Révisions de Rentrée

FICHE DE PREPARATION A LA RENTREE

D. PINEL, Site Mathemitec : http://mathemitec.free.fr/index.php 1

Cette fiche de révisions propose quelques exercices corrigés classiques abordant des points fondamentaux des programmes du collège et de seconde.

Les élèves arrivent souvent en classe de seconde et ayant de grosses lacunes en calcul : travaux sur les fractions, les équations, factorisation…aussi ces exercices corrigés vous permettront de cibler vos difficultés et de tenter de les résoudre pour la rentrée…

Pour compléter ces exercices, les QCM de la page http://mathemitec.free.fr/animations/index/php s’avèreront très utiles.

I – Calculer puis Simplifier les Fractions : 1 2 1

A= − +3 4 ^{4 3}

B= −3 4 7 2 1

C= − +6 3 ³ 2 4

D= +n 1 1

E 1

= −n n + 1 1

43 3 F

−

= ₂3

n n

G n

= −

1 1 1 1 I n

n +

=

−

II - Développer et Simplifier : Formules

( )

( )

a b c ab ac a b c ab ac

+ = +

− = −

3 2 1 5

A= −3 − ^B=1₂

(

^{x+ −2}

)

^{4 C=1}₃

(

^{3x− +2}

)

₂^{x D=3x+ −2 2}

(

^x+1

)

( ) ( )

2 1 3 2 4

3 2

E= x− − − x ^F=2₃

(

^{2− −x}

) (

¹₂ ^y−2

)

III - Identités Remarquables : Formules

( )

( )

2 2 2

2 2 2

2 2

a b a ab b

a b a ab b

+ = + +

− = − +

Développer puis simplifier :

(

¹

) (

^{2 2}

)

A= x+ − −x

1 2 1

B= x−3 + ^C=

( )

^{2x 2− y−2}₃ ² IV - Résoudre les équations :

Méthode : isoler le x d’un coté et les constantes de l’autre

(1) 3x+ =1 0 (2) ³

(

^{x+ =1}

)

^{0 (3) 2}

(

^{x− + =1 4 5}

)

^{(4) x− =5 4x+2} (5) ¹₂

(

^{x+ + =2}

)

^{3 x (6)}

(

^x−1

) (

^{2− +x 3}

)

^{2=2 (7) 2x= −x (8) 2}

(

^{x− =5}

)

^2x+2

V - Factoriser puis résoudre les équations :

(1) x²+3x=0 (2)

(

^x−2

)

^{2−4x2 =0 (3) 2}

(

^{x− +1 3}

) (

^x−1

)

^{2 =0 (4) 4}_x^=x

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Correction du I

Pour additionner ou soustraire des fractions, il faut les mettre au même dénominateur : notons qu’au pire, le produit des dénominateurs est toujours un dénominateur commun.

2 1 3 2 1 1 1 4 3 7 1 3 4 3 3 4 3 4 12 12 12

A= − + = − + = + = + = ^{4 3 16 9 7} 3 4 12 12 12 B= − = − =

7 2 1 7 4 6 9 3 6 3 6 6 6 6 2

C= − + = − + = = ^{3 2 3 2 3}

2 4 4 4 4

n n n

D= + = + = +

( ) ( ) ( )

1 1 1 1

1 1 1 1

n n

E n n n n n n n n

= − = + − =

+ + + +

Rappelons que diviser par une fraction ^a

b, c’est multiplier par son inverse ^b a. Rappelons que diviser par un nombre a, c’est multiplier par son inverse ¹

a. 1 2

1 3 3 2

4 4 3

3 3

F −

= = = ×3 2 1

4 = =4 2 _{2 2 2 2}

2

2 1 2 2

3 3

3 3

n n

n n n n

G n n n n

= − = = × = = 3n n×

2

=3n

1 1

1 1

1 1

1 n n n n

I n n

n n

+ + +

= = =

− −

× n 1

1 1

n

n n

= +

− −

Correction du II

Rappelons que les calculs entre parenthèses sont des calculs prioritaires.

1 6 1

3 2 5 3 5 3

3 3 3

A= − − = − − = 5

3 − = − =5 5 5 0 ^B=1₂

(

^{x+ − =2}

)

^{4 1}₂^{x+ × − =1}₂ ^{2 4 1}₂^{x+ − =2}₂ ^{4 1}₂^{x+ − =1 4 1}₂^x−3

( )

1 3 2 1 3 1 2 3

3 2 3 3 2

x x

C= x− + = × − × + =x 3

x 2 2 2 2 3 2

2 3 2 3 2 2 3 2 3

x x x x x x

+ − = + − = + − = −

Notons que le « - » devant la parenthèse se distribue à tous les membres de la paranthèse.

( )

3 2 2 1 3 2 2 2 3 2 2 2 D= x+ − x+ = x+ − x− = x− x+ − =x

( ) ( )

2 1 3 2 4 2 2 3

3 2 3 3 2

E= x− − − x = x− − ×2 3 4 2 2 3 6 2 9 2 18 11 20

2 3 3 3 3 3 3 3

x x x x

x x − +

+ × = − − + = − − + + =

( ) ( )

2 2 1 2 4 2 1 ... 7 2

3 2 3 3 2 3 3 2

y y

x x

F= − −x y− = − − + = = − −

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Correction du III

(

¹

) (

^{2 2}

)

^{2 2 1 2 2 3}

A= +x − − =x x + x+ − + =x x + +x

On rappelle que ^{a 2 a2}₂

b =b : ^{1 2} 1 ^{2 2 1} 1 ^{2 2 10}

3 3 9 3 9

x x

B= x− + =x − + + =x − +

On rappelle que

(

^{a b×}

)

^{n =an×bn : C=}

( )

^{2x 2− y−2}₃ ^{2 =4x2− y2−4}₃^y+4₉ ^=4x2−y2+4₃^y−4₉

Correction du IV

Pour résoudre une équation à une inconnue x, il faut isoler x d’un coté de l’égalité.

(1) 3 1 0 3 1 ¹

x+ = ⇔ x= − ⇔ = −x 3 (2) ³

(

^x+ = ⇔ + = ⇔ = −¹

)

^{0 x 1 0 x 1} (3) ²

(

^{x− + = ⇔1}

)

^{4 5 2}

(

^x− = ⇔ − = ⇔ = + =¹

)

^{1 x 1 1}₂ ^{x 1 1}_{2 2}³

(4) 5 4 2 5 2 4 7 3 ⁷

x− = x+ ⇔ − − = x x− ⇔ − = x⇔ − =3 x

(5) ¹₂

(

^{x+ + = ⇔2}

)

^{3 x 1}₂^x+ + = ⇔ = −^{1 3 x 4 x 1}₂^x⇔ =^{4 1}₂^x⇔ =^{8 x}

(6)

(

^x−1

) (

^{2− +x 3}

)

^{2 = ⇔2}

(

^{x2−2x+ −1}

) (

^{x2+6x+ = ⇔9}

)

^{2 x2−2x+ −1 x2−6x− = ⇔ − =9 2 8x 10⇔ = −x 10}₈ ^{= −5}₄

(7) 2x= − ⇔x 3x= ⇔ =0 x 0

(8) ²

(

^{x− =5}

)

^{2x+ ⇔2 2x− =10 2x+ ⇔ =2 0 12} : impossible, cette équation n’a aucune solution

Correction du V (1) ^{x2+3x= ⇔0 x x}

(

^{+ = ⇔3}

)

^{0 x}_x⁼_{= −}⁰₃

(2)

(

²

)

^{2 4 2 0}

(

²

) ( )

^{2 2 2 0}

(

^{2 2}

)(

^{2 2}

)

^{0 2 2}2 2 ⁰0 2² 3 x x x

x x x x x x x x

x x x

− − = = −

− − = ⇔ − − = ⇔ − − − + = ⇔ ⇔

− + = =

(3) ²

(

^{1 3}

) (

¹

)

^{2 0}

(

^{1 2 3}

) ( (

¹

) )

⁰

(

^{1 3}

)(

¹

)

^{0 1}1 3 x

x x x x x x

x

=

− + − = ⇔ − + − = ⇔ − − = ⇔

=

(4) 4 4 0 4 ² 0 4 ² 0

(

²

)(

²

)

0 ²

2

x x x

x x

x x

x x x x x x x

− + =

= ⇔ − = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ = ⇔

= −

Compléter vos révisions avec les QCM de la page

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