III. La loi exponentielle
1. Définition et densité d’une variable exponentielle
On dit qu’une variable aléatoire suit la loi exponentielle de paramètre (où > 0) si sa densité est la fonction définie par ( ) = 0 si < 0
( ) = si ≥ 0 Vérifions que c’est bien une densité :
On doit calculer ∫ ( ) , et faire → −∞, → +∞. Quand → −∞, il ne restera
plus que ∫ = × = − + 1
Quand → +∞, − tend vers −∞, donc tend vers 0. Ainsi on a bien une densité de probabilités
2. Calculs de probabilités
On ne s’intéresse qu’aux valeurs positives de , puisque est nulle sur ] − ∞ ; 0[.
Pour > 0, ( ≤ ) = ( ≤ ≤ ) = ∫ . La primitive a été déterminée à la question précédente, c’est − . On a donc ( ≤ ) = − = 1 −
Et ( ≥ ) = 1 − ( < ) = 1 − 1 − = 3. Espérance d’une variable exponentielle (ROC)
On doit calculer ∫ ( ) . La fonction est nulle sur ] − ∞ ; 0[, donc on calcule
∫ et on fait tendre vers +∞
Il nous faut une primitive de la fonction . On la recherche sous la forme ( ) = ( + )
On dérive : ( ) = + ( + ) × − = ( − − )
La dérivée doit être égale à , donc − =
− = 0. On obtient = −1, = La primitive recherchée est donc ( ) = (− − )
Finalement ∫ = − − − − = − −
Il faut faire maintenant tendre vers +∞ : − tend vers −∞ donc tend vers 0 Pour , il faut appliquer le théorème de croissance comparée : lim
→ = 0
Ici, nous prenons = , il faut donc écrire = pour pouvoir appliquer le théorème. Finalement, lim
→ = 0, donc ( ) = lim
→ ∫ =
4. Loi de durée de vie sans vieillissement (ROC)
Théorème : la loi exponentielle modélise une durée de vie sans vieillissement, c’est-à- dire, si , sont deux réels positifs et que suit la loi exponentielle, ( ≥ +
) = ( ≥ )
Autrement dit, la probabilité de vivre encore au moins n’a pas changé, quelle que soit l’âge auquel on est parvenu.
Preuve : par définition, ( ≥ + ) = (( )∩( ))
( ) .
Comme l’événement ≥ + est inclus dans l’événement ≥ , leur intersection est ≥ + .
Ainsi le dénominateur de notre fraction est ( ≥ + ) = ( ), tandis que le dénominateur est ( ≥ ) = . (Les calculs de probabilité ont été faits au 2.)
Finalement, ( ≥ + ) = ( ) = ( ) = = ( ≥ )
