ECE 1 MATHEMATIQUES
Préparation de la rentrée rentrée 2018/2019
Les exercices ci-dessous ont pour objectif de retravailler les règles de calcul usuelles vues au cours de la scolarité au lycée.
Ces règles sont détaillées dans le formulaire joint, et sont à savoir utiliser dès l'entrée en CPGE.
Une interrogation portant sur ces règles et les calculs associés sera proposée dès la rentrée.
Je tiens par ailleurs à préciser qu'un devoir maison est un travail avant tout personnel. Ce n'est donc pas la peine de le recopier ou de le rédiger en groupe. (Autant ne rien rendre !)
- - - > page web pour les maths : http ://ece.couperin.free.fr/
Vous pourrez y trouver divers documents, notamment quelques liens vers des livres de cours et/ou exercices. Je n'impose pas l'achat d'un livre en particulier, mais certains peuvent toutefois s'avérer des compléments utiles.
Exercice I.
Calculer, et simplier au maximum : A=−1 + 1
4×1 3−1
2
B= 3
−4×
−8 3−5
2
C= 3√ 2−42
− 1 +√ 22
D= 2−3×(33×5−2)2× 3−4×5 55×2−1 ×32
E=e−ln(4)−ln(e−3)
F = 3 ln(12)−2 ln(18)−5 ln 9
8
G= 2√
3 1
1−1+
√ 3 2
− 1 1−1−
√ 3 2
!
H = (2x3−x+ 4)(−2x+ 1)−3x3−2x2(−x+ 3)
Exercice II.
Dériverf, et simplier si nécessaire, lorsque : 1. f(x) =3
2x5−1
5x3+ 7x−4 3 2. f(x) = 2e−3x
3. f(x) = 2 x− 1
x6 −√ x 4. f(x) = (x2−1)e2x+1
Exercice III.
1. Déterminer une primitiveF def, lorsque : a. f(x) = 7x4−4x3+x−2
b. f(x) =ln(x) x 2. Calculer les intégrales :
a. I= Z 3
−2
3x2−x−1 dx b. I=
Z 1
0
5e−2xdx
Exercice IV.
Résoudre les équations et inéquations suivantes : 1. (E1) : 3x2−2x−1
5 = 0 2. (E2) : ln(−2x+ 3) =−4 3. (I3) : −5x−3≥9 4. (I4) : 22x−1<4
1/3
I. Règles de calcul usuelles
fractions.
Soit (a;b;c;d)∈R4 des réels non nuls. On a :
1. a
c +b
c = a+b c
2. a
c −b
c = a−b c
3. a
b +c
d = ad+bc bd
4. a
b ×c
d = a×c b×d
5.
a bc d
= a b ×d
c =a×d b×c
puissances entières.
Soit (a;b)∈R2 des réels non nuls et (m;n)∈Z2. On a : 1. am.an =am+n
2. am
an =am−n, sia6= 0
3. 1
an =a−n, sia6= 0 4. (am)n=amn
5. (ab)m=ambm
6. a
b m
= am
bm, sib6= 0 puissances d'exposant réel.
Soit (a;b)∈(R∗+)2 et (x;y)∈R2. On a : 1. ax.ay=ax+y
2. ax
ay =ax−y
3. 1
ay =a−y 4. (ax)y=axy
5. (ab)x=axbx
6. a
b x
= ax bx racine carrée.
Soit (a;b)∈(R+)2. On a :
1. √
ab=√ a√
b 2.
ra b =
√a
√
b, sib6= 0 3.
r1 b = 1
√b, sib6= 0
4. (√
x)2=x (uniquement six≥0)
5. √
x2=
x , six≥0
−x , six <0
6. √
x2b= x√
b , six≥0
−x√
b , six <0 logarithme népérien.
Soit (a;b)∈(R∗+)2. On a : 1. ln(ab) = ln(a) + ln(b) 2. lna
b
= ln(a)−ln(b)
3. ln 1
b
=−ln(b)
4. ln(ab) =bln(a)
5. ln(a) = ln(b) ⇐⇒ a=b 6. ln(a)<ln(b) ⇐⇒ a < b
exponentielle.
Soit (a;b)∈R2. On a : 1. ea.eb =ea+b 2. ea
eb =ea−b
3. 1
eb =e−b 4. (ea)b=eab
5. ea =eb ⇐⇒ a=b 6. ea < eb ⇐⇒ a < b
valeurs particulières.
Soit a∈R. On a : 1. a0= 1 2. a1=a
3. √
0 = 0
4. ln(1) = 0 5. ln(e) = 1 6. e0= 1
7. ln(ex) =x, six∈R 8. eln(y)=y, siy >0
identités remarquables.
Soit (a;b)∈R2. On a : 1. (a+b)2=a2+ 2ab+b2 2. (a−b)2=a2−2ab+b2 3. (a−b)(a+b) =a2−b2
2
II. Tableau des dérivées
Df f(x) = f0(x) = Df0
R 1 0 R
R a, a∈R 0 R
R x 1 R
R x2 2x R
R xn, n∈N nxn−1 R R∗
1 x
−1
x2 R∗
R∗ 1
xn, n∈N −n
xn+1 R∗ R+
√x 1
2√
x R∗+
R∗+ ln(x) 1
x R∗+
R ex ex R
opération f = f0 =
somme u+v u0+v0
produit par un réel k.u k.u0
produit u.v u0.v+u.v0
puissance un nun−1.u0
quotient u
v
u0v−uv0 v2
inverse 1
v
−v0 v2
- 1
vn
−n.v0 vn+1
racine carrée √
u u0
2√ u
logarithme ln(u) u0
u
exponentielle eu u0.eu
III. Tableau des primitives
f(x) = F(x) = Df
a ax+k, k∈R R
xn, n∈N
xn+1
n+ 1+k R
1
xn, n6= 1 − 1
(n−1)xn−1 +k R∗ 1
2√ x
√x+k R∗+
1
x ln(x) +k R∗+
ex ex+k R
f = F = remarque
u0.un un+1
n+ 1 +k -
u0
un − 1
(n−1)un−1+k u6= 0 u0
2√ u
√u+k u >0
u0
u ln(u) +k u >0
u0.eu eu+k -
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