Equations di¤érentielles stochastiques rétrogrades

Table des matières

Introduction 2

1 Equations di¤érentielles stochastiques rétrogrades 4

1.1 Introduction . . . 4

1.2 Notation et dé…nition . . . 5

1.3 Le cas Lipschitzien . . . 10

1.3.1 EDSR Lipschitziennes non linéaire . . . 10

1.4 Le résultat de Pardoux-Peng . . . 13

1.5 Application . . . 22

2 EDSR à coe¢ cient continu 25 2.1 Existence . . . 25

2.2 Preuve des resultats importants . . . 28

3 Equations di¤érentielles stochastiques rétrogrades avec coef- …cient localement Lipschitzien 39 3.1 Notations, hypothèses et dé…nitions . . . 39

3.2 EDSR avec coe¢ cient localement Lipschitzien . . . 41

3.3 Stabilité de la solution . . . 62

4 EDSR avec coe¢ cient discontinu 65 4.1 Préliminaire . . . 66

4.2 Existence de la solution . . . 69

A Outils du calcul stochastique 77

Conclusion 80

Bibliographie 81

Introduction

Les équations di¤érentielles stochastique rétrogrades (EDSR) est sont une nouvelle classe d’équations di¤érentielles stochastiques, leur valeur est don- née en temps terminale T. Les EDSR ont recevé une attention considérable dans la recherche en probabilité car les EDSR fournissent une représentation probabiliste pour les solutions de certaine classe d’équations aux dérivées partielles quasilinéaires parabolique de second ordre, et ont une relation avec les solutions de viscosité des EDP. La théorie des EDSR a trouvé beaucoup d’applications telles que la théorie du controle stochastique, économie, et à des problèmes de mathématiques …nancières.

Commencée en 1973, les équations di¤érentielles stochastiques linéaires ont été d’abord introduite par (Bismut, 1973) [2], qui a utilisé ces EDSR pour étudier les problemes de controle optimal stochastique dans la version stochastique du principe de maximum de Pontryagin. Cinq ans plus tard, (Bismut, 1978) [3] prolonge sa théorie et montre l’existence d’une solution unique bornée de l’EDSR de Riccati.

En 1990, la théorie des EDSR a été grandement developpé par de nom- breux chercheurs, et il’y avait un grand nombre d’articles publiés consacrés à la théorie des EDSR et leurs applications. Parmi ces auteurs, les plus célèbres sont (Pardoux et Peng, 1990) [31] qui ont considéré des EDSR générale de la forme suivante

dYt= f(t; Yt; Zt)dt+ZdBt; YT =

et montrent l’existence et l’unicité de l’EDSR sous quelques hypothèses telle que la condition de Lipschitz du drift f.

A partir de la, un grand nombre de travaux ont été consacré à l’étude de la thérie des EDSR. La première importante est la recherche fonda- mentale d’établir l’existence et l’unicité des solutions de l’EDSR sous des des formes plus complexes (par exemple, EDSR avec saut ; EDSR re‡é- chie ; EDSPR, EDSR dirigé par une martingle ; etc) et/ou sous des hypo- thèses faibles sir les coe¢ cients pour prolonger le résultat initial de Pardoux- Peng. On peut se réferer à Pardoux-Peng [33], El Karoui [9], Lepeltier-San

Martin [24, 25], Kobylanski [22], Briand-Hu [6, 7], Chen [8] , Jia [18, 19, 20], Briand-Delyon-Pardoux-Hu-Stoica [5], Mao [28], Hu-Peng [16], Hu-Yong [17], Peng-Wu [34], Ma-Protter-Yong [26], Ma-Yong [27], Pardoux-Tang [32], Peng-Shi [35], Wu[37, 38] , El Karoui-Kapoudjian-Pardoux-Peng-Quenez [11], Kobylanski-Lepeltier-Quenez-Torres [23], Matoussi [29], Hamadène-Lepeltier- Matoussi [13], Hamadène [14], Hamadène-Lepeltier-Wu [15] et les références là-dedans.

Depuis le premier résultat d’existence et d’unicité, de nombreux articles ont été consacré à l’existence et/ou l’unicité sous des hypothèses faibles.

Parmi ces articles on peut distinguer deux classes di¤érentes : les EDSR sca- laires et les EDSR multidmensionelles. Dans le premier cas, on peut prendre un avantage du théorème de comparaison. Pour les EDSR multidimension- nelles, il n’y a pas de théorème de comparaison et pour surmonter cette di¢ culté une hypothèse de monotonicité sur le générateur f dans la variable y est utilisée. Au lieu d’utiliser l’hypothèse de monotoniçité, Mao [.] a proposé une sorte d’hypothèse non Lipschitz pour faire face avec les EDSR multidi- mensionnelles et avec l’aide de l’inégalité de Bihari, il démontre le résultat d’existence et d’unicité.

Ce mémoire est composé de quatre chapitres :

Le premier chapitre :On donne les résultats classiques d’existence et d’unicité pour les solutions des EDSR (en particulier les EDSR linéaires qui sont classique en …nance).

Le deuxième chapitre :On démontre l’existence de la solution d’EDSR unidimensionnel dans le cas où le coe¢ cient est continu,et à ccroissance li- néaire et la condition terminale est de carré intégrable.

Le troisième chapitre :On étudie les EDSR multidimensionnelles avec un coe¢ cient localement Lipshitz en (y; z) et la condition terminale est de carré intégrable.

Le quatrième chapitre : On démontre l’existence de la solution de l’EDSR unidimensionnelle avec un coe¢ cient discontinu en y et continu en z:

Chapitre 1

Equations di¤érentielles stochastiques rétrogrades

1.1 Introduction

Les équations di¤érentielles stochastiques rétrogrades (EDSR) sont un nouveau type d’équations di¤érentielles stochastiques (EDS) qui ne peuvent pas être traitées par les méthodes usuelles pour les EDS Une des principales raisons est qu’on ne peut pas renverser le "temps". Voyons un exemple simple,

Supposonsd=r= 1.Considérons l’EDS suivante dY_t= 0; t2[0; T]:

Y_T = : (1.1)

Où 2L²( ;F^T), l’ensemble des variables aléatoiresF^T-mesurables et de carré intégrables. Puisque l’unique solution de cette EDS est Y_t = ;pour tout t; Y est par conséquent n’est pas une solution "adaptée" à(1:1)dans le sens usuel d’Itô. Cependant cet exemple trivial n’a pas de solution adaptée dans les sens usuels.

Dans plusieurs d’applications, il est crucial que la solution de l’EDS soit adaptée à la …ltration où le mouvement Brownien est adapté. Un exemple fréquemment cité, qui est l’essentielle à l’origine de la théorie des EDSR, est qu’on appelle le principe de maximum de Pontryagin pour les problèmes de contrôle optimal stochastique.Ceci est la condition nécessaire pour le contrôle optimale, qui contient une "équation adjointe" qui prend la forme d’une EDSR. Motivé par de tels problèmes, Bismut est le premier qui à proposé la méthode suivante pour trouver une solution adaptée pour les EDSR.Prenant le cas simple (1:1) comme un exemple.

On suppose que la …ltration(F^t)est Brownienne, c’est-à-dire qu’il existe un mouvement Brownien W = (W_t)dé…ni dans( ;F;P)telle queF^t=Ft^w

P, pour tout t 0:Ici Ft^w= fW_s : 0 s tg, etf:g dé…ni l’augmentation par les éléments deP-négligable. Supposons maintenant que 2L²( ;F^T), et no- tons Y_t =E( =F^t); t 0:Alors,Y est une L² martingale et par la théorème Représentation de martingale existe un processus prévisible Z telle que :

Y_t=E( =F^t) = E[ ] + Z t

0

Z_sdW_s: (1.2)

la forme di¤érentielle de cette équation est : dY_t=Z_tdW_t:

Y_T = : (1.3)

Bismut propose que au lieu de regarder seulement le processusY comme la solution à l’EDSR on peut considérer le couple (Y; Z) comme une solu- tion de l’EDSR (1:1) et la forme appropriée d’une EDS avec une condition terminale serait de la forme (1:3)que celle de (1:1):

On peut écrire (1:3)comme "une équation intégrale".En e¤et intégrons (1:3)de t àT on obtient que :

Y_t =

Z T t

Z_sdW_s; 8t2[0; T]: Ceci est l’EDSR simple dans sa forme intégrale.

1.2 Notation et dé…nition

Soient ( ;F;P) un espace de probabilité complet et W un mouvement Brownien de d-dimensionnel (dans R^d) sur cet espace.

W =fW_tⁱ t 0; 1 i d g

On notera fF^tg la …ltration naturelle de mouvement Brownien : F^t = (W_s[N; 0 s t)

Tout processus de R⁺dans ou R^{k d} mesurable par rapport à la tribu previsible B_[0;T] F est dit prévisible.

SoitS²(R^k)l’espace vectoriel formé des processusY progréssivement me- surables a valeur dans R^d telle que :

kYk²s² =E sup

0 t TjYtj² <1:

etS_c²(R^k) est un sous espace deS²(R^k)formé par les processus continus.

Soit M²(R^{k d}) celui formé par les processus Z progréssivement mesu- rables à valeur dans R^{k d} telle que :

kZk²M² =E Z T

0

kZk²dt =E Z T

0

trace(ZZ )dt <1:

M²(R^{k d}) désigne l’ensemble des classes d’équivalence de M²(R^{k d}):

Les espaces S²; S_c²; M² sont des espace de Banach pour ces normes.

On désigne par B² l’espace de BanachS_c²(R^{k d}) M²(R^{k d}):

On considère l’équation di¤érentielle stochastique rétrograde(EDSR) : dY_t =f(s; Y_t; Z_t)dt Z_tdW_t 0 t T:

Y_T = :

Ou de façon équivalente, sous forme intégrale :

Y_t= + Z T

t

f(s; Y_s; Z_s)ds Z T

t

Z_sdW_s: Ou

f : [0; T] R^k R^{k d} !R^k: : !R^k:

Sont des donneés telle quef s’appelle le génerateur et mesurable par rapport P^[0;T] B, et est F^T mesurable carré integrable 2L²(F^T):

Dé…nition 1.1 Une solution de cette équation est le couple des processus f(Y_t; Z_t)g0 t Tvéri…ant :

1- Y etZ sont progréssivement mesurables à valeurs respectivement dans R^ket R^{k d}.

2- P p:s: ( Z T

0

(jf (s; Y_s; Z_s)j+kZ_sk²)ds)<1: 3- P p:s: on a :

Y_t = + Z T

t

f (s; Y_s; Z_s)ds Z T

t

Z_sdW_s t2[0; T]:

OùY est une semi martingale continueY2S_c²(R^k)etY0 est une quantité déterministe.

On peut dire que Y est un processus d’Itô à valeur dans R^k pour i = 1; :::; k:

Y_tⁱ =Y₀ⁱ + Z T

0

fⁱ(s; Y_s; Z_s)ds Pd j=1

Z T 0

Z_s^ijdW_s^j, t2[0; T]: On peut retenir la notation vectorielle et on écrit :

Y_t=Y₀+ Z T

0

f(s; Y_s; Z_s)ds Z T

0

Z_sdW_s; t2[0; T]:

Avant de donner la démonstration de l’existence et de l’unicité, on montre que sous une hypothèse relativement faible sur le générateur, le processus Y appartient à S_c²:

Proposition 1.2 Supposons qu’il existe un processusff_tg 0 t T 2M²(R) positif et telle que :

jf(t; y; z)j f_t+ (jyj+kzk):

Si f(Y_t; Z_t)g0 t T est une solution de l’EDSR telle que Z2M²(R^{k d}) alors : Y2S_c²:

Preuve. On a pour t2[0; T] Y_t =Y₀

Z T 0

f (s; Y_s; Z_s)ds+ Z T

0

Z_sdW_s:

OùY₀ est déterministe.

En utilisant l’hypothèse sur f, Y_t jY₀j+

Z T

0 jf (s; Y_s; Z_s)jds+ Z T

0

Z_sdW_s :

jY₀j+ Z T

0

(f_s+ kZ_sk)ds+ sup

t2[0;T]

Z T 0

Z_sdW_s + Z T

0 jY_sjds:

jY_tj² jY₀j+ Z t

0

f(s; Y_s; Z_s)ds+ Z t

0

Z_sdW_s ²:

2 jY₀j+ Z t

0 jf(s; Y_s; Z_s)jds

2

+ 1

2

Z t 0

Z_sdW_s

2

:

jY_tj^{2 2 2}jY₀j²+

2 2

Z t 0

f(s; Y_s; Z_s)²ds+ 1

2

Z t 0

Z_sdW_s

2

:

2 2

jY0j²+

2 2

Z t 0

(fs+ (jYsj+kZsk))²ds+ 1

2

Z t 0

ZsdWs 2

:

2 2

jY₀j²+

2 2K²

Z T 0

f ²_sds+

2 2K²

2

Z t 0

(jY_sj+kZ_sk)²ds + 1

2

Rt

0 Z_sdW_s

2

:

2 2

jY₀j²+

2 2K²

Z T 0

f_s²ds+

2 2K²

2d² Z T

0

jY_sj²ds

+

2 2K²d²

Z T 0

kZ_sk²ds+ 1

2 sup

t2[0;T]

Z T 0

Z_sdW_s

2

: sup

t2[0;T]jY_tj² C₁jY₀j²+C₂RT

0 jf(s;0;0)j²ds+C₃RT

0 jY_sj²ds +C₄

Z T 0

kZ_sk²ds+C₅ sup

t2[0;T]

Z T 0

Z_sdW_s

2

:

E sup

t2[0;T]jY_tj²

!

C₁jY₀j²+C₂ E RT

0 jf (s;0;0)j²ds +C3 E RT

0 jYsj²ds +C4 E RT

0 kZsk²ds

+C₅ E sup

t2[0;T]

RT

0 Z_sdW_s

2!

; t2[0; T]:

D’après les inégalités de BDG : E

"

sup

t2[0;T]

Z T 0

Z_sdW_s

2# CE

Z T 0

kZ_skds <+1:

E sup

t2[0;T]jY_tj²

!

C₁jY₀j²+C₂E Z T

0 jf (s;0;0)j²ds +C₃E Z T

0 jY_sj²ds + (C₄_C₅)E

Z T 0

kZ_sk²ds +1:

Lemme 1.3 SoientY 2S_c² R^k etZ 2M²(R^{k d})alors, Z t

0

Y_sZ_sdW_s;t2[0; T] est une martingale uniformément intégrable.

Preuve. Les inégalités de BDG donnent : E

Z t 0

YsZsdWs E

"

sup

t2[0;T]

Z t 0

YsZsdWs

# :

CE

" Z T 0

jY_sj²kZ_sk²ds

1 2#

:

CE sup

t2[0;T]jY_tj Z T

0 kZ_sk²ds

1 2!

:

Commeab a² 2 +b²

2 : E

Z t 0

Y_sZ_sdW_s CE

"

sup

t2[0;T]jY_tj²

# +E

Z T 0

kZ_sk²ds 1:

Puisque Z t

0

Y_sZ_sdW_s est une martingale,E Z t

0

Y_sZ_sdW_s = 0:

1.3 Le cas Lipschitzien

1.3.1 EDSR Lipschitziennes non linéaire

Considérons les hypothèses(L) suivantes : (L)

1. 2L²(F^T) ie, estF^T-mesurable etE(j j²)<1: 2. Condition de lipschitz en (Y; Z);

9 une constante telle que :

P p:s: pour toutY; Y2R^k; Z; Z2R^{k d}:

f (t; Y; Z) f (t; Y ; Z) ( Y Y + Z Z ):

3. ERT

0 jf (s;0;0)j²ds <+1:

La solution (Y; Z)2B(R^k) B(R^{k d})= S_c²(R^k) M²(R^{k d}):

l’espace des processus prévisibles, menu de la norme.

kYk² =E

"

sup

t2[0;T]jY_tj²

#

<+1: kZ_sk² =ERT

0 kZ_sk²ds <+1:

Qu’il devient un espace de Hilbert ;quand(Y; Z)2S_c²(R^k) M²(R^{k d});telle que Y2S_c R^k processus continu et

kYk²Sc =E

"

sup

t2[0;T]jY_tj²

#

<1: kZk²M² =ERT

0 kZ_sk²ds <1:

Maintenant on démontre quelques estimations où il s’agit en fait d’étudier la dépendance de la solution de l’EDSR par rapport aux données qui sont (la variable et le processus ff (t;0;0)g 0 t T):

Proposition 1.4 Soient ( ; f) véri…és (L) et (Y; Z) La solusion de EDSR telle que Z 2M²; alors il existe une constanteC telle que :

E

"

sup

t2[0;T]jY_tj²+ Z T

0 kZ_sk²ds

#

CE j j²+ Z T

0 jf (s;0;0)j²ds :

Preuve. On applique la formule d’ltô à e^BtjY_tj² :

de^BtjY_tj² =Be^BtjY_tj²dt+ 2e^BtjY_tjdY_t+ e^BtjY_tj dt:

=Be^BtjY_tj²dt+ 2e^BtjY_tj( f (t; Y_t; Z_t)dt+Z_tdW_t) +e^BtkZ_t²kdt:

e^BtjY_tj²+ Z T

t

e^BskZ_sk²ds

e^BTj j²+ Z T

t

e^Bs( BY_s²+ 2jY_sjf (s; Y_s; Z_s))ds

2 Z T

t

e^BsY_sZ_sdW_s:

On a : 2Y f(t; Y; Z) 2jYj jf (t;0;0)j+ 2 jYj²+ 2 jYj kZk: Et2ab "a²+ b²

" pour"= 1;2:

2Y f(t; Y; Z) 1 + 2 + 2 ² jYj²+jf (t;0;0)j²+ kZk² 2 : PourB = 1 + 2 + 2 ²

e^BtjY_tj²+1 2

Z T t

e^BskZ_sk²ds e^BTj j²+ Z T

t

e^Bsjf (s;0;0)j²ds

2 Z T

t

e^BsY_sZ_sdW_s: Pourt = 0 on a l’espérance :

E Z T

0

e^BskZ_sk²ds 2E e^BTj j²+ Z T

0

e^Bsjf (s;0;0)j²ds :

E

"

sup

t2[0;T]

e^BtjY_tj²

#

E e^BTj j²+ Z T

0

e^Bsjf (s;0;0)j²ds

+E

"

sup

t2[0;T]

Z T 0

e^BsjY_sj kZ_skdW_s

# : D’après l’inégalité BDG,9C telle que :

E

"

sup

t2[0;T]

e^BtjYtj²

#

E e^BTj j²+ Z T

0

e^Bsjf (s;0;0)j²ds

+CE Z T

0

e^2BsjY_sj²kZ_sk²ds

1 2

:

E

"

sup

t2[0;T]

e^BtjY_tj²

# Eh

e^BTj j²+RT

0 e^Bsjf (s;0;0)j²dsi

+1 2E

"

sup

t2[0;T]

e^BtjY_tj²

# +C²

2 E Z T

0

e^BskZ_sk²ds:

E

"

sup

t2[0;T]

e^BtjY_tj²

#

2E e^Btj j² + Z T

0

e^Bsjf (s;0;0)j²ds

+C²E Z T

0

e^BskZ_sk²ds:

Finalement ; E

""

sup

t2[0;T]

e^BtjY_tj²

# +

Z T 0

e^BskZ_sk²ds

#

2E e^BTj j²+ 2 Z T

0

e^Bsjf (s;0;0)j²ds

+C²2E e^BTj j²+ 2 Z T

0

e^Bsjf (s;0;0)j²ds :

kY; ZkS²_C 2 (1 +C²)E e^BTj j²+ 2 Z T

0

e^Bsjf (s;0;0)j²ds :

1.4 Le résultat de Pardoux-Peng

Avec les conditions (L)

Cas où f (t; !; y; z) =F(t; !) ne dépend ni de y ni de z:

On considère l’équation : Yt= +

Z T t

Fsds Z T

t

Zs où 0 t T:

2L²(F^T)et F 2M² R^k E Z T

0 jFj²ds <1 :

Lemme 1.5 Soient 2L²(F^T)etfF_tg0 t T 2M² R^k l’EDSR posséde une unique solution (Y; Z) telle que Z 2M²:

Preuve. a) L’existence :

Supposons que la solution existe telle que Z 2 M²on prend l’espé- rance conditionnelle sachant F^T:

Y_t =E(Y_tnF^t) =E + Z T

t

F_sds Z T

t

Z_sdW_snF^t : 0 t T:

Puisque Z T

0

Z_sdW_s est une martigale on a E(I(Z)) = 0:

Y_t=E + Z T

0

F_sds Rt

0F_sds nF^t E Z T

0

Z_sdW_s Z t

0

Z_sdW_s nF^t :

Y_t =E + Z T

0

F_sds nF^t

Z t 0

F_sds:

On pose : M_t=E +

Z T 0

F_sds nF^t =Y_t+ Z t

0

F_sds:

M_t est une martingale carré intégrable.

D’après le théorème de représentation des martingales il existe un pro- cessus prévizible Z carré intégrable(Z2M²) telle que :

Mt=E[MT] + Z t

0

ZsdWs , t 2[0; T]: Donc :

Y_t =M_t Z t

0

F_sds=E[M₀] + Z t

0

Z_sdW_s Z t

0

F_sds:

Y_t =M_t Z t

0

F_sds=Y₀+ Z t

0

Z_sdW_s Z t

0

F_sds:

On véri…ant que(Y; Z)est une solution de l’EDSR comme Y_T = : Y_t Y_T =Y_t =M₀+

Z t 0

Z_sdW_s Z t

0

F_sds

M₀+ Z T

0

Z_sdW_s Z T

0

F_sds :

Y_t = Z T

t

F_sds Z T

t

Z_sdW_s:

Y_t = + Z T

t

F_sds Z T

t

Z_sdW_s: b)L’unicité :

Supposons que (Y₁; Z₁)et(Y2; Z₂) sont deux solutions.

Soient Y^ =Y₁ Y₂ ;Z^ =Z₁ Z₂ alors : Y^ =

Z T t

Z dW^ _s ; t 2[0; T]:

Nous allons prouvés que Y^ = ^Z = 0 dt d P p:s:

En e¤et :

premièrement écrivons ; Y^ =

Z T 0

ZdW^ _s Z t

0

Z dW^ _s ; t 2[0; T]:

On applique l’inégalité martingale de Doob, on trouve : E

"

sup

t2[0;T]jM_tj^p

# p

p 1

p

E[jM_Tj^p]:

E

"

sup

t2[0;T]

Y^_t

2#

4E jY_Tj² :

E

"

sup

t2[0;T]

Y^_t

2# 2

Z T 0

Z^_sds 1: (1.4)

Nous appliquons la formule d’Itô à f (Yt) = ^Yt det àT et on note que : Y^_T = = 0:

On a : 0 = ^Y_t

2

+ 2 Z T

t

Y^_sdY^_s+ Z T

0

Z^_s

2

ds:

Où

Y^_s dY^_s= Y^_s Z^_sdW_s: Donc :

Y^_t

2

+ Z T

t

Z^_s

2

ds= 2 Z T

t

Y^_sZ^_sdW_s (1.5) Soit N_t =

Z T t

Y^_sZ^_sdW_s alors pour tout t 0 le processus avariation quadratique ;

hNit= Z t

0

Y^_sZ^_s ²ds; t2[0; T]:

On utilisant l’estimation (1.4) et l’inégalité de Cauchy Schwarz : jhM; Nitj p

hMit

phNit , t 0:

Donc :

jhNitj=jhN; NiTj=E Z T

0

Y^_sZ^_s

2

ds

1 2

:

E Y^_t

2 ¹2

E Z T

0

Z^_s

2

ds

1 2

1:

Remarque 1.6 On peut montrer que la martingale locale N_t = fNgt est une martingale uniformément intégrable.

On prenant l’espérance dans (1.5) et appliquant l’inégalité de Cauchy Schwarz on obtient que :

E Y^_t

2

+1 2E

Z T 0

Z^_s

2

ds = 0:

ceci démontre queY^ = 0 et Z^ = 0 donc l’unicité.

Cas où f (t; !; y; z) dépend de y et de z:

Théorème 1.7 On considère l’EDSR( ; f) suivante : Y_t= +

Z T t

f(s; Y_s; Z_s)s Z T

t

Z_sdW_s:

avec l’hypothèse(L);l’EDSR admet une solution unique(Y; Z)dansB² = S_c²(R^k) M²(R^{k d}):

Preuve. On utilise l’argument de point …xe dans l’espace de Banach B² =S_c²(R^k) M²(R^{k d})

Soit une application telle que : :B² !B²:

(U; V)7 ! (U; V) = (Y; Z):

Où(Y; Z)2B² est une solution de l’EDSR( ; f):

Yt= +RT

t f (s; Us; Vs)ds RT

t ZsdWs , t2[0; T] On pose :

Fs=f(s; Us; Vs)2M²(R^k):

jF_sj jf(s; U_s; V_s) f (s;0;0)j+jf(s;0;0)j: jf(s;0;0)j+ jU_sj+ kV_sk:

Et ces trois derniers processus sont carré intégrables donc Fs est carré integrable.

Soient (U₁; V₁) et(U₂; V₂) deux éléments deB²; et (Y₁; Z₁) = (U₁; V₁); (Y₂; Z₂) = (U₂; V₂):

Notons y^ = Y₁ Y₂, z^ = Z₁ Z₂ et y^_T = = 0, u^ = U₁ U₂ et ^v =V₁ V₂:

d^y_t = ff (t; U₁; V₁) f (t; U₂; V₂)gdt+ ^z_tdW_t: On applique la formule d’Itô à e ^tjy^j² :

d e ^tjy^_tj² = e ^tjy^_tj²dt+ 2e ^tjy^_tjd^y_t+ e ^tjy^_tj² dt:

= e ^tjy^_tj²dt+e ^tkz^_tk²dt

+2e ^tjy^_tj[ff(t; U₁; V₁) f(t; U₂; V₂)gdt+ ^z_tdW_t]:

= e ^tjy^_tj²dt+ 2e ^tjy^_tjz^_tdW_t+e ^tkz^_tk²dt 2e ^tjy^_tj[ ff (t; U₁; V₁) f (t; U₂; V₂)gdt]: On intégrer entret et T on obtient :

e ^tjy^_tj²+ Z T

t

e ^skz^_sk²ds

= Z T

t

e ^s jy^_sj²+ 2jy^_sj ff (s; U₁; V₁) f (s; U₂; V₂)g ds Z T

t

2e ^sjy^_sjz^_sdW_s:

Et comme f est Lipschitz il vient :

jf(t; U1; V1) f(t; U2; V2)j k[jU1 U2j+jV1 V2j]:

2jy^_sj ff (s; U₁; V₁) f (s; U₂; V₂)g 2jy^_sjk[jU₁ U₂j+jV₁ V₂j] 2kjy^_sj ju^_sj+ 2kjy^_sj jv^_sj: On a 2ab "a²+ 1

"b²

Donc :

2jy^sj ff (s; U₁; V₁) f (s; U₂; V₂)g "k²jy^sj² +1

" ju^sj²+"k²jy^sj² +1

"jv^_sj²:

2"k²jy^_sj²+1

"ju^_sj²+1

"jv^_sj². Pour" = 2 on a :

e ^tjy^_tj²+ Z T

t

e ^skz^_sk²ds 4k²jy^_sj²+1

2ju^_sj²+ 1 2jv^_sj²: Z T

t

e ^s jy^sj²+ 4k²jy^sj²+1

2ju^sj² +1

2j^vsj² ds Z T

t

2e ^sjy^_sj kz^_skdW_s: Z T

t

e ^s [ + 4k²]jy^_sj²+ 1

2 ju^_sj² +jv^_sj² ds Z T

t

2e ^sjy^_sj kz^_skdW_s:

On pose = 1 + 4k² e ^tjy^_tj²+

Z T t

e ^skz^_sk²ds Z T

t

e ^sjy^sj²ds+1 2

Z T t

e ^s ju^sj² +jv^sj² ds Z T

t

2e ^sjy^sj kz^skdWs:

e ^tjy^_tj²+ Z T

t

e ^skz^_sk²ds+ Z T

t

e ^sjy^_sj²ds

1 2

Z T t

e ^s ju^_sj²+jv^_sj² ds Z T

t

2e ^sjy^_sj kz^_skdW_s:

On prend l’espérance : E e ^tjy^_tj² +E

Z T t

e ^skz^_sk²ds +E Z T

t

e ^sjy^_sj²ds 1

2E Z T

t

e ^s ju^_sj²+jv^_sj² ds 2E Z T

t

e ^sjy^_sj kz^_skd W_s :

la martingale locale Z T

0

e ^sjy^sj kz^skdWs est une martingale nulle en0 puisque Y₁,Y22S_c²(R^k) etZ₁; Z₂2M²(R^{k d}):

Donc : E jy^₀j² +E

Z T 0

e ^skz^_sk²ds +E Z T

0

e ^sjy^_sj²ds 1

2E Z T

0

e ^s ju^_sj²+jv^_sj² ds :

E Z T

0

e ^skz^_sk²ds +E sup

0 t T

e ^tjy^_tj² 1

2E sup

0 t T

e ^tju^_tj²+ Z T

0

e ^sjv^_sj²ds :

kz^k² +ky^k² 1

2ku^k² +k^vk² :

Donc l’application est une contraction deB²dansB² admet un poit …xe (Y; Z) unique dite la solution unique de l’EDSR.

EDSR linéaire

Proposition 1.8 Soient (a_t; b_t)_t2[0;T]un processus a valeur dans R R^d pro- gressivement mesurable et borné. Soient (C_t)_t2[0;T] un élément de M²(R) et

une variable aléatoire F_T-mesurable carré intégrable à valeur réelles.

EDSR lineaire : Y_t= +

Z T t

(a_sY_s+b_sZ_s+C_s)ds Z T

t

Z_sdW_s: posséde une unique solution qui véri…ée, 8t 2[0; T] :

Y_t= _t¹E ^T + Z T

t

C_{s s}dsnF^t : avec :

t= exp Z t

0

b_sdW_s 1 2

Z t 0

jb_sj²ds+ Z t

0

a_sds :pour 8t 2[0; T]: Preuve. 1* On a a_sY_s+b_sZ_s+C_s =f (s; !; Y_s; Z_s)est Lipschitzien.

i) f (s; Y_t; Z_t) f s; Y_t; Z_t = a_t Y_t Y_t +b_t Z_t Z_t ja_tj Y_t Y_t +jb_tj Z_t Z_t

M₁ Y_t Y_t +M₂ Z_t Z_t (M₁+M₂) Y_t Y_t + Z_t Z_t L Yt Yt + Zt Zt :

ii) jf (s; Y_t; Z_t)j ja_tj jY_tj+jb_tj jZ_tj+jC_tj: M₁jY_tj+M₂jZ_tj+jC_tj:

iii)jy_tj jf (s; Y_t; Z_t)j M₁jY_tj²+M₂jY_tj jZ_tj+jY_tj jC_tj:

Doncf et véri…ant les conditions du Théorème de l’9 et l’unicité.

Donc l’EDSR liniéaire posséde une solution(Y; Z)2B²:

2* Comme at et bt sont F_t^Wadapté et borné alors l’EDS linéaire

t= 1 + Z t

0

sb_sdW_s+ Z t

0

sa_sds:

Posséde une unique solution dans S²telle que :

"

t2S²;E sup

t2[0;T]j ^sj²

!

<1

# :

On pose :

sb_s= (s; _s):

sa_s = (s; _s): Donc :

(s; _s) s; _s = b_{s s s}

jb_sj ^{s s} M_{1 s s} :

(s; _s) s; _s = a_{s s s}

ja_sj ^{s s} M_{2 s s} :

Donc et sont Lipschitz, on écrit sous la forme :

t= exp Z t

0

bsdWs

1 2

Z t

0 jbsj²ds+ Z t

0

asds :

On a tY_t estFt adapté puisque Y_t existe etF^t adapté et t existe et F^t adapté .

d ( _tY_t) = _tdY_t+Y_td _t+d h ; Yit:

= _tC_t+ ( _tZ_t+ _tY_tb_t)dW_t:

On intégrer de0 à t

tY_t+ Z t

0

sC_sds= Z t

0

( _sZ_s+ _sY_sb_s)dW_s: Z t

0

( _sZ_s+ _sY_sb_s)dW_s est une martingale.

donc :

tY_t=E ^TY_T + Z T

0

sC_sds Z t

0

sC_sds nF^t :

=E ^TY_T + Z T

t

sC_sds n F^t :

Y_t= _t¹E ^TY_T + Z T

t

sC_sds nF^t :

1.5 Application

Modéle de Black Scholes

Un problème fréquent en …nance consiste à donner un prix aux options, une option européenne d’achat une (calle) de maturitéT et de prix d’exercice K est un contrôle qui donne le droit mais non l’obligation à sons détenteur d’acheter une part de l’action au prix d’exercice K à la date T:

Le vendeur de l’option s’engage donc à payer son détenteur la somme (S_T K)⁺ qui représente le pro…t que permet l’exercice de l’option, plus généralement on peut imaginée un actif contingent dont le béné…ce est une variable aléatoire positive qui dépend de (S_T).

Auquel prix v vendre l’option le vendeur doit s’assurer qu’en vendant l’option à ce prix à la date t= 0, il disposera de la somme à la date t=T. Pour trouver v l’idée fondamentale est celle de duplication ; le vendeur vend l’option au prix v et investit cette somme dans le marché en suivant la stratégie (Z)à trouver !.

Donc pour trouverv _t etZ on a le prix d’une part de l’option est régi par l’EDS :

dS_t =S_t( d t+ d W_t): S₀ =x:

Ou 2R et >0, le paramétre s’appelle la volatilité.

Donc :

S_t=xexp W +

2

2 t :

On note E_t le prix d’une part dans une place sans risque dont le taux de rendement est constant égale à R, est donné par :

dE_t=rE_tdt

E₀ =y i:e: E_t=yexprt:

la valeur de portefeuille à l’instant t est : V_t =q_tE_t+p_tS_t:

Oùqt représente le nombre de parts d’actif sans risque et pt celui d’actif risqué.

L’évolution de la valeur du portefeuille est d’écrite par : dV_t=q_tdE_t+p_tdS_t=rq_tE_t+p_tS_t( dt+ dW_t): On a : qtEt=Vt ptSt

Donc :

dV_t= (rV_t rp_tS_t)dt+p_tS_t dt+p_tS_t dW_t (1.6) On note :

t= p_tS_t la somme d’argent détenue en action.

Z_t = _t : et t = r

(c’est le risk premium): On a :

dV_t=rV_tdt+ _t Z_tdt+ Z_tdW_t: OùV_T = et V₀ =V:

On applique la formule d’Ito à V (t; S_t) : dV_t= @Vt

dt dt+ @Vt

@S_tdS_t+1 2

@²Vt

@S_t²d hS_t; S_ti:

= @V_t

dt dt+@V_t

@S_t(S_t d t+S_t d W_t) + 1 2

@²V_t

@S_t²S_t^{2 2}dt:

= @V_t

dt + @V_t

@S_tSt +1 2

@²V_t

@S_t²S_t^{2 2} dt+ @V_t

@S_tSt dWt: On compare avec (1.6) on obtient :

@V_t

@S_tS_t =p_tS_t =) @V_t

@S_t =p_t:

@V_t

dt + @V_t

@S_tS_t +1 2

@²V_t

@S_t²S_t^{2 2} =rV_t+ _t Z_t:

@V_t

dt + @V_t

@S_tS_t +1 2

@²V_t

@S_t²S_t^{2 2} rV_t r

S_t @V_t

@S_t = 0:

@V_t

dt + S_t r

S_t @V_t

@S_t + 1 2

@²V_t

@S_t²S_t^{2 2} rV_t= 0:

@V_t

dt +S_tr@V_t

@S_t +1 2

@²V_t

@S_t²S_t^{2 2}+@V_t

dt rV_t = 0:

V (T; S_T) = :

V (t; St) = _t¹E( TnF^t): V (t; S_t) = _t¹E exp RT

0 sdW_s+1 2

RT 0

2

s ds RT

0 rds nF^t : V₀(t; S_t) =E exp (W_T W_t) + 1

2

2(T t) r(T t) :

V₀(t; S_t) =S_t (d₁) Kexp ( r(T t)) d₁ p

T t : d₁ = 1

2 p

T t ln xexp (r(T t))

K + 1

2

2(T t):

(x) = 1 p2

Rx

1exp u² 2 du:

Pourt = 0;

v =V (0; S₀) =S₀ (d) Kexp ( rT) d p T : Où : d=d₁(t= 0):

Chapitre 2

EDSR à coe¢ cient continu

Dans cette partie on démontre l’existence de la solution pour de l’EDSR en une dimension (k= 1) telle que le coe¢ cient est à croissance linéaire et est continu en(y; z)et la condition terminale est de carré intégrable,en plus à cette hypothèse, on utilise un approximation de la générateur et la théorème de comparaison.

Considérons(W_t)_{t T} mouvement Brownienn de d-dimension dans un es- pace ( ;F;P):

On noteP^[0;T] la tribu prévisible.

2.1 Existence

Théorème 2.1 Supposant quef : [0; T] R R^d !R et P ^[0;T] B² mesurable qui véri…e :

1. La croissance linéaire9K <1;8t; !; y; z; jf(t; !; y; z)j K(1 +jyj+jzj): 2. Pour t; !; f(t; !; :; :) est continue.

3. 2L²(F^T) ;l’EDSR : Y_t= +

Z T t

f (s; Y_s; Z_s)ds Z T

t

Z_sdW_s ; t2[0; T]: admet une solution unique (Y; Z)2B²:

Lemme 2.2 Soitf :R^p !Rune fonction continue et à croissanse linéaire, il éxiste une constante K <1 telle que :

8x2R^p jf (x)j K(1 +jxj): Soit f_n la suite des fonctions telle que :

f_n (x) = inf

y2Q^pff (y) +njx yjg: On a alors pour tout n K :

1.8x2R^p jf_n(x)j K(1 +jxj):

2.8x; y 2R^p; jf_n(x) f_n(y)j n(jxj jyj): 3.8x2R^p; (f_n(x))_n est une suite croissante.

4.Si x_{n n}!

!+1x;alors f_n(x_n)_n!

!+1f(x):

Preuve. 1.f_n(t; x) = inf f(t; q) +njx qj;q2Q^d+1 : On a :

sin K; f_n(t; x) f(t; x):

D’apré la croissance liniare de f pour toutq 2Q^d+1; f_n(t; x) inff f(t; y) +Kjx yj;y2Q^pg:

f_n(t; x) inff K Ky+Kjx yj;y2Q^pg= K(1 +jxj): Donc :

K(1 +jxj) f_n(t; x) f(t; x) K(1 +jxj):

Ceci montre que f_n est bien dé…nie pour n K et donne la croissance linéaire ;

jfn(t; x)j K(1 +jxj):

2.f_n(t; x) = infff(t; y) +njx yj;y2Q^pg: donc :

f(t; y) +njx yj f(t; y) +njx yj+jx yj: f (t; y) + (n+ 1)jx yj:

infff(t; y) +njx yj;y2Q^pg infff(t; y) + (n+ 1)jx yj;y2Q^pg: Alors : f_n(t; x) f_n+1(t; x):

fn est une suite croissante.

3.Montrons que f_n estn Lipschitz.

Soient t; x etx;8y2Q^p:

f_n(x) f(y) +njx yj f(y) +njx yj+njx xj: On a :

f_n(t; x) f_n(t; x) +njx xj: Donc :

f_n(t; x) f_n(t; x) njx xj: (2.1)

8 0:

f_n(t; x) f(t; y) +njx yj :

f_n(t; x) f(t; y) +njx yj+njx yj njx yj : f_n(t; x) f(t; y) +njx yj njx xj :

f_n(t; x) f_n(t; x) njx xj :

f_n(t; x) f_n(t; x) njx xj : (2.2)

de (2.1) et (2.2) on a :

jf_n(t; x) f_n(t; x)j njx xj: 4.On considère que x_n !x;

n!+1

pour tout n K ; prenons y_n 2Q^p telle que :

f(t; x_n) f_n(t; x_n) f(t; y_n) +njx_n y_nj 1

n: (2.3)