an 07. p32

i→ j→

Po Ho

C_g C_f

0 1

1

x y

Mo

i→ j→

Po Ho

an 07. p 32.

1. On considère la fonction g définie sur ]0 ; +∞[ par : g(x) = ln x − 2 x . On donne ci−contre le tableau de variation de g.

Démontrer toutes les propriétés de la fonction g regroupées dans ce tableau.

2. Soit f la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par : f(x) = 5 ln x x . a. Démontrer que f(x₀) = 10

x₀² où x₀ est le réel apparaissant dans le tableau ci−dessus.

b. Soit a un réel. Pour a > 1, exprimer

⌡ ⌠

1 a

f(t) dt en fonction de a.

3. On a tracé dans un repère orthonormal (O ; i^→ ; j^→) ci−après

les courbes représentatives des fonctions f et g notées respectivement C_f et C_g . On appelle I le point de coordonnées (1 ; 0),

P₀ le point d’intersection de C_g et de l’axe des abscisses, M₀ le point de C_f ayant même abscisse que P₀

et H₀ le projeté orthogonal de M₀ sur l’axe des ordonnées.

On nomme D₁ le domaine du plan délimité par la courbe C_f et les segments [IP₀] et [P₀M₀].

On nomme D₂ le domaine du plan délimité par

le rectangle construit à partir de [OI] et [OH₀].

Démontrer que D₁ et D₂ ont même aire,

puis donner un encadrement d’amplitude 0,2 de cette aire.

1. On considère la fonction g définie sur ]0 ; +∞∞∞[ par : g(x) = ln x ∞ −−−−2 x .

Démontrer toutes les propriétés de la fonction g regroupées dans le tableau de variation donné.

x ∈ ]0 ; +∞[ pour que ln x existe

quand x → 0+, ln x →−∞ et −2/x →−∞ donc lim

x→0 g(x) = −∞

quand x → +∞, ln x → +∞ et −2/x → 0 donc lim

x→+∞ g(x) = +∞

somme de fonctions dérivables sur ]0 ; +∞[, g est dérivable sur ]0 ; +∞[ et g’(x) = 1 x + 2

x² = x + 2 x² dans ]0 ; +∞[, x+2 > 0 et x² >0 donc g’(x) > 0 donc g est

dans ]0 ; +∞[, g est continue (car dérivable) et strictement croissante de −∞ à +∞ donc, d’après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique réel x₀ tel que g(x₀) = 0

g(2,3) ≈ −0,036 < 0 et g(2,4) ≈ 0,042 > 0 donc 2,3 < x0 < 2,4

2. Soit f la fonction définie sur ]0 ; +∞∞∞∞[ par : f(x) = 5 ln x x . a. Démontrer que f(x₀) = 10

x₀² où x₀ est le réel apparaissant dans le tableau ci−−−−dessus.

f(x0) = 5 ln x₀

x₀ or x0 est le réel tel que ln x0 − 2/x0 = 0 c’est à dire ln x0 = 2/x0

donc f(x0) = 5(2/x₀) x₀ = 10

x₀² b. Soit a un réel. Pour a > 1, exprimer

⌡ ⌠

1 a

f(t) dt en fonction de a.

f(t) = 5×1

t ×lnt = 5×u’(t)u(t)

donc une primitive de f est t → 5 (u(t))²

2 = 5(lnt)²

2 On a alors :

⌡ ⌠

1 a

f(t) dt = [5(lnt)²

2 ]^a₁ = 5(lna)² 2

3. On a tracé dans un repère orthonormal (O ; i^→→→→ ; j^→→→→) ci−−−−après les courbes représentatives des fonctions f et g notées respectivement C_f et C_g . I est le point de coordonnées (1 ; 0),

P₀ est le point d’intersection de C_g et de l’axe des abscisses donc P₀(x₀ ; 0) M₀ est le point de C_f ayant même abscisse que P₀ donc M₀(x₀ ; f(x₀)) H₀ le projeté orthogonal de M₀ sur l’axe des ordonnées donc H₀(0 ; f(x₀))

On nomme D₁ le domaine du plan délimité par la courbe C_f et les segments [IP₀] et [P₀M₀].

x 0 2,3 x₀ 2,4 +∞

+∞

g 0

−∞

On nomme D2 le domaine du plan délimité par le rectangle construit à partir de [OI] et [OH0].

Démontrer que D₁ et D₂ ont même aire, puis donner un encadrement d’amplitude 0,2 de cette aire.

D₁ =

⌡ ⌠

1 x₀

f(t) dt = 5(lnx₀)²

2 = 5 lnx₀

2 × ln x0 = 5 lnx₀ 2 × 2

x₀ = f(x₀) et D₂ = OI × OH0 = 1 × f(x0) = f(x₀) = D₁

D’après 2. a. f(x₀) = 10 x₀²

or 2,3 < x₀ < 2,4 ⇔ 2,3² < x₀² < 2,4² car x → x² est sur IR+

⇔ 1 2,4² < 1

x₀² < 1

2,3² car x → 1/x est sur IR+

⇔ 10 2,4² < 10

x₀² < 10

2,3² ⇔ 1,73 < f(x₀) < 1,89 donc 1,7 < D₁ < 1,9