HAL Id: jpa-00248997
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Submitted on 1 Jan 1993
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Réduction de modèles par les cercles de Gerschgorin.
Application au modèle de la machine asynchrone
H. Guesbaoui, C. Iung
To cite this version:
H. Guesbaoui, C. Iung. Réduction de modèles par les cercles de Gerschgorin. Application au mod- èle de la machine asynchrone. Journal de Physique III, EDP Sciences, 1993, 3 (6), pp.1267-1281.
�10.1051/jp3:1993197�. �jpa-00248997�
J. Phys. III Franc-e 3 (1993) 1267-1281 ' JUNE 1993, PAGE 1267
Classification Physic-s Abstracis
02.70 06.70T 07.50
Rkduction de modkles par [es cercles de Gerschgorin.
Application au modkle de la machine asynchrone
H. Guesbaoui et C. lung
Centre de Recherche en Automatique de Nancy, CNRS URA 821, ENSEM, 2 avenue de la fordt de Haye, 545l6Vandmuvre-les-Nancy Cedex, France
(Regu le J5 octobre J992, rdi,isd le 16 fdvrier1993, acceptd le II mars 1993)
Rdsumd.-Dans cet article, nous proposons un nouvel algorithme pour la mise sous forme standard de syst6mes lindaires implicites. La mdthode utilisde est une extension de la technique des cercles de Gerschgorin permettant de localiser les valeurs propres sur le plan complexe. Les rdsultats sont appliquds h la rdduction d'une Masse de machines dlectriques industrielles: la machine asynchrone.
Abstract. In this paper, we propose a new algorithm to obtain and validate the standard
singularly perturbed form in linear implicit systems. The method used is an extension of the
Gerschgorin's circles that allows to locate the eigenvalues in the complex plane. The results are
applied to the reduction of the model of a class of industrial electrical machines : the induction machine.
Notations.
x, x* vecteurs de dimension n
x~, x~ vecteurs de dimension ni et n~ respectivement
u vecteur de commande
k, x~ d£rivde par rapport au temps et vecteur transposd de x
e terme parasite petit
l~ matrice identit£ de rang n
angle dlectrique
P (~) matrice rotation de Park Pie ) = (~i~ ° ~~~ °
sin cos
J matrice rotation de 90°
g~ p vecteur de composantes g~ et gp
Wj~,~, Wr~
~
flux statoriques et rotoriques d'axes a, p Vs~,p, Is~
~
tensions et courants statoriques d'axes a, p Ws~~, Is~,~ flux et courants statoriques d'axes d, q Wr~~, Ir~
~
flux et courants rotoriques d'axes d, q
L~, L~, L~ inductances statorique et rotorique et mutuelle propre
R~, R~ r£sistances statorique et rotorique
T~, T~ constantes de temps : T~ = L~/R~ et T~ = L/R~
a, p nombres sans dimension : a
= T~/T~ et p = L~/L~
w, wo frdquences de rotation et de synchronisme Iwo = 100 ar
p nombre de paires de p61es.
1. Introduction.
La simplification des moddles de systdmes complexes perrnet d'entrevoir une r£duction du volume de calcul notamment pour les systdmes de grande dimension bien que cette approche
soit contradictoire, a priori, avec d'une part l'augmentation consid£rable r£cente des capacit£s
de calcul et des outils de programmation et d'autre part avec le fait que les moddles physiques
sont connus avec impr£cision. En fait, la simplification de moddles permet une meilleure
connaissance des ph£nomdnes physiques par une compr£hension progressive h l'aide de
moddles r£duits.
La m£thode de simplification que nous avons choisie est l'exploitation de la connaissance d'un ph£nomdne physique £voluant suivant plusieurs £chelles de temps pour le d£composer en plusieurs dynamiques; h tout instant, le modme est rdduit et les seules informations
« essentielles » sont retenues.
La m£thode des multi£chelles de temps prdsente deux aspects. Le premier aspect concerne la
simplification directe du systdme par la connaissance de ses dynamiques ; l'utilisation des
ddveloppements asymptotiques d'ordre zdro (dventuellement d'ordre un) des dynamiques lente et rapide permet d'obtenir des sous-systdmes lents et rapides. Cette technique est plus adaptde
aux systdmes non lin£aires. Elle ne sera pas utilis£e ici.
Le second aspect est la mise sous forme standard dite singulidrement perturb£e. Cette m£thode est utilisde pour des systkmes h multidchelles de temps qui peuvent fide ramends h la forme standard du type (I) par la d£termination du tewne parasite E [I ]. Mais il n'existe pas de ddmarche systdmatique pour obtenir cette forme. Une approche est possible dans le cas de
systkmes lindaires ou lindarisables. Des algorithmes [2, 3] ont dtd ddveloppds pour obtenir cette forme mais leur convergence est encore conditionnde par la ddtewnination des modes lents et
rapides.
Des m£thodes g£om£triques peuvent dtre utilisdes pour am£liorer cette convergence. Ainsi la mdthode des cercles de Gerschgorin permet de ddterminer les modes lents et rapides par la localisation des valeurs propres sun le plan complexe [71. Lb encore, une forme spdciale est
requise : la fowne h diagonale dominante. Nous montrons alors qu'il est possible d'dtendre les r£sultats existants [8, 9] de variation de la taille des cercles, mdme quand la forme h diagonale
dominante n'est pas disponible, en ddplaqant les cercles et en faisant varier simultan£ment leurs rayons. Ceci sera ddveloppd dans cet article aprds un bref rappel de la mdthode des
multi£chelles de temps pour les systdmes lin£aires.
Une application de cette m£thode est la r£duction du moddle de la machine asynchrone.
Dans ce cas, le moddle est non lin£aire. Nous montrons qu'en utilisant des transformations
approprides il est possible de se ramener h un moddle d'dtat lindaire. Les sous-systdmes
obtenus sont donnds sous forme analytique et peuvent donc dtre utilisds pour des dtudes de
simulation ou de commande en temps r£el. Nous prdsentons une simulation concemant une
machine asynchrone aliment£e en tension par onduleur.
N° 6 R#DUCTION DE MOD#LES PAR LES CERCLES DE GERSCHGORIN 1269
2. La m4thode des multikchelles de temps.
2. I LA MfTHODE DES PERTURBATIONS SINGULI#RES. Un syst)me lindaire de dimension n :
k =A,x+B.u x(to)=x° (1)
£voluant suivant deux ou plusieurs £chelles de temps, mime voisines, peut dtre rdduit, voire
ddcoupld en deux ou plusieurs sous-systdmes lents et rapides.
2.I.I Forme standard. Le calcul des valeurs propres permet de ddterminer la taille
n, et n~ des dynamiques lente et rapide (n=n, +n~). Pour une partition arbitraire x*
= P x
= (x, x~)~ en deux dynamiques xi et x~, de dimension nj et n~ respectivement, essentiellement lente et rapide, la forme :
k*=A* x*+B* u x*(to)=x*° (2a)
avec A *
=
P A P ~' et B *
=
P B, s'dcrivant encore
Ii, jA,,
A,~ xi Bj xi (to)
=
x(
i~ Al< A12 X2
~ l~i ~
X~(to) = X~
~~~~
est singulidrement perturbde si A(~ est inversible et si l'indgalitd suivante est vdrifide [4]
iAii'i iiAoi + iLo
ii IA,i iii «1 (3a)
avec
~0
~ ~ ~
<2 ~0 ~0 ~ ~i? ~i< ~~~~
Dans ce cas, on peut trouver un paramdtre e en faisant le rapport du plus petit module des valeurs propres parmi les n~ sur le plus grand module parmi les n,, tel que
A(,
= A~,/E A(~
= A~~le B(
= B~le (4)
et la forme standard est :
2.1.2 Sous-svstJmes rdduits. Les dynamiques x, et x~ peuvent dtre approximdes par :
x, m ii x~ = i~ + i~(T (6)
oh T
= It to )/E est un temps r£duit. Avec une commande ddcomposable en deux comman- des : u
=
b + 6(T), le systdme peut dtre rdduit en deux sous-systdmes dits d'ordre z£ro
. sons-systdme lent
~' ~° ~'~~° ~ ~'~~°~ ~~
(7a)
X2 ~ ~0 X< ~22' '1~2 U
~~ ~~~~~~ ~0
~ ~< A,2 A22~ '82
Il est h noter que s peut encore dtre donn£ a posteriori par :
E ~ ))~12 'II'"~0" ~~~~
. sons-systdme rapide :
~ i~
= A~~ i~ + B~ 6 i~(0)
=
xi i~(to (7c)
dT
Donc, lorsque la forme (2) peut dtre mise sous forme standard (5), les deux sous-systdmes prdcddents approximent correctement le systdme de base. La matrice Lo (n~ x n, ) triangularise
la matrice A* par bloc son calcul est simple.
2.2 SYST#MES IMPLICITES.
2.2.I Mise sous forme standard. La mise sous forme standard suppose au prdalable
(I) la connaissance des valeurs propres pour la ddtermination de la tattle des vecteurs propres tents et rapides,
iii) un regroupement addquat des modes tents et des modes rapides pour v£rifier l'indgalitd 13a).
Quand les valeurs propres sont complexes conjugudes, multiples ou connues avec
impr£cision, notamment pour (es grands systdmes, le choix de n et de n2 n'est pas immddiat. Ii existe des m£thodes it£ratives de calcul de matrices de triangularisation du type Lo tenant
compte des contraintes (I) et iii) [2, 3, 51. Mais ces mdthodes sont alourdies par le calcul it£ratif
des vecteurs propres et des matrices modales.
Notre attention s'est alors portde sur les m£thodes g£om£triques [61, dont celle des cercles de Gerschgorin [7, 8], de localisation des valeurs propres sur le plan complexe permettant de mettre un systdme sous la forme standard sans devoir calculer ses valeurs propres. Dans le cas
des cercles de Gerschgorin, le regroupement des modes est imm£diat dds que (es valeurs propres sont circonscrites dans des faisceaux de cercles disjoints [9] ; et, a posteriori, Ie nombre de modes lents et rapides est ainsi ddtewnind.
2.2.2 La mdthode des cercles de Gerschgorin.
2.2.2.I Localisation des valeurs propres. Deux thdordmes dus h Gerschgorin [7] donnent
une localisation sur le plan complexe.
Thdordme I : toutes les valeurs propres d'une matrice de rang n quelconque :
~l1 £~12 ai
,,
~<j
~21 ~22 a~
~ ",~
A
= (8)
~n< ~n2 a~~ rj
o
~Cj ~C~ ~C,~
sont contenues dans des faisceaux de n cercles centr£s en ai,, a~~, a,,,, et de rayons
r,~, rj~, , r,~ pour les cercles-lignes ou r~~, r~~, , r~,, pour (es cercles-colonne obtenus en faisant la somme des modules des termes hors-diagonale apparaissant dans une mdme ligne ou
dans une mdme colonne
n n
r, = z la,,) r~
= z )aj,) I =1,2,.,n. (9)
,
1=1 t=i
ii#i> 11#<>
N° 6 R#DUCTION DE MODtLES PAR LES CERCLES DE GERSCHGORIN 1271
Thdordme 2 : lorsqu'un groupe de k cercles-ligne (ou de k cercles-colonne) est compldte-
ment disjoint des autres cercles, it contient k valeurs propres.
2.2.2.2 Application h la sdparation par (es multidchelles de temps. Le second thdordme est intdressant pour la sdparation par les multidchelles de temps : lorsqu'un groupe de k cercles est
complktement disjoint des autres cercles, on peut affiwner que le systkme poss~de alors la
propridtd de (au moins) deux dchelles de temps. Si ce groupe de cercles est h droite ou h gauche
des autres cercles, on peut ddtewniner les k modes lents correspondant h ces k cercles ou
respectivement les k modes rapides. Chaque cercle reprdsentant un >tat du systdme, it est alors
possible de donner une partition addquate du modkle.
Exemple I :
Soit la matrice de base d'un systkme donna par [10] :
r, =
17,0 0 0 0,50 0,50 '
0,10 16,5 0,40 0 1,00 ~'2 ~ ~'~
A
=
0 0,03 0,10 0,02 0,05
r,~ = 0,1
0,3 0 0,10 16,0 0,20
~. ~ ~
0,01 0,04 0 0 -0,10 '~ '
ri~ = 0,05
r~~ = 0,41 r~~
= 0,07 r~~
=
0,5 r~~
= 0,52 r~
= 1,75
Les cercles-ligne de la figure I montrent l'existence d'un groupe de deux cercles disjoints des
autres cercles, soient deux dynamiques lentes.
Un regroupement addquat des modes est x*
=
P x
= (x~, x~, (xi, x~, x~))~ et :
0,10 0,05 0 0,03 0,02
0 -0,10 0,01 0,04 0
A *
= 0 0,50 17,0 0 0,50
0,40 1,00 0,10 16,5 0
0,10 0,20 0,30 0 16,0
lm
x2 xi
x4
0.2 Fb
x5
Fig. I. -Faisceaux de cercles de Gerschgorin.
[Gerschgorin s circles.]
Soient alors
0,0184 2,9060
Lo = 10~~ 2,4243 6,0429 Ao
=
°'°~~ °'°~~~
0,6253 1,1955 °'°°°~ °'°~~~
Les valeurs propres du sous-systdme lent sont -0,0982±j.0,0067 et celles du sous-
systdme rapide sont: -15,867, -16,5, -17,132. Les valeurs propres de A sont:
0,0982 ± j. 0,0068, 15,8677, -16,5029 et 17,133.
3. Algorithme de skparation des dynamiques.
Gdndralement, cette mdthode appliqude directement ne permet pas de conclure immddiatement dans tous les cas. Dauphin-Tanguy [9] propose alors l'emploi d'une transformation:
S
= drag (a~, a~,
..,
a~) oh (es a~ (I =1, 2,..., n) sont des paramdtres permettant la variation de la taille des cercles et optimise ces paramdtres pour obtenir des cercles de rayons
minimums. Cette mdthode ne permet pas de sdparer tous les systdmes ; en effet pour le
systdme :
E-temple 2
j~ 101 100
~~ ~ 0
100 100 ~
possddant la propridtd de deux dchelles de temps (les valeurs propres sont -0,5 et
200, 5), la transformation I
= S .x* S
= diag (a,, a~)
permet d'obtenir la matrice d'dtat
1- 100 100 a ,la
~ iii
100 a ~/a , 100
r,~
dont les cercles ont pour centres -101 et -100 et pour rayons rj~ =100a,la~ et
I,~ = 100 a21a, respectivement. Ces rayons sont minimums pour a = a~ =
I, et les cercles sont pratiquement concentriques.
Nous proposons alors d'am£liorer la s£paration des modes en ddplagant les centres des cercles voisins [15].
3.I DfPLACEMENT DES CENTRES DES CERCLES. Ainsi, pour deux termes diagonaux
a,, et a~ ayant des valeurs voisines, nous utilisons la transformation :
Tt
= l~ + pi J,~ (10a)
oh la matrice :
J
o o o o o o
o
J,~ = o o o I o o ---I (lob)
o
o o o o
N° 6 R#DUCTION DE MOD#LES PAR LES CERCLES DE GERSCHGORIN 1273
Porte sun les termes de la ligne I et ceux de la colonne j tous ses termes sont nuls sauf celui situd h l'intersection de la ligne I et de la colonne j et valant I.
Par cette transformation, seuls les tenures de la ligne et de la colonne j de la matrice du
systdme changent. Les centres des cercles I et j sont ddplacds de a,, et a~ en a,, + pi, aj, et a~ pi a~, respectivement. Cette matrice s'£crit :
j
~li ~i
i ~l
j Pi all al
n
ail + Pi ajl a« + Pi a~, X,~ a,n + Pi a~n I
(II
aj< ajj Pi a~, j
~nI ~ni any Pi an< ~nn
Le choix de pi peut dtre celui pour lequel X,~ = 0, soit la r£solution d'une Equation du second
degrd :
~~~ ~'~ ~ ~~ ~'~ ~" ~~ it ~ ji~)
Si plusieurs centres sont proches, des termes pi (I
=
1, 2, ) peuvent dtre calculds par cette mdthode et la transformation finale est :
x' =T.x T= flTi
' (13)
A'=T.A.T~~
Lorsque les cercles sont disjoints, la partition est alors x *
=
P x' et A *
=
P A' P Nous
explicitons la m£thode sur les exemples suivants.
Exemple 2':
Avec la transformation :
x'=T.x T= (~ P)
on a Xi~ = 100(p~ 0,01
p I et pour p =
0,995 la matrice devient
~ ,
~
200, 5 o rii =
°
100 0,5
r~~ = 100
pour laquelle les cercles sont disjoints. La partition ad£quate est : x*
= (xi x()~ oh la variable
xi est lente (xi
= x~) et x( est rapide (x(
= xi 0,995 x~).
On a :
Lo = 0, Ao
= 0,5 Bo
= 0,49 et A~~ = 200,5
Exemple 3 Soit le syst~me :
II 9 9 2
k=~ l -3 .x+ 0 .u.
~ 8 8 12 0
Les rayons de la matrice de base sont :
~
rayons A
= l 3
~ 8 8 12 8
rayons : 4,5 8,5 5
et les cercles ne sont pas disjoints. Les termes diagonaux (- II) et (- 12) sont proches et la matrice T utilis6e porte sur la ligne I et sur la colonne 3.
L'6quation : X~~
=
9 p + 8. p ~
=
0 est vdrif16e pour p =
I. Soit la matrice sous forme standard :
-3 0 0,5
A'=A*=- -3 0 0,5
~ -8 8 -20 8
4,5 4,5
~
pour laquelle les cercles sont disjoints. Dans ce cas, n~ = 2 et :
Lo = 0,2(1 -1) Ao = (~ ~ ~) Bo = (~)
l -3
3.2 VARIATION DE LA TAILLE DES CERCLES. Pour certains systbmes, it peut dtre ndcessaire de faire varier la taille des cercles pour obtenir des cercles disjoints. Nous n'utilisons pas une
transformation du type S mais une transformation qui ne d£filace qu'un cercle h la fois, Ainsi, les matrices du type :
S~
= diag ii,
,
I, f~, I,
,
I.) m
= 1, 2, (14)
font varier la taille des rayons des deux cercles m centr£s en a~,~.
La matrice S~ multiplie tous les tenures de la ligne m et divise ceux de,la colonne m par
f~ ; soit un tenure diagonal inchangd. Les rayons rj~ et r~~ respectivement de la ligne m et de la
colonne m deviennent
r~~ f~ et r~~/f~.
Un choix de f~ peut dtre celui pour lequel les deux cercles sont 6gaux; soit:
f~ =
fi. Si l'op6ration est r6pdtde h plusieurs cercles (m
= 1, 2,. ), on obtient la transformation finale :
~~
"
~ ~'
S
=
fl S~ (15)
A"
=
S-A' S~
~
3.3 ALGORITHME. Nous utilisons simultandment les transforrnations T et S pour moddliser
un syst~me lindaire sous une forme standard. Nous avons programm6 cet dlgorithme sous logiciel Matlab [lsl.
Il est h noter que pour des matrices A de petite dimension le calcul des coefficients
pi et f~ ne n£cessite pas l'emploi d'un calculateur. <C'est le cas du modme de la -machine asynchrone.
4. Modkle de la machine asynchrone.
4.I INTRODUCTION.-L'application de la m£thode des multidchelles de temps pour le d£couplage et la r£duction d'ordre du moddle de la machine asynchrone est tr~s restreinte,
N° 6 R#DUCTION DE MOD#LES PAR LES CERCLES DE GERSCHGORIN 1275
Trois dchelles de temps sont identifides: les variables £lectriques £voluent suivant deux
£chelles de temps, la demidre £chelle de temps conceme le mode m£canique. Une premidre sdparation en mode m6canique lent et en modes dlectriques rapides est trait6e pour une
machine asynchrone aliment6e avec une fr6quence fixe wo [61. D'autres travaux [II, 121 sont limitds au cas du ddmarrage, II n'existe pas h notre connaissance d'dtude traitant le cas g6ndral
d'une fr6quence de rotation quelconque.
Dans le cas du synchronisme (w
- wo), la th60rie des perturbations singuli~res ne permet pas de se prononcer [6]. Les auteurs [131 formulent l'hypothdse selon laquelle la sdparation d£pendrait de la puissance de la machine ; mais aucune s£paration syst£matique des modes
n'est propos£e,
Nous pr£sentons une rdduction du moddle de la machine asynchrone valable dans le cas
g£ndral en utilisant un moddle dcrit avec les composantes classiques en a, p [lsl. En
£lectrotechnique, les transformations dites en d, q sont grin£ralement utilisdes. Avec de telles transfownations, les valeurs propres de la matrice d'£tat ddpendent fortement de la vitesse de rotation [14, lsl. Nous nous plaqons dans les rep~res en a, p pour lesquels nous constatons que les valeurs propres sont constantes [lsl. Dans ce cas une forme diagonale obtenue par voie
num£rique peut permettre d'obtenir une forme standard mais il n'est pas possible de connaitre l'dvolution de l'approximation suivant les caractdristiques de la machine. L'int£rat de la rdduction par des transfownations successives T et S est d'aboutir h une fowne standard tout en
concervant un sens physique aux modkles rdduits obtenus.
4.2 fQUATIONS GtNtRALES. Les dquations d'dtat dlectriques en flux et le couple dlectroma-
gndtique s'£crivent
1'~~"'~ =
]
~2 P (o )
4l~ 1_ ~
s
4l~ ~
~~
fl.Tj~'~~ °) ,j 4l~~~
+
".~)
Tj 2 a. fl
0
(16a)
r~~ = p
~ al P (o J. w
~
(i fib)
Ls ~. P ~.P
en posant : T(
= «. T~, T] = «. T~ et « =
I -L$/L~L~
On peut calculer les valeurs propres sous fowne analytique et montrer qu'elles sont distinctes [lsl soient deux dchelles de temps pour les variables dlectriques. Mais il n'est pas possible
d'obtenir les modes lents et rapides car la forme (16a) n'est pas standard.
4.2.I Mise sous forme standard. Les cercles de la matdce :
1- ~~.l~ ~ .P(@)
~~ Ts T(
~.~ ~~ ~~ )
~
sont doubles et quelconques.
On peut directement changer la taille des rayons par la transformation :
4l"
=
S ~~".~ IS
=
~~ ~
(17)
4~r~~ 0 fl.P(°)
