!"#$%&’()"*+),%-./’ Le rôle clé de l’atome d’hydrogène La notion moderne d’atome L’expérience de Rutherford

chapitre 11

!"#$%&'()"*+),%-./'

Le rôle clé de l’atome d’hydrogène

Elément le plus simple de la classification périodique, et le plus abondant dans l’univers

Son décryptage a constitué un « examen de passage » pour la théorie quantique

La confrontation « théorie – expérience » peut être poussée à une précision relative très élevée (10^-13)

Exemple remarquable de système « complexe » (6 coordonnées) qu’on peut traiter exactement en tirant parti de ses symétries

1897 : J.J. Thomson découvre l’électron et mesure

La notion moderne d’atome

1895 : Röntgen découvre les rayons X

−q/me (1)

1906 : J.J. Thomson étudie théoriquement la diffusion de rayons X par les atomes et confronte ses résultats aux mesures expérimentales

« le nombre de corpuscules dans un atome est du même ordre que la masse atomique de la substance »

1896 : Becquerel découvre la radioactivité

L’expérience de Rutherford

1910 : Rutherford étudie la déviation de particules ! par une feuille de métal Toute la charge positive et quasiment toute la masse sont concentrées en un noyau extrêmement petit (10^-15m) par rapport à l’atome lui-même (10^-10m)

charge positive et charge négative

délocalisées : pas de déviation importante charge positive localisée : déviation importante possible 1901: Jean Perrin dans une conférence à la Sorbonne

L’atome n’est donc pas insécable au sens strict du mot, mais peut-être consiste en une sorte de soleil positif, dans lequel réside l’individualité chimique et autour duquel s’agitent une nuée de planètes négatives, les mêmes pour tous les atomes.

D’où vient la taille des atomes ?

Bruxelles 1911

Planck, Perrin, Einstein, Rutherford, Marie Curie, Poincaré

Consensus : la constante de Planck doit intervenir d’une manière ou d’une autre Mais comment et pourquoi ?

Le modèle de Bohr

1911-13: Bohr est postdoc chez J.J. Thomson (Cambridge), puis chez Rutherford (Manchester), et il réfléchit lui aussi à la structure atomique.

On lui présente un jour la formule de Balmer (spectre de l’hydrogène atomique) lumière visible raies de l’hydrogène

−q/me (1)

λ⁻¹ =Ry

!1

4−1 9

"

(2)

−q/me (1)

λ⁻¹ =Ry

!1

4− 1 9

"

(2)

λ⁻¹ =Ry

!1

4− 1 16

"

(3)

λ⁻¹ =Ry

!1

4− 1 25

"

(4)

−q/me (1)

λ⁻¹=Ry

!1

4− 1 9

"

(2)

λ⁻¹=Ry

!1

4− 1 16

"

(3)

λ⁻¹=Ry

!1

4− 1 25

"

(4)

−q/me (1)

λ⁻¹ =Ry

!1

4− 1 9

"

(2)

λ⁻¹=Ry

!1

4− 1 16

"

(3)

λ⁻¹=Ry

!1

4− 1 25

"

(4)

λ= 656 nm (5)

−q/me (1)

λ⁻¹ =Ry

!1

4− 1 9

"

(2)

λ⁻¹ =Ry

!1

4− 1 16

"

(3)

λ⁻¹ =Ry

!1

4− 1 25

"

(4)

λ= 656 nm (5)

λ= 486 nm (6)

λ= 434 nm (7)

−q/me (1)

λ⁻¹=Ry

!1

4 −1 9

"

(2)

λ⁻¹=Ry

!1

4 − 1 16

"

(3)

λ⁻¹=Ry

!1

4 − 1 25

"

(4)

λ= 656 nm (5)

λ= 486 nm (6)

λ= 434 nm (7)

−q/me (1)

λ⁻¹=Ry

!1

4− 1 9

"

(2)

λ⁻¹=Ry

!1

4− 1 16

"

(3)

λ⁻¹=Ry

!1

4− 1 25

"

(4)

λ= 656 nm (5)

λ= 486 nm (6)

λ= 434 nm (7)

Ry = 1.10 10⁷ m⁻¹ (8)

plus généralement : λ⁻¹

=

Ry

!

1

n²₁ −

1

n²₂

"

(1)

n^"

= 2 (2)

"

= 2 (3)

"

(4)

Veff

(r) =

V

(r) + ¯

h²"("

+ 1)

2µr

²

(5)

−

¯

h²

2µ

u^""

(r) +

Veff

(r)

u(r) =E u(r)

(6)

# _∞

0 |u(r)|²dr

= 1 (7)

u(r) =r R(r)

(8)

∆

[R(r)

Y!,m

(θ,

ϕ)] =

!

1

r

d(r R(r))

dr − "("

+ 1)

r² R(r)

"

Y!,m

(θ,

ϕ)

(9)

θ,ϕ

(10)

∆ψ

= 1

r

∂

∂r

(rψ)

−

1

r²

¯

h²

L

ˆ

²ψ

(11)

!

−

¯

h²

2µ

∆

+

V

(r)

"

ψ(r,θ,ϕ) =Eψ(r,θ,ϕ)

(12)

m∈{−",−"

+ 1, . . . ,

"}

(13)

"≥

0 (14)

", m

entiers (15)

ψ(r,θ,ϕ) =R(r)Y!,m

(θ,

ϕ)

(16)

ψ(r,θ,ϕ)

(17)

H,

ˆ

L

ˆ

², L

ˆ

z

(18)

Le modèle de Bohr (2)

Trajectoires circulaires de rayon

r

et de vitesse

v

e²= q² 4π"0

(1)

mev² r =e²

r (2)

Pˆ (3)

Hˆ (4)

Etot.= ¯h²K²

2M +Erel. (5)

−¯h²

2µ∆ψ($r) +V($r)ψ($r) =Erel.ψ($r) (6)

Hˆrel.ψ=Erel.ψ (7)

Ψ(R,$ $r) =e^iK!·R! ψ($r) (8)

¯ h²K²

2M (9)

eiK$·R$ (10)

Φ($re,$rp) =ψ(R,$$ r) (11)

[ ˆHc.m.,Hˆrel.] = 0 (12)

[ˆx,pˆx] =i¯h (13)

[ ˆX,Pˆx] =i¯h (14)

$ˆ

R,P$ˆ (15)

$ˆr, $pˆ (16)

µ= mpme

mp+me

(17) Hˆrel.= pˆ²

2µ+V(ˆ$r) (18)

L=merv=n¯h (1)

e²= q² 4π"0

(2)

mev² r = e²

r (3)

Pˆ (4)

Hˆ (5)

Etot.= ¯h²K²

2M +Erel. (6)

−¯h²

2µ∆ψ($r) +V($r)ψ($r) =Erel.ψ($r) (7)

Hˆrel.ψ=Erel.ψ (8)

Ψ(R,$ $r) =e^iK!·R! ψ($r) (9)

¯ h²K²

2M (10)

eiK$ ·R$ (11)

Φ($re,$rp) =ψ(R,$ $r) (12)

[ ˆHc.m.,Hˆrel.] = 0 (13)

[ˆx,pˆx] =i¯h (14)

[ ˆX,Pˆx] =i¯h (15)

$ˆ

R, P$ˆ (16)

$ˆ

r, p$ˆ (17)

µ= mpme

mp+me

(18)

L

=

merv

=

n¯h

(1)

e²

=

q²

4π"

0

(2)

mev² r

=

e²

r²

(3)

P

ˆ (4)

H

ˆ (5)

Etot.

= ¯

h²K²

2M +

Erel.

(6)

−

¯

h²

2µ

∆ψ($r

) +

V

($

r

)ψ($

r

) =

Erel.ψ($r

) (7)

H

ˆ

rel.ψ

=

Erel.ψ

(8)

Ψ(R,$ $r

) =

e^iK!·R! ψ($r

) (9)

¯

h²K²

2M (10)

eiK$ ·R$

(11)

Φ($re,$rp

) =

ψ(R,$ $r

) (12)

[ ˆ

Hc.m.,H

ˆ

rel.

] = 0 (13)

[ˆ

x,p

ˆ

x

] =

i¯h

(14)

[ ˆ

X,P

ˆ

x

] =

i¯h

(15)

$

ˆ

R, P$

ˆ (16)

$

ˆ

r, $p

ˆ (17)

µ

=

mpme

mp

+

me

(18)

Moment cinétique quantifié :

force centrifuge

attraction e^- p⁺

n= 1,2, . . . (1)

a0= ¯h²

mee² (2)

Ry = mee⁴

2¯h² (3)

E=−Ry

n² (4)

L=merv =n¯h (5)

e² = q² 4π"0

(6)

mev² r = e²

r² (7)

Pˆ (8)

Hˆ (9)

Etot.= ¯h²K²

2M +Erel. (10)

−¯h²

2µ∆ψ($r) +V($r)ψ($r) =Erel.ψ($r) (11)

Hˆrel.ψ =Erel.ψ (12)

Ψ(R,$ $r) =e^{iK·! R!} ψ($r) (13)

¯h²K²

2M (14)

eiK$ ·R$ (15)

Φ($re,$rp) =ψ(R,$ $r) (16)

[ ˆHc.m.,Hˆrel.] = 0 (17)

[ˆx,pˆx] =i¯h (18)

rayon de Bohr Rayon de la trajectoire :

r

=

n²a1

(1)

n

= 1 (2)

n

= 1, 2, . . . (3)

a1

= ¯

h²

mee²

(4)

Ry

=

mee⁴

2¯

h²

(5)

E

=

−Ry

n²

(6)

L

=

merv

=

n¯h

(7)

e²

=

q²

4π"

₀

(8)

mev² r

=

e²

r²

(9)

P

ˆ (10)

H

ˆ (11)

Etot.

= ¯

h²K²

2M +

Erel.

(12)

−

¯

h²

2µ

∆ψ($r

) +

V

($

r

)ψ($

r

) =

Erel.ψ($r

) (13)

H

ˆ

rel.ψ

=

Erel.ψ

(14)

Ψ(R,$ $r

) =

e^iK!·R! ψ($r

) (15)

¯

h²K²

2M (16)

eiK$ ·R$

(17)

rn

=

n²a1

(1)

n

= 1 (2)

n

= 1, 2, . . . (3)

a1

= ¯

h²

mee²

(4)

EI

=

mee⁴

2¯

h²

(5)

En

=

−EI

n²

(6)

L

=

merv

=

n¯h

(7)

e²

=

q²

4π"

0

(8)

mev² r

=

e²

r²

(9)

P

ˆ (10)

H

ˆ (11)

Etot.

= ¯

h²K²

2M +

Erel.

(12)

−

¯

h²

2µ

∆ψ($r

) +

V

($

r

)ψ($

r

) =

Erel.ψ($r

) (13)

H

ˆ

rel.ψ

=

Erel.ψ

(14)

Ψ(R,$ $r

) =

e^{iK·! R!} ψ($r

) (15)

¯

h²K²

2M (16)

eiK$ ·R$

(17)

Stern : « si c’est cela la physique, nous y renonçons sur le champ » Energie totale :

rn

=

n²a1

(1)

n

= 1 (2)

n

= 1, 2, . . . (3)

a1

= ¯

h²

mee²

(4)

EI

=

mee⁴

2¯

h²

(5)

En

=

−EI

n²

(6)

L

=

merv

=

n¯h

(7)

e²

=

q²

4π"

0

(8)

mev² r

=

e²

r²

(9)

P

ˆ (10)

H

ˆ (11)

Etot.

= ¯

h²K²

2M +

Erel.

(12)

−

¯

h²

2µ

∆ψ($r

) +

V

($

r

)ψ($

r

) =

Erel.ψ($r

) (13)

H

ˆ

rel.ψ

=

Erel.ψ

(14)

Ψ(R,$ $r

) =

e^iK!·R! ψ($r

) (15)

¯

h²K²

2M (16)

eiK$ ·R$

(17)

rn

=

n²a1

(1)

n

= 1 (2)

n

= 1, 2, . . . (3)

a1

= ¯

h²

mee²

(4)

EI

=

mee⁴

2¯

h²

(5)

En

=

−EI

n²

(6)

L

=

merv

=

n¯h

(7)

e²

=

q²

4π"

₀

(8)

mev² r

=

e²

r²

(9)

P

ˆ (10)

H

ˆ (11)

Etot.

= ¯

h²K²

2M +

Erel.

(12)

−

¯

h²

2µ

∆ψ($r

) +

V

($

r

)ψ($

r

) =

Erel.ψ($r

) (13)

H

ˆ

rel.ψ

=

Erel.ψ

(14)

Ψ(R,$ $r

) =

e^{iK·! R!} ψ($r

) (15)

¯

h²K²

2M (16)

eiK$ ·R$

(17)

énergie du photon émis dans la transition : n1 −→n2

(1)

λ⁻¹

=

Ry

!

1

n²₁ −

1

n²₂

"

(2)

n^"

= 2 (3)

"

= 2 (4)

"

(5)

Veff

(r) =

V

(r) + ¯

h²"("

+ 1)

2µr

²

(6)

−

¯

h²

2µ

u^""

(r) +

Veff

(r)

u(r) =E u(r)

(7)

# _∞

0 |u(r)|²dr

= 1 (8)

u(r) =r R(r)

(9)

∆

[R(r)

Y!,m

(θ,

ϕ)] =

!

1

r

d(r R(r))

dr − "("

+ 1)

r² R(r)

"

Y!,m

(θ,

ϕ)

(10)

θ,ϕ

(11)

∆ψ

= 1

r

∂

∂r

(rψ)

−

1

r²

¯

h²

L

ˆ

²ψ

(12)

!

−

¯

h²

2µ

∆

+

V

(r)

"

ψ(r,θ,ϕ) =Eψ(r,θ,ϕ)

(13)

m∈{−",−"

+ 1, . . . ,

"}

(14)

"≥

0 (15)

", m

entiers (16)

ψ(r,θ,ϕ) =R(r)Y!,m

(θ,

ϕ)

(17)

ψ(r,θ,ϕ)

(18)

hν = E

I

!

1

n

²₂ −

1 n

²₁

"

(1)

n

1−→

n

2

(2)

λ⁻¹

= R

y

!

1

n

²₁ −

1 n

²₂

"

(3)

n

^"

= 2 (4)

#

= 2 (5)

#

(6)

V

eff

(r) = V (r) + ¯ h

²#(#

+ 1)

2µr

²

(7)

−

¯ h

²

2µ u

^""

(r) + V

eff

(r) u(r) = E u(r) (8)

# _∞

0 |

u(r)

|²

dr = 1 (9)

u(r) = r R(r) (10)

∆

[R(r) Y

!,m

(θ,

ϕ)] =

!

1 r

d(r R(r))

dr

− #(#

+ 1) r

²

R(r)

"

Y

!,m

(θ,

ϕ)

(11)

θ,ϕ

(12)

∆ψ

= 1 r

∂

∂r

(rψ)

−

1 r

²

¯ h

²

L ˆ

²ψ

(13)

!

−

¯ h

²

2µ

∆

+ V (r)

"

ψ(r,θ,ϕ) =

E

ψ(r,θ,ϕ)

(14)

m

∈{−#,−#

+ 1, . . . ,

#}

(15)

#≥

0 (16)

#, m

entiers (17)

ψ(r,θ,ϕ) =

R(r) Y

!,m

(θ,

ϕ)

(18)

1.

Le problème à deux corps

6 = 3+3

comment ramener un problème 6D à un problème 3D