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Submitted on 1 Jan 1908
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Sur la détente adiabatique des fluides saturés
E. Mathias
To cite this version:
E. Mathias. Sur la détente adiabatique des fluides saturés. J. Phys. Theor. Appl., 1908, 7 (1), pp.618-632. �10.1051/jphystap:019080070061801�. �jpa-00241383�
618
quement d’un second champ, quittent les lignes de force du pre- mier champ et traversent les mailles de la toile pour entrer dans le second champ. M. A. Righi compare ce phénomène de projection
d’ions à travers de petites ouvertures au phénomène des rayons-
canaux.
Comme il est toujours utile de rapprocher les faits analogues, je
me permets de rappeler que j’ai observé aussi des projections d’ions.
Je les ai obtenues avec les ions produits dans l’air par les rayons X
(Académie des Sciences, pli cacheté déposé le 18 juillet 1898, publié le 5 février 1900 dans les Rendus de
reproduit dans le l3uZletin de la Société c,Le Physique de 1901, dans
les Annales de Chimie et de Physique de 19Ol et dans le volume sur
les ions publié par MM. Abraham et Langevin, p. 701-705).
J’ai remarqué que ces , projections d’ions créées dans l’air à la
pression atmosphérique constituent des cathodiques ou ano- diques beaucoup plus diffusables que les rayons de Lenard. Je crois la comparaison avec les rayons cathodiques ou anodiques préfé-
rable à la comparaison avec les rayons-canaux, parce que les ions qui forment les projections étudiées sont à volonté positifs ou négatifs.
J’ai, d’autre part, fait rentrer ces phénomènes de projections
d’ions dans une classification de divers modes de décharge ou de
variations de charge électrique d’un conducteur (Congrès de la Radiologie et del’Ionisation de Liège, C. R., 1905, p. 164; communi-
cation reproduite dans Physikalische Zeitschrift, 7 eannée, p. ~0) .
Il convient, je pense, de rapprocher des mêmes phénomènes les
observations de 1VI. P. Villard sur la décharge indirecte par les flammes (Comptes Rendus de l’Acad. d. S’c. du 1J janvier 1900).
SUR LA DÉTENTE ADIABATIQUE DES FLUIDES SATURÉS ;
Par M. E. MATHIAS.
1. - Soit un poids égal à l’unité d’un mélange de liquide et de
vapeur saturée de titre x ; à la température absolue 6 = 273 + t, le
volume v est donné par:
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphystap:019080070061801
619 2~’ et u étant les volumes spécifiques de la vapeur saturée et du
liquide saturé à la même température. Appelons m~, în, m’ les cha- leurs spécifiques à titre constant du mélange saturé, du liquide et de
la vapeur saturée, et cx, co, c, , les chaleurs spécifiques à volume
constant et à litre constant des mêmes corps ; on a :
Soient, de plus, L et 1 la chaleur de vaporisation et la chaleur latente de dilatation à 6°, qui sont liées par la relation :
Il est très aisé de traiter géométriquement, dans le cas général
du mélange de titre x, le problème de la détente ou de la compres- sion adiabatique, qui se compose lui-même de deux problèmes très
différents : pour une variation dv du volume, quelle est d’abord la
variation correspondante da de la température, et ensuite quelle est
la variation dx du titre ?
2. - Considérons la courbe de saturation dans le plan des (~ro, v) 1’)
et la partie rectiligne AB de l’isotherme relative à 60 ; par le point X
tel que AX - xAB == x (u’ - zt), menons un arc d’adiabatique
infiniment petit XZ et l’isotherme rectiligne A’B’ passant par Z ;
considérons le segment à volume constant XY ; _ ~’Z. Soit 0 ~-- da
la température de l’isotherme Si do est un infiniment petit du premier ordre, la variation cll) ~ XY qui lui correspond est égale-
ment du premier ordre, puisque de est
toujours fini, même à la tem-
cl8
pérature critique.
Appliquons le principe de l’Equivalence au circuit fermé XYZ parcouru en sens inverse du mouvement des aiguilles d’une montre,
en remarquant que, dv étant du premier ordre comme la surface
du cycle et par suite le travail extérieur sont du second ordre, donc
(1) Voyez RAVEAU, Sui, les adiabatiques d’un système cle liquide et de vapeur
[J. de Phys. (3), t. I, p. 461 ; 1892] ; - L. 8Ul’ la détente adiabatique
au voisina,ge du point critique (Bull. de l’Acad. des Sc. de Ci-acovie, avril 1895);
- P. DUHEM, T1Ylnsfo7>lnations adiabatiques d’un mélange cle liquide et de vapeur saturée (Traité de lnécanique chimique, t. II, p. 223-230 ; 1898)- -
E. MATHiAS, SUl’ les pl’opl’iétés thel’miques des fliiides [J. de Phys. (3),
t. VII, p. 397 ; 1898].
620
négligeables devant des quantités du premier ordre. On a :
Comme et ex sont essentiellement positifs, il s’erisuit que do est ev
toujours négatif.
FIG. 1.
’
,
d’un mélange de liquide et de vapeur saturée, ou d’une vapeur saturoe sèche ou du liquide saturé seul, à une augmentation adiabatique du voliàme correspond toujours un abaissement de tem-
pérature.
Cet abaissement de température, pour une même augmentation
de volume, est plus faible pour la vapeur saturée que pour le liquide,
à la même température, car
D’une manière g énérale, la relation (3) montre que cx est une fonction croissante du titre ; toutes choses égales d’ailleurs, de est
donc d’autant plus petit que le titre x du mélange est plus élevé.
3. - Pour étudier la variation du titre, reprenons la figure pré-
cédente et faisons passer par le point X la courbe de titre constant
correspondant à la valeur du titre.
Nous savons(’) que cette courbe passe par le sommet C de la courbe de saturation et qu’elle a en ce point même tangente horizon-
tale que cette courbe. Soit T le point où elle rencontre l’isotherme
rectiligne A’B’; l’arc TX est du premier ordre comme le coeffi- cient angulaire de l’arc d’adiabatique XZ étant fini, il s’ensuit que les arcs XZ et TZ sont du premier ordre.
(1) Voir 10C. cit.
621
Appliquons le, principe de l’équivalence au circuit fermé XTZ supposé parcouru dans le sens inverse du mouvement des aiguilles
d’une montre et dont la surface, étant du second ordre, est négli- geable. On a donc :
Remplaçons de par sa valeur tirée de la relation (4), il vient :
Or, on a :
d’où en retranchant :
Remplaçons TZ par sa valeur dans la relation (5), il vient :
d’où, en négligeant des infiniment petits :
Comme u’ - u et Cx sont essentiellement positifs, il s’ensuit que
oc 1. d
dx
a le signe de 2,x. -
z
Divisons membre à membre les relations (6) et (4); il vient :
Une variation acliabat£que constante cle température de, à partir
d’une température constante, donne pour un mélange saturé de titre quelconque une vaî4iatioît cle titre d.oe proportionnelle à 1nx.
A température constante :
donc est une fonction ciécroissante de x ; si l’on considère sur une isotherme rectiligne AB des points N, P, Q, R, S équidis-
J. de Phys.., 48 série, t. VII. (Août 1908.) 41
622
tants et les arcs d’adiabatiques menés par ces points et limités à
l’isotherme rectiligne de température 0 + d0 (de o), il est impos-
sible que les points d’intersection correspondants N’, P’, Q’, R’, S’
soient équidistants, car il faudrait pour cela que Fon ait mx = à
température constante et à titre variable.
4. - L’étude de la variation du titre dans la détente adiabatique
d’un mélange saturé se ramène donc nécessairement à l’étude de la quantité mx = x ("’ - ln) --k- m. J’ai fait cette étude antérieure-
FIG. 3.
ment (’ ). Mes expériences sur l’anhydride sulfureux ont montré que l’allure de m et de m’ en fonction de la température est représentée
par les courbes AB, qui sont asymptotes à la droite 0 _ 0~, 11) E. Zoc. cit., pp. 406 et 407.
’
623
les points C et D correspondant aux points d’inversion de la cha- leur spécifique de vapeur saturée m’.
Menons des parallèles à l’axe des ordonnées, partageons les seg- ments de parallèles déterminés par les courbes m = f (t) et ni’ = 9 (t)
en dix parties égales, par exemple, et joignons par une courbe con- tinue les points d’intersection de même numéro d’ordre. Un obtient ainsi les courbes de chaleur spécifique à titre constant.
En effet :
Considérons, en particulier, la courbe correspondant à x ‘ 0,5 et pour laquelle
On a:
, .,... , ,,, / / ,
Or les formules (8) montrent que ’ln + ’2 yn’ et dO el clf ne sont
finis à la température critique que s’il en est de même de Co t 1B
de
Essayons de lever quelques-unes de ces restrictions :
est 1 a crltlque .. (1) - On a, o et
6
étant les densités du liquide et de la vapeur saturée à 8 et D leur demi-somme :
(1) Proposition admise par Raveau (loc. cit., p. 462) comme bcible, mais comme n’étant pas formellement démontée.
624
O B l ’
.. d , 8/ ê
Or, à la température crItIque, de même limite que
Soit rx le coefficient angulaire du diamètre rectiligne et à la den-
sité critique, la limite de d d8 (U 1 9
u , )
à la température critique estfinie et égale à :
~n -+- m’ fi. t l / eï-itique. - En effet, mes expériences ont montré que c, et C1 sont toujours finis : soit c, leur
limite commune à la température critique, qui est nécessairement
positive. On a donc, en appelant 1, la valeur de 1 à la température critique :
Or cette limite est finie et positive, comme étant la somme de deux
termes finis et positiis : Cc et 11 "l.a le. Dans la flg. 3, le point G qui
figure la valeur limite de à la température critique doit donc
être au-dessus de l’axe des abscisses.
Etant donnée la petitesse de cc, il est extrêmement probable que le . second terme de Ia parenthèse est beaucoup plus petit que le premier.
Du reste, évaluons directement l’expression c, - le § dans le cas
de l’anhydride suliureux ; on a :
Pour calculer
("7") ?
étant donné que les nombres trouvés par d6(1) E. 1BLB.THLBS, de LJ. de
~3), t. IX, p. 486: 1900].
625
Sajotchewski pour la pression de vapeur saturée p de l’anhydride
sulfureux paraissent trop forts, ayons recours à la formule (b j donnée 9
par J. Bertrand ( 1) :
/n 1 , ’AH
qui représente convenablement les expériences de Regnault sans s’éloigner beaucoup de celles de Sajotchewski. On a, en admettant
avec J. Bertrand 6~ - ~~8, ~’~ et ~~~. _ ~ ~ 09,03 en centimètres de mercure :
a’où :
Il vient enfin :
P o,600 - i.- p0i?0 0 600 + 0 0"’’-’ 0 6°U environ.
iim. =- , 0 - 12,27
(o, ) == , + 0,05,)
== 0,6.)") environ.
.... ,2)2
3° La dernière des formules (8) montre que, à la température cri- tique, l’existence d’une limite finie pour 2 ± "L , est liée à
tique, 1 existence d’une limite finie liée à
d0 ,.;., - /
,
l’hypothèse d’une limite finie pour, a proposition én>1-
’,),
nemment probable, mais qu’on n’a pas su démontrer jusqu’ici.
5. - Il est maintenant aisé de traiter le problème de la variation
adiabatique du titre d’un mélanges saturé de titre x que l’on détend
ou que l’on comprime. Reprenons la formule (6) :
Considérons, pour préciser, le cas de la détente > o); alors
dx est du signe de
Supposons 7 0,5; en nous reportant à la fig. 3, noiis voyons que les courbes ~ = f (t), représentant en fonction de la
température la chaleur spécifique à titre constant d’un mélange sa- turé, sont des fonctions toujours croissantes de la température, qui
s’annulent une fois et une seule (2) pour une température 0, inférieure (1) J. BERTRAND, p. 176.
(2) Voir aussi VA:X DER WAALS, der 93-97.
626
à celle du point H et d’autant plus hasse que le titre est plus faible.
, Si la détente a lieu à une température inférieure à 1nx o, donc dix o ; la détente a lieu avec la condensation d’une partie de la
vapeur et dÙnl’nution dit titre.
Si la détente a lieu à la température une détente infiniment
petite donne dx = o ; la détente se I)roduit it titre constant.
Si la détente se produit au-dess us de 0,, mx > o, dx > o ; la detente .se produit ccvee augmentation du titre du mélange.
Si nous considérons maintenant le cas particulier x - 0,5, la tem- pérature Ox est celle du point H de la fig. 3, et les conclusions sont les mêmes que précédemment.
Supposons, au contraire, x > 0,5. Alorsmx, considérée comme fonc- ’ tion de la température, est une fonction d’abord croissante, puis dé-
croissant jusqu’à et présentant un maximum positif dans l’in- tervalle ; mx s’annule deux foi8(1); le premier point d’inversion de mx, que nous appellerons 0’,,, est tel que, la température croissant,
1nx s’annule en passant du négatif au positif; le deuxième point d’in-
version de mx, que nous appellerons 6"x, est tel que, la tempéra-
ture croissant, mx s’annule en passant du positif au négatif.
Si la détente a lieu à une température inférieure à O’x, 1nJ: o, donc cl~ o ; la détente se produit avec diminution dit titre, la con- densation de la vapeur l’emportant sur la vaporisation du liquide.
Si la détente a lieu à (1’/ x, o, donc == o ; Za détente se pro- duit à titre consCa,nt, la condensation de la vapeur équilibrant exac-
tement la vaporisation du liquide.
Si la détente a lieu à une température intermédiaire entre 61 x
et m,~ ~ o, donc dx > o ; la détente se produit avec augmenta-
tion du titre du
Si la détente se produit à la température 6"x, o, donc dx - Q ; la détente se produit à titre constccnt, la condensation de la vapeur
équilibrant la vaporisation du liquide.
Si la détente a lieu entre 0"x et le point critique, mx o, donc
clx o ; la détente se produit avec diminution du titre, la condensa- tion de la vapeur l’emportant sur la vaporisation du liquide.
Il y a lieu de remarquer que, si le cas où la température est infé-
rieure à 6’x donne qualitativement le même résultat que celui où la
température est supérieure à il y a au point de vue quantitatif
(1) DEH Inc, CZ~
627 une différence essentielle. En effet, pour les températures inférieures à 0’r, u’ --.~ u est très grand, tandis que, aux températures supérieures
à est très petit, c, demeurant à peu près du même ordre de grandeur.
Il s’ensuit que, toutes choses égales d’ailleurs, la détente effectuée au-dessous de 0’~ donne une diminution de titre beaucoup plus faible
que la détente effectuée au-dessus de 6’1 x.
6. - Considérons maintenant le cas particulier de la détente effec- tuée à partir d’une température inférieure à la température critique,
mais infiniment voisine d’elle.
0,5, 1nx est positif et très grand, u’ - u est positif et petit,
o, donc dx > o ; taug1nentatifJn du titre est positive et très grande.
Pour x compris entre 0,5 et des valeurs extrêmement voisines, mais
un peu plus grandes, le phénomène est qualitativement le même;
l’augrnentation dit titre est positive, mais finie et tendant vers zéro cr,
mesure que x s’écarte légèrement de 0,5.
Pour nettement plus grand que 0,5, 1nx o, dx o ; la climiî7,u- tion du titre est négative et très grande.
Ainsi donc, au voisinage immédiat de la température critique et au-dessous, si on détend faiblement et d’une manière adiabatique un mélange des phases liquide et gazeuse, tel que l’une soit abondante
et l’autre rare, l’effet de la détente est d’enrichir la phase rare aux dépens de la phase la plus abondante. Si l’on détend de la même
façon un mélange dont le titre soit voisin de 0,5, mais un peu plus grand, la détente ne change pas sensiblement la composition du mélange.
7. - Le problème de la détente adiabatique, dans le cas général
d’un mélange saturé de titre x et à une température quelconque, peut donc être considéré comme résolu. C’est maintenant le moment de faire certaines remarques qui, introduites plus tôt, auraient pu alourdir l’exposition du sujet.
Par exemple, comment peut-on, à chaque température, mettre géométriquement en évidence la grandeur relative des systèmes de quantités:
et leur rapport avec la chaleur latente de dilatation 1 à la même
température ? A cet effet, reprenons la courbe de saturation dans le
628
plan des v) et à une température absolue 0 telle que la chaleur
spécifique 1n’ de la vapeur saturée soit négative ; menons les iso-
thermes rectilignes AB, A’B’ relatives à 6 et e - do o), et par les points A, B et X (qui correspond au mélange de titre x) menons
les arcs d’adiabatiques limités aux isothermes AB, A’B’. Menons également par ces points les parallèles AH, BH’ et XY à l’axe des ordonnées, et par X faisons passer la courbe de titre constant x.
FIG. 4.
L’application du principe de l’équivalence aux cycles fermés infi-
’
niment petits A’AK, TXZ, B’BK’donne :
Au les quaJztités mx, - ml sont proport£onnellesaux segments parallèles à des abscisses compris entre l’adiabatique
et tcc courbe de titre constant issues du point origine A, X, B.
Dans le cas où o, l’adiabatique qui part de la branche de droite de la courbe de saturation passe par le point B’ et non par le
point B.
Appliquons maintenant le principe de l’équivalence aux cycles fer-
més infiniment petits HAK, YXZ, H’BB’ ; il vient :
Les quantités co, cx, c~ sont proportionnelles ctux projections sur
629 l’isotherme rectzl(qne A’B’ des arcs d’adiabatiques issus des points A, X, B.
Considérons maintenant la chaleur spécifique par unité de lon- gueur considérée, soit le long d’un arc de la courbe de saturation,
soit d’une manière plus générale le long d’un arc de courbe à titre constant. Soient y, yx, y’ ces chaleurs spécifiques par unité de lon- gueur à la température 0, pour les titres constants o, x, 1.
On a par définition :
d’où, en vertu des relations qui ont donné les égalités (9) :
Considérons le cas particulier pour lequel l’arc d’adiabatique XZ
est normal à la courbe de titre constant en X; soit s, l’angle que fait l’élément TX avec la direction de l’axe des abscisses; TX est alors
la projection orthogonale de TZ ; par suite :
On retrouve ainsi, dans le cas plus général des courbes de titre constant, un théorème que j’avais énoncé antérieurement ( 4 ) dans le cas
de la courbe de saturation (branche du liquide saturé) : Au point où
un arc d’adiabatique est normal à une courbe de titre la chaleur latente de dilatation, 1, considérée comme chaleur fournie
par unité de longueur à t’isotherme rectiligne et dirigée suivant celle=ci, est la projection orthogonale de la chaleur Yx fournie par unité de longueur cc la courbe de titre constant au point considéré,
cette chaleur étant consi(lérée comme dirigée suivant cette dernière
courbe.
THÉORÈME. - Au voisinag e immédiat de la températures critique,
pour toutes les courbes de titre constant, sauf celle pour laquelle 0,5, n a : y x y~, _-:: 1. ,
Reprenons la fig. 4 et appliquons au cycle triangulaire infi-
niment petit TXY le principe de l’équivalence ; il vient, en posant
(1) E. MATHIAS, SUl’ les propriétés thermiques des fluides saturés (Annales de
Toulouse [1], t. XII ; 1898).
630
== TY == (1 - ~c) du +
Or :
Au voisinage immédiat du point critique, 0,5,
donc (IzvdO est nul aussi, et l’on a :
0,, ’ ’ il n’en est lus de même, car et CI 0sont 7îv finis,
Cherchons la valeur limite de Il vient 1
on peut donc écrire :
8. - L’avantage du mode d’exposition précédent, outre son ca-
ractère de simplicité et la symétrie des démonstrations qui restent
les mêmes, que l’on traite le cas général d’un mélange saturé de
titre x ou que l’on s’occupe du cas particulier de la vapeur saturée
ou du liquide, est de donner la variation élémentaire de la tempéra-
ture ou du titre au moyen d’un petit nombre de fonctions simples,
accessibles à l’expérience et dont le signe n’est jamais douteux.
Au point de vue géométrique, le problème de la détente adiaba-
tique est résolu par l’intersection des adiabatiques intérieures à la courbe de saturation avec les courbes de titre constant; mais, si
l’on sait tracer ces dernières, il n’en est pas de mème des adiaba-
tiques que l’on ne connaît pas par l’expérience et dont la théorie ne
donne que le coeflicient angulaire. Sans doute, cela suffit pour trou-
631
ver nombre de résultats ; mais c’est insuffisant pour traiter tous les
cas possibles.
Quand on traite la question par le calcul dans le cas de la vapeur saturée (1), en écrivant la condition dQ = o et la différentielle dv du
volume, on trouve que les variations adiabatiques de la température
et du titre dépendent du signe de l’expression :
signe qui n’est évident que dans le cas exceptionnel pour lequel
1}1/ > o. Dans le cas plus général où m’ o, l’expression précédente
est la différence de deux ’ termes positiis u’ - u et 1n L 2013 ? a et le signe"
n’est plus apparent.
Si l’on traite de la même façon le cas du liquide saturé, on trouve :
J.. 1 robléme dé d d signe d ., - L (lu Ici le problème dépend du sione n de l’expression u’- u - --,
rn c9
qui apparaît comme la différence de deux termes toujours positifs :
de telle sorte que l’indécision subsiste à toutes les températures. Il
est aisé de montrer que l’indécision n’est qu’apparente aussi bien pour la fonction it’ 2013 2013; m 2013 1) que pour la fonction " analogue a introduite
par l’étude du liquide.
En effet, mettons u’ - u en facteur, les expressions précédentes
deviennent :
Reportons-nous à la 4, l’application du principe de l’éqiiiva-
(1) p. 1-À2 à 1 î6.
