Préparation de la rentrée rentrée 2018/2019

ECE 1 MATHEMATIQUES

Préparation de la rentrée rentrée 2018/2019

Les exercices ci-dessous ont pour objectif de retravailler les règles de calcul usuelles vues au cours de la scolarité au lycée.

Ces règles sont détaillées dans le formulaire joint, et sont à savoir utiliser dès l'entrée en CPGE.

Une interrogation portant sur ces règles et les calculs associés sera proposée dès la rentrée.

Je tiens par ailleurs à préciser qu'un devoir maison est un travail avant tout personnel. Ce n'est donc pas la peine de le recopier ou de le rédiger en groupe. (Autant ne rien rendre !)

- - - > page web pour les maths : http ://ece.couperin.free.fr/

Vous pourrez y trouver divers documents, notamment quelques liens vers des livres de cours et/ou exercices. Je n'impose pas l'achat d'un livre en particulier, mais certains peuvent toutefois s'avérer des compléments utiles.

Exercice I.

Calculer, et simplier au maximum : A=−1 + 1

4×1 3−1

2

B= 3

−4×

−8 3−5

2

C= 3√ 2−4²

− 1 +√ 2²

D= 2⁻³×(3³×5⁻²)²× 3⁻⁴×5 5⁵×2⁻¹ ×3²

E=e^−ln(4)−ln(e⁻³)

F = 3 ln(12)−2 ln(18)−5 ln 9

8

G= 2√

3 1

1−¹⁺

√ 3 2

− 1 1−¹⁻

√ 3 2

!

H = (2x³−x+ 4)(−2x+ 1)−3x³−2x²(−x+ 3)

Exercice II.

Dériverf, et simplier si nécessaire, lorsque : 1. f(x) =3

2x⁵−1

5x³+ 7x−4 3 2. f(x) = 2e^−3x

3. f(x) = 2 x− 1

x⁶ −√ x 4. f(x) = (x²−1)e^2x+1

Exercice III.

1. Déterminer une primitiveF def, lorsque : a. f(x) = 7x⁴−4x³+x−2

b. f(x) =ln(x) x 2. Calculer les intégrales :

a. I= Z 3

−2

3x²−x−1 dx b. I=

Z 1

0

5e^−2xdx

Exercice IV.

Résoudre les équations et inéquations suivantes : 1. (E1) : 3x²−2x−1

5 = 0 2. (E₂) : ln(−2x+ 3) =−4 3. (I3) : −5x−3≥9 4. (I₄) : 2^2x−1<4

1/3

I. Règles de calcul usuelles

fractions.

Soit (a;b;c;d)∈R⁴ des réels non nuls. On a :

1. a

c +b

c = a+b c

2. a

c −b

c = a−b c

3. a

b +c

d = ad+bc bd

4. a

b ×c

d = a×c b×d

5.

a bc d

= a b ×d

c =a×d b×c

puissances entières.

Soit (a;b)∈R² des réels non nuls et (m;n)∈Z². On a : 1. a^m.aⁿ =a^m+n

2. a^m

aⁿ =a^m−n, sia6= 0

3. 1

aⁿ =a⁻ⁿ, sia6= 0 4. (a^m)ⁿ=a^mn

5. (ab)^m=a^mb^m

6. a

b ^m

= a^m

b^m, sib6= 0 puissances d'exposant réel.

Soit (a;b)∈(R^∗+)² et (x;y)∈R². On a : 1. a^x.a^y=a^x+y

2. a^x

a^y =a^x−y

3. 1

a^y =a^−y 4. (a^x)^y=a^xy

5. (ab)^x=a^xb^x

6. a

b x

= a^x b^x racine carrée.

Soit (a;b)∈(R+)². On a :

1. √

ab=√ a√

b 2.

ra b =

√a

√

b, sib6= 0 3.

r1 b = 1

√b, sib6= 0

4. (√

x)²=x (uniquement six≥0)

5. √

x²=

x , six≥0

−x , six <0

6. √

x²b= x√

b , six≥0

−x√

b , six <0 logarithme népérien.

Soit (a;b)∈(R^∗+)². On a : 1. ln(ab) = ln(a) + ln(b) 2. lna

b

= ln(a)−ln(b)

3. ln 1

b

=−ln(b)

4. ln(a^b) =bln(a)

5. ln(a) = ln(b) ⇐⇒ a=b 6. ln(a)<ln(b) ⇐⇒ a < b

exponentielle.

Soit (a;b)∈R². On a : 1. e^a.e^b =e^a+b 2. e^a

e^b =e^a−b

3. 1

e^b =e^−b 4. (e^a)^b=e^ab

5. e^a =e^b ⇐⇒ a=b 6. e^a < e^b ⇐⇒ a < b

valeurs particulières.

Soit a∈R. On a : 1. a⁰= 1 2. a¹=a

3. √

0 = 0

4. ln(1) = 0 5. ln(e) = 1 6. e⁰= 1

7. ln(e^x) =x, six∈R 8. e^ln(y)=y, siy >0

identités remarquables.

Soit (a;b)∈R². On a : 1. (a+b)²=a²+ 2ab+b² 2. (a−b)²=a²−2ab+b² 3. (a−b)(a+b) =a²−b²

2

II. Tableau des dérivées

Df f(x) = f⁰(x) = Df⁰

R 1 0 R

R a, a∈R 0 R

R x 1 R

R x² 2x R

R xⁿ, n∈N nxⁿ⁻¹ R R^∗

1 x

−1

x² R^∗

R^∗ 1

xⁿ, n∈N −n

xⁿ⁺¹ R^∗ R+

√x 1

2√

x R^∗+

R^∗+ ln(x) 1

x R^∗+

R e^x e^x R

opération f = f⁰ =

somme u+v u⁰+v⁰

produit par un réel k.u k.u⁰

produit u.v u⁰.v+u.v⁰

puissance uⁿ nuⁿ⁻¹.u⁰

quotient u

v

u⁰v−uv⁰ v²

inverse 1

v

−v⁰ v²

- 1

vⁿ

−n.v⁰ vⁿ⁺¹

racine carrée √

u u⁰

2√ u

logarithme ln(u) u⁰

u

exponentielle e^u u⁰.e^u

III. Tableau des primitives

f(x) = F(x) = Df

a ax+k, k∈R R

xⁿ, n∈N

xⁿ⁺¹

n+ 1+k R

1

xⁿ, n6= 1 − 1

(n−1)xⁿ⁻¹ +k R^∗ 1

2√ x

√x+k R^∗+

1

x ln(x) +k R^∗+

e^x e^x+k R

f = F = remarque

u⁰.uⁿ uⁿ⁺¹

n+ 1 +k -

u⁰

uⁿ − 1

(n−1)uⁿ⁻¹+k u6= 0 u⁰

2√ u

√u+k u >0

u⁰

u ln(u) +k u >0

u⁰.e^u e^u+k -

3