1 Oxydoréduction. MP1 uniquement

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DS n°8bis (Centrale - Mines) − Samedi 20 mars 2021 − Durée 4h

1 Oxydoréduction. MP1 uniquement

Données générales:

Constante des gaz parfaits : R = 8,314 J.K⁻¹.mol⁻¹ Constante de Faraday : F = 96 500 C.mol⁻¹

Constante d’Avogadro : N_A = 6,023.10²³ mol⁻¹ On prendra : RT

F ln 10 = 0,06 V à 25 °C T(K) = T(°C) + 273,15

Grandeurs de référence :

Pression standard : P⁰ = 1 bar = 1,0.10⁵ Pa Concentration standard : C⁰ = 1,0 mol.L⁻¹ Potentiels standard à 25°C

E⁰(O_2(g)/H₂O) = 1,23 V et E⁰(H₃O⁺_(aq)/H_2(g)) = 0 V Cu²⁺/Cu Al³⁺/Al NO⁻₃/NO S₄O²⁻₆ / S₂O²⁻₃ I₂/I⁻

E⁰ (en V) 0,34 −1,66 0,96 0,080 0,62

Produit ionique de l’eauà 25°C : Ke= 10⁻¹⁴

Masses molaires : M_Ag = 27,0 g.mol⁻¹ ; M_Cu = 63,5 g.mol⁻¹ 1.1 Diagramme potentiel-pH du cadmium

Le diagramme ci dessous donne le diagramme potentiel-pH de l’élément cadmium à 25°C pour une concentration de tracéCtra = 1,0.10⁻² mol.L⁻¹. Les espèces utilisées pour construire ce diagramme sont : Cd_(s), Cd(OH)_2(s), Cd²⁺_(aq) et [Cd(OH)₃]⁻_(aq).

pH E(V)

-0,46 1

8,1 11,3

A B

C

D

1) Identifier les espèces A, B, C, et D du diagramme.

2) Déterminer le potentiel standardE⁰(Cd²⁺/Cd).

3) Écrire l’équation - bilan de la réaction reliant Cd(OH)_2(s) et [Cd(OH)₃]⁻_(aq) que l’on équi- librera avec des OH⁻. Déterminer à l’aide du diagramme sa constante d’équilibre.

4) Déterminer la pente du segment 1.

5) Tracer sur le diagramme les deux droites délimitant la zone de stabilité de l’eau. Le cadmium est-il stable en solution aqueuse ?

1

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1.2 Analyse chimique d’un alliage.

L’alliage 2024 contient essentiellement de l’aluminium Al_(s) et du cuivre Cu_(s) à hauteur d’environ 4%. La composition chimique de cet alliage aluminium-cuivre peut être déterminée par titrage selon le protocole suivant.

1) Première phase : Séparation du cuivre et de l’aluminium

Après avoir réduit l’alliage à l’état de poudre, une masse m = 1,0 g est introduite dans un ballon de 250 mL.

100 mL d’une solution d’acide chlorhydrique (H₃O⁺_(aq), Cl⁻_(aq)) à environ 8 mol.L⁻¹ sont versés sur l’alliage. On observe un fort dégagement de di-hydrogène gazeux.

Quand ce dégagement gazeux tend à diminuer, le contenu du ballon est porté à ébullition pendant 15 minutes. Après refroidissement, le contenu du ballon est filtré.

Les particules solides restées sur le filtre sont rincées, puis placées dans un bécher de 200 mL.

a) Pourquoi utilise-t-on l’alliage sous forme de poudre ?

b) Quel peut être l’intérêt de porter le mélange à ébullition quand le dégagement gazeux faiblit ?

c) Écrire la réaction (R1) qui se produit. Est-elle totale ? 2) Deuxième phase : dissolution du cuivre

Le cuivre solide récupéré à l’issue de la première phase est totalement dissout au moyen de 10 mL d’une solution d’acide nitrique concentrée (H₃O⁺_(aq) + NO⁻_{3 (aq)}).

Un dégagement gazeux de monoxyde d’azote NO_(g) est observé.

Écrire l’équation (R2) de la réaction de dissolution du cuivre Cu_(s) en présence d’acide nitrique.

3) Troisième phase : dosage du cuivre dans l’alliage

Après addition d’une quantité excédentaire d’iodure de potassium (K⁺_(aq), I⁻_(aq)), la solution prend une coloration brune attribuable à la formation de diiode I₂.

Ce dernier est ensuite dosé par une solution aqueuse de thiosulfate de sodium (2 Na⁺_(aq), S₂O²⁻_{3 (aq)}) à C = 5,0×10⁻² mol.L⁻¹. L’équivalence est détectée pour un volume verséV = 12,5 mL.

Les équations des réactions supposées totales qui ont lieu pendant cette phase sont : 2 Cu²⁺_(aq) + 4 I⁻_(aq) −→ 2 CuI_(s) + I_{2 (aq)} (R3)

2 S₂O²⁻_{3 (aq)} + I_{2 (aq)} −→ S₄O²⁻_{6 (aq)} + 2 I⁻_(aq) (R4)

a) Justifier par un calcul précis le caractère total de la réaction (R4).

b) Déduire des résultats du dosage le pourcentage massique de cuivre dans l’alliage dosé.

c) Serait-il utile de répéter une nouvelle fois ce dosage ? Si oui, pourquoi ?

2

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2 QUELQUES ASPECTS DU FONCTIONNEMENT D’UN LASER

Les lasers sont des sources de lumière à la fois très intenses et très cohérentes. On se propose d’étudier quelques aspects du fonctionnement d’un laser hélium-néon.

Lors de la correction, une grande attention sera portée aux remarques à caractère physique, à la clarté de la rédaction, ainsi qu’à la présentation. Il est demandé au candidat de rappeler le numéro identifiant une question avant la solution qu’il propose.

Conventions de signe et notations

À tout signal sinusoïdal de la forme s(t) =Scos(ϕ−ωt) on associe un signal complexe de la forme s(t) =Sexp[j(ϕ−ωt)] oùj est le nombre complexe de module 1 et d’argument π/2.

Pour une grandeur ondulatoire monochromatique, on écrira : s(~r, t) = Sexp[j(ϕ(~r)−ωt]

et on désignera parS=Sexp[j(ϕ(~r)] son amplitude complexe. L’intensité lumineuse associée à cette onde est alors :

I(~r) =s(~r, t)s^∗(~r, t) =|s(~r, t)|² Données numériques Masse molaire du néon : M_néon = 20,2 g.mol⁻¹ Constante de Boltzmann : kB = 1,38.10⁻²³J.K⁻¹ Constante d’Avogadro : N_A = 6,02.10²³ mol⁻¹ Célérité de la lumière dans le vide : c = 3,00.10⁸ m.s⁻¹

Formulaire Z +∞

−∞

exp(−z²) dz=√ π

Z +∞

−∞

exp(−z²) cos(αz) dz=√ π exp

Å

−α² 4

ã

Z +∞

−∞

exp(−z²) sin(αz) dz= 0

3 Profil spectral et cohérence temporelle

3.1 Élargissement d’une raie spectrale par effet Doppler

1. Les lasers sont des sources lumineuses caractérisées la plupart du temps par les trois pro- priétés suivantes : forte intensité, très grande cohérence temporelle et grande directivité.

Citer au moins trois applications des lasers. Préciser dans chaque cas quelles propriétés spécifiques du laser sont utilisées.

Soit un détecteur Dfixe en un point O de l’espace, une source S se déplace à la vitesse algébriquevsur un axe(Ox)orienté du détecteur vers la source. L’abscissex(t)représente la distance entre Det S. La source Sémet un signal de période T et la célérité du signal dans le milieu qui sépare S de D estc.

2. Soit t (respectivement t⁰) et t+T (respectivementt⁰ +T⁰) les instants correspondant à l’émission par la source (respectivement à la réception par le détecteur) du début et de la fin d’une période du signal. Calculer t⁰ ett⁰+T⁰ en fonction des données.

3

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3. Si on suppose que le temps caractéristique de variation de la vitesse de la source est très grand devantT, exprimer T⁰ en fonction de T,v etc.

4. Quelle information peut-on tirer de l’observation suivante ?

"Le spectre de la lumière reçue des étoiles est décalé vers le rouge par rapport à celui que l’on obtiendrait sur Terre avec une source composée d’atomes identiques à ceux constituant les étoiles observées."

On s’intéresse à une lampe spectrale. L’ampoule de la lampe est remplie d’une vapeur monoatomique de masse molaireM à la températureT. Chaque atome de la vapeur consti- tue une source mobile qui émet une lumière dont on considère qu’elle serait parfaitement monochromatique, de longueur d’onde dans le videλ₀ si elle était immobile.

On suppose que le détecteur Dest suffisamment éloigné de la sourceSpour que les ondes lumineuses reçues se propagent suivant l’axe(Ox) de la Figure 1 :

source mobile qui émet une lumière dont on considère qu’elle serait parfaitement monochromatique, de longueur d’onde dans le vide O₀, si elle était immobile.

On suppose que le détecteur D est suffisamment éloigné de la source S pour que les ondes lumineuses reçues se propagent suivant l’axe (Ox) de la figure 1 :

On admettra que les atomes du gaz dans la lampe spectrale suivent une loi de distribution de vitesses de Maxwell ; on supposera que si N est le nombre total d’atomes, alors le nombre d’atomes dont la composante de la vitesse suivant (Ox) est comprise entre Vx et Vx+dVx est :

x x2 dV RT 2 exp MV RT 2 N M

dN ¸¸

¹

·

¨¨

©

§ S

4. En utilisant l’étude faite dans la partie I.1°) a), évaluer à une constante multiplicative près l’intensité dI reçue par le détecteur entre O et O+dO.

On appelle distribution spectrale de la source, la fonction O O d

g dI .

Montrer que : ¸¸

¹

·

¨¨

©

§ ¸

¹

¨ ·

©

§ O '

O O O

2

exp 0

K

g , où K est une constante indépendante de O. Exprimer 'O en fonction de O₀, M, R, T et c.

5. Tracer la courbe gO .

Déterminer sa largeur à mi-hauteur. Donner une interprétation physique de .'O

Pour la transition du néon correspondant à une émission de longueur d’onde , évaluer en nm, pour une température T1= 300 K, puis T2= 2000 K la valeur de

nm 8 ,

0 632 O O ' . Justifier le terme de raie spectrale.

6. Montrer que la distribution spectrale de la source peut s’exprimer en fonction de la fréquence Q, telle que : gO dO f Q dQ. Expliciter la fonction f et la mettre sous la forme :

¸¸

¹

·

¨¨

©

§ ¸

¹

¨ ·

©

§ Q '

Q Q

Q K'exp ⁰ ² f

On donnera les expressions de K’, et Q₀ 'Q en fonction de K, c, O₀, Q et 'O.

En considérant le fait que 'OO₀ montrer que K’ et 'Q peuvent être considérés comme des constantes.

On supposera ce résultat valable tout au long de l’épreuve.

Donner dans le cadre de cette approximation l’expression de 'Qen fonction de c, et O₀ 'O. Calculer , puis Q₀ 'Q pour les températures T1= 300 K et T2= 2000 K.

S D x

Figure 1

lampe spectrale

3 TOURNEZ LA PAGE S.V.P.

Figure1 – On admettra que :

• Le gaz de la lampe spectrale est formé d’atomes de néons qui suivent une loi de distribution de vitesses de Maxwell-Boltzmann : si N est le nombre total d’atomes, alors le nombre d’atomes dont la composante de la vitesse suivant (Ox) est comprise entrev_x etv_x+ dv_x est :

dN =N

… m

2πk_BT exp Å

− mv²_x 2k_BT

ã dvx

où mest la masse d’un atome de néon et k_B la constante de Boltzmann.

• L’intensité lumineuse dI reçue par le détecteur et qui a été émise par ces dN atomes s’écrit : dI = αdN, où α est une constante de proportionnalité. En raison de l’effet Doppler, cette intensité peut se mettre sous la forme :

dI =g(λ) dλ où g(λ) est appeléedensité spectrale de la source. 5. En utilisant l’étude faite à la question 3., montrer que :

g(λ) =K exp ñ

−

Åλ−λ₀

∆λ ã2ô

où K et ∆λsont des constantes. Exprimer ∆λen fonction de λ₀,m,k_B,T etc.

6. Tracer la courbe g(λ).

Déterminer sa largeur à mi-hauteur et donner une interprétation physique de ∆λ. Pour la transition du néon correspondant à une émission de longueur d’onde λ0 = 632,8 nm, évaluer la valeur de ∆λen nm, pour une températureT₁ = 300 K, puis une température T₂ = 2000 K.

Justifier le terme de ”raie spectrale”.

4

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7. Montrer que la densité spectrale de la source peut s’exprimer en fonction de la fréquence ν par une fonction f(ν) telle que : g(λ) dλ = −f(ν) dν. Expliciter la fonction f et la mettre sous la forme :

f(ν) =K⁰ exp ï

−ν−ν0

∆ν 2ò

On donnera les expressions de K⁰,ν₀ et ∆ν en fonction deK,c,λ₀,ν et ∆λ.

En considérant le fait que ∆λ λ0, montrer que K⁰ et ∆ν peuvent être considérées comme des constantes. Donner dans le cadre de cette approximation l’expression de ∆ν en fonction de c, λ₀ et ∆λ. Calculer ν₀ puis ∆ν pour les températures T₁ = 300 K et T2 = 2000 K.

On supposera cette approximation valable dans toute la suite de l’épreuve.

3.2 Mesure expérimentale de la largeur d’une raie spectrale

8. Représenter schématiquement l’interféromètre de Michelson réglé en lame d’air. On fera apparaître sur le schéma les deux miroirs, la séparatrice, l’épaisseur x de la lame d’air, ainsi qu’un rayon incident et les deux rayons émergents auxquels il donne naissance.

Justifier l’appellation de lame d’air qu’on donne à ce dispositif.

9. La séparatrice est une lame de verre d’épaisseureet d’indice n, dont une des deux faces est métallisée afin de ne laisser passer que la moitié de l’intensité lumineuse incidente, l’autre moitié étant réfléchie.

Expliquer l’utilité de la présence dans l’interféromètre de Michelson d’une lame compen- satrice. Donner son épaisseur et son indice. Faire un schéma précisant la position relative des deux lames, en indiquant la face métallisée de la séparatrice.

10. On dispose d’une lampe spectrale, d’un diaphragme et d’une lentille convergente L₁ de distance focale imagef₁⁰. Donner le protocole expérimental qui permet à l’aide d’un miroir plan de positionner ces éléments afin de former un faisceau de lumière parallèle.

11. On éclaire l’interféromètre de Michelson réglé en lame d’air d’épaisseurxavec un faisceau de lumière parallèle, en incidence normale sur les miroirs. En sortie de l’interféromètre, on place une lentille convergenteL2 de distance focale imagef₂⁰ de manière à ce que tous les rayons émergents se focalisent en son foyer imageF⁰.

On place en F⁰ un photodétecteur qui mesure l’intensité lumineuse. Dans le cas où la lampe spectrale peut-être considérée comme parfaitement monochromatique de longueur d’onde λ₀, justifier que le détecteur mesure une intensité de la forme :

I = 2A( 1 + cos(∆ϕ) )

Exprimer ∆ϕen fonction des données. Quelle est l’expression deA en fonctiond de I₀, intensité lumineuse totale qui entre dans l’interféromètre ?

On reprend le dispositif de la question 11. mais on suppose dorénavant que la lampe spectrale n’est pas parfaitement monochromatique : elle émet une onde dont la densité spectrale est celle étudiée dans la partie 1.1.

Les ondes dont la fréquence est comprise entre ν et ν+ dν produisent sur le photodé- tecteur placé enF⁰ une intensité de la forme :

dI = 2f(ν) ï

1 + cos

Å4πν x c

ã ò

5

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avec :

f(ν) =K⁰ exp ï

−ν−ν0

∆ν 2ò

avec ∆ν = ν0

c

…2RT M

12. Qu’est-ce qui justifie de sommer les intensités associées à chaque bande de fréquence [ν, ν+ dν] ?

13. Calculer l’intensité totaleI détectée quand on tient compte de tout le spectre de la source.

Pour simplifier les calculs, on pourra tenir compte de l’approximation suivante : la fonction f(ν) ayant des valeurs nulles pourν <0, on peut étendre les intégrales comprenant cette fonction deR+ àR.

Mettre le résultat sous la forme : I = 2A0

ï

1 + exp Å

−4x² L²_c

ã

cos(∆ϕ) ò

Exprimer L_c en fonction de la célérité c de la lumière et de la largeur spectrale en fréquence ∆ν.

On souhaite tracer l’interférogramme correspondant à la source étudiée, c’est à dire la courbeI(x) mesurée par le détecteur lorsqu’on fait varier l’épaisseur de la lame d’air. Pour ce faire on utilise :

• d’une part un moteur qui permet de déplacer l’un des miroirs de l’interféromètre en translation à vitesse constantev₀ = 0,5µm.s⁻¹. Cela permet de faire varier continûment l’épaisseurx de la lame d’air.

• D’autre part une table traçante. Son principe de fonctionnement consiste à faire défiler du papier millimétré avec une vitesse v1 comprise entre 0,5 mm.min⁻¹ et 0,5 m.min⁻¹; un stylet se déplace transversalement au défilement du papier et trace une courbe dont l’ordonnée est proportionnelle à un signal électrique reçu.

En branchant le photodétecteur à la table traçante par un dispositif adéquat, on obtient sur le papier millimétré une courbeY(X) dont l’abscisse est proportionnelle au temps et l’ordonnée à l’intensité lumineuse détectée.

Pour ce tracé, on allume simultanément le moteur et la table traçante.

• On prendra garde à ne pas confondreX l’abscisse sur la table traçante avecx l’épaisseur de la lame d’air.

14. ÉcrireY(X) sous la forme : Y(X) =Y₀

ñ

A+ exp Ç

− Å X

∆X ã2å

cos Å2π X

X0

ã ô

Donner les expressions de ∆X en fonction dev₀,v₁ etL_c, puis de X₀ en fonction dev₀, v₁ etλ₀.

6

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On effectue avec le dispositif expérimental décrit ci-dessus trois tracés successifs :

• Les deux premiers en partant du Michelson réglé au contact optique (c’est à dire x = 0), la vitesse de déroulement du papier de la table traçante étant v₁ = 0,5 mm.min⁻¹. L’expérience dure le temps nécessaire à ce que la courbe occupe 1 mètre sur le papier millimétré.

• Le troisième en partant d’une valeur x =x0, avec v1 = 0,5 m.min⁻¹. L’expérience dure le temps nécessaire à ce que la courbe occupe 10 cm sur le papier millimétré.

On obtient les tracés ci-dessous :

7

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15. Les deux premiers tracés ont été obtenus à l’aide d’une lampe spectrale au néon identique à celle étudiée à la question7. L’un des tracés correspond à la lampe maintenue à 300 K par un dispositif de refroidissement, l’autre correspondant à la lampe fonctionnant à 2000 K.

a) Préciser à quel tracé correspond chaque température.

b) Déduire de la forme des tracés la valeur de Lc et de ∆ν dans chacun des cas. On précisera avec détails la méthode employée. Commenter.

16. Le tracé 3 a été obtenu avec une lampe identique à celle utilisée pour les tracés précédents.

a) Déterminer la fréquence centrale ν₀ ainsi que la longueur d’onde associée λ₀. b) Sachant que cette expérience se fait avec une lampe fonctionnant à 2000 K, calculer

la valeur de x₀, position du miroir autour de laquelle le tracé est effectué.

Pour ces deux mesures on précisera avec détails la méthode employée.

8

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MP1&2 Janson de Sailly DS n°7bis (Centrale - Mines)

4 De la cuisson des œufs

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