x z
h
Figure1: Geometrie du probleme.
1. Introduction
Il est bien connu que des digues ou des caissons perfores sont des systemes eÆcaces pour
dissiper l'energie des vagues : les caissons Jarlan (Jarlan 1961) sont largement utilises pour
amortir les clapotis dans les ports ; des digues perforees sont envisagees comme systemes de
protection c^otiere (voir par exemple Bergmann & Oumeraci 1999 ou Clauss & Habel 1999) ;
dans les bassins d'essais les "amortisseurs de houle progressifs", consistant en une succession
d'ecrans perfores, remplacent avantageusement les classiques plages de deferlement (Jamieson
&Mansard 1987).
Le dimensionnementde cesouvrages est longtempsreste tresempirique.
En 1992 Molin&Fourestontproposeunmodeletheorique permettantdesimulernumerique-
mentlefonctionnementdesamortisseursdehouleprogressifsproposesparJamieson&Mansard.
Cemodelefaitappela latheoriepotentiellelineariseeetpostulequelesperforations(oufentes)
causent despertesde charge proportionnellesau carre de la vitesse traversante. Cette relation
de perte de charge est ensuite prise en compte de facon moyennee sur un grand nombre de
perforations. Lescomparaisonsalorseectueesentreles resultatsdumodelenumeriqueetceux
desessais deJamieson&Mansard ontete encourageantes. Parlasuited'autres geometries ont
ete considerees, suivantlesm^emesprincipestheoriques, commeuneplaqueporeusehorizontale,
immergee sous lasurfacelibre (Molin&Betous 1993, Molin2001).
En depit du succes obtenu l'approche theorique suivie dans ces travaux souleve un certain
nombre de problemes auxquels il n'a pas encore ete apporte de reponses satisfaisantes. Par
exemple:
Quelleest lavalidite de la relationquadratiquede perte de charge utilisee, en fonctiondes
caracteristiques de l'ecoulement,du taux de porosite, delaforme desperforations,etc. ?
Les eets visqueux sont-ils vraiment limites au voisinage immediat de la paroi? N'y a-t-il
pasd'emission de grosses structures tourbillonnaires?
Comment prendre en compte le deversement observe a travers la plaque au niveau de la
surfacelibre,d^ua ladierence des niveauxd'eau de partet d'autre ?
Pour repondre a ces questions des comparaisons nes entre calcul et experience s'averent
necessaires. Pour cela la geometrie simpled'une seule plaque verticale, sans mur reechissant
en aval, aete retenue.
On presente tout d'abord le modele theorique, qui est une extension au deuxieme ordre
d'approximation du modele linearise presente dans Molin & Fourest (1992). Par "deuxieme
almchaud.
ordre"onentendici"phenomenesprenantplacealapulsationdoubledecelledufondamental",
comme on en met en evidence lorsqu'on suit la procedure de Stokes. Ce developpement a ete
motive par l'observation visuelle de l'emission d'ondes courtes a partir de la plaque, et par le
fait que c'est a cet ordre qu'appara^t la diÆculte de la modelisation du deversement turbulent
al'intersectionplaquesurfacelibre(gure 2). Deux autresphenomenesconcourenta l'emission
d'ondeslibresde pulsation2! : les non-linearitesde surface libreau voisinagede la plaque,et
celledelaconditiondepertede charge asatraversee, danslatranche d'eau. Cesnon-linearites
de surfacelibre sont directement reliees au taux de modesevanescents de part et d'autre de la
plaques,cesmodesevanescentsetant eux-m^emesliesa lanon-linearitedel'equation depertede
charge.
On presente ensuiteles essais quiont ete realises danslecanal ahoule de l'ESIM,eton com-
pareles mesureseectuees avec les predictions dumodeletheorique.
2. Modele theorique
2.1 Condition de perte de charge
Laconditiondepertedechargedel'ecoulementalatraverseedelaplaqueperforeeestidentique
acelleutiliseedanslesetudesen reference (Molin&Fourest1992, Molin&Betous1993, Molin
2001). Lesperforationssontsupposeespetitesdevant l'amplitudedumouvement desparticules
uides,etaanglesvifs,sibienquel'ecoulement s'ysepare. Onen deduit,parsimilariteavec ce
quisepasseenecoulementpermanent(atraversundiaphragmeparexemple),queledierentiel
de pressionest proportionnelau carre de lavitesse traversante:
P =
1
U jUj (1)
dutaux de vide,du nombrede Reynolds,etc. Typiquement est voisinde 0.5.
On passe alorsau cadre asymptotique ou les perforations sont tres petites et nombreuses,et
on introduit des valeurs locales moyennees du dierentiel de pression, soit p, et de la vitesse
traversante, soitu. Cesquantitesserelient auxprecedentes par:
p=(1 )P u= U
etant le coeÆcient de porosite, deni comme le rapport de la surface des trous a la surface
totale.
L'equation (1)devient :
p=
1
2 2
ujuj (2)
On suppose ensuite que les eets d'origine visqueuse (sillage, vorticite) restent connes au
voisinage immediat de la paroi poreuse, si bien qu'il est possible de faire appel a la theorie
potentielle pour modeliser l'ecoulement exterieur. La pression se relie alors au potentiel des
vitesses (x;z;t) parlarelationde Bernoulli-Lagrange:
p=
t
gz 1
2
(r) 2
(3)
Developpement aux ordres 1 et 2 de la condition de perte de charge
On suppose, classiquement,l'existenced'unpetit parametre ,assimilea lacambrurek
0 A de
lahouleincidente,tel quetoutesles grandeurs(potentiel, vitesse, pression,elevation desurface
libre)soientdeveloppablessous laforme:
=() (1)
+( 2
) (2)
+::: (4)
En houlereguliere depulsation! touteslesquantitesde premierordresontharmoniquesala
pulsation! :
(1)
(x;z;t)=<
n
' (1)
(x;z)e i!t
o
(5)
On en deduit que celles de deuxieme ordre comprennent un premier terme independant du
tempset un second uctuant a lapulsationdouble:
(2)
(x;z;t)=' (2)
0
(x;z)+<
n
' (2)
(x;z)e 2i!t
o
(6)
On ne considere icique ladeuxiemecomposante, a lapulsation2!.
Au deuxieme ordre inclus, pour une plaque verticale, la condition de perte de charge (2)
devient :
( (1)
gt
(1)
dt
) ( (2)
gt
(2)
dt )
1
2
h
(r (1)
g )
2
(r (1)
d )
2 i
=
1
2 2
u (1)
+u (2)
u (1)
+u (2)
(7)
les indices
g et
d
referant aux sous-domaines uides a gauche et a droite de la plaque, situee a
l'abscissex=0.
Ilseposedoncleproblemedudeveloppementduproduit u (1)
+u (2)
u (1)
+u (2)
auxordres
1 et2. Pour cela, u (2)
etant suppose petit devant u (1)
on eectue un developpement de Taylor
suru (2)
ce quidonne:
u (1)
+u (2)
u (1)
+u (2)
=u (1)
ju (1)
j+2ju (1)
ju (2)
+O
(u (2)
) 2
Les composantes u (1)
etu (2)
uctuent respectivement auxpulsations ! et2! :
u (1)
=u cos(!t+ ) u (2)
=u cos(2!t+ )
On en deduit,pourletermeu ju j:
u (1)
ju (1)
j=u 2
1
cos (!t+
1
)jcos (!t+
1 )j'
8
3 u
2
1
cos (!t+
1
) (8)
Pourle termeju (1)
ju (2)
,il s'agit dedevelopperen seriede Fourier uneexpressiondu type :
F()=jcosj cos (2+ )
ou onne s'interesse qu'aux termes en cos2 etsin2. Tous calculsfaitson obtient :
jcosj cos(2+ )=:::+ 2
cos (2+ ) 2
15
cos(2 )+:::
On eectueicil'approximationqui consistea negliger ledeuxiemeterme, en cos (2 ).
La condition de perte de charge nous donne donc nalement, aux ordres 1 et 2, en fonction
despotentiels ' (1)
et' (2)
:
A l'ordre1 :
i!
' (1)
g
(0 ;z) ' (1)
d (0
+
;z)
=
4(1 )
3 2
k' (1)
x k'
(1)
x
(9)
A l'ordre2 :
2i!
' (2)
g
(0 ;z) ' (2)
d (0
+
;z)
1
4
' (1)
gz 2
' (1)
dz 2
=
2(1 )
2 k'
(1)
x k'
(2)
x
(10)
On aicitenu comptede laconditionde conservation de lamasse atraversla paroiporeuse:
' (i)
gx
(0 ;z)=' (i)
dx (0
+
;z)=' (i)
x
(0;z) i=1;2 (11)
On aaussi applique larelation:
<
ae i!t
<
be i!t
= 1
2
<
abe 2i!t
+ 1
2
<f ab
g
Enndans (9)et(10) kk designe lemodule dunombrecomplexe.
Notonsenpassantquel'egalitedesvitesseshorizontales(11)assurelaconservationdelamasse
localement, du fond (z =0) au niveau moyen de surface libre (z = h) mais que, au deuxieme
ordre d'approximation, le debit global n'est pas conserve. En eet il decoule de la perte de
charge que leselevationsinstantanees (1)
de partetd'autre de laplaquene sont pasegales.
2.2 Resolution a l'ordre 1
SoientA
I
l'amplitudeet!lapulsationdelahouleincidente,quisepropagedegaucheadroite.
Le potentiel des vitesses, dans les deux sous-domaines a gauche et a droite de la plaque, est
exprime sous laforme:
' (1)
g
= A
I g
! (
coshk
0 z
coshk
0 h
e ik0x
+Re ik0x
+ N
X
n=1 a
n cosk
n ze
knx )
(12)
' (1)
d
= A
I g
! (
coshk
0 z
coshk
0 h
T e ik
0 x
+ N
X
n=1 b
n cosk
n ze
k
n x
)
(13)
ou lesnombresd'onde k
0
; k
n
sont les racinesde :
! 2
=gk tanhk h= gk tank h (14)
eÆcients a
n , b
n
des modes evanescents. Il est necessaire d'introduire ceux-ci en raison de la
non-linearite de laconditionde pertede charge.
La conservation de lamassefournitimmediatement :
1 R=T b
n
= a
n
(15)
DeR+T =1ondeduitqu'aumieux50%del'energiedelahouleincidentepeut^etredissipee.
Eneet le tauxd'energiedissipee vautalors :
E
E
=1 RR
TT
=R+R
2RR
=2 cos 2 2
ou R= exp(i). Le maximums'obtient pour=0et=1=2et vaut1=2.
Tenantcomptedesrelations(15)onecritvitessehorizontaleetsautdepotentielsouslaforme:
' (1)
x
(0;z) = A
I g
! (
coshk
0 z
coshk
0 h
ik
0 T+
N
X
n=1 k
n a
n cosk
n z
)
(16)
' (1)
g
(0 ;z) ' (1)
d (0
+
;z) = 2A
I g
! (
coshk
0 z
coshk
0 h
(1 T)+ N
X
n=1 a
n cosk
n z
)
(17)
Ilne reste plusa satisfairequelarelationde pertede charge (9)quis'ecrit:
coshk
0 z
coshk
0 h
(1 T)+ N
X
n=1 a
n cosk
n
z=f(z)
coshk
0 z
coshk
0 h
iT+ N
X
n=1 k
n
k
0 a
n cosk
n z
!
(18)
ou :
f(z)= i
2(1 )
3 2
A
I gk
2
0
! 2
coshk
0 z
coshk
0 h
iT+ N
X
n=1 k
n
k
0 a
n cosk
n z
(19)
On utiliseunemethode iterative ou f(z) estobtenua l'aidedesvaleurs prisesparT etles a
n
a l'iteration precedente (ou plusexactement on prend la valeurmoyenne des valeurs obtenues
auxdeuxiterationsprecedentes). Al'iterationjf(z)estdoncdonnecequirendl'equation(19)
lineaireen T eta
n
. Onla reecrit sousla forme:
T
[if(z)+1]
coshk
0 z
coshk
0 h
+ N
X
n=1 a
n
k
n
k
0
f(z) 1
cosk
n z=
coshk
0 z
coshk
0 h
(20)
Onmultipliealorslesdeuxmembres del'equation(20)parcoshk
0
zet onlesintegreenz de0
ah, puisonfait de m^eme avec les cosk
n
z. Lesfonctions coshk
0
z et cosk
n
zetant orthogonales
sur [0 h] on obtient un systeme lineaire de rang N +1 a diagonale dominante. Les integrales
tellesque:
Z
h
0
f(z) cosh 2
k
0 zdz
Z
h
0
f(z) coshk
0 z cosk
n zdz
Z
h
0
f(z) cos 2
k
n zdz
sont calculeesen discretisant l'intervalle[0h]en N
s
segments surchacundesquels f(z) est pris
constant etl'integration faite de maniere analytique.
Le systeme lineaireest resolu parla methode de Gauss eton passe a l'iteration suivante. La
convergenceest obtenue en unedizained'iterationsau maximum.
On rappelle qu'on ne s'interesse ici qu'a la composante de deuxieme ordre uctuant a la
pulsation2!,soitdoncau potentiel' (2)
telque :
(2)
(x;z;t)=<
n
' (2)
(x;z)e 2i!t
o
La conditionveriee par' (2)
a lasurfacelibre moyennez=hs'ecrit :
g' (2)
z
4! 2
' (2)
=i!
r' (1)
r' (1)
1
2 '
(1)
' (1)
zz
! 2
g '
(1)
z
(21)
Les autres conditions aux limites sont la condition de perte de charge (10) en x = 0, la
condition de glissement sur le fond (z = 0) et les conditions de "radiation" en x = 1 (les
ondeslibresde pulsation2! sont sortantes).
Sil'onoubliemomentanement ledebitperdual'intersectiondelaplaqueetdelasurfacelibre,
ce probleme est tres similairea celui du batteur au deuxieme ordre, etudie, entre autres, par
Sulisz&Hudspeth(1993). Pourle resoudre, on commence parrechercher, dansles domainesa
gauche et a droitede la plaque, des solutionsparticulieres veriant (21). Parexemple, dansle
domainegauche, elleestde la forme:
' (2)
gp
(x;z) =
II
cosh2k
0 ze
2ik
0 x
+
RR
cosh2k
0 ze
2ik
0 x
+
IR
+ X
n
IE
(n) cos(ik
0 +k
n )ze
(ik
0 +k
n )x
+ X
n
RE
(n) cos ( ik
0 +k
n )ze
( ik
0 +kn)x
+ X
m X
n
EE
(m;n) cos (k
m +k
n )ze
(km+kn)x
(22)
On y superposeensuite des ondeslibres de pulsation2!, sortantes, d'aborden supposant la
plaqueopaque. Puison rajouteauxprecedentes denouvellesondeslibrespermettantdeverier
laconditiondepertedecharge(10). Dansledomainegauche cesondeslibressont delaforme:
' (2)
gl
=b
0 coshk
20 ze
ik
20 x
+ X
j b
j cosk
2j ze
k
2j x
(23)
ou lesnombresd'onde k
20
; k
2j
verient:
4! 2
=gk
20
tanhk
20
h= gk
2j tank
2j
h (24)
Faute de place on ne detaille pas davantage les ecritures, et on aborde, dans le paragraphe
suivant,leprobleme du debitperdua l'intersection surfacelibre- plaqueporeuse.
Modelisation du deversement a l'intersection de la plaque avec la surface libre
La relationde perte de charge impliqueque les elevationsde surface libre,de part etd'autre
de la plaque, sont dierentes. Visuellement on constate que de l'eau s'ecoule a travers les
perforations et ruisselle le long de la plaque. Ce ruissellement est bien visible sur la photo
(gure 2). Ilestillustreschematiquement surla gure3.
Pour calculer le debit associe, on peut considerer que, au voisinage de la surface libre, la
pressionesthydrostatique. Onen deduitlavitesse traversante parlarelation(2). Considerant
parexemplelecas ou l'elevation est plusforte a gauche qu'a droite,on obtient comme debit:
Q= Z
(1)
g
(1)
r
2 2
1
q
g( (1)
g
z)dz (25)
z=h z=h
Figure 3: Deversement a travers la plaque poreuse au niveau de la surface libre. Illustration
schematique desphasesde cr^ete etde creux.
soit
Q= 2
3 r
2 2
1
q
gj (1)
g
(1)
d j
(1)
g
(1)
d
(26)
Si (1)
g
estinferieura (1)
d
,cette expressiondonneledebit rentrant dansledomainegauche.
Maintenant on se place dans un des deux sous-domaines, par exemple celui a droite de la
plaque. Lorsque (1)
g
est plusgrand que (1)
d
on a un debit supplementaire, prenant place a la
surface libre, non pris en compte par le modele potentiel au deuxieme ordre. Lorsque (1)
g est
pluspetit que (1)
d
rienn'esta modierdanslemodelepotentielpuisqueledebit sortant prend
sonorigine souslasurface libre (1)
d
. En resume,si onecrit :
(1)
g
(1)
d
=A cos (!t+ )=A cos
ledebit supplementaireentrant dansledomaine droitest :
Q
d () =
2
3 r
2 2
1
p
gA 3
cos 3=2
pour cos>0
Q
d
() = 0 pour cos<0 (27)
On developpe Q
d
()en seriede Fourier :
Q
d ()=
2
3 r
2 2
1
p
gA 3
( f
0 +f
1
cos+f
2
cos2+::: ) (28)
L'evaluation numerique donne:
f
0
=0:2782 f
1
=0:4577 f
2
=0:2385 (29)
On considere ensuite le debit supplementaire entrant dans le domaine gauche. Repetant le
m^eme raisonnement onobtient :
Q
g ()=
2
3 r
2 2
1
p
gA 3
( f
0 +f
1
cos f
2
cos2+::: ) (30)
Pourles termes constantsetde pulsation2! de Q
g etQ
d
lesvaleurs sontopposees: on peut
interpreter l'intersection surfacelibreplaquecommeunesource(dedebitcontinupourleterme
constant,pulsante pourceluide pulsation2!). Ils'ensuitquepourlacomposantede pulsation
