R ; p o u r que h soit u n e correspon- d a n c e admissible, il f a u t et il suffit que les d e u x conditions s u i v a n t e s soient r e m p l i e s :

a) p o u r t o u t y E Q on a i t

h{y} ; (2.19)

b) p o u r t o u t z ~ R il existe p o u r u n x e g-~{z} q u e l c o n q u e u n y o f { x } tel que z + h { y } .

Consid6rons en p a r t i c u l i e r la c o r r e s p o n d a n c e a d m i s s i b l e m a x i m a l e h. N o u s p o u v o n s d 6 m o n t r e r le t h 6 o r 6 m e :

(2.20). P o u r que (y, z ) ~ h, il f a u t et il suffit q u ' o n air

f - l { y } ~ g-l{z}. (2.21)

E n effet, si ( y , z ) e h, on a u r a d ' a p r @ (1.1): z e-h(y); a p p l i q u a n t (2.14), on v e r r a que, p o u r t o u t x* Ef-~{y}, z c g{x*} et, p a r suite, x * ~ g-~{z), d ' o h il r6sulte que f-~{y} ~ g ~{z}. R @ i p r o q u e m e n t , si (2.21) est remp ie, n o u s a u r o n s p o u r t o u t x* ef-~{y): x* 9 d o n c z 9 d ' o h il suit que z 9 en v e r t u de (2.14);

on a alors (y, z ) 9 h.

N o u s p o u v o n s encore m o n t r e r que

% gf 1. (2.22)

E n effet, c o m m e f - l { y } : . ~ {x*} p o u r t o u t y e Q, o n o b t i e n t x*~f-l{y}

gf-~{y} : ~ ' g{x*} (y e Q ) ; (2.23)

x*Gf-l{y}

en c o m p a r a n t c e t t e r e l a t i o n a v e c (2.14), on v e r r a que h ( y ) ~ gf-l{y} p o u r t o u t y e Q ; il en r @ u l t e s l ' a i d e de (1.1) que ~ g f - 1 .

N o u s p o u v o n s aussi d6duire (2.22) en r e m a r q u a n t q u e (2.1) i m p l i q u e r a gf-1 :

~ff-1 ~ ~, c o m m e ff-~{y} ~ {y} p o u r t o u t y 9 Q.

D'Ull probl&ne de la th6orie des correspondances multivoques abstraites. 309 D ~ d u i s o n s m a i n t e n a n t k l'aide de (2.11) d e u x conditions n6cessaires et suffi- santes p o u r l'existence d'une c o r r e s p o n d a n c e admissible, e n n o u s a p p u y a n t a u t h ~ o r g m e (2.20).

(2.24). P o u r qu'il existe u n e c o r r e s p o n d a n e e admissible, il rant et il suffit q u e les conditions s u i v a n t e s soient remplies:

a) p o u r t o u t y e Q il existe u n z e R tel que

f-l{y} ~

g-l{z};

b) p o u r t o u t x e P e t t o u t

z E g{x}

il existe u n

y of{x}

tel que

f-~{y} ~ g-l{z}.

L a n6cessit5 de c e t t e condition est i m m 6 d i a t e en r e m a r q u a n t , que (2.11) entrai- n e r a l'existence de h e t les relations h{y} ~ O p o u r t o u t y e Q et

g{x}

= .~_," h{y'} p o u r

t o u t x E P , et e m p l o y a n t (2.20). yef(xl

I n v e r s e m e n t , la condition est suffisante. E n effet, il suit de a) que, p o u r t o u t

y ~ Q,

il existe u n z E R tel que

f-~{y} %

g-l{z}; p o u r t o u t

x* ~f-~{y}

on a u r a alors x * c g-l{z} ou z ~ g{x*}, donc z e ! / g { x * } et, p a r suite, / I g{x*} ~ O, (2.12) 6 t a n t

x*Ef--l{y} x*~f-l{y}

ainsi remplie. De plus, p o u r t o u t x ~ P e t t o u t

z ~ g{x},

il existe, d ' a p r & b), u n

y Ef(x}

tel que

f-l(y} ~ g-~(z};

on v e r r a donc, en p r o c 6 d a n t c o m m e plus h a u t , que z ~ / / g ( x * } , d ' o h il suit que z E ~_~ i ~ g{x*}; p a r consSquent, on a u r a

g(x}

x*~f--l{y} y@f{x} x*@f-l{y}

V' H g{x* }.

Or, p o u r t o u t

y ~ f{x}

on

a x ~ f-~ {y}

et p a r suite j ~

g{x* } ~_ g(x},

d ' o h

y~f(x} x*~f-~{y} x*@f--l(y}

on conclut que

.~_.," I I g(x*} ~= g{x}.

De lk r6sulte que

g(x} = ~ 1-I g(x*},

(2.13)

yEf{x} x*@f-l{y} y@f(x} x*@f--l{y}

& a n t ainsi satisfaite.

L a condition (2.24) p e u t & r e t r a n s f o r m ~ e en la condition

(2.25). P o u r qu'il existe une c o r r e s p o n d a n c e admissible, il f a u t s t il suffit que les conditions s u i v a n t e s s o i e n t remplies:

a) p o u r t o u t y e Q il existe u n z ~ R tel que

f-~{y} ~= g-l{z};

b) p o u r t o u t z c R et t o u t x e g-l{z} il existe u n

y ef{x}

tel que f - l { y } ~ g-l{z}.

E n effet, si (2.24, b)) est satisfaite, z e R et

x ~ g-~{z}

i m p l i q u e n t

z ~ g(x}

et l'existence d ' u n

y ef{x}

tel que f - l { y } ~ g-l{z}. D ' a u t r e p a r t , si (2.25, b)) est remplie, x e P et

z ~ g{x}

i m p l i q u e n t

x E g-~{z}

s t l'existence d ' u n

y ~f{x}

tel que

f-~{y}

D ~ m o n t r o n s , enfin, quelques th~orSmes sur des unions, des intersections et des diffSrences des c o r r e s p o n d a n c e s admissibles.

(2.26). Soient (h~) u n systSme des c o r r e s p o n d a n c e s h~ admissibles, et h = _,~ h~ ; h sera donc une c o r r e s p o n d a n c e admissible,

E n v e r t u de (1.14), h sera u n e c o r r e s p o n d a n c e e n t r e Q et R. Si y e Q, on a u r a p o u r un a q u e l c o n q u e : ha{y}c=h{y } d ' a p r ~ s (2.19); de (1.15) r~sulte que h { y } ~ h(y}, (2.19) ~ t a n t ainsi r e m p l i e p a r h. De plus, si z ~ R, il existe en v e r t u de (2.18, b)) p o u r u n ~ a r b i t r a i r e m e n t choisi et p o u r t o u t x e g-l(z} u n y ef{x}, tel que z ~ ha{y } et, p a r c o n s e q u e n t , z e h{y}, ce qui m o n t r e que h r e m p l i t (2.18,b)). De l~ rSsulte que h est u n e c o r r e s p o n d a n c e admissible.

(2.27). Soient (h~) u n s y s t ~ m e des c o r r e s p o n d a n c e s h a admissibles, et h ~- H ha;

or

p o u r que h soit u n e c o r r e s p o n d a n c e admissible, il f a u t et il suf~it que ! I h~x(y } ~ 0 p o u r t o u t y ~ Q et que, p o u r t o u t z e R e t t o u t x ~ g-l{z}, il e x i s t e u n y e f ( x } t e l que z ~ ha{y } p o u r t o u t a.

L a c o n d i t i o n dnonc@ e s t ndeessaire. E n effet, si h est u n e c o r r e s p o n d a n c e admissible, on v e r r a p a r (1.16) que I ~ h a { y } ~ 0 p o u r t o u t y ~ Q; de plus, si z E R,

(x

il existe en v e r t u de (2.18, b)) p o u r t o u t x e g-~{z} u n y e f ( x } t e l que z e h{y}, d ' o h il rSsulte s l ' a i d e de (1.17) que z ~ ha{?/} p o u r t o u t ~.

D ' a u t r e p a r t , si la c o n d i t i o n est r e m p l i e , il e x i s t e p o u r t o u t z e R e t t o u t x ~ g-~{z}

u n y ~f{x} t e l que z e ha{y } p o u r t o u t a, d ' o h il suit d ' a p r S s (1.5) que z e h{y}; en a p p l i q u a n t (1.16), nous v e r r o n s que h d o i t ~tre u n e c o r r e s p o n d a n c e e n t r e Q et R, s a t i s f a i s a n t e s (2.18, b)). De plus, si y e Q, n o u s a u r o n s d ' a p r S s (2.19) p o u r t o u t a: ha{y } _c ~{y}; p a r suite n o u s v e r r o n s , en e m p l o y a n t la r e l a t i o n h{y} = H ha{Y},

a

r 6 s u l t a n t de (1.17), que h{y} ~ h{y}, la condition (2.19) 6 r a n t ainsi r e m p l i e p a r h, d ' o h il suit q u e h est u n e c o r r e s p o n d a n c e admissible.

(2.28). Soient h' et h " des c o r r e s p o n d a n c e s admissibles, et h = h " - - h ' ; p o u r que h soit u n e c o r r e s p o n d a n c e admissible, il f a u t et il suffit que h"{y} --h'{y} ~ 0 p o u r t o u t y e Q et que, p o u r t o u t z 6 R et t o u t x 6 g-~{z}, il e x i s t e un y e f { x } tel

que + et h,{y}.

L a c o n d i t i o n est n6cessaire. Si h est u n e c o r r e s p o n d a n e e admissible, il r6sulte de ( 1 . 1 8 ) q u e h"{y} --h'{y} D 0 p o u r t o u t y s Q, et si z e R, (2.18, b)) m o n t r e que, p o u r t o u t x e g-~{z}, il existe u n y s f { x } tel que z e h{y}, d ' o h il suit s l ' a i d e de (1.19) que z + h"{y} et z + h,{y}.

I n v e r s e m e n t , la c o n d i t i o n 6 r a n t satisfaite, il existe p o u r t o u t z E R et t o u t x e g-X{z} u n y 6 f { x } tel que z e h " { y } et z ~ h' {y}, d ' o h il suit d ' a p r 4 s (1.7) que z E h{y}; a u m o y e n de (1.18), on v e r r a donc que h e s t u n e c o r r e s p o n d a n c e e n t r e Q et R, qui r e m p l i t (2.18, b)). Si y r Q, on a u r a s l ' a i d e de (2.19): h " { y } ~ h{y}, e t c o m m e h{y} = h"{y}--h'{y} en v e r t u de (1.19), on o b t i e n t h { y } ~ h { y } , ce qui

D'un probl~me de la th~orie des correspondances multivoques abstraites. 311 m o n t r e que h r e m p l i t la c o n d i t i o n (2.19), d ' o h il r~sulte que h est u n e c o r r e s p o n d a n c e admissible.

Le t h 4 o r 4 m e (2.28) p e u t ~tre modifi~ en r e m p l a ~ a n t la c o r r e s p o n d a n c e admis- sible h' p a r une c o r r e s p o n d a n c e partielle e n t r e Q et R. Nous p o u v o n s , en effet, ~tablir le th~or~me s u i v a n t , d o n t nous ferons usage dans la section s u i v a n t e :

(2.29). Soient h " une c o r r e s p o n d a n c e admissible, h ' u n e c o r r e s p o n d a n c e par- tielle e n t r e Q et R, et h ~ h " - - h ' ; p o u r que h soit u n e c o r r e s p o n d a n c e admissible, il f a u t et il suffit que h"{y} --h'{y} ~ 0 p o u r t o u t y e Q et que, p o u r t o u t z e R et t o u t x ~ g-~{z}, il existe u n y ~ f { x } tel que z ~ h"{y} et z ~_ h'{y}.

Montrons, d ' a b o r d , la n~cessit~ de c e t t e condition. Si h est u n e c o r r e s p o n d a n c e admissible, on a u r a d'apr~s (1.8) et (1.7): h"{y} --h'{y} ~ 0 p o u r t o u t y e Q; de plus, si z e R, il rSsulte de (2.18, b)) que, p o u r t o u t x ~ g-~{z}, il existe u n y Ef{x}

tel que z E h{y}; consid~raut (1.7), nous v e r r o n s que z e h"{y} et z ~.h'{y}.

D ' a u t r e p a r t , si la c o n d i t i o n est remplie, (1.7) m o n t r e que h{y} ~ 0 p o u r t o u t y e Q; de plus, il existe p o u r t o u t z e R et t o u t x e g-i{z} u n y e f { x } tel que z ~ h"{y}

et z ~ h'{y}; en e m p l o y a n t (1.7), nous v e r r o n s que z e h{y}. I1 r4sulte d o n e de (1.8) que h sera u n e c o r r e s p o n d a n c e e n t r e Q et R, qui r e m p l i t (2.18, b)); nous v o y o n s encore que, p o u r t o u t y e Q, nous a u r o n s h"{y} ~ h{y} en v e r t u de (2.19). D'aprSs (1.7) nous a v o n s h{y} = h " { y } - - h ' { y } et, p a r suite, h{y} ~ h{y}, (2.19) 6 t a n t ainsi remplie p a r h; p a r c o n s e q u e n t , h sera u n e c o r r e s p o n d a n c e admissible.

3. A l'aide d u th~orSme (2.29) il sera m a i n t e n a n t ais6 d ' 6 t a b l i r u n e c o n d i t i o n n~cessaire et suffisante p o u r l'unicit5 d ' u n e c o r r e s p o n d a n c e admissible h, l ' e x i s t e n c e d ' u n e telle c o r r e s p o n d a n c e ~ t a n t suppos~e.

(3.1). P o u r q u ' u n e c o r r e s p o n d a n c e admissible soit d6termin~e d ' u n e maniSre unique, il f a u t et il suffit que, p o u r r o u t e (y, z) e h, la condition s u i v a n t e soit satis- faite: Si h{y} ~ {z}, il existe u n x Eg-l{z} tel que, p o u r t o u t y* EI(x}, ou y* --~ y ou z ~ h{y*}. Si c e t t e c o n d i t i o n est remplie, la c o r r e s p o n d a n c e h sera la seule corre- s p o n d a n c e admissible.

N o t o n s , p r ~ l i m i n a i r e m e n t , que les d e u x relations y * ~ y e t z ~h{y*} sont incompatibles, c o m m e y* ~ y e n t r a l n e r a (y*, z) ~ (y, z) E h, donc z E h{y*}.

D ~ m o n t r o n s , d ' a b o r d , que la condition est nScessaire. S u p p o s o n s qu'elle ne soit remplie; alors il existe u n e (y*, z * ) e h telle que h{y*} ~ {z*} et qu'il existe, p o u r t o u t x e g-l{z*}, u n y e f { x } tel que y ~ y* et z* e h{y}. Soit h' la c o r r e s p o n d a n c e partielle e n t r e Q et R, ne e o n t e n a n t que la p a i r e o r d o n n 6 e (y*, z*). Nous aurons, p o u r t o u t y e Q, h{y} ~ h'{y}; car nous a v o n s h{y*} ~ h'{y*} ---- {z*}, et p o u r y ~= y*

nous a v o n s h(y} ~ O et h'{y} = O. De plus, p o u r t o u t z 9 R et t o u t x E g l{z} il existe u n y 9 tel que z 9 h(y} et z ~ h'{y}; en elf 9 p o u r t o u t x e g-'{z*} il existe un y 9 tel que z * 9 h(y} et y 4= y*, donc h'{y} = 0 et, p a r suite z* ~i h'{y}; et p o u r z @ z* il exist 9 d'apr~s (2.18, b)), p o u r t o u t x e g-l{z} u n y 9 tel q u e z e h{y}; c o m m e (y, z) ~ h', en v e r t u de la r e l a t i o n z 4- z*, nous a v o n s z ~. h'{y}. I1 rSsulte alors de (2.29) q u e h -- h - - h ' 9 une c o r r e s p o n d a n c e admissible, et c o m m e h ~ h, il existe d e u x c o r r e s p o n d a n c e s admissibles dif%rentes.

D S m o n t r o n s , ensuite, la suffisance de la condition. Supposons qu'elle soit remplie, et soit h une c o r r e s p o n d a n c e admissible. Si (y, z) 9 h, on a u r a h{y} = {z}, donc {z} ~ h(y} = h{y} en v e r t u de (2.19), c o m m e h{y} ~ O, et p a r suite (y, z) 9 ou bien on a u r a h(y} ~ {z}, et il exist 9 de plus, u n x 9 g-i{z} tel que, p o u r t o u t y* 9 on a u r a ou y* = y ou z ~ h{y*}, h ~ t a n t u n e c o r r e s p o n d a n c e admissible, il existe, en v e r t u de (2.18, b)) u n y* 9 tel que z 9 h{y*}c= ~{y*}; on doit donc a v o i r y* : = y e t , p a r c o n s e q u e n t , z 9 ou ( y , z ) 9 P o u r t o u t 9 ( y , z ) 9 on a u r a donc ( y , z ) 9 d ' o h il % s u l t e que h ~ h et, t e n a n t e o m p t e de (2.15), que h = h, ce qui m o n t r e que h e s t la seule c o r r e s p o n d a n c e admissible.

Nous p o u v o n s 6noncer le th~or~me (3.1) sous u n e f o r m e modifi@, qui est u n peu plus c o m p l e x e ; de l ' a u t r e co%, il n ' y f i g u r e n t que les e o r r e s p o n d a n c e s f et g.

E n effet, a p p l i q u a n t (2.20), nous o b t e n o n s :

(3.2). P o u r q u ' u n e c o r r e s p o n d a n c e admissible soit d ~ t e r m i n @ d ' u n e mani~re u n i q u e , il f a u t et il suffit que, p o u r t o u t y e Q et t o u t z E R tels q u e f - ~ [ y } K g-~(z}, la condition s u i v a n t e soit satisfaite: I1 n ' e x i s t e pas u n z* 9 R tel que z * @ z et f - l { y } ~ g-~{z*}, ou bien il existe un x 9 g-~{z} tel que, p o u r t o u t y* 9 on a u r a

o u y * = y

4. ]~tudions m a i n t e n a n t les relations e n t r e les classes dans P , Q et R, lesquelles sont dStermin~es p a r les c o r r e s p o n d a n c e s f , g e t h de (2.1) et leurs c o r r e s p o n d a n c e s inverses, en s u p p o s a n t , c o m m e dans la section pr@Sdente, qu'il existe une corre- s p o n d a n c e admissible.

Soit C (~ R) une classe, d~termin@ p a r g - i ; n o u s a u r o n s donc, en v e r t u de (2.1): C ~ gg-lC --~ hff-lh-aC ~ hh-lC, c o m m e f f - i h - l C ~ h-aC, donc C ~ hh-~C, et c o m m e nous avons de l ' a u t r e cot~ : C ~_ hh-~C, il % s u l t e de 1s que h h - l C = C, C 6 t a n t ainsi i n v a r i a n t r e l a t i v e m e n t s h -1. P a r c o n s e q u e n t , nous a u r o n s d ' u n e fa~on u n i q u e :

C --- K ' - F K " + . ' . , (4.1)

oh K ' , K " , . . . sont des classes disjointes, d~termin6es p a r h -1,

et

D ' u n probl6me de la th6orie des correspondances multivoques abstraites. 313 P o s o n s

B = h - l C (4.2)

H ' = h - ~ K ', H " = h - ~ K " , . . . ; (4.3)

alors H ' , H " , . . . s o n t des classes disjointes, d 6 t e r m i n 6 e s p a r h, et nous a v o n s au m o y e n de (4.1):

B = h - l C -= h - l K ' + h 1 K " + . . . o u

B = H ' + H " + . . . , (4.4)

B ( ~ Q) 6 t a n t ainsi u n e n s e m b l e i n v a r i a n t r e l a t i v e m e n t h h; e e t t e division de B en classes disjointes, d 6 t e r m i n 6 e s p a r h, sera u n i q u e . N o u s a v o n s de plus

Posons, ensuite,

C = h B . (4.5)

A ⁼ g - i V ; (4.6)

A ( ~ P ) sera alors u n e elasse, d 6 t e r m i n 6 e p a r g, et on a

C = g A . (4.7)

L ' e n s e m b l e A 6 t a n t i n v a r i a n t r e l a t i v e m e n t ~ g, n o u s a v o n s A = g - l g A = f - l h - ~ h f A _ ~ f - ~ f A , c o m m e h - ~ h f A ~ f A , d o n e A ~ f - ~ f A ; d ' a u t r e p a r t , nous a v o n s A c f - i r A et, p a r eons6quent, f - i r A = A , d ' o h il suit que A est u n e n s e m b l e i n v a r i a n t r e l a t i v e - m e n t s f. N o u s a v o n s done d ' u n e fa~on u n i q u e :

A = M ' + M " + . . . , (4.8)

oh M ' , M " , . . . s o n t des classes disjointes, d 6 t e r m i n 6 e s p a r f.

M o n t r o n s que

B f A . ^(4.9)

N o u s a v o n s , en effet, B = h - l C = h - ~ g A =- h - X h f A ~ _ f A et, d ' a u t r e p a r t , f A = f g - ~ C -~ f f - l h - l C = f f - l B 2 B , d ' o h % s u l t e B = f A .

B est d o n e u n e n s e m b l e i n v a r i a n t r e l a t i v e m e n t s f , L et nous a u r o n s

E n p o s a n t

A = f - l B .

N ' = f M ' , N " = f M " ,. . . ,

(4.~o) (4.11)

nous v e r r o n s que N ' , N " , . . . s o n t des classes disjointes, d6termin6es p a r f - l , et il r6sulte de (4.8) et (4.9) que

o n

B ~ f A = f M ' §

B : N ' ~ - N " - ~ . . . ; (4.12)

c e t t e division de B en classes disjoint 9 d~termin@s p a r f - l , sera unique.

Q u a n t a u x relations e n t r e les classes H ' , H " , . . . et N ' , N " , . . . , nous ne p o u v o n s , dans le cas gSn6ral, dire plus que:

H ' ~ - H " § . . . . N ' ~ - N " ~ - . . . , c o m m e il suit de (4.4) et (4.12).

Les r~sultats ainsi o b t e n u s m o n t r e n t que, p o u r 6tudier les relations e n t r e les classes, d 6 t e r m i n @ s p a r les c o r r e s p o n d a n c e s f, g e t h e t leurs c o r r e s p o n d a n e e s inverses, il suffit de se b o r n e r ~t l'~tude des c o r r e s p o n d a n c e s , r e s t r e i n t e s s des classes de la f o r m e C et les ensembles a d j o i n t s de la f o r m e A ou B.

Supposons, enfin, que h' et h " soient des c o r r e s p o n d a n c e s admissibles telles que h ' ~ h". E n e m p l o y a n t (1.9) et (1.10), s o n s v e r r o n s que h ' h ' - l ~ h " h ''-1. Si K 9 u s e class 9 dans R, d~termin@ p a r h ''-1, nous a u r o n s K ~ h " h " - l K 2 h ' h ' - l K , d o n c K ~ h ' h ' - ~ K ; d ' a u t r e p a r t , nous a u r o n s K ~ h ' h ' - I K , d o n c h ' h ' - l K ~- K , K ~ t a n t ainsi u n ensemble i n v a r i a n t r e l a t i v e m e n t ~ h'-~; de 1s r@ulte que K p e s t se diviser en des classes disjoint 9 d 6 t e r m i n @ s p a r h '-~. Le r~sultat de ces considerations p e s t s ' c x p r i m e r p a r le t h 6 o r 6 m e :

(4.13). Soient h' et h " des c o r r e s p o n d a n c e s admissibles telles que h' ~ h " , et K ( ~ R) u s e elasse, d ~ t e r m i n @ p a r h " ; K sera alors d ' u n e maniSre u n i q u e l ' u n i o n des classes disjointes, d~termin~es p a r h '-~.

5. Cette section sera consacr@ s l ' 6 t u d e des cas particuliers, oh l ' u n e ou l ' a u t r e des c o r r e s p o n d a n c e s f e t g 9 u n i v o q u e . Dans ces cas des simplifications eonsid~rables a u r o n t lieu; en partieulier, nous v e r r o n s qu'il e x i s t 9 u s e e o r r e s p o n d a n c e admissible a u plus, laquelle sera alors i d e n t i q u e ~ gf-1.

Consid~rons, d ' a b o r d , le cas oh

f

est u n i v o q u e ; p o u r t o u t x e P il n ' e x i s t e q u ' u n y e Q tel que y e f { x } .

L a condition (2.11) p o u r l'existence d ' u n e c o r r e s p o n d a n c e admissible se r~duit ici a u x d e u x conditions: (2.12) et: g{x} = H g { x * } p o u r t o u t x e p , e o m m e f { x }

x*~/-V(x}

c o n t i e n t u n ~l~ment s e u l e m e n t . Or, la derni~re c o n d i t i o n e n t r a i n e r a la p r e m i e r e ; en effet, si y e Q, nous a v o n s p o u r u n x e f-~{y}, a r b i t r a i r e m e n t choisi: y 9 f{x}, donc {y} = f { x } et, p a r suite, f-~{y} = f - l f { x } , d ' o h r~sulte q u e / / g { x * } : H g { x * } -~

g{x} ~ O. ~* 9 ~*e:~: ~~

D'un probl6me de la th6orie des eorrespondanees multivoques abstraites. 315 P a r e o n s 6 q u e n t , p o u r q u ' i l existe u n e e o r r e s p o n d a n e e admissible, il f a u t et il suffit, que p o u r t o u t x ~ P :

g{x} = H g{x*} 9

(5.1)

(5.1) 6 t a n t remplie, nous v e r r o n s que

x* e f-if{x}

i m p l i q u e r a

g{x} ~=

g{x*}. Or, si x* ~ f - a f { z } , n o u s a u r o n s a u s s i x ~ ( f - l f ) - l { x * } o u x e f - I f { x * } , d ' o a o n tire g{x*}

g{x}

et, p a r suite, g{x*} ~--

g{x}.

P o u r t o u t

x* e f-If{x},

n o u s a u r o n s

done g{x*}

=

g{x},

d ' o h on eonelut que

g{x}

= ~Y7 g{x*} =

gf-lf{x}.

x*~f-~f{x}

D ' a u t r e p a r t , si q{x} = gf-if{x} p o u r t o u t x e P , n o u s a v o n s p o u r t o u t x * e

f-~f{x}: x ~ (f-lf)-~{x*} = - f

~f{x*} et p a r suite

g{x} ~ if-if{x*}

: g{x*}, d ' o h

g{x} ~=

/ F / g { x * } . C o m m e n o u s a v o n s aussi

x ~ f if{x},

il suit que

H g { x * } c g { x } ,

6 r a n t ainsi

g{x) H g{x*},

ce qui m o n t r e que (5.1) est r e m p l i e .

~*e.f-~flx)

E n r6sumS, p o u r qu'il existe u n e e o r r e s p o n d a n e e admissible, il f a u t et il suffit que p o u r t o u t x e P :

g{x} = gf-~f{x}.

(5.2)

N o u s r e t r o u v o n s ainsi la condition, d 6 d u i t e d6js d a n s I I , oh nous a v o n s m o n t r 6 , de plus, que

f-~f{x}

est la elasse M d a n s P , d 6 t e r m i n g e p a r f, qui c o n t i e n t x.

L a c o n d i t i o n p e u t aussi s ' e x p r i m e r sous la f o r m e : P o u r t o u t y ~ Q et p o u r x ' e f l{y} et x " e f - l { y } on doit a v o i r

g{x'} -= g{x"}.

S u p p o s o n s m a i n t e n a n t l ' e x i s t e n c e d ' u n e e o r r e s p o n d a n e e a d m i s s i b l e h; il suit de (2.1) que

hff -1 ---- gf-~

ou h =

gf-L f f - i

g r a n t la c o r r e s p o n d a n e e i d e n t i q u e e n t r e Q et Q, en v e r t u de (1.12). On v e r r a de 1s que la c o r r e s p o n d a n e e h e s t d~termin4e d ' u n e m a n i ~ r e u n i q u e p a r f et g.

Q u a n t a u x classes, 4tudi4es d a n s la section p % e ~ d e n t e , n o u s v e r r o n s que, K

~ t a n t u n e des classes eonsid6%es, d g t e r m i n 6 e p a r h - L K doit ~tre i d e n t i q u e s la classe C. E n effet, n o u s a v o n s

gg-lK = hff-~h-lK = hh-lK = K,

e o m m e

f f - l h - l K =

h-~K, K

6 r a n t uinsi u n e n s e m b l e i n v a r i a n t r e l a t i v e m e n t ~ g - i ; de plus, e o m m e O c K % C, et C 6 r a n t une classe, d 6 t e r m i n 6 e p a r g - i , n o u s a u r o n s K = C en v e r t u du t h 6 o r 4 m e (3.4) de I. N o u s a v o n s ainsi r e t r o u v 6 u n des r 6 s u l t a t s de I I e n d 6 m o n - t r a n t que 1~ classe C; d 6 t e r m i n 6 e p a r g - 1 e s t aussi u n e elasse, d 6 t e r m i n 6 e p a r h - I ; il r6sulte de 1~ que B =

h-lC

sera u n e elasse, d 6 t e r m i n 6 e p a r h, et que les classes H coincident a v e e B. L a c o r r e s p o n d a n e e f 6 t a n t u n i v o q u e , t o u t e classe N , d 6 t e r m i n 6 e p a r f - i , se r6duit /~ u n e n s e m b l e ne c o n t e n a n t q u ' u n seul 616ment.

Consid~rons, ensuite, le cas oh g est u n i v o q u e ; p o u r t o u t x e P il n ' e x i s t e q u ' u n z c R tel que z 6 g(x}.

N o u s p o u v o n s m o n t r e r que, duns ce cas, les conditions (2.11) et (2.12) s e r o n t d q u i v a l e n t e s , tel que (2.12) est la c o n d i t i o n nScessaire et s u f f i s a n t e p o u r l ' e x i s t e n c e d ' u n e c o r r e s p o n d a n e e admissible. E n effet, si (2.12) est satisfaite, on a u r a p o u r t o u t x c P e t t o u t y ~ f { x } : x ~ f - l { y } , d o n c 0 c H g { x , } ~ g{x}. Or, t o u t e n s e m b l e g{x*} ou g{x} ne c o n t e n a n t q u ' u n seul dldment, il s ' e n s u i t que g{x*} = g{x} p o u r t o u t x* ~f-~{y}. De ]• rdsulte que H g { x * } - - g{x} p o u r to nt y c f { x } et, p a r cons6-

x*~_f-l{y}

q u e n t , , . ~ J i g ( x * } =-g{x}, (2.11) 6 r a n t ainsi satisfaite.

y@f{x} x*Gf-l{y}

L a c o n d i t i o n (2.12) p e u t aussi ~tre e x p r i m 4 e sous la m ~ m e f o r m e que duns le eas o11 f e s t u n i v o q u e : P o u r t o u t y e Q et p o u r x' e f - l { y } et x " e f - ~ { y } on dolt a v o i r g{x'} = g{x"}.

S u p p o s o n s m a i n t e n a n t q u ' i l e x i s t e u n e c o r r e s p o n d a n c e a d m i s s i b l e h. De (2.1) on conclut que hfg -~ = gg-~ - e, oil e est la c o r r e s p o n d a n c e i d e n t i q u e e n t r e R et R, en a p p l i q u a n t (1.12). A l ' a i d e de (1.13) n o u s v e r r o n s done, que h doit ~tre u n e cor- r e s p o n d a n c e u n i v o q u e , et que fg-1 __ h-1 ou h = gf-1. On n o t e r a que la c o r r e s p o n - d a n c e h est d d t e r m i n 6 e d ' u n e m a n i 6 r e u n i q u e p a r f et g.

Q u a n t a u x c l a s s e s consid6r6es duns la s e c t i o n 4, n o u s v e r r o n s que les classes K coi'ncident a v e c l a classe C, e e t t e classe 6 t a n t d 6 t e r m i n @ p a r g-1 et g 6 t a n t uni- v o q u e , tel que C se r6duit s u n e n s e m b l e c o n t e n a n t u n 616ment s e u l e m e n t . I1 s ' e n s u i t que B - ~ h - l C s e r a u n e elasse, d 6 t e r m i n 6 e p a r h, et que les classes H coincident a v e c B.

6. N o u s a v o n s v u duns la section p r @ ~ d e n t e , oh l ' u n e ou l ' a u t r e des c o r r e s p o n - d a n c e s f et g s e r a i t suppos6e u n i v o q u e , que l ' e x i s t e n e e d ' u n e e o r r e s p o n d u n c e a d m i s - sible h i m p l i q u a i t que h Stair d 6 t e r m i n d e d ' u n e f a e o n u n i q u e , e t q u e h ---- gf-1. I1 s e r a i t d o n c n a t u r e l de se poser la question, si, duns le cas g@~ral, lu r e l a t i o n h --~ gf-~

soit u n e condition n~cessaire ou s u f f i s a n t e p o u r l'unicitd d e h, l ' e x i s t e n c e d ' u n e cor- r e s p o n d a n c e a d m i s s i b l e Stunt s u p p o s @ . L a r~ponse ~r e e t t e q u e s t i o n est, c e p e n d a n t , n 4 g a t i v e : ni F u n ni l ' a u t r e sera le cas, ce q u ' o n p e u t p r o u v e r s l ' a i d e de d e u x e x e m p l e s simples.

Soient, d ' a b o r d :

P = {x~}, Q =: {y~, y~}, R = {z~, z2}

et

D ' u n problbme de 1~ thdorie des correspondances multlvoques ~bstrMtes.

f = {(Xl, ya), (x~, yz)}, g = { ( x . ~1), ( x .

~)}.

317

Au m o y e n des conditions (2.12) et (2.13) nous verifions l'existence d'une cor- respondance admissible, et nous verrons de plus s l'aide de (2.14) et (2.23), que

= gf-~ = {(Yl, z~), (y~, z~), (y~, z~), (y~, z~)}.

Or, l'unicit6 de h n ' a u r a pas lieu.

admissibles:

hx = {(y, zx), (Y2, z~)}, h2 = {(Y~, z2), (Y2, z,)},

ha --- {(Yl, Zl), (Y~, z2), (Y2, z2)},

h4 ⁼ { ( Y l ' Z1)' (Y~, Zl), (Y2' Z2)} ,

h5 ~-- {(y~, z~), (y~, z2), (Y2, Zl)}, h~ = {(y~, z~), (Y2, zx), (Y2, z2)},

E n effet, it existe outre h les six correspondances

c o m m e on le verra ~ l'aide de (2.18). P a r suite, la relation h --~ gf-1 ne p e u t 6tre une condition suffisante p o u r l'unicit6 de h.

Consid6rons, ensuite, l'exemple oh

et

et

P : {x,, x 2, x3}, Q = {yl, Y2}, R ^{- -} {Z1, Z2, Z3}

On aura :

f ~ {(xa, y~),

(x2, Y2), (x3, y~), (x3,

y~)},

g = {(Xl, z1), (xD

z2),

(x2, z3), (x3, z1), (x3, z2), (x3, z3)},

= {(Yl, Zl), (Yl, z2), (Y2, z3)}

gf-a = {(Yl, zl), (Yl, z2), (Y~, z3), (y~, zl), (Y2, z2), (Y2, z3)}, donc h c gf-1.

A l'aide de (3.1) nous verrons que h e s t la seule correspondance admissible;

par cons6quent, h = gf-~ ne p e u t 6tre une condition n6cessaire pour l'unicit6 de h.

I1 est, d'ailleurs, ais6 d%tablir une condition n6cessaire et suffisante p o u r que -h = gf-~. S u p p o s a n t que cette 6galit6 subsiste, on aura, en v e r t u de (2.14) et (2.23), p o u r t o u t y ~ Q, ta relation 6quivalente:

Z ' g{x'} =

Ilg{x"}. (6.1)

x'Gf-l{y} x"~f-l{y}

Soient x' ~ f - l { y } et z ~ g{x'}; o11 a u r a d o n e en v e r t u de (6.1):

z ~ 1 1 g{x"} et

x"~f--l{y}

p a r suite

z ~ g{x"}

p o u r t o u t

x" cf-l{y}.

I1 r6sulte d e lh, que

g{x'} ~ g{x"}

p o u r des 616ments q u e l c o n q u e s x' et x " de

f-l{y},

d ' o h il suit, q u e

g{x'} = g{x"}

p o u r ces 616ments. D ' a u t r e p a r t , si c e t t e condition est remplie, la validit6 de (6.1) est immd- diate. De l~ % s u l t e le th6or~me:

(6.2). P o u r que l'dgalit6 h = gf-1 subsiste, it f a u t et il suffit que, p o u r t o u t y c Q et p o u r

x' af-l{y} et z" ef-'{y}, on

air

g{x'} = g{x"}.

N o t o n s , encore, que, si f et g r e m p l i s s e n t ta c o n d i t i o n (6.2)i la condition (2/11) p o u r l'existence d ' u n e c o r r e s p o n d a n e e admissible sera satisfaite. E n effet, s i y ~ Q et x' ef--l{y}, nous a v o n s p o u r t o u t x* ~ f - ' { y } : 9{x*} =

g{x'},

d o n e / ~ g { x * } =

x*~f-l{y}

g{x'}

~ 0, (2.12) 6 t a n t ainsi remplie; de plus, p o u r t o u t x e P e t p o u r t o u t y of{x}, on a u r a

x ~f-~{y}

et p a r suite g{x*} =

g{x}

pout" t o u t x* e f - l { y } ; il s'ensuit que / [ g { x * } =

g{x}

et, p a r consdquent, que ~ R g { x * } = g{x}, d ' o h il rdsulte que

x*@f-l{y} y~f(x} x*~f l{y}

(2.13) sera remplie elle aussi.