Chapitre 4 : Espace des distributions tempérées

Analyse

Chapitre 4 : Espace des distributions tempérées

Lucie Le Briquer 13 novembre 2018

Table des matières

1 Rappels 2

2 Espace des distributions tempérées 4

3 Opérations sur S⁰ 5

3.1 Multiplication par une fonction à croissance lente . . . 5

3.2 Dérivation . . . 5

3.3 Convergence des suites . . . 6

3.4 Fourier. . . 6

3.5 Opérations et rotations . . . 7

4 Équation de Schrödinger 8 4.1 Espaces de Sobolev . . . 8

1 Rappels

S(Rⁿ) ={u∈ C^∞(Rⁿ) :∀α, β,lim_|x|→+∞|x^α∂_x^βu(x)|= 0}

Exemple.u(x) =e^−|x|2

Pk,l(u) = X

|α|=k,|β|=l

sup

Rⁿ

|x^α∂_x^βu(x)|

S est un espace de Fréchet. Pouru∈ S, Fu(ξ) = ˆu(ξ) =

Z

Rⁿ

e^−ix·ξu(x)dx F:S −→ S est continue.

Posons :

F⁻¹ϕ(x) = (2π)⁻ⁿ Z

e^ix·ξϕ(ξ)dξdξ AlorsF⁻¹◦ F=F ◦ F⁻¹=id_S.

Proposition 1

Exercice. λ >0u(x) =e^−λ|x|2 ∈ S alors : ˆ

u(ξ) =π λ

^n/2

e^{−|ξ|2/(4λ)}

Correction.

u(ξ) =∈ˆ e^−ix·ξe^−λ|x|2dx=

n

Y

j=1

Z

R

e^−ixjξje^−λx2jdx_j

x∈R

F(ξ) = Z

e^−ixξe^−λx2dx

=−i Z

e^−ixξxe^−λx2dx

= i 2λ

Z

R

e^−ixξ d

dxe^−λx2dx F⁰(ξ) =− i

2λ Z d

dxe^−ixξ

e^−λx2dx=− 1 2λξF(ξ) Or,

F(0) = Z

e^−λx2dx =

y=√ λx

√1 λ

Z

e^−y2dy=

√π

√ λ Alors,

F(ξ) =

√π

√λe^−ξ2/(4λ)

n

Y

j=1

Fj=π λ

^n/2

e^{−|ξ|2/(4λ)}

Ainsi,

ˆ

u(ξ) =π λ

n/2

e^{−|ξ|2/(4λ)}

Preuve.(de la proposition) Soitϕ∈ S.

F⁻¹Fϕ= (2π)⁻ⁿ Z

e^ixξϕ(ξ)dξˆ

= (2π)⁻ⁿlim

ξ→0

Z

e^lnξe^−ε|ξ|2ϕ(ξ)ˆ

| {z }

|.|=e^−ε|ξ|2|ˆϕ(ξ)|6|ϕ(ξ)|ˆ

dξ

= (2π)⁻ⁿlim

ε→0Iε

Iε(x) = Z

e^ixξe^−ε|ξ|2 Z

e^−iyξϕ(y)dy

dξ

(y, ξ)7→e^ixξe^−ε|ξ|2e^−iyξϕ(y)∈L²(Rⁿ×Rⁿ)→Fubini Iε(x) =

Z

Rⁿy

ϕ(y)e^{−i(y−x)·ξ}e^−ε|ξ|2dξdy

= √

√π ε

ⁿZ

e−f rac|y−x|²4εϕ(y)dy

=

y−x=√ 4εz

(√ π)ⁿ2ⁿ

Z

e^−|z|2ϕ(x+√ 4εz)dz

limIε= 2ⁿ(√ π)ⁿ

Z

e^−|z|2dz

| {z }

(√ π)ⁿ

ϕ(x)

DoncF⁻¹(Fϕ)(x) = (2π)⁻ⁿ(2π)ⁿϕ(x) =ϕ(x).

2 Espace des distributions tempérées

On noteS⁰(Rⁿ)l’espace des formes linéaires continues deS(Rⁿ)dansC. On l’appelle l’espace des “ditributions tempérées”.T ∈ S⁰ signifie que :

T:S −→Clinéaire et∃k, l∈N, C >0 : hT, ϕi6C X

|α|=k,|β|=l

sup|x^α∂_x^βϕ(x)| ∀ϕ∈ S Définition 1

Exemples.

1. δx₀ distribution de Dirac enx0∈Rⁿ

hδ_x0, ϕi=ϕ(x₀) |hδ_x0, ϕi|6sup |ϕ|

Doncδ_x0∈ S⁰.

2. f ∈ L^p(Rⁿ),16p6+∞.f 7→Tf fonction d’évaluation.

hTf, ϕi= Z

f(x)ϕ(x)dx

|hTf, ϕi|6 Z

|f(x)||ϕ(x)|dx6 Z

|f|^p

1/pZ

|ϕ|^p0 1/p⁰

(a) Sip= 1,6 R

|f| sup|ϕ|

(b) sip >1,p⁰<+∞, Hölder donne :

|hTf, ϕi|6kfk_Lp

Z

(1 +|x|)

...

L^p −→ S⁰

f 7−→ T_f surjective L^p ⊂ S⁰ à travers cette surjection.

Tf ≡0⇒f = 0

hTf, ϕi= 0∀ϕ∈ S ⇒ f = 0p.p.

Soitρ∈ C₀^∞, ρ>0, R

ρ(x)dx= 1 posons :

ρε(x) =ε⁻ⁿρ(x/ε)

Pour yfixé,x7→ρ(x+y)∈ S.

hTf, ρε(−x+y)i= 0, ∀y∈Rⁿ Or,

Z

f(x)ρε(−x+y)dx= (f∗ρε)(y)−−−→

ε→0 f(y)p.p Doncf = 0p.p.

3 Opérations sur S

3.1 Multiplication par une fonction à croissance lente

f ∈ C^∞ ∂_x^αf(x)6C(1 +|x|)^m Sif est à croissance lente,T ∈ S⁰,f T ∈ S⁰

hf·T, ϕi=hT, f·ϕi ∀ϕ∈ S

|hf T, ϕi|=|hT, f ϕi|6C X

|α|6k,|β|6l

sup

Rⁿ

|x^α∂_x^β(f·ϕ)|

On a :

∂^β(f ϕ) = X

β₁+β₂=β

β β1

∂_x^β1f ∂^β2ϕ

Donc en particulier,

|x^α∂_x^β(f ϕ)|6 X

β₁+β₂=β

β β₁

|∂_x^β1f||x|^α|∂^β_x²ϕ6C_β1(1 +|x|)^mβ2

Conséquence.f(x) =1∈ L^∞⊂ S⁰. SiP est un polynôme enxalorsP(x)·1∈ S⁰.

3.2 Dérivation

SoitT ∈ S⁰.

h∂T

∂xj

, ϕi=−hT, ∂ϕ

∂xj

i ∀ϕ∈ S

h∂T

∂x_j, ϕi

6C X

|α|6k,|β|6l

sup

x^α∂_x^β ∂ϕ

∂x_j Exemples.

1. f(x) =e^xe^iex= ¹_idx^d(e^iex

|{z}∈L^∞

)∈ S⁰

2. f(x) =e^x2 ∈ S/ ⁰. En effet, soitψ∈ C₀^∞,ψ>0telle que suppψ⊂[0,2]etψ= 1sur[1/2,1].

Posons :

ϕj(x) =ψ(x/j)e^−x Alors,

hTf, ϕ_ji= Z 2j

0

e^x2e^−xψ(x/j)dx>

Z j j/2

e^x2e^−xdx>e^j2/4−jj

2 −−−−→

j→+∞ +∞

Et on a bienϕj dansS⁰ car :

x^α∂_x^βϕj=x^α X

β₁+β₂=β

Cββ₁

1

j|β1| ∂_x^β1ψ x

j

e^−x

Ainsi,

sup|x^α∂_x^βϕj|6Cβ

X

β=β1+β2

sup

Rⁿ

|∂^β1ψ|sup

Rⁿ

|x^αe^−x|=Cα,β

3. Idem pourf(x) =e^|x|∈ S/ ⁰

Remarque.Pour f ∈ C¹, f⁰ au sens des distributions correspond au f⁰ usuel. Au sens des distributions :

hf⁰, ϕ⁰i=−hf, ϕ⁰i= Z

f(x)ϕ⁰(x)dx

3.3 Convergence des suites

Soit(Tj)une suite deS⁰ et T ∈ S⁰. On dit queTj−→T dansS⁰ si :

j→+∞lim hTj, ϕi=hT, ϕi ∀ϕ∈ S Définition 2

Soit(T_j)une suite deS⁰. Supposons que∀ϕ∈ S (hT_j, ϕi)converge dansC. Alors,∃T ∈ S⁰ tel queTj−−−−→

j→+∞ T dansS⁰ (convergence simple, topologie faible-∗).

Théorème 1

C’est une conséquence du théorème de Banach-Steinhaus dans les espaces “localement convexes”

3.4 Fourier

T ∈ S⁰ ⇒ FT ∈ S⁰ où :

hFT, ϕi=hT,Fϕi

|hFT, ϕi|=|hT,Fϕi|=C X

|α|6k,|β|6l

sup|x^α∂_x^βFϕ(x)|6C⁰ X

|α|6k⁰,|β|6l⁰

sup|ξ^α∂_ξ^βϕ|

1. F:S⁰−→ S⁰ est continue sur les suites 2. PosonshF⁻¹T, ϕi=hT,F⁻¹ϕialors :

F⁻¹◦ F=F ◦ F⁻¹=id_S⁰ 3. NotonsD_j =¹_i∂x^∂

j, alors :

F(DjT) =ξjFT ∀T ∈ S⁰

4. F(xjT) =−DjFT ∀T ∈ S⁰ Proposition 2

Preuve.

1. Tj→T dansS :

hFTj, ϕi=hTj,Fϕi −−−−→

j→+∞ hT,Fϕi=hFT, ϕi 2. hF⁻¹FT, ϕi=hFT,F⁻¹ϕi=hT,F F⁻¹ϕi=hT, ϕi

3.

hF(DjT), ϕi=hDjT,Fϕi=hT,−DjFϕi

=−1 i

∂

∂xj

Z

e^−ixξϕ(ξ)dξ= Z

e^−ixξξ_jϕ(ξ)dξ

=hT,F(ξjϕ)i=hFT, ξjϕi

=hξjFT, ϕi

Fourier et convolution

PourT ∈ S⁰ et ϕ∈ S on note :

T∗ϕ(x) =hT, ϕ(x−.)i Définition 3(convolution)

1. T∗ϕ∈ C^∞(Rⁿ)∩ S⁰ 2. F(T∗ϕ) =FT· Fϕ Théorème 2

C₀^∞(Rⁿ)et S(Rⁿ)sont denses dansS⁰(Rⁿ).

Corollaire 1

3.5 Opérations et rotations

PourA∈GLn(R)et T ∈ S⁰ on aT ◦A∈ S⁰ où : hT◦A, ϕi= 1

|detA|hT, ϕ◦A⁻¹i On dit queT est invariant par rotation siT◦A=T ∀A∈O(n).

SoitT ∈ S⁰,A∈GL_n(R). On a :

F(T ◦A) = 1

|detA|(FT)◦A^−1T Proposition 3

SiT est invariant par rotation alorsFT aussi i.e. :

F(T) =FT◦B ∀B∈O(n) Corollaire 2

4 Équation de Schrödinger

i∂tu+ ∆u= 0

4.1 Espaces de Sobolev

Soits∈R, on définit : H^s(Rⁿ) =n

u∈ S⁰(Rⁿ) : ˆumesurable et (1 +|ξ|²)^s/2uˆ∈ L^s(Rⁿ)o H^sest un Hilbert pour :

(u, v)_s= Z

(1 +|ξ|²)^su(ξ)ˆˆ v(ξ)dξ kuk_Hs= Z

(1 +|ξ|²)^s|ˆu(ξ)|²dξ ^1/2

etH^ss’injecte continûement dans H^s0 pours>s⁰. Sis=j∈N, notons :

H˜^k={u∈ L² : D^αu∈ L²(Rⁿ),|α|=k}

kukH˜^k=



 X

|α|6k

kD^αuk²_L2





1/2

alorsH^s= ˜H^k algébriquement et topologiquement.

Sis > ⁿ₂ +palorsH^s(Rⁿ)s’injecte continûement dans : C^p_→0(Rⁿ) =

u∈ C^p(Rⁿ) : lim

|x|→+∞|∂^αu(x)|= 0pour |α|6p Théorème 3

Preuve.

F:L¹−→ C_→0⁰ . Soitl6p.

|ξ|^l|ˆu(ξ)|= ξ^l (1 +|ξ|)^s/2

| {z }

6^(1+|ξ|)(1+|ξ|)^ps6_(1+|ξ|)¹s−p∈L²

(1 +|ξ|²)^s/2|ˆu(ξ)|

| {z }

∈L²

∈ L¹

D’où|ξ|^luˆ∈ L¹ pourl6p.

|D‘^αu|=|ξ^αu|ˆ 6c(1 +|ξ|)^p|ˆu| ∈ L¹

D‘^αu∈ L¹ ⇒ F⁻¹(D‘^αu) =D^αu

Soit s ∈ R, u0 ∈ H^s(Rⁿ) alors il existe une unique u ∈ C⁰(R, H^s(Rⁿ)) avec ∂tu ∈ C⁰(R, H^s−2(Rⁿ))telle que :

i∂_tu+ ∆u= 0 u|t=0=u₀ Théorème 4

Preuve.

1. Unicité.Soitu1et u2 vérifiant le système. Posonsu=u1−u2. i∂tu+ ∆u= 0

u|t=0= 0 u∈ C⁰(R, H^s),ut∈ C⁰(R, H^s−2)

d

dtku(t, .)k²_Hs−2 = d

dt(u(t, .), u(t, .))_H^s−2

= 2<(∂tu(t, .), u(t, .))H^s−2

= 2<(i∆u(t, .), u(t, .))_Hs−2

Or,

(i∆u(t, .), u(t, .))_Hs−2 =i Z

(1 +|ξ|²)^s−2× − |ξ|²u(t, ξ)ˆˆ u(t, ξ) dξ

=i Z

(1 +|ξ|²)^s−2× − |ξ|²|ˆu(t, ξ)|² dξ∈iR

D’où _dt^dku(t, .)k²_Hs−2 = 0et donc :

ku(t, .)k²_Hs−2 =ku(0, .)k²_Hs−2 = 0 2. Existence.Posons :

u(t, x) =F⁻¹(e^it|ξ|2

| {z }

∈S⁰

ˆ u₀)

(a) uest bien défini i.e.∀t∈R,u(t, .)∈ S⁰ (b)

ku(t, .)k²_Hs = Z

(1 +|ξ|²)^s|ˆu(t, ξ)|²dξ

= Z

(1 +|ξ|²)^s

e^it|ξ|2uˆ0(ξ)

2

dξ

=ku0k²_Hs

ku(t, .)−u(t⁰, .)k²_Hs = Z

(1 +|ξ|²)^s

e^it|ξ|2−e^it0|ξ|2

|ˆu₀(ξ)|²dξ (c) u(0, .) =u

(d) i∂_tu=−F⁻¹

|ξ|²e^it|ξ|2uˆ₀

= ∆u (e) ∂_tu∈ C⁰(R, H^s−2)