OPTIONÉCONOMIQUEMATHÉMATIQUES BANQUECOMMUNED’ÉPREUVES

BANQUE COMMUNE D’ÉPREUVES

CONCOURS D’ADMISSION Concepteur : ESSEC

OPTION ÉCONOMIQUE MATHÉMATIQUES

La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.

Les candidats sont invités àencadrerdans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.

Ils ne doivent faire usage d’aucun document : l’utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l’utilisation d’une règle graduée est autorisée.

Si au cours de l’épreuve un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il sera amené à prendre.

On s’intéresse dans ce problème à deux mesures du risque utilisées par les marchés financiers.

Pour cela, on considère des variables aléatoires (v.a.) sur un espace probabilisé(Ω,A,P), qui modélisent des pertes financières subies par des acteurs économiques sur une période donnée.

Toutes les v.a. définies dans ce problème sont des variables aléatoires sur cet espace probabilisé.

SoitDl’ensemble des variables aléatoires réelles à densitéXvérifiant :

• Xadmet une espérance notéeE(X).

• Il existe un intervalleIX (dont on admet l’unicité) sur lequel la fonction de répartition deX, notéeFX, réalise une bijection de classeC¹ strictement croissante deI_X sur]0,1[.

On noteG_X la bijection réciproque, définie de]0,1[surI_X. Les notationsF_X etG_X seront utilisées dans tout le sujet.

Dans tout le problèmeβest un réel appartenant à]0,1[et représentant un niveau de confiance.

Partie I- Définition et propriétés de la « Value at Risk »

1. SoitX∈ D. Montrer qu’il existe un unique réelvtel queP([X≤v]) =β, et que l’on av =G_X(β).

• On définit alorsr_β(X)appelé la « Value at Risk »au niveau de confianceβ deX, parr_β(X) = G_X(β).

C’est une grandeur qui permet d’évaluer le risque pris par l’acteur qui détient l’actif dont les pertes sont modélisées parX.

• On remarque quer_β(X)est égal au capital minimal qu’il faut détenir pour être en mesure de couvrir les pertes de l’actif associé àXavec une probabilité égale àβ

2. On suppose que, dans cette question,X est une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de para- mètreλ∈]0,+∞[.

a. Rappeler la valeur deFX(x)pour tout réelx.

b. En déduire queX∈ Det que l’on ar_β(X) =−1

λln(1−β).

3. On suppose dans cette question queXetY sont deux variables aléatoires indépendantes suivant la loi normale de paramètresmetσ²pourXet de paramètresµets²pourY.

On noteΦla fonction de répartition de la loi normale centrée réduite etϕla densité usuelle de cette loi.

a. i. Justifier queΦréalise une bijection deRsur]0,1[. On noteΦ⁻¹la bijection réciproque.

ii. Pour toutx∈R, exprimerF_X(x)en fonction deΦ,m,σetx.

iii. En déduire queX∈ Det quer_β(X) =m+σΦ⁻¹(β).

b. Quelle est la loi deX+Y?

En déduirerβ(X+Y)en fonction dem,µ,σ,setβ.

c. Pour quelsβ∈]0,1[a-t-onr_β(X+Y)≤r_β(X) +R_β(Y)?

4. SoitXune variable aléatoire appartenant àD,cun réel etλun réel strictement positif.

On poseY =X+cetZ =λX et on admet queY etZappartiennent àD. a. Montrer quer_β(Y) =r_β(X) +c.

b. Montrer querβ(Z) =λrβ(X).

5. SoitXetY deux variables aléatoires appartenant àDet telles que pour toutω∈Ω,X(ω)≤Y(ω).

a. Comparer, pour tout réelx,FX(x)etFY(x).

b. En déduire quer_β(X)≤r_β(Y).

Partie II- Estimation de la valeur derβ(X)

Dans la pratique la loi deX n’est pas totalement connue et on a besoin d’avoir une idée assez précise de la

« Value at Risk »ne connaissant qu’un certain nombre de valeurs de cette variable.

On modélise cette situation en supposant, dans cette partie, que la loi deXdépend d’un paramètreθinconnu appartenant à un sous ensembleΘdeRouR², quer_β(X) = g(θ)oùg est une fonction définie surΘet que pour toutθ∈Θ,X∈ D.

On utilise aussi les hypothèses et notations suivantes :

• (Xk)k≥1est une suite de variables aléatoires réelles appartenant àD, mutuellement indépendantes, de même loi queX.

• pour tout ω ∈ Ω et n ∈ N^∗, on ordonne X₁(ω), . . . , X_n(ω) dans l’ordre croissant et on note alors X1,n(ω), . . . , Xn,n(ω)les valeurs obtenues.

En particulier,X_1,n(ω)est la plus petite des valeursX₁(ω), . . . , X_n(ω)etX_n,n(ω)la plus grande.

• on admet que pour toutn∈N^∗etk∈[[1, n]], lesX_k,nsont des variables aléatoires.

• pour tout réelxet tout entier naturel non nuln, on définit la variable aléatoireNx,nainsi :

pour toutω∈Ω,N_x,n(ω)est le nombre d’indiceskcompris entre1etntels que l’on aitX_k(ω)≤x.

6. Montrer que pour toutx∈Ret toutn∈N^∗,N_x,nsuit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

En déduire l’espérance et la variance deNx,n.

7. Montrer que pour toutx∈Retε >0:

n→+∞lim P

Nx,n

n −FX(x)

≥ε

= 0.

8. Soitx∈Retn∈N^∗.

a. Montrer que pour toutk∈[[1, n]], il y a égalité entre les événements[X_k,n≤x]et[Nx,n ≥k].

b. En déduire que pour toutk∈[[1, n]]:

P([X_k,n≤x]) =

n

X

r=k

n r

(F_X(x))^r(1−F_X(x))^n−r

et queX_k,nest une variable aléatoire à densité.

9. Soit(Un)n∈N^∗une suite de variables aléatoires etcun réel. On suppose que pour toutε >0:

n→+∞lim P([|U_n−c| ≥ε]) = 0.

On considère(un)n≥1une suite convergente de réels et on pose`= lim

n→+∞un. a. Établir que : lim

n→+∞P([Un≥t]) =

( 0 sit > c 1 sit < c b. On suppose` > cet on poseε= `−c

2 .

En remarquant que`−ε=c+ε, montrer qu’à partir d’un certain rang,u_n≥c+ε.

En déduire que lim

n→+∞P([Un≥un]) = 0.

c. Montrer de même que si` < c, lim

n→+∞P([Un≥un]) = 1.

10. On définit pour toutn ∈ N^∗ tel quenβ ≥ 1, la variable aléatoireY_n sur(Ω,A, P)par Y_n = X_bnβc,n où bnβcdésigne la partie entière denβet on poseθ⁰ =rβ(X).

Soitε >0.

a. Montrer que : P([|Y_n−θ⁰| ≤ε]) =P([Yn≤θ⁰+ε])−P([Yn≤θ⁰−ε]).

b. En déduire que :

P([|Y_n−θ⁰| ≤ε]) =P

N_θ⁰_+ε,n

n ≥ bnβc n

−P

N_θ⁰−ε,n

n ≥ bnβc n

c. En déduire que lim

n→+∞P([|Y_n−θ⁰| ≤ε]) = 1.

Que peut-on en déduire concernant l’estimateurYnderβ(X)?

11. On suppose que l’on a défini un fonction d’en-tête tt function R=triCroissant(T) qui renvoie le tableau des valeurs se trouvant dansTrangées dans l’ordre croissant. Par exemple, siT=[0 -1 0 2 4 2 3]

alorsdisp(triCroissant(T))affiche : ans =

-1. 0. 0. 2. 2. 3. 4.

Écrire une fonction Scilab d’en-têtefunction r=VaR(X,beta) qui renvoie la valeur de l’estimation obtenue avec l’estimateurY_npourr_β(X)si le tableauXcontient la réalisation de l’échantillon(X₁, . . . , X_n) etbetala valeur deβ.

Partie III- L’« Expected Shortfall »(ES) On conserve les notations de la partie 1.

Pour qu’une mesure de risque soit acceptable, on souhaite qu’elle vérifie un certain nombre de propriétés.

On dit qu’une fonctionρdéfinie surDà valeurs réelles est unemesure de risque cohérentesurDsi elle vérifie les quatre propriétés :

(R1) ∀X∈ D,∀c∈R, ρ(X+c) =ρ(X) +c; (R₂) ∀X∈ D,∀λ∈R, ρ(λX) =λρ(X);

(R3) ∀(X, Y)∈ D², si pour toutω∈Ω,X(ω)≤Y(ω)alorsρ(X)≤ρ(Y); (R₄) ∀(X, Y)∈ D², telles queX+Y ∈ D, ρ(X+Y)≤ρ(X) +ρ(Y).

12. Montrer que l’espérance est une mesure de risque cohérente surD.

13. La « Value at Risk »rβest-elle une mesure de risque cohérente surDpour toute valeur deβ∈]0,1[? On détaillera si chacune des propriétés de(R₁)à(R₄)est satisfaite on non.

SoitX une variable aléatoire appartenant à D, admettant une densitéf_X. On définit l’

« Expected Shortfall »deXde niveau de confianceβpar

ESβ(X) = 1 1−β

Z +∞

r_β(X)

xfX(x)dx (1)

Le but de cette partie est de démontrer que, pour toutβ ∈]0,1[,ES_β est une mesure de risque cohérente surD, assez « proche »derβ.

14. SoitXune variable aléatoire appartenant àD

a. Montrer queES_β(X)est bien définie, et queES_β(X)≥r_β(X).

b. À l’aide du changement de variablet=F_X(t), établir :

ES_β(X) = 1 1−β

Z 1

β

G_X(t)dt (2)

On pourra utiliser (1) ou (2) au choix dans la suite pour définirES_β(X).

15. a. Montrer queES_βvérifie la propriété(R₁).

b. Montrer queES_βvérifie la propriété(R2).

16. On suppose dans cette question queXsuit la loi exponentielle de paramètreλ >0.

a. Montrer queES_β(X) =r_β(X) + 1 λ. b. En déduire queESβ(X) ∼

β→1rβ(X).

17. On suppose dans cette question queXsuit la loi normale centrée réduite.

a. MontrerESβ(X) = ϕ(r_β(X)) 1−Φ(r_β(X)).

b. Pour toutx >0, établir l’égalité :1−Φ(x) = ϕ(x) x −

Z +∞

x

ϕ(t) t² dt.

c. Montrer que, pour toutx >0:0≤ Z +∞

x

ϕ(t)

t² dt≤ 1

x²(1−Φ(x)).

En déduire que :1−Φ(x) ∼

+∞

ϕ(x) x .

d. En conclure que l’on a aussi dans ce cas :ES_β(X) ∼

β→1r_β(X).

Dans les questions qui suivent,Xest une variable aléatoire appartenant àD.

• On notehla fonction définie par,∀x∈R,h(x) = max(x,0).

• On admet que si U et V sont deux variables aléatoires telles que,0 ≤ U ≤ V et E(V)existe alorsE(U)existe et0≤E(U)≤E(V).

• On note pour tout événementA,1_Ala variable aléatoire indicatrice de l’événement A. Rappelons qu’il s’agit de la variable aléatoire prenant la valeur1siAest réalisé, et la valeur0sinon.

18. a. Montrer queh(X−rβ(X))admet une espérance, et que l’on a :

E(h(X−rβ(X))) = Z +∞

rβ(X)

tfx(t)dt−(1−β)rβ(X).

oùfX désigne une densité deX.

b. En déduire :

ES_β(X) =r_β(X) + 1

1−βE(h(X−r_β(X))).

19. En utilisant la méthode de Monte-Carlo, dont on supposera la validité, et la fonctionVaRdéfinie dans la question 11, écrire une fonction Scilab qui calcule une valeur approchée de ES_β(X) à partir de la réalisation d’un échantillon de taillende la loi deXdont les valeurs se trouvent dans le tableau ScilabX et de la valeur deβse trouvant dans la variable Scilabteta.

20. SoitZune variable aléatoire telle que : E(Z) = 1et0≤Z ≤ 1 1−β.

a. Justifier l’égalité entre variables aléatoires :h(X−r_β(X)) = (X−r_β(X))×1_[X>rβ(X)]. b. Montrer queE(XZ)existe et établir l’égalité :

ES_β(X)−E(XZ) = 1 1−βE

h

(X−r_β(X))(1_[X>rβ(X)]−(1−β)Z) i

c. En déduire queES_β(X)−E(XZ)≥0.

Comment choisirZpour queESβ(X) =E(XZ)?

21. On noteKl’ensemble des variables aléatoiresZsur(Ω,A, P)telles queE(Z) = 1et 0≤Z ≤ 1

1−β.

Justifier l’égalité : ES_β(X) = max

Z∈KE(XZ).

22. Démontrer que, pour toutβ ∈]0,1[, la fonctionESβ est une mesure de risque cohérente surD.