CONTRIBUTION A L'ETUDE DU FACTEUR DE FORME DANS LES MACHINES TOKOMAK

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Submitted on 1 Jan 1971

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CONTRIBUTION A L’ETUDE DU FACTEUR DE FORME DANS LES MACHINES TOKOMAK

Roland Nakach

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Roland Nakach. CONTRIBUTION A L’ETUDE DU FACTEUR DE FORME DANS LES MACHINES TOKOMAK. Journal de Physique Colloques, 1971, 32 (C5), pp.C5b-81-C5b-83.

�10.1051/jphyscol:1971583�. �jpa-00214802�

CONTRIBUTION A L'ETUDE DU FACTEUR DE FORME DANS LES MACHINES TOKOMAK Roland Nakach

ASSOCIATION EURATOM-CEA

Département de l a Physique du Plasma e t de l a Fusion Contrôlée S e r v i c e IGn - C e n t r e d l E t u d e s N u c l é a i r e s

Cédex 85 - 38 GRENOBLE Gare (France) Résumé

-

On résoud a n a l y t i q u e m e n t l e s é q u a t i o n s de l ' é q u i l i b r e m a g n é t o s t a t i q u e dans un systènie a x i s y d t r i q u e t o r o i d a l dont l a s e c t i o n d r o i t e e s t une courbe a p p a r t e n a n t à l a f a m i l l e d e s o v a l e s de C a s s i n i .

A b s t r a c t

The e q u a t i o n s of M.H.D. e q u i l i b r i u m a r e a n a l y t i c a l l y s o l v e d f o r an axisymmetric t o r o i d a l system whose s e c t i o n i s a C a s s i n i a n o v a l .

On s e propose de r é s o u d r e a n a l y t i q u e m e n t l e s é q u a t i o n s de l ' é q u i l i b r e M.H.D. dans un s y s t è w to- r o ï d a l a x i s y d t r i q u e dont l a s e c t i o n d r o i t e e s t une courbe a p p a r t e n a n t à l a f a m i l l e des o v a l e s de Cas- s i n i .

C e t t e f a m i l l e dépendant d ' u n paramètre. présen- t e l ' i n t é r ê t de f o u r n i r d e s courbes fermées q u i r e s s e m b l e n t ii c e l l e s que l ' o n a proposées dans l e b u t d ' a d l i o r e r l e s p a r a m è t r e s physiques d l é q u i l i - b r e des décharges Tokomak e t é v e n t u e l l e m e n t l e u r s t a b i l i t é .

En e f f e t s e l o n l a grandeur du p a r a m è t r e on p o u r r a a v o i r une o v a l e d' a s p e c t c i r c u l a i r e , e l l i p - t i q u e , en forme de d o u b l e t ' d o n t l a courbure p e u t ê t r e p l u s ou moins a c c e n t u é e , e n forme de p o i r e p o i n t u e ( m o i t i é de l a l e m i s c a t e de B e r n o u l l i ) ou de p o i r e a r r o n d i e .

I l e s t donc p o s s i b l e à p a r t i r des s o l u t i o n s a n a l y t i q u e s dépendant du paramètre d e l a f a m i l l e d ' é t u d i e r e n même temps l e s é q u i l i b r e s dans c e s d i f f é r e n t e s forams de coque.

Le système d e s é q u a t i o n s de l a M.H.D. i d é a l e s e ramène pour une c o n f i g u r a t i o n a x i s y k t r i q u e 2 l ' é q u a t i o n aux d é r i v é e s p a r t i e l l e s pour l a fonc- t i o n f l u x F, b i e n connue

CI

où R , < 4 , s o n t l e s coordonnées c y l i n d r i q u e s dans le système où f e s t l ' a x e p r i n c i p a l du t o r e .

R e s t l e grand rayon du t o r e .

p O e t Bi! s o n t l a p r e s s i o n c i n é t i q u e e t l a p r e s s i o n magnétique, f o n c t i o n s que de F.

jV l a d e n s i t é de c o u r a n t de décharge.

-

e t e 2 ( f ) s o n t des e x p r e s s i o n s l i n é a i r e . q u a d r a t i q u e ou e x p o n e n t i e l l e de F à l ' i n t é r i e u r du domaine d é f i n i p a r une o v a l e de C a s s i n i , avec l a condi- t i o n que F e s t constante s u r l e c o n t o u r .

( c o n t o u r s u r f a c e é q u i f l u x ) .

On donne l a s o l u t i o n sods forme d'un dévelop- pement a u l 0 o r d r e s u i v a n t l e paramètre de t o r o ï - d i c i t é :

6s - 4 %

où a e s t l a d i s t a n c e c a r a c t é r i s t i q u e t r a n s v e r s a l e , R,

de l ' o r d r e du rayon du plasma.

t e r c a s : On prend l e s e x p r e s s i o n s s u i v a n t e s pour

--- p ^{e t @ :}

P. + A F +

s-, a.+

où P.,p, e t c . . . s o n t d e s c o n s t a n t e s .

L e système é t a n t d e r é v o l u t i o n il c o n v i e n t de f a i r e l a t r a n s f o r m a t i o n : F= R ~ G C R , ~ )

En p a s s a n t dans l e système d'axes c a r t é s i e n dans le p l a n méridien, e t en développant s u i v a n t on o b t i e n t l ' é q u a t i o n :

-

où l e s c o e f f i c i e n t s q o , . . ,a,--., s ' e x p r i m e n t en fonf-

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:1971583

t i o n d e p l , p Z . . . Dans l e premier c a s on s p é c i f i e l e s c o e f f i c i e n t s bp e t p2 de manière à a n n u l e r d , e t O(,, on o b t i e n t a i n s i une é q u a t i o n de Poisson.

C e t t e é q u a t i o n correspond à un p r o f i l de c o u r a n t presque p l a t .

La s o l u t i o n de (3) e s t l a somme d'une s o l u t i o n p a r t i c u l i è r e e t de l ' é q u a t i o n s a n s second membre.

(Laplace) avec l a c o n d i t i o n que G e s t n u l l e s u r l e c o n t o u r . On s e ramène donc au problème de D i r i c h l e t pour l e contour où l a d i s t r i b u t i o n s u r l e con- t o u r e s t é g a l e à l'opposée de l a d i s t r i b u t i o n de l a s o l u t i o n p a r t i c u l i è r e .

Par l a t r a n s f o r m a t i o n conforme [3] :

w %

3 = i ( e +?) O 3 ^{x ;} + ( 4 )

e t en posant e 9 = Y on transforme l e contour e n un c e r c l e de rayon Y,

.

F= F. ^{+ S [ $}

+KI

a,, a , s ' e x p r i m e n t e n f o n c t i o n d e s c o n s t a n t e s p

O 9 1 '

p2 e t c . .

.

2 2 a Z c i e n t s de Fourier. des e x p r e s s i o n s X + 2 e t * x + % )

exprimées s u r l e contour grâce aux formules de l a t r a n s f o r m a t i o n conforme.

On exprime e n f i n l a s o l u t i o n e n f o n c t i o n uni- quement de x,y p a r l e s formules :

e t ^{b 6 p =} y c ~ l ~

e 9 S k Y =

-

2ème Cas : Dans ce c a s , e t , en p a r t a n t des &rgs

---

e x p r e s s i o n s ( 2 ) d e p e t -2 B on impose que d,, , V ,

s o i e n t n u l s s u r l e contour

.

La r e l a t i o n n é c e s s a i r e e t s u f f i s a n t e que d o i v e n t vé- r i f i e r l e s c o e f f i c i e n t s pour q u ' i l en s o i t a i n s i e s t

&,par bal, e t F e s t a l o r s é g a l à l a c o n s t a n t e -&

Spa s u r l e contour .

En f a i s a n t l e s t r a n s f o r m a t i o n s Gs F + k e t

H= ~ ~ w ~ , ~ ) ~ a s s a n t dans l e système d ' a x e s car- ZP*

t é s i e n dans l e p l a n méridien e t développant s u i - vant $ , on o b t i e n t l e s é q u a t i o n s d'Helmholtz à l ' o r d r e O e t 3 l ' o r d r e 1 s u i v a n t e s :

a z

e t 2 a 7 H* +aAi a y + ~ H , = - ~ Z H ~ ~ V ~ C H 4 = o s u r , (9) où Y. a e t K, s o n t des c o n s t a n t e s q u i s ' e x p r i w n t e n f o n c t i o n des c o e f f i c i e n t s d e p ( f ) e t $(F).

On f a i t l e c h a n g e m n t v a r i a b l e :

?-es 3 2 - ~ 2

? S i n e % - 2 X y L ' é a u a t i o n (81 devient :

avec l a c o n d i t i o n a u contour que $,=olorsque f e t t) s o n t l i é s p a r l ' é q u a t i o n de :

8'1p-e + d - c z = O

2 a ^{(1 1)}

en posant : W e = O(?) Z p + 4 - G

1 4 ⁽¹²⁾

l a s o l u t i o n à l ' o r d r e O s ' é c r i t :

où m e s t un e n t i e r p o s i t i f . &,est l a f o n c t i o n de Bessel d ' o r d r e 2m,K,est déterminé comme l a p l u s p e t i t e r a c i n e de l ' é q u a t i o n aux v a l e u r s p r o p r e s obtenue en annulant l e déterminant i n f i n i que nous f o u r n i t l a c o n d i t i o n au contour :

H , < C ) = ~ X , ~ , ( ~ ~ C * ) ~ ( W < ? $ ^{mie (14)}

o ù x e s t le polynôme de Tchebicheff d ' o r d r e m.

Pour a v o i r une s o l u t i o n non t r i v i a l e ( l e s non t o u s n u l s ) on o b t i e n t un système l i n é a i r e d'équa-

t i o n s i n f i n i a p r è s a v o i r développé x p b ~ h ~ T ( ~ * #

en s é r i e de puissance de

.

La convergence de ce systèmz é t a n t a s s e z bonne, on s e l i m i t e pratiquement à un système d'équations a l g é b r i q u e s d ' o r d r e 5 ou 6, s e l o n l a p r é c i s i o n dé- s i r é e , pour t r o u v e r l e s c o e f f i c i e n t s A .

Quant à l ' é q u a t i o n (9), l a s o l u t i o n s ' é c r i t c o r n l a souune d'une s o l u t i o n p a r t i c u l i è r e de 1 ' é - q u a t i o n complète e t de l a s o l u t i o n de l ' é q u a t i o n dfHelmhotz homogène avec l a c o n d i t i o n qu'au contour l a d i s t r i b u t i o n d o i t ê t r e l'oppoeée de l a d i s t r i - b u t i o n de l a s o l u t i o n p a r t i c u l i è r e .

Ihie s o l u t i o n p a r t i c u l i è r e de (9) compte tenu de ce que H, v é r i f i e (8) e s t :

H: = -kkr2-2))aL ^{4 k.} a x

- ^2rya4]

On c a l c u l e c e t t e grandeur s u r l e contour en fonc- t i o n de p e t 8 e t l a s o l u t i o n de l ' é q u a t i o n homo- gène p o u r r a s ' é c r i r e :

~ p p ~ p & K ,

?'.P4

H, = _pz* ^{(1 6)}

CONTRIBUTIONS A L'ETUDE DU FACTEUR DE FORME

où l e s c o e f f i c i e n t s ) + s o n t obtenus e n i d e n t i f i a n t l e s 2 s e r i e s i n f i n i e s en p u i s s a n c e de p ^:

de

HICC)

La s o l u t i o n f i n a l e s ' é c r i t :

3èm Cas : Cas de l ' é q u a t i o n de L i o u v i l l e - ---

A l ' o r d r e O c'est-à-dire en géométrie d r o i t e , on e s t ramené avec l e c h o i x d ' e x p r e s s i o n s exponen- -

t i e l l e s pour p (F) e t B2(f) ^à l ' é q u a t i o n :

2 G. 2

2

% ,a% = -Xe e ^où A. e s t une c o n s t a n t e .

a x 2 ayr

(18) La s o l u t i o n g é n é r a l e de l ' é q u a t i o n de L i o u v i l l e e s t :

G.

e = X A&) A'cI) ⁽ 19)

ha [ A C + ) A C Z ) + ~ ~

où A(2)est une f o n c t i o n quelconque de l a v a r i a b l e -

c0mple.e Z = g r i y avec A i t ) = 44 , 2 = z - i y

-

Le contour 1 a pour équation :

2 2 2

( y z - 2 - 1 ) ' + 4 ~ (a = G

s o i t : t

( Z = + , I Z % ⁴⁾ = ^{1; (20)}

Le problème e s t donc de t r o u v e r l a f o n c t i o n

A C t ) t e i i e que s u r l e contour c ' e s t - à - d i r e ï o r s - que Z e t 7 s o n t l i é s p a r l ' é q u a t i o n (ZO), 6n a i t

G, = 3, ⁼ c o n s t a n t e .

En f a i s a n t l e changement de v a r i a b l e f =

*"

- Z '

f ; &+ _r. l e c o n t o u r a pour é q u a t i o n $f

-

e t en posant u.=

5 + '

f

.

on o b t i e n t l ' é q u a t i o n d i f f é r e n t i e l l e o r d i n a i r e : 2

r ^u. +, .Q,- ^UIJ C ~= ~ J + 4 1

c

ce qui peniiet de déterminer l a f o n c t i o n A(i$par une q u a d r a t u r e , l a q u e l l e s'exprime en f o n c t i o n des po- lynômes de Gegenbauer de l a v a r i a b l e sinZ où :

C e t t e s o l u t i o n e l t évide-nt t r è s compliquée e t n é c e s s i t e un programm numérique pour l ' e x p l o i -

t e r ; p a r c o n t r e , pour l e s é q u i l i b r e s l i n é a i r e s ( é q u a t i o n s de Laplace, Helmholtz), l a s o l u t i o n ana- l y t i q u e du p r o b l è m de l ' é q u i l i b r e M.H.D., dans l a f a m i l l e des o v a l e s de C a s s i n i , s'exprime en fonc- t i o n d ' e x p r e s s i o n s a l g é b r i q u e s q u i ne semblent pas t r o p compliquées.

BIBLIOGRAPHIE.

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1970. 1970.

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