Slide Chapitre 1 espace probabilisé

Chapitre 1. Espace probabilis´ e

Sidi Mohamed MAOULOUD

February 23, 2017

Sidi Mohamed MAOULOUD Chapitre 1. Espace probabilis´e February 23, 2017 1 / 40

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Sidi Mohamed MAOULOUD Chapitre 1. Espace probabilis´e February 23, 2017 2 / 40

1 Exp´erience al´eatoire, ´Ev´enements

2 Probabilit´e

3 Tirage al´eatoire

4 Probabilit´e conditionnelle

5 Ind´ependance

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Exp´ erience al´ eatoire

Une exp´erience al´eatoire est exp´erience qui peut ˆetre r´ep´et´ee th´eoriquement aussi souvent que l’on veut,

On ne peut pr´edire avec certitude le r´esultat que l’on obtiendra.

On connaˆıt l’ensemble de tout les r´esultats possibles Cet ensemble est appel´e espace fondamentalouunivers

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Exemples

Le lancer d’un d´e `a six face : Ω ={1,2, ...,6}.

Le lancer d’une pi`ece de monnaie : Ω ={Pile, Face}.

On lance une pi`ece de monnaie jusqu’`a obtenir Face. Les r´esultats possibles de cette exp´erience sont les nombres de fois ou on a lanc´e la pi`ece : Ω =N^∗.

La dur´ee de vie d’un ˆetre vivant : Ω =R₊.

La trajectoire d’une feuille morte sur une surface d’eau plane D pendant un temps T : Ω =C([0,T],D)

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Ev´ ´ enements

Un ensemble de partiesA de Ω est appel´e tribu (ouσ-alg`ebre) sur Ω s’il v´erifie les axiomes suivants :

i) Ω∈ A.

ii) SiA∈ AalorsA^c∈ A(Stabilit´e par passage au compl´ementaire) iii) Si (An)n≥1 est une suite d’´el´ements deA,alors∪n≥1An∈ A(stabilit´e

par r´eunion d´enombrable).

Le couple (Ω,A) est appel´e espace probabilisable.

En g´en´eral on prendA comme ´etantP(Ω)

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Vocabulaire

Si Aest un ´ev´enement, pour chaque r´esultatω de l’exp´erience al´eatoire,

◮ ou bienω∈A: Dans ce cas on dit queAest r´ealis´e.

◮ ou bienω6∈A: on dit queAn’est pas r´ealis´e.

La non-r´ealisation de Aest appel´e la r´ealisation de l’´ev´enement contraire de A.

La r´ealisation simultan´ee de deux ´ev´enementsA etB (A etB) est l’´ev´enement A∩B.

La r´ealisation d’au moins un des deux ´ev´enementsA etB (A ouB) est l’´ev´enementA∪B.

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Vocabulaire

Si Aet B sont deux ´ev´enements tels queA⊂B, on dit que l’´ev´enement Aentraˆıne (ou implique) l’´ev´enementB.

Le singleton{ω} est appel´e ´ev´enement ´el´ementaire.

Ω est l’´ev´enement certain.

∅ est l’´ev´enement impossible.

Deux ´ev´enements A et B dont la r´ealisation simultan´ee est impossible (A∩B=∅) sont dits incompatibles. Dans ce casA etB sont dits mutuellement exclusifs.

des ´ev´enements dont l’union donne l’espace fondamental sot dits collectivement exhaustifs

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Probabilit´ e

Soit (Ω,A) un espace probabilisable. On appelle probabilit´e une application P: A −→[0,1] ayant les propri´et´es suivantes :

i) P(Ω) = 1

ii) Pour toute suite (An)n≥1 d’´ev´enements deux `a deux incompatibles,

P(∪n≥1An) =X

n≥1

P(An) (σ-addidivit´e).

Le triplet (Ω,A,P) est appel´e espace de probabilit´e, ou espace probabilis´e. Mod´eliser une exp´erience al´eatoire, c’est se d´eterminer le triplet (Ω,A,P).

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Exemple. Probabilit´ e uniforme.

Si Ω est fini la probabilit´e uniforme est d´efinie par P(A) = #A

#Ω = nombre de cas favorables nombre de cas possibles

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Sidi Mohamed MAOULOUD Chapitre 1. Espace probabilis´e February 23, 2017 18 / 40

Propri´ et´ es.

P(∅) = 0.

Pour tout ´ev´enement Aon aP(A)≤1.

Additivit´e de P: si A₁,A₂, ...,A_n sont n´ev´enements deux `a deux incompatibles, alors

P(A1∪A₂∪ · · · ∪A_n) =P(A1) +P(A2) +· · ·+P(An).

P(A^c) = 1−P(A).

P(A∪B) =P(A) +P(B)−P(A∩B).

P(A∪B∪C) =

P(A) +P(B) +P(C)−P(A∩B)−P(A∩C)−P(B∩C) +P(A∩B∩C).

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Mod` eles d’urnes. Tirage successif avec remise

On tire successivement avec remisek boules d’une urne contenant n boules num´erot´e de 1 `an. On pose E ={1,2,· · ·n}

Ω1 ={(x1,x₂, ...,x_k) :x_i ∈E,∀1≤i ≤k}=E^k.

On munit Ω₁ de la tribu des ´ev´enements, not´ee P(Ω1), qui est l’ensemble des parties de Ω₁.

Pour finir on munit cette tribu de la probabilit´e uniforme. Pour A∈ P(Ω1),

P(A) = #A

#Ω₁ et on a #Ω₁= #(E^k) = (#(E))^k =n^k

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Sidi Mohamed MAOULOUD Chapitre 1. Espace probabilis´e February 23, 2017 22 / 40

Mod` eles d’urnes. Tirage successif sans remise

On tire successivement sans remisek ≤n boules d’une urne contenantn boules num´erot´e de 1 `an.

Ω2 ={(x1,x₂, ...,x_k)∈E^k :x_i 6=x_j,∀i 6=j}.

On munit Ω2 de la tribu des ´ev´enements, not´ee P(Ω2), qui est l’ensemble des parties de Ω₂.

Pour finir on munit cette tribu de la probabilit´e uniforme. Pour A∈ P(Ω2),

P(A) = #A

#Ω₂ et on a #Ω₂= _(n−k)!^n! =A^k_n

Le termeAⁿ_n s’appelle le nombre des arrangements de k ´el´ements parmi n

Si n=k,Aⁿ_n =n! est le nombre de permutations den ´el´ements

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Mod` eles d’urnes. Tirage simultan´ e

On tire simultan´ementk ≤n boules d’une urne contenantn boules num´erot´e de 1 `a n.

Ω3 ={A⊂E|#A=k}.

On munit Ω3 de la tribu des ´ev´enements, not´ee P(Ω3), qui est l’ensemble des parties de Ω₃.

Pour finir on munit cette tribu de la probabilit´e uniforme. Pour A∈ P(Ω3),

P(A) = #A

#Ω₃ et on a #Ω₂= _(n−k)!k!^n! =C_n^k

Le termeC_Nⁿ s’appelle le nombre des combinaisons de k ´el´ements parmi n

Sidi Mohamed MAOULOUD Chapitre 1. Espace probabilis´e February 23, 2017 25 / 40

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Sidi Mohamed MAOULOUD Chapitre 1. Espace probabilis´e February 23, 2017 26 / 40

Probabilit´ e conditionnelle

Soient (Ω,A,P) une espace de probabilit´e etB un ´ev´enement tel que P(B)6= 0. On appelle probabilit´e conditionnelle deA sachantB, le r´eel

P(A|B) = P(A∩B) P(B)

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Formule des probabilit´ es compos´ ee

Soit B un ´ev´enement tel que P(B)6= 0 alors, pour tout A∈ A, on a P(A∩B) =P(B)P(A|B).

Plus g´en´eralement, soit A₁,· · · ,A_n tel queP(A₁∩ · · · ∩A_n−1)6= 0, alors

P(A1∩ · · · ∩A_n) =P(A1)P(A2|A1)· · ·P(An|A1∩ · · · ∩A_n−1).

S’utilise lorsqu’une exp´erience est effectu´ee en plusieurs ´etapes et que l’ensemble de r´esultats possible d’une ´etape d´epends du r´esultat de l’´etape pr´ec´edente

Sidi Mohamed MAOULOUD Chapitre 1. Espace probabilis´e February 23, 2017 29 / 40

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Sidi Mohamed MAOULOUD Chapitre 1. Espace probabilis´e February 23, 2017 30 / 40

Syst` eme d’´ ev´ enements complet et formule des probabilit´ es totales

On appelle syst`eme d’´ev´enements complet (SEC) toute famille (Bn)<sub>n</sub>∈I, o`u I ⊂N, tel que

∀n,P(B_n)6= 0.

Les ´ev´enementsBn mutuellement exclusifs : Bn∩Bm =∅, ∀m6=m Les ´ev´enementsB_n collectivement exhaustifs : ∪n∈IB_n= Ω

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Syst` eme d’´ ev´ enements complet et formule des probabilit´ es totales

Soit (B_n)_n∈I un syst`eme d’´ev´enements complet alors pour toutA∈ A, P(A) =X

n∈I

P(A∩B_n) (FPT 1`ere forme)

=X

n∈I

P(A|Bn)P(Bn) (FPT 2`eme forme)

Exemple. Quelque soit l’´ev´enement A,{B, B^c} est un SEC et on a P(A) =P(A|B)P(B) +P(A|B^c)P(B^c)

Sidi Mohamed MAOULOUD Chapitre 1. Espace probabilis´e February 23, 2017 33 / 40

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Sidi Mohamed MAOULOUD Chapitre 1. Espace probabilis´e February 23, 2017 34 / 40

Formule de Bayes

SoientA etB deux ´ev´enements de probabilit´e non nulle. Alors P(A|B) =P(B|A)P(A)

P(B).

Soit (Bn)n∈I un SEC. Alors pour tout ´ev´enementA on a P(B_j|A) = P(A|Bj)P(B_j)

P

n∈IP(A|Bn)P(Bn)

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Ind´ ependance

Deux ´ev´enements Aet B sont dits ind´ependants si P(A∩B) =P(A)P(B).

Soit (An)n∈I,I ⊂Nfini ou non. On dit que la famille{An}est mutuellement ind´ependante si pour tout J⊂I

P \

i∈J

A_i

!

=Y

i∈J

P(Ai)

Sidi Mohamed MAOULOUD Chapitre 1. Espace probabilis´e February 23, 2017 37 / 40

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Sidi Mohamed MAOULOUD Chapitre 1. Espace probabilis´e February 23, 2017 38 / 40

Ind´ ependance. Propri´ et´ es.

SoientA etB deux ´ev´enements de probabilit´e non nulle. Les trois conditions sont ´equivalentes

◮ AetB sont ind´ependants

◮ P(A|B) =P(A)

◮ P(B|A) =P(B)

Si Aet B sont deux ´ev´enements ind´ependants, alors

◮ AetB^c sont ind´ependants

◮ A^c etB sont ind´ependants

◮ A^c etB^c sont ind´ependants

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