Terminale S
Thème 16 – Loi exponentielle
Définition 1 : Loi exponentielle
Soitλun nombre réel strictement positif. On dit qu’une variable aléatoireX, à valeurs dans[0; +∞[, suit la loi exponentielle de paramètreλsi sa densité de probabilité est la fonction définie sur[0; +∞[ parf(t) =λe−λt.
Exemple :SiXest une variable aléatoire la loi ex- ponentielle de paramètre 12 alors,pour tous réels strictements positifsc etd, on a
P(c6X 6d) = Z d
c
1 2e−12tdt.
Illustration : Loi exponentielle de paramètre 12.
0.2 0.4 0.6
1 2 3 4 5 6
P(16X 63)
Proposition 1 : Calcul de probabilités pour une loi exponentielle
Soit λ un réel et X une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre λ. Alors, pour tous réels positifs c etd, avecc6d, on a
• P(c6X6d) =e−λc−e−λd;
• P(X >d) =e−λd. Démonstration :
• Par définition,
P(c6X6d) = Z d
c
f(t)dt
= [−e−λt]dc
= −e−λd+e−λc
= e−λc−e−λd.
• La variableX étant à valeurs dans [0; +∞[,
P(X>d) = 1−P(06X6d) Or, d’après la formule précédente,
P(06X6d) =e−λ0−e−λd= 1−e−λd Par conséquent,
P(X>d) = 1−(1−e−λd) =e−λd
Exemples : SoitX une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre 12. AlorsP(16X 6 3) =e−12−e−32 ≈0,38 et P(X >5) =e−52 ≈0,08.
Théorème 1 : Propriété de durée de vie sans vieillissement
Si X est une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètreλ, alors pour tous réels c ethpositifs
PX>c(X >c+h) =P(X >h).
Démonstration :D’après la propriété précédente,P(X >h) =e−λh. D’autre part, par définition d’une proba- bilité conditionnelle,
PX>c(X>c+h) = P([X>c]∩[X >c+h]) P(X>c) .
L’événement [X > c+h] est inclus dans l’événement [X > c], doncP([X >c]∩[X>c+h]) =P(X >c+h).
On en déduit alors que
PX>c(X >c+h) = P(X>c+h) P(X>c) PX>c(X >c+h) = e−λ(c+h)
e−λc PX>c(X >c+h) = e−λc−λh+λc PX>c(X >c+h) = e−λh PX>c(X >c+h) = P(X>h)
Remarque :On utilise souvent la loi exponentielle pour modéliser la durée de vie d’un appareil non soumis au phénomène de vieillissement. La propriété précédente de la loi exponentielle exprime en effet que la durée de vie de l’appareil ne dépend pas d’une éventuelle usure : la probabilité que l’appareil fonctionne pendant un temps donné ne dépend pas du temps écoulé depuis sa première utilisation. Dans la formule ci-dessus, le temps écoulé depuis la première utilisation estc, et la probabilité que l’appareil fonctionne pendant une durée haprès ce temps est la même que la probabilité qu’il fonctionne pendant une durée hà partir de la mise en marche initiale.
Définition 2 : Espérance d’une variable suivant une loi exponentielle
L’espérance d’une variable X suivant une loi exponentielle est définie comme la limite quandxtend vers+∞de l’intégraleRx
0 tf(t)dt, oùf est la fonction de densité de la loi exponentielle considérée : E(X) = lim
x→+∞
Z x
0
tf(t)dt.
Proposition 2 : Calcul de l’espérance pour une loi exponentielle
L’espérance d’une variable X suivant une loi exponentielle de paramètre λestE(x) =λ1. Démonstration : D’après la définition, pour déterminerE(X), il faut d’abord calculer l’intégraleRx
0 tf(t)dt= Rx
0 λte−λtdten fonction dexpuis faire tendre cette expression vers +∞.
• Calcul de l’intégraleRx
0 λte−λt
dt:
On cherche une primitive de la fonction g : t 7→ λte−λt. Supposons qu’une telle primitive soit de la forme G : t 7→(at+b)e−λt, où a et b sont des nombres réels. Alors G′(t) = ae−λt−λ(at+b)e−λt = (−aλt+a−λb)e−λt. En identifiantG′(t) etg(t), on trouve queaetbdoivent être solutions du système d’équations
−aλ = λ a−λb = 0
De la première équation, on déduita=−1, puis de la secondeb= 1λa=−1
λ. AinsiG(t) = −t−1
λ
e−λt. Par conséquent
Z x
0
λte−λtdt = G(x)−G(0)
=
−x−1 λ
e−λx−
−1 λe0
= −xe−λx−1
λe−λx+1 λ
• Calcul de la limite : Puisque lim
x→+∞
xe−λx= lim
x→+∞
e−λx= 0, on aE(X) = limx→0Rx
0 tf(t)dt= 1λ.
