HAL Id: halshs-00005861
https://halshs.archives-ouvertes.fr/halshs-00005861
Submitted on 5 Jan 2012
HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.
L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.
Mathématique, espaces et sciences sociales
Serge Thibault
To cite this version:
Serge Thibault. Mathématique, espaces et sciences sociales. 2005, 104p. �halshs-00005861�
!∀ #
∃#∀
% !&∋ ! ∀ (
)∗∃∃∗++, − !
##
# ∀./
/.#∃ ∀.0
∃.1∀ ∋∀2 ∀./3
!
0.45 ∀.++
∀# ∃
% &
∋ (
) ∃
% ∗
+,−.#! !∀ / 0 %!
∗∗1 2 2 / 1 ./
!.
1
! ∀##∀∃
% &
! ∀ ∀ # ! ∃ ! !
% ! &
∋
2 ∋ ( )
∗ + ∋ ∃ , ∋ ∃ , − % ∃ ∋ ∋ ! ∗ + ∃
.∋∋
/01 2 3435#67) 80 2
0 9 !, 2 43 :67; < 2 =
<
9 >? 2 3 ;#;7 ≅> 2) 2 ∀
= 1) ∗>=>Α43+
Β 0> 80
8 2 3 5:Χ7 >3> 2 = <
∆ 2 3 ;:∀Χ 43 ) (2
)2 35:Χ7>3>2 =<
)2 35:Χ7>3>
! 9 & )2 35:Χ7>3>
9 2 43:67;<
2 35:Χ7>3>
Β 2 35:Χ7>3>
/2 35:Χ7>3>
) , 77
∃ 9
Β /∃ )∃
3
∀
% 0
% ∀
% ( ) ∗ +
% ! ∗ ,
! − ) , , ∃
&
∃ ∋ ∃ − ∋ , − ,
( ∃ >
,)% ∋ ∃
∃ ∋! − , ∃ ) − ( ) ∃
4
∃ ! Ε ) − ) ) − ) ) ,! ∃
, − ∋ ( ∃ >
, ) ) Φ ∃ ) 0%−)) ∗3 ) +, ( − ) − , ∃
) ∀##∀ − ) ∀##7∃ ) −, ∋ 0 ∋ &
8 )
∆!
9
> ) 0 )
− , )−
∃ , ) − ∃ ∋! −, Φ0 ) ,! ∃ ∋ ) 9 >? ∆ Β 0 ∃
∋ ∃ ( ∋ ) − ) ∃ 8 ∋ ∋ 0 )∃
∋ ∋
∃> )Γ − ∋ )Γ
∋ ∃ ∋
Φ )∃
5
∀∀#∃
0 )) ∃ ∃ , ∋ ∋ ∋ ∃ , − 0 ∋ − ∋ , ∃
8 ) ) ,, )∃
) ,! , ) ∗ ,! ∃+
∗+ ∃
∀∀∀%
! ∃ , ∗ + ∗ )Γ ∋ +∃
,, ∃>
∗ + ∃ 8 ) Φ ) , ∗!
− Φ ∋ % ∋ ∗ ∋ +∃ 8 )) , ∗ + − ) ! ∃
, ∗+
)% )% &
∋ ∃ ∋ − % )% ∃ ! , )% ∃
&∋
∋ − , ∃,
, ∃
6 , − ∋
∗ + ∗+, ∗ + &
⊂ ∗+
, Η ∗+ Φ − , ∋ ∃
2 ) ∋ , Φ ∃
(
9 ,Ι ∗∗++ ) − ∃
∗+Η>ϑ∗∗++∗+ ⊂
9 ,Ι 0 ∗+ Η ∃ ∗.∗++
∃
∗+, ∃
∋ , ,Ι!
,! &
,∗+Η∗+ϑ∗+
∀∀)&
) − ) ! ∋ ∋ , 1 , ) 0 ) Γ ∃. ) ∋ ∃
7
A
a(A)
D B
i(a(A))
a(i(CA))
CA i(CA)
) Φ ) , ) > ∋ −8∗∗++ ∪
∗∗9++ ∪ ∗∗1++ ∋ ∃
∀∀∗%
− % ,Ι ,Ι ∃ ∋ ,! ∃
. / ∗ + )) , − )! ∃ >
∋ ) ∋ ∗+
∃ ) > ,
∗+ ∃ 40 ( ) % ) ∋ Κ > 0 ) ∗∗++ &∗+
∃
%, −, − ) &
∋! −> ∋ >∃
,
% −> ∋ >∃> ,,
8 ) − ) >
− >∗
(Φ +∃ ) ∗+
) ∃ ∋ ∃
) ) & ∗+ Η > ϑ ∗∗++∃
−) Φ Φ , ∃
) , − ) ∃
./ , , ∋ , ∃ >
, ∗+ Η ∗+ Η ∃ , , ∃ ,
∗+0 ∋ ) ∋ ∋ ∃ 9 Φ
∗+∃ ) ( ) Φ ∋ ∃ ∃
, > ) ) ! ∋ ∃
3 − ) Φ ,
:∃
− % ) − ,! ∃ ,!
∗− Β 0 +∃ ∃ ) Β 0 , )∃
./ ∋ , ∃ ,! ,, ) &
,∗+Η∆∗+ϑ.∗+ ∆, .
, ∃
: , ∋ ) ,, − , ) )
∗ ) ∃+ ,, , ∋ , , ) )∃
9 +,
) ) ,, .∗+)∗+Ηϑ.∗+
9 0 #
∋ ∋Λ9 ) ,! ) ∋Η∃
9 , ∋Η0 ) ,! ∃
01!23
! ,! ∋ ∗ ∋ + ) ∃
1 ∋ ,! ) ∋ 0∗)∗∋++∃
∋ ! − ) ∋ ∃
Φ ,! ∗ ,!
! −1,+∃
, ,! ,Η∆∗+ ∩ ∆∗1+∃
,! , ) ∃
41!2!3
4 0 1! 5
!5
∋ 1 , ∋ ) , ∋ ∃ ∋ ∋ ∋ ∋ 1∃
8 , , ∗+ − 8 ∋ ∋ − 8 : 8 − ) − − ∋, 8 ∃
)
∗8+ , ∃
∗8+ ,! ∃ 9 Φ 1∃
∗8+ , 1 , ∃
10 , 1 ,!
, ∃9 ) ∪ 1 ∋ ) ∋ , % , 1 ∋∃
4 4 1! 5 6 5
0 , ∋ −1 ∋,− 1∃
,! Φ 1 ∋ ∃
∋ ∃9 Φ 1∃
8 1) ,! ∃
8 ∪ 1 ∋ ∋, , ∪ 1∃
∪ 1 Φ ∋ ,
%∃
− ,!
! ∋ − 1∃ 8 ∋ , ∋ ) ∋ ∃ ∋ − 1 ,! − 1∃
−, 1 − , 1 ,! − 1!
∃
∗+ ∗1+
∗+ ∗1+
11 7 5 ) ) ∋ ,! ∃ ) ) ∃
) ∃ 2 − ∗∋0+ ∋ ∗∗∋0++ ∗#:+# ∋ : ) −
∃
> , ! ) − ) # : , − # :∃
− , , )Μ (
∃
) − , &) , , ∃
∋ ) 0! ) )∃
∀∀−
) ,
) − ) ∃
, )% ∃
− ) −
− ∋ ,
,! ∃
12
∀%
∃ 9 >? ∆
∀∀
∃ ?
∀∃ , ,) :6
!! ∋ ∃ , (− , ∋ )!
∃
% ! ∋ ∃
%% ! ? , , ∋∃
? ∗ + , ∃
Β− ) , ) − ? ∃ ) ,∗ ∃ ∋ + ,
∋ ∗ , − +∃ 9 ,, , Μ ∋ − , ) ∗ + 8∃ ∃
9∃ >? ∆∃
! ∋∃ ) ∗ ∋+
) ∗ + (
! , Φ ( − ) ( ∋∃
− ∋ ! Μ ) ∃
2 Cette mesure de distance a remplacé l’unité de lieue qui pour les déplacements terrestres pédestres correspondait à 4kilomètres, c’est à dire approximativement la distance parcourue en 1heure.
13 ) ) 0 ) , , ∃
∀..
/.&0
:∃:∃( =0! − ! /(1 − ,∃
! )%
∗ ∋ − )∋& ∋ ! +∃ ∃
=0! & 99 (Φ ! ∃ Φ Φ ) ∃ 8 ) − , − Ν Ν ) ) 99∃
:∃∀∃( &
( ∃ , ∗ , − ) , +&
(3 (∆
& ,∋ ∗ ) , + % −
− ∃
/.&0
− ) )
, , 99∃Ο ) ∋Κ
%0
( ∗ −,+
( ) ∋ ,
( ∋ :####
∃
14
∀∗)∃
) ! 0 ) , , ∀∃ 9 8 Β 0∃
< Π, < ∆Ι /0 >∃8∃∆∃∃
/0 1 ) 9
∃
∀∗∀
0 0 ) , − ! − , )∃ Ε Φ ) , 0 )) 0!
! ∃ 0 , − ! 0! 0 0!
,, ∋ ∃ ), ∃ 1 ! , , ∋ )
7∃
∀ )% , 0 ) − − Θ 0 ) ∃ ( Φ Φ ) , ∃ 0! Θ (Φ , , ) − , )∃ ! Ι ,∃
78 &
Ρ? + 8 2 1 ∋:Σ6Χ:ΧΧ∃
) 1, ∋ , , 0 0! % ∋ ∗∀6∃+
∗ + Β 0 ∀##7>1
15 ∋ 0
2
2 ) ∃
∋ − ∋∋ ∃
∀∗
! ) ∋ , ∃ , )∃ )
∗+
,
∃
) ) )! ∃ , ! 0 , ) ∗), + )∃8 , Φ ∃
∀∗∗
Β 0 , − ∃ 8 ∋ ) (Φ ∃
) − ) − ) ) ! ∃ − Φ ∃
, , −8∃
− .)
> ∃
∃
16 , ∋ ,
∃ , 8∃ ∋∃>
) ) ∃
( − , ! − ∃ >
,, ! − ! ∋ Φ − ∃
> ) − ∗ +Η ∗:Α
+Τ
) ∃
8 Φ Φ ,
∗:Α+Τ8∗+
. !
∗:Α%+Τ8∗%+
8, Υ ,)) ,, −−
8
∗:Α%+Τ8∗%+Τ8
. ) − ! ,
∗:Α%+
∀Τ8∗%+Τ8
! , 0 , ,∗+ ,, ! − 8∗+∃ (Φ :Α∗! + ( ∃
Β
0∃
!∀ #
∃ !% &
∋! (
! (
! )
! ( ∋ ∗ ! ! (
# !
#+∀,− ∀!
# # ∋ .!
/ 0 ) ∃ % ! + # % 1 ! ∀ 2 !
3 # ! + ! + ∋ # !%
# 4 ! + ! + 5
! ( −6/
!+
!
+ !∀
! (
! + # ! (
!( 7!(
# !
!
∀ # ! ∃
% &
∋ ∋ ∃ ∋ ∋ ( ) ∃
∗+ ,
∗
−
−
−
./ 0 ∋ ./
∗1 2 !∃
0 &
∃
0 ∋
∋
!∃
∋ ) 3
% ∃ ∃ ∃ , , ) 4 ./ !∃
5 ∃ 60 7 ! ) ∃ ∃ ,
+ 8 , ∀ ∗
∃ 9
∃
∗
% ∀ ∃∋
∃ , : ;
# ∀ : ∋ 4 <
!
: ∋ %
= ∃
>
! 2 ∃ ∃ , ∃ , ∋ ,
∃
# ,
, ∃
∗∗
∃ & ;
&
)?
, ! ∃
!∀#
8∃ %
∃ % ! ) ∀ %
# , !∃ !
! ∋
% % 0
&
∋ , )
> .0/
∃ ≅.0/
∗+ % % ∀∀ % , , ( Α
% ∀∀ , , .−>#+∋Β+./+ >
2∃Χ ∆/
∗
∗∆
0 ≅.0/
! ) & % % ∋ % % − ∋ % − ( !∃
.0/
0 % ∋ .#.0//
0 #.0/
! ! % ) )0 % % = >
) >
) .0/, .&/
1 !
0 .0&/
1∋
∗Ε
0
∗Φ
Γ 9
∗2 Η 6∃7 % ∋ ∋ ∃ ( & ∋ ;
!∃ # Χ !
−0
Β ∃ ∃ ! Η ∃ ∃ ∋
Χ #0∀, .#/
∃ 0 >
%
∗
9Γ.∆/2 ?∃>∆
∗Ι )
( A a
A ⊂
+ ∃ #0∋# 0
∋##
A A i ( ) ⊂
, . 0/
#
C a C
i = . . a = C . i . C ∋
∃!%
##∀,
A A a fermée
A ⇔ ( ) =
0 # ∋# # # ∀ ,
A A i ouverte
A ⇔ ( ) =
∃ %
! >
∃ > % ∃ 0 % , ∋ ϑ
( ; + ∃
#
A A i et A a
A ⊂ ( ) ( ) ⊂
∗ + ∀ ∀ # ∃
A A i et A a
A = ( ) ( ) =
−
∃!%
−#,∀
# # ∀, ∃ 0 # # # #∋
∃
&, % # ∀,
# 94 #9 ∋ ∀, 0.!Κ/4
.>/ 0 0 0 ! Κ !Κ
> ! Κ ! Κ !Κ .>/ ! Κ Λ Λ Λ
! Κ .Κ/ ! 0 ! Κ ./Μ0
+ ( ∃ 0 !
) ( )
( A a B
a alors B A
si ⊂ ⊂
∋!Ν
,
∗
&∋∀∀(
> # ∀ .#/ .#/
# .#/.#/
Η.#/ Β.#/
! 8 (%
∋ , 4
) ( )
( )
( A A a CA ou A i A
b = −
9∀:#
! ∀ ∋ , # #(
A A a ou CA A a A
ab ( ) = ( ) ( ) −
9∀:#
!;
) ( ) ( )
( A b A ab A
fr =
9∀: ∃#
8 ∃ ∃ ∋ 2 ∃ ∃ 0
# 0 ∃
! 0
∗
)∗
∋ ∋ ∃ ∋ ∃ ! Ν # 0 #
)) ( / ) ( ( )
( A B P E A i B
V = ∈ ⊂
− , ! +
% : 0 ∋ , ∀
+
− ∃ : ! ∃
%/=%
) ( )
( A a B
a alors B A
si ⊂ ⊂
∆1 Β
% / 0 4
) ( ) ( )
( A B a A a B
a =
# ∃ ∋
% / # (
A x tout pour x a A
a ( ) = ∪ ( ) ∈
−
% Ο
0
∆
% ∋ >
8 % % ∃ !∃
∃, ∋ ∀ ! ) !∃
∃ !∃ % ,
&
∃ ∋ ∋
% ∀ ∀
∋ !∃ ∀ & , &
( %
∆∗
∋ % , ∋
∀
Κ
∃
∆∆
,
0 # ! ( ∃
E z y x
re triangulai inégalité
z y d z x d y x d
identité y
x y
x d
symétrie x
y d y x d
R y x d
∈
∀
+
≤
=
⇔
=
= +
∈
, ,
) , ( ) , ( ) , (
0 ) , (
) , ( ) , (
) , (
− ! >
! 0 ∋ < % 0 , Κ , ∋ , ,
0 % # , <
∋
%,
∆Ε % < Π , , ./,
% 2 ∋ ,
∋ 0 = #90
# 9 8 .#9/ Μ 1 >
.#9/Μ=
!1 4
# 1 1 1 1 9 1 1 1 1
∋ 1 1 1 1 .#9/ 1 1 .#∋/ 1 1 .9∋/ 1 1 .#9/ΘΜ.#∋/Ρ.9∋/
+ 0 Κ , ∃ &
∋ %
Χ
− ! <
&
∗
!
∃ %
. Χ
/
∆Φ >
∃
0 ∋ Ο !( % ∋ ∃
% ∋ 6 ∃ ∃ 7 − % , ∋ ∃ 6 7 , Σ ΑΠ
% . / Κ
∋ < ! Κ ! !
∋ − ;
∀ !.!/Θ
∆Ι 0
!
% (
% ! ; Ο
% <
0 %8 ! 5
!
∋ ∃
∀
0 , ∃
∀
∆
− .
∋ >
!
∋ ) 8 ∋ ( #
:
) ( . . )
( A C a C A
i =
− ∃ 4
A A i ( ) =
>
: ./ >
6 7 ( 6 7
Χ ∋
./
∃ ∋
∀ ∋
∃
!
∆
. !
> ∃
− %
% !
&
,(
%
0 ∃ Ο %
∃ ! Χ!
< ! ∋ # 9 # 9 # , 9 ∀ <
!
∗> ( ,
∋ 2 , !Ν 8 ∀ ,:
>
∗
! ∃ ∋
%
!
∆ ∃ !∀
0 ( ,
0 ) ( )) ( ( )
(
, = − ≠
∀ A F A E ou F E F A F A
> ∀,
∋
∃ (
! # 0 ∃
+ ! , !
∃ ,
− ! , ∋ !
%&,
∗
>
Χ Χ + # #
∋ ∀,; !Ν ∋ ,#
Χ Χ
∗
= Κ
!
Τ
Ε1 0 ∃ % !
%
∋ ∃
,
..#//
Ε
&/
5 ! ! 2 Υ % 0 ∃!
! ∃
0 ∃ !%
! ! ∃ !
Π (
8 !!
; ∀,!4Ο
! ∃ ! Η
! , ∃
− % !
>
02
Β&ς=0Ω.1/+
8# +!∃>
Ε∗
% ∋ &
∃ 8 = % !
5 ∃ 0∃, ∀ ∋ , > ) ,
∃ , ∃ ∋ ∀
# ∃ , % %
%(, ∀
∀ % % % #
%
# ./
. % / ./ % ./ .. //
%
% , ∃
%Ο
Ε∆
∀ <,%
# ∃ ∋ % ./
!∃ ./( .Χ/ % .Χ.//
Χ ∃ ( ! ,(∋
> , = ./
+ ! 2 ( , =
∀, !∃
!Ν
A x tout pour x a A
a ( ) = ∪ ( ) ∈
!(
!
! ∀
# ! ! ∃ # %& ∃∃∀
∋ ! ( )
∗ !#∗
∀
+ &
, ∀ !
− ! ∀ ∀
∗ ∀ ∃ ∀ !∀
)!∀ ∀ . / !∀
∀#
∃
% !
&∋!!
(! !
!∀
#∃#
% &
∋ (∃
)∗∗∗ )∗∗+∀ ,
−) ! 0 ) !1 2.
+# # ∃ ∃ ∃ , !
#/ # ∀ , ! ∃∃ 0
∃# ∃
# 1 ∀
# ∃ ∀ # ∀ # ∃ # # ∀ ∃ # ∃ 0 ∀
∃ # ∃ # 2 ∀
0# # 3#
2 # ∀
% ∃
+
∋# ∀ 4# ! 56 1 % &
∋ # )∗∗+)∗∗ .
7
## ∀ # ∃ ∃∃ ∀
∃ # ∃ # ∀ ∋ ) ∀
4 # ! ∀ # #∀ (
∃ ∃#∀
# ∃ ∀ #
∃∀ ∀ ∃ ∀
∃ ∀
8
∀# !
∃90
∃9 ∀ :9 # # 0∀ # 9 909; 3.
45/ 60 6 ) 766 # 6 6 ∀ 3 <% +=>)?∀ ≅ ∃ Α86 3<+==Β?
0 9 9 ∃∃ ∃ 90∀
9 90 # ∀ / ∃
∃∀( ∃9 9∀,∃
# #
+∀ , 9 9
)∀ ≅ ∃ ∃ ∃ ∃# 0 # ∃ ∀% ∃ # # / ∃∃
∃ #∀
∃# ∀9 9 ∀ #2
Β∀
9 0 9∀5 // Χ∃0 9#
∀ ! # / # ∃
+
∋ # ∃ # 90 ∃ # ∆∀
& ∀
)
∋ 9 # ∃∃#
# ∃9 ∆ # ∀ # ∃9 9 # # ∀ ≅ 0∀
Β
9 ∃ 9 9 9 # 9 ∀ 9 ∃9 ∃ # 9 ∀ % 9#
9 / ∀
>
∀ ∃9 90 ∀ # 90 ∃ ∃ 9 #
#
+∀5 #∃
90 ∀ 4 ∃ 90 # # ∀ # / 9 ∃ 9
# 0 ∃ 9 9 ∃
)∀ Ε # ∃ 9 # / ∃9∃9 0 9#
∃9 ## ∀
∃ 9 9# 9 9 9 # # 09 ∀ 9 ∃ 9
∀, 99 ∃ 9 # ∀
#9∃ ∃909 / ∃ 9 ; 9 0Φ# ∀ 4 2 9 19 ∃ 9# # #
Β∀
+
9 9 1 ∃ ∃9990 ∃2∀9 ∃9 99 #∃
9 # ∃ ∀
)
5 # Γ Η 9
∃∃ Χ 9 # # 9( ∃ Φ# ∀ # ; # ∃9∀ 9# # 9
### ∀
Β
Ε 0 ∃
# ∀ % Ι∀ϑ∀ Κ # ∃ #
# ∃9
∃ # ∀<Κ #+=>=?
=
∀∀#
Χ # 9∀5 9 9#
∃ # 3#
9 9 ∃∀ ≅ ∃ ∃ # ∀ % 9# 9 ;9 1 /∀% # # ∀
#∀& # <#? #
# ∃9 ∀ % 9 9# ∀ 9 9 # 1/
# ∀ 9 # % Λ 9 0 # 9
# <Λ +=>Β +=>=?∀ # 9# 90∀(/ #ΑΑ ∀9 2 # 9 ∀ # ∀
∀∃ !
Χ ∃ # 0 ∃ ∀ 9 3# ∃∀ 5 ∃ #2 ∀ ( 0
# ∀ ∃ 0 9 9 9 ∃ 3# ∃∃ ∃ 9 9 ∀ ∃∃ # ∃; 9∀
9
∃ Γ9
∗ 9 ∀ ( # ∃ 9 # 9 ∃ 0 # ∀ 9# 9 # ∀ ( / ∀ 9 ∃ 9 9 # ∀
% 9 9 ∃ ∃ ∃9
# ∀ ## ∃ 9
# 9 # 9 ∀ 9 ∃
∃ # # ∃∀ ∃∃
9 9 # 2 ∀
Ε 9# ∀
∋#9 #
< ?∃∃∃
∀ ∋# 9 # #
∃ ∃9 ∀
∗∀&/ 99 9 <#Φ Φ ∀?∀
Α Α99 ΑΑ
+∀&
91 9 ∀9
∃ ∃ 9 9 Φ # ∀ 5 #∃ # 9 ∀
∗∀9∃
∀9∃
+
9 9 ∀ ∃
∀ 9 +Φ Γ ∃
9 9 ∀
+ ∃ 9 ∃ ∀ &
9 9 ∃ 9# ∀ 9 ∃ / ∃
∃9 Ι / ∀ 9 ∃ 3# # # <?∀ 9 9# 90# ∀(9 9 9
<∃ # Ι ∀?∀ (
∃9 ∀
∀99<? ∀ ∃9# 9 #9
# ∃ / ∀9∃∃ 1 ∃ / ∃ 9
+Μ∀
∃#
# ∀ & #
#
< ?∃∀ ∃ # 9 ∃∃ 9
# ∃ 9 1
/ 9
)∀
# ∀ ΑΑ
∃ # ∀9∃∃ ∃
#9 ∀Ε#∃
9 9 ∃ 9 9 9 ∃ # 9 9 ∃ ∀ ∀ # 9 9 9 ∀4 ∃
# # ∀ % # ∃ ∀
+
9∃ +Φ ∃
9 ∀# Γ 9
∀9 ∃9#∀
)
≅∃ <?ΝΟ1Ο∀
9∃ ∀ 4
/ ∀ #
9 ∀
)
∀)
6 ∃ <?
∀ 5
∃ # <Η# +=∗?∀#
3# ∀#9 9
#9∀9 9∃#
9
+∀ 9#
# # ∀ # 9 9 ∀ & ∃∃ 9# # ∀ &
9# # ∀ 9 9 # # ∀ 5 ∃∃ ∃
# 9 <
# ?∀
∃ ∃ 9 # ∀
≅ ∃ ∃ # ## # ∀
∃ ∃ / 9 9 < ?∀ 9 # ∃∃
# ∃ ##
)∀
∃ ∃∃ 9 9
∃ # 9 9 ## < ?∀5#
∃9 ∃ 9 ∀ ≅ ∃9 9Α /Α∃9#
Β∀
+
# ∀ ∃ 9 9 < ∃? ∃9 ∃ 9 # 9
∃∃9∃<?Π∀
∃ ∃ # <? Π ∃ # <
## ? ∀ ∃<# ?#∀
)
9# 9#
∀( 9Α∃Α ∀
Β
9 3
<?∀ ( # ; # 9 1 # 9∀ &
# # # 9∀ 9 ∃ ∀ %∃ ∃∃
∃ / ∀ 9 ∀
9 9∀
Β
% / 9 ∃∀ 9 ∃ # # ∀ 4 # / 1 <∋?
∃∃Η∋ ∋9 9 ∋ ∋Ε # ∋ 9 9# ∋∀
∃∋ Η<∋?ΝΗ∋1∋Ε∀
# 9∋# 9 9 ∀ ( 9
#∀9 # 9 # 9# #
# # ∀:∃9 9∃9 ∃
∃∃∀≅# 9 9 9 ∃∀
5 9 # 9∃ ∃ 3#
#∀Ε 9∀Ε9
∃ ∃ 9# ∀ ∀∋ 9#
1∃∃ ∀ 9 ∃∃
∀ Ε # ∃9 3# ∃ 9# < ∀ ? # #∃ ##
# ∃ ∀ %
∃∃9 / 3#
9# ∀ ##∀
∀&# !))
Α∀
∀ ∀ Α <ΘΓ +==Β?∀
# Γ 9<?
<?∀
∃ ∃∃ ∋
) ( ) ( )
( A a A i A
fr = − ∀
% ∃ ∀ ∃ #<? ∀
∃ Λ # #
) ( )
( A a B
a alors B
A ⊂ ⊂
∋ # <Ε<∋??∀ 4 <Η<∋??∀
∀
∀(!
# ∀ #∀ 0
# ∀# 9 ∀(
991∃# ∀9 ∃ ∃ ∀ 5
# 9 ∃ ∃∃ ∃ 9 1 # ∀ 9
∀
# ∀ < ?
90
# 90 #
91 ∀ 90
∃ 9 9 ∀
7
∃
≅ ∃ 0 # ∃ ∃ ∃∃1 ∀
∃ ∃ Χ ∃ 0 ∀&
∃
# ; ∃ ∃
## ∀∃#
# ∀ # # ∃ ∀ ∃∃
∀ ∃ ∀ ∀ ∃ ∃∀
# ∀ ∀
∃∀!+!!
∃0#
# Χ∃∃ 0Μ / ∃
9∀ % ∃ # ∃ ∀ ∀ ∃ ∀
5 / ∃∀%
+
! # ∃ ∃ 0
0 ∀
8 ∃/ ∃ 2 ∃ 1 ∀ # / #∃
∃∃ ∀
∋#
∀ ∃∀
Φ ∃
− 0 ∃Φ∃# ΦΦ∀
− ∃
# ∀∃
∃ ∀
∀ 1 ∃ # / # ∃∃ ∀
∃∃,
# # ∃
# ∀ ; ∀
( ∃
∃∃ ∀(
∃ ∀
( ∃ # ∃
∀ / # ∀ 1/
∃ #
∀∀1/ ##∀
( ∃ ∃
/ #
# ∀ /
>
Γ # # ∀
# / ∃∀
∃ # # ∃ ∃ ∃ ∀
% # ∃ #
%# 4#
, , % 1 5 % 1
∃ !!
& ∃ ∃
∀ ∃ ; ∃ / ∃ # ∀ ∋ # ∃
∃ ∃ ∃ / ∃ Ρ
∀
5 / ∃ ; ∃ / ∀ ∃ ∃ #
# #∀
# ∀
∃
∃
∀
=
% !
0 # ∃ ∃∃
∃ # # ∀4 # 0 ∃ ∃ ! ∀ ∃ # ∀
4 ∃ ∃ ∀ ∀ ( ∃ ∃ ∃∀
∀−
.+)! ) ) # # Γ
#∃∀ ∃ ∃ Μ ∀ <#
? #
#∃∀
# # # ∃∀
Μ
Μ ∀
∃Μ ∀
∃ ∀ ∃∃ <
? # ∃ 0
Χ ∀ − . 9
7∗
9 #∃ # ∀ ∃ ∀
% # ∃ − . − . ∀
∃−! ! !,
2 3∀ &
2 3∀ ∋ ∃ <
# ? ∀
& 2 ∃ # # ∀ 3 2 ∀ ∋ ∃ 3 2∀ ,
# ∀
Μ
Σ ,Σ!∀( ∀
& ∃
+, # ∀
∗! ! /∗0 Θ4 Σ
∃
:1 ! , Μ Ε &!( < 9 9
? ,!ΗΕΤΕ &!( < ∃ Χ ∃ 9 9?, ,(ΤΕ &!(< ,!5((∃
9 9? ΥΤ( < 9 9
Β?∀
1 ! , Μ ∋(5 < 9 9∃
9 ? (:&,%( (! %&Θ, < 9 9∃ ? (:&,%( (! ≅Ε&,(≅ < 9
+
% #ςς Ι∃
)
∃
∃ ∀41 ΑΑ Χ ∃ ∀
Β
∋ ,!5((∀
7+
Ω9 #?6∋Θ,∋Σ(Τ(:&,%( (!<9 ∃ ∃ Γ
∃?∀
1 . , 7 Μ (5%∋(ΤΛ(≅ ≅Ε!Ε!Τ6ϑ4≅Ε
≅Ε!Ε!ΤΛΕ,(ΤΗ(≅≅((ΥΕ!(Τ∋,Λ,(ΥΕ!(Τ6∋Θ,∋ΥΕ!(Τ6ϑ4≅Ε∀,9 9 Γ∀
1∋! , Μ∋≅≅(ΗΕ&≅ΤΕ %(Ξ(<9 ∃ 1 Β∗ ∀ Γ
# # ? !Ε(&4Τ≅Ε&,(≅ <& 3 2 ∀, ?!Ε!ΤΕ &!,∋,Ε!<9 9 ?≅Ε!Ε!Τ≅Ε&(<9 9 ∃ Φ < # Ψ? 9 # 3 ∃ 9 # # # 2 ?∀
Μ
- ≅Ε!Ε!Τ≅Ε&(
- !Ζ&4Τ≅Ε&,(≅∀
Θ4 Σ ))∗)) 2 +=∗Β 3∀
!Β++ 2)∗+3∀
)! ! 2 ∃ ∃ ∋≅ & ≅ ,(≅(5 ∃3#
#
9∀∋ 3 9 ∀
−) )
Σ ∃
9
4 Σ# ΛΘ∀%
Ι ∃ ςς∀ ∃ ∀
7) ∀
3−3∀4))!! ! !) !
5 ≅Ε!Ε!Τ≅Ε&(
4 Θ4 Σ 2 9 ∃ Φ ∀ 9 # 3 ∃ 9 #
# # 2 ∀ #
∀ ! ∃ ∃ ∀
4Σ #Μ
Η,4 56∋%( ΤΗΕ! Τ%6ϑ5,: !ΘΤΛΕ,(5
!
∃
∀
Η 9 ∃ <
?∀
Μ
# #
# #
# <
?∀
∃ Μ #
< ∃1
)
∀?∀
!
# ∃
2
∀
≅(5Τ∋(5 %Ε5Τ5Ε ≅(5ΤΛ(≅ 5(!5 , ,(
≅ 9
Μ
2∀
%
Μ
9
2
∀
5 ∀
#∀
!,Λ(∋& ≅(5Τ%Ε,45 ≅(5Τ6∋& ≅(5ΤΕ!Σ ≅(5Τ∋≅Σ
!#
Μ
9
2 # 9 ∀ %
# ∗
#
≅
∀
≅
∀
≅
#∀
≅
9∀
7Β
ς+ # ∀
∋Τ4∋!Σ(≅ ΛΕ,(ΤΘ&5 ≅(5Τ ∋≅ ,Λ≅∋,5Ε! ,≅&Τ,!
,
∀
Λ Μ
∃ 9 # 2 ∀
≅
Μ
#
∀
6
# ∀
!Ε Τ≅&(Τ4 !Ε Τ≅&(ΤΣ ΘΕ≅!Τ4(ΘΤ4 ΘΕ≅!Τ4(ΘΤΣ ΘΕ≅!ΤΗ,!Τ4
! 2
∀
! 2
∀
Θ
∀
Θ
∀
Θ
∀
ΘΕ≅!ΤΗ,!ΤΣ ϑ%Τ∋4≅ ,!5((ΤΕ 4 ,!5((ΤΕ Σ !& Τ≅Ε&
Θ
∀
9 ∀ ![ ,!5((
2
∀
![ ,!5((
2
∀
! <Μ∋++?∀
!Ε Τ,, ,5(Τ5(≅Λ %∋!!Τ4(Θ %∋!!ΤΗ,! Η(≅ Τ5∋,5
!9 ∀ 4 # 2∀
% % Η
∀ ϑ%Τ4Ε!!( ,4ΤΣ(Ε≅Ε&
Μ ∀
![
Σ ∀
∋ Μ
- ,4ΤΣ(Ε≅Ε&Μ ∃ 2 ∀ ,
∀
- ΤΗ
- Τ%6ϑ5,:
- ≅(5Τ∋(5 - 5(!5∀
5(!5 ∃∀
Τ%6ϑ5,:ΤΗΕ!≅(5Τ∋(5 # ∃ ∀ 2 ∃ Μ
- 4Τ%6ϑ5,: Α ΑΑ ΑΑΑ∀
- 4ΤΗΕ! Α0Α∀
- 4≅(5Τ∋(5 ΑΑΑ ΑΑ #
ΑΑ ## ΑΑ #Α∀
7
4 2 0 2 Γ99#
∀ ( ∃ Γ 0
+∀
5 !Ζ&4Τ≅Ε&,(≅
& 3 2 ∀ , ∀
!Ζ&4Τ≅Ε&,(≅ #Μ
Η,4 56∋%( ! ϑ%Τ4Ε!!(
!
∃∀
Η 9 ∃<?∀
! 9
!9 ∀
&
∀ ,4ΤΣ(Ε≅Ε&
![
Σ ∀
% 9 ,4ΤΣ(Ε≅Ε& !∋&≅( ∀ !∋&≅(
# # ∃∀
2 3 2 ∀
3−3∃4 !5)! !!
∀ # 0 #
∀ ∃ # 1∀ 2 3∃# ∃ Μ
∃ 2 ∀
2 ∀ ∃ < 2
# Φ ?∀
3 Μ3 2∃∀
+
% Λ Γ ∀
7
∃ 2 3 3 #∀ ∃ 2∀
∀ , Μ
2Μ
3Μ
∀ Μ
3 2∀
3 # ∃ 2 ∃ # ∃ ∀ ∃ 2 / 3 #∀
,4≅Ε!∴Ε!
,4!Ζ&44(4(%∋≅
,4!Ζ&449∋≅≅,Λ(( Ε!Σ&(&≅(! (≅(
( %54(%∋≅Ε&≅5 4&≅Ε!Ε!
(!5(Ε!4(
+∗∗∗∗∗∗ )∗∗∗∗∗∗ )∗∗∗∗∗+ ∗ )>>
+∗∗∗∗∗+ )∗∗∗∗∗+ )∗∗∗∗∗∗ Β∗ Β7
(∀ (∀ (∀ (∀ (∀
,5(4(5,44(5!Ζ&45 4&Σ≅∋%6(%∋!∋,≅(
)∗∗∗∗∗∗
)∗∗∗∗∗+
(∀
!3 #
!3
77
,4≅Ε!Ε! ,4!44(%∋≅ ,4!4
∋≅≅,Λ((
∋ 3 3 #∃
2
∋ 2 Θ4 Σ 3∃
2Μ !3 !3 #∀ ( ## ∃ ∃∃
2 #3∀Ε ∃∀, 11 ∃ 23 # 2∀
3 3 #∃ 2∃
∀
!4 !4 #
5
3 # ∃ 2 (5≅,
+−!3
# %.∀
5 ∃
∃∀% ∃ 2Μ
∃∀
% ∀ ∋
### ∀,
∃∃ ∀
! 2 ∃ Μ
+
5 5,Σ∋ ,∀
,4!4
78
# ∃ ∀ 2 ∀ 2 ;
Γ ∆ #∀ # ∃Μ 2 # # ∀
# ∃ / ∃ 2∀ 2∃
∀ 2 ∃ 0∃ 2 ∀
% 2 ∃
)
Μ
2∃
3 2
∀ ∃ 2 3#
+∃∀
5
, 3 ∃ # 2 9 # 9 ∀ ∀ 4 Θ4 Σ 3∀
Ε ∃ 3 # 2∃∀
3 ∀ 2 ∃9 /
#9 ∃9∀
%
,
∃
7>
∃ 2
∃∃∀
∋# 9 ∃∃
∀4Θ4Σ Α5Α< ?Μ
Μ 2
Μ ∃
3 3 #∀
# Μ 2 9 # 3 # 3 ∀
!!
9 ∃ 2 Α Α∀
3 9 # # 2 2 ∀ 4ΘΗ ςς Ι ∃ ∃ ∀
∋9 Μ
∋ Μ
,4≅Ε!∴Ε!
,4!44(4(%∋≅
,4!449∋≅≅,Λ((
+∗∗∗∗ ))))) ΒΒΒΒΒ
! 5!
∋ 2 Α5 # Α # #Μ∋
2 Α5 # Α 3 3 9 # # < 3 # 3 9 # #1# ?
∃9#Α5 Α∀
∋ 2 # ∃ ΜΑ5 Α∀
3−34 !) ! !!)!
9 Μ
- ∃
,4≅Ε!∴Ε!
,4!44(4(%∋≅
,4!449∋≅≅,Λ((
+∗∗∗∗ ))))) ΒΒΒΒΒ
)∗∗∗∗ ΒΒΒΒΒ )))))
7=
- ∀
∃ ∃ 2 9 9∋ ,
+∀
∋ 9 #
∃ 2ΩΦ∀Γ∆# # # ∀ 2 # Γ ∆ 9# ∀( Γ
∆ # ∃ # Γ # Γ ∆ # ∃ # #∃ ∀4 # 0 < ∗ΩΦΓ =∗ΩΦ Γ ?∀
!)!5 !!! !!4
22#Μ - % + 2Μ∗ ]∗ΩΦ
- ΩΦ <∗⊥∗∗∗∗? Ν ∗∗∗∗>
<∗∗∗∗>_Β7∗∗?Ν)>>∀
+& <∋ # ?∀
0∃Θ4∃ <
∃∀?∀% 0 Θ4Σ
,,∀∃
∋
:1
Θ Θ
≅ +
≅ ) Λ
ΚΦ 6
∋
6
∋
6
∋ 6
∋ 6
∋
6
∋
% +Β∗ ++∗ +∗∗ =∗ 8∗ 8∗ =∗ ∗ =∗ ∗
% +Β∗ ++∗ +∗∗ =∗ ∗ ∗ > >
5 ∗ ∗ + + >∗ ∗ >∗ ∗ ∗ ∗ + + >∗ Β >∗ Β
4 ∗ ∗ 8∗ ) 8∗ )
,4
≅Ε!∴Ε!
,4 !Ζ&4 4(
4(%∋≅
,4 !Ζ&4 49∋≅≅,Λ((
Ε!Σ&(&≅ (!
(≅(
( %5 4(
%∋≅Ε&≅5 4&≅Ε!Ε!
(!5(Ε!4(
+∗∗∗∗∗∗ )∗∗∗∗∗∗ )∗∗∗∗∗+ ∗ )>>
+∗∗∗∗∗+ )∗∗∗∗∗+ )∗∗∗∗∗∗ Β∗ Β7
8∗
- % )
2ΜΒ∗ ]Β∗ΩΦ
- ΩΦ <Β∗⊥Β∗∗∗∗? Ν ∗∗∗+
<∗∗∗+_Β7∗∗?ΝΒ7∀
3−3&46 5 )
∃ / ∃∀, 23∀
∋ / ∀
∋ Μ
- +87 2+Β++3 - )8+> 2))∗Β3 !∀
3−3(47 ,
# ∀ ( #
# ∀
∀
∃ ∀
4 ∀ ( ∀ ≅Ε!Ε!∃ ≅Ε∋4(∋&Ε≅Ε&(∀
4 3 2 ∀ 3 # 3
# 3 ∀ 4
∃ %Ε≅ %Ε≅ ∀
≅Ε∋4(∋&Ε≅Ε&(
∋ ≅Ε!Ε! 2 ∃ ∀ 2 ∃ ≅Ε∋4( ∋&Ε≅Ε&(
≅Ε!Ε!∀ ∃
8+
∃ ∃∀
≅Ε∋4( 2 Α Α Α∃1 Α − .∀% 2#
9 ∀
∋&Ε≅Ε&( 2 Α Α∀
%Ε≅5
%Ε≅5 Μ - 3 2≅Ε∋4(∀
- ∃3 11 # ∀
- 3∀
/ # %Ε≅5 ∀
& )
3−3∀4 !!! !8, !!
4 ∀
Μ
≅ Μ 9 # 9 ∀%
Θ4 ,Σ!
∃Θ4Σ ∀% ! ≅Ε!Ε!Τ≅Ε&( 2 ∀
6 Μ 9 # 9 Γ∀
ΥΤ(Μ9Γ9∀
3−3∃4) !!! !
4 9 Μ
3# ∀ ∀
8)
3 ∀
3 9 ∀
∀
% 3 3 ∀
& Μ ∃ 9
∃ 23 ∀
∃ ∃9 2 ∃9 #
∃ 2∀
3 # 9 #Μ
( Μ 3#∀
5 Μ3# ∀
5 ∀
Μ
#
3 2 ∃ 2∀
∃ 3 < ∃
? #∀ ∃
# Γ ∆ Μ # ∀
Β4 ∋ ∋ ∀ ( ∀ 9 9 ∃3∃ # ∃30∃93 ∀
∋ 9 ∃
∀ (
∀,
< #
∃ Φ ∃ 3?
8Β <
∃9∋
+?∀
∀
# ∃∀
Γ∀∋# ∃ Γ
∃ Γ∀
≅
∋ # # <
3 3? # ∃ ∀
Ν
Ν#
Ν# ∀
≅ ∃]
∃ # ∀ Ν Τ
Ν ∃ Ν
+ <ΙΩ? # # 1∀