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Thèse de doctorat/ PhD Thesis Citation APA:

Metens, S. (1998). Structures et instabilités morphologiques dans les systèmes réaction-diffusion bistables (Unpublished doctoral dissertation).

Université libre de Bruxelles, Faculté des sciences, Bruxelles.

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Service de Chimie-Physique

STRUCTURES ET INSTABILITES

MORPHOLOGIQUES DANS LES SYSTEMES REACTION-DIFFUSION BISTABLES

Thèse présentée pour l'obtention du grade Légal de Docteur en Sciences Physiques

STÉPHANE MÉTENS

MARS 1998

BRUXELLES

FACULTE DES SCIENCES

SECRETARIAT

L'épreuve publique pour l'obtention du grade académique de Docteur en Sciences de Monsieur METENS, Stéphane, Licencié en sciences, pour le groupe des sciences physiques, aura lieu le :

JEUDI 5 MARS 1998 A 17.00 HEURES

! en la Salle Solvay, Bâtiment N/O, niveau 5

Campus Plaine, Boulevard du Triomphe à 1050 - Bruxelles.

Monsieur METENS, Stéphane présentera et défendra publiquement une dissertation originale intitulée :

« Structures et instabilités morphologiques dans les systèmes réaction-diffusion bistables »

et une thèse annexe intitulée :

« Les mélanges de Bosons-Fermions d'atomes alcalins peuvent présenter à basses températures des propriétés de cohérence et de supermobilité »

DEFENSE PRIVEE ; MERCREDI 4 MARS 1998 A 16.00 HEURES Salle Solvay.

Directeurs de thèse : MM. G. DEWEL et P. BORCKMANS.

FACULTE DES SCIENCES

SECRETARIAT

(Document destiné à la bibliothèque).

Je soussigné,

NOM ...

Prénom ;

^ autorise O n'autorise pas

la consultation de ma thèse de doctorat intitulée ;

fiky.hh.Q.i.9. fl.(

r. !..:... ^fintvo

Bruxelles, le

Signature :

t C ^{ja^vrv’^t}

UNIVERSITE LIBRE DE BRUXELLES Faculté des Sciences

Service de Chimie-Physique

STRUCTURES ET INSTABILITES

MORPHOLOGIQUES DANS LES SYSTEMES REACTION-DIFFUSION BISTABLES

Thèse présentée pour l'obtention du grade Légal de Docteur en Sciences Physiques

STÉPHANE MÉTENS

MARS 1998

1 Structures spatiales et bistabilité. 3

1.1 Introduction... 3

1.2 Bistabilité entre états stationnaires homogènes... 7

1.3 Rythmes, formes et échelles caractéristiques... Il 1.3.1 Bifurcation de Hopf et Turing... Il 1.3.2 Structures spatio-temporelles d’excitabilité... 12

1.3.3 Propagation de fronts et structures stationnaires en régime bistable... IG 1.4 Modèle de FitzHugh-Nagumo... IS 1.4.1 Introduction... 18

1.4.2 modèles cubique et quadratique... 19

1.4.3 Analogie avec les transitions de phases... 21

1.4.4 Analyse de stabilité linéaire... 29

Modèle cubique en absence de diffusion... i()

Modèle quadratique en absence de diffusion... 31

Modèle cubique en présence de diffusion... 13 Modèle quadratique en présence de diffusion... U

1

1.5 Réduction de la dynamique au voisinage du point critique... 35

1.6 Dynamique sur une variété invariante... 44

1.7 Équations d’amplitudes couplées Turing-Homogène... 49

1.8 Sélection des structures 2D pour FHN cubique... 53

1.8.1 Approche en température à champ nul... 53

1.8.2 Approche en température en présence de champ... 61

1.8.3 Approche en champ à température fixée...63

1.8.4 Branches isolées de structures... 66

1.8.5 Diagrammes des phases... 71

1.9 Sélection des structures 2D pour FHN quadratique... 73

1.10 Structuration tridimensionnelle pour les modèles de FHN... 82

1.10.1 Équations d’amplitudes des structures BCC...86

1.10.2 Sélection des structures 3D pour FHN cubique... 89

1.10.3 Sélection des structures 3D pour FHN quadratique... 94

1.10.4 Rigidité des cristaux dissipatifs... lül 1.11 Dynamique et structures de fronts... 103

1.11.1 Introduction... 103

1.11.2 Instabilité Ising-Bloch...104

1.11.3 Instabilité morphologique d’un front plan entre ESH...I2U 1.11.4 Réaction de complexion et instabilité morphologique... 128

1.11.5 Structures localisées...131

1.11.6 Structures de Turing et instabilité morphologique...135

1.11.7 Modèle de Gray-Scott et instabilité morphologique... 138

Structures spatiales et bistabilité.

1.1 Introduction.

Les systèmes de réaction-diffusion (RD) qui présentent une bistabilité entre t'tats stationnaires homogènes (ESH) ont fait l’objet d’un foisonnement d’études. Parmi celles-ci figure l’observation de cette propriété de bistabilité en réacteur agité pour la réaction iodure-acide arsénique (Ganapathisubramanian et Showalter 1984). l'nu caractérisation des ESH s’effectue au travers de leurs comportements de rela.xation>

qui ont motivé de multiples expériences (Pifer et al. 1985, Ganapathisubram.iman et Showalter 1986, Ganapathisubramanian et al. 1989, Kramer et Ross . r suscités nombre de développements théoriques (Dewel et al. 1984 et 1985. (îr.iv . r Kordylewski 1985). Sous certaines conditions, et lorsque seul un état statKuin.urf stable subsiste, des phénomènes d’excitabilité (Meron 1992) peuvent se [)ru'.. ritur Ils se caractérisent par des réponses, à des perturbations de forme détermin>u>.

qui engendrent une riche variété de comportements transitoires suivis d'un rur.nir vers l’état initial. Citons en autres le développement d’ondes solitaires. i I iuk !.*

cibles et de spirales qui se rencontrent notamment dans la réaction de Bt’luu'..,v- Zhabotinsky. Des structures spatio-temporelles similaires, mais d’origine ditfurunr.' peuvent également s’observer dans ces .systèmes lorsqu’ils sont en régime om ill.mr.

3

c’est-à-dire en présence d’une bifurcation de Hopf (Kuramoto 1984). En milieu bistable des comportements oscillants peuvent aussi se manifester au travers de bi­

furcations globales du type boucle noeud-col ("sniper”) et homoclinic associées à des cycles limites de périodes divergentes (Andronov et al. 1966, Shil’nikov 1965, Maselko 1982, Arnéodo et al. 1985). Des dynamiques plus complexes d’origines diverses ont donné lieu à des observations de chaos chimiques (Schmitz et al. 1977, Hudson et al. 1979, Argoul et al. 1987). En comparaison avec les domaines précités, force est de constater en parcourant la littérature que peu de travaux ont été con­

sacrés à l’analyse des structures stationnaires périodiques dans de tels systèmes. Les développements analytiques et numériques des structures de Turing ont été réalisés soit sur des modèles monostable tel que le Bruxellateur (Walgraef et al. 1981, Bor- ckmans et al. 1995), soit via des approches plus abstraites (Kuramoto et Tsuzuki 1975) ne prenant pas en compte les particularités liées à la bistabilité. De plus leur observation tardive par De Kepper et son équipe, s’est accomplie sur la réaction chlorite-iodure-acide malonique (CIMA) qui, dans le régime étudié, est monostable (Castets et al. 1990). Ce n’est que récemment, sur la réaction bistable ferrocyanide- iodate- sulfite (FIS), que Swinney et ses collaborateurs (Lee et al. 1993) ont observé des structures labyrinthes qui se différencient des structures en bandes notamment par leurs mécanismes de nucléation et leur amplitude au seuil de bifurcation. Par­

allèlement à la chimie non-linéaire, d’autres observations expérimentales de struc­

tures ont été obtenues sur des systèmes bistables, dans des domaines aussi divers que

l’optique non-linéaire (Ackemann et al. 1995 et Firth et al. 1992) et les dispositifs

de décharges dans les gaz ( Breazeal et al. 1995). Ceux-ci peuvent se modéliser a

l’aide de systèmes réaction-diffusion (diffraction). Par ailleurs des expériences de

convection de Rayleigh-Bénard Boussinesq réalisées avec du SF q proche du point

critique (Liquide-gaz) présentent certaines similarités avec les systèmes RD bistables

(Assenheimer 1994, Assenheimer et Steinberg 1996). A la vue de ces résultats, il

nous est apparu important de se consacrer, dans ce chapitre central, à l’étude «le la

formation et de la sélection des structures spatiales dans de tels systèmes.

Nous soulignons tout d’abord le rôle important joué par les temps et longueurs caractéristiques associés à ces systèmes. Ceux-ci permettent notamment d’appréhender intuitivement le type de comportement spatio-temporel observé. Nous introduisons ensuite diverses variantes du modèle bistable de FitzHugh-Nagumo (FHN), sur lesquels nous avons choisi de présenter nos résultats, afin d’expliciter autant que faire se peut leurs discussions. Dans l’optique de les classifier nous introduisons une terminologie analogue à celle rencontrée dans le domaine des transitions de phases d’équilibre. Il s’agit principalement de distinguer, autour d’un point critique, deux évolutions respectivement équivalentes à une transition de phase du premier ordre et du second ordre. Nous procédons ensuite à une analyse de stabilité linéaire des ESH en absence et en présence de processus de diffusion.

A l’aide de développements multi-échelles autour du point critique nous obtenons une réduction des modèles de FHN à une équation du type de Swift-Hohenberg généralisée (Bestehorn et Haken 1984). Nous sommes ensuite amenés à considérer des situations dans lesquelles interagissent bifurcation homogène et diffusive de Tur- ing. Nous montrons que l’analyse non-linéaire requiert l’adaptation de la théorie de la variété invariante (Roberts 1985, .A.rmbruster et al. 1989). Celle-ci généralise la méthode de la variété centrale et permet l’obtention des équations d’amplitudes couplées pour les modes critiques et le mode homogène. Cette approche permet de mettre en évidence, en autres, l’existence, propre aux systèmes bistables. de structure stationnaire de grande amplitude au seuil d’instabilité.

Nous consacrons ensuite une dis< u.s.sion systématique de la sélection, à d('ux et trois dimensions spatiales, des diverses structures. De cette étude théoricim* et numérique, il ressort une riche variété de diagrammes de bifurcations qui montrent notamment l’existence de structuri’s Imxagonales en présence de symétrie d’inversion ainsi que la réentrance de phases hexagonales. L’existence de branches isolées

de structures a également été rencontré et s'interprète grâce au déploiement «les diagrammes de bifurcations dans l'es|)ace des paramètres. Nous comparons no>

résultats avec ceux obtenus au second chapitre pour les modèles RD monostable, et

nous les confrontons avec des résultats d’expériences réalisées en chimie (Lee et al.

1993, Lee et Swinney 1995, Li et al. 1996) ainsi que dans des systèmes de décharges dans les gaz (Breazeal et al. 1995) et des cavités optiques (Ackemann et al. 1995 et Firth et al. 1992).

Dans la seconde partie de ce chapitre nous étudions la dynamique de la propaga­

tion d’un front plan reliant deux états stationnaires homogènes. Nous considérons tout d’abord l’instabilité ”Ising-Bloch” qui sépare le régime, où par analogie aux transitions de phases, état dominant et dominé peuvent se distinguer de celui où cette différence perd toute signification (Ortoleva et Ross 1975, Coullet et al. 1990, Hagberg et Meron 1994(a)). Nous analysons ensuite l’instabilité "morphologique”

induite par une déformation géométrique critique d’un front plan (Kuramoto 1980, Hagberg et Meron 1994(b)). Le développement de cette dernière instabilité conduit à la formation de structures labyrinthes observées numériquement sur les modèles de FHN. Nos résultats sont comparés avec ceux obtenus expérimentalement sur la réaction FIS (Lee et al. 1993, Lee et swinney 1995, Li et al. 1996). De plus nous analysons aussi le modèle bistable de Gray-Scott (GS) qui se distingue des modèles de FHN par les valeurs prises par les deux espèces chimiques dans le front. Le rôle d’une réaction de complexion de l’activateur sur le critère de l’instabilité mor­

phologique est discuté sur les deux classes de modèles. L’expression de ce critère en termes du rapport des coefficients de diffusion permet d’établir une distinctù)n formelle entre l’instabilité morphologique d’un front plan et celle de Turing d'im ESH.

Un appendice à caractère plus technique a été ajouté afin de discuter une sit­

uation qui correspond à une bifurcation sous- critique en absence de couplage ho­

mogène qui nécessite une analyse non-linéaire jusqu’au cinquième ordre du calcul de

développement multi-échelles et qui présentent certaines similarités avec les résultats

obtenus dans ce chapitre.

1.2 Bistabilité entre états stationnaires homogènes.

La bistabilité est une caractéristique que possèdent certains systèmes de présenter simultanément deux états stationnaires stables distincts. Une telle propriété est ob­

servée pour certaines réactions auto-catalytiques qui se déroulent en réacteurs agités (CSTR). Tel est le cas de la réaction iodate-acide arsénique (Ganapathisubrama- nian et Showalter 1984). Ce phénomène se rencontre aussi en physique dans une multitude de domaines. En optique non-linéaire, l’interféromètre de Fabry-Pérot contenant un milieu matériel dont les propriétés optiques varient avec l’intensité lumineuse, présente une caractéristique intensité incidente -transmise qui prend la forme d’une boucle d’hystérésis (Szoke et al. 1969, Gibbs et al. 1976). Des dis­

positifs à semi-conducteurs, soumis à l’action d’un champ électrique, sont le siège de mécanismes non-linéaires de création et recombinaison d’électrons et de trous qui en­

gendrent des caractéristiques courant-champ électrique bistables (Schôll 1987). Sig­

nalons enfin, l’existence d’une propriété similaire pour les phénomènes de décharges dans les gaz (Radehaus et al. 1990).

Pour une réaction chimique la bistabilité entre ESH peut s’appréhender en con­

sidérant les limites de fonctionnement d’un CSTR. En effet, pour des flux d’alimentation tel que les temps de résidence des espèces réactives sont extrêmement brefs, les pro­

cessus internes sont quasi inopérants. Par conséquent, l’état asymptotique est un équilibre de transport avec l’environnement. Dans la limite opposée de temps de résidence infini, l’état stationnaire .isymptotique est celui de l’équilibre thermody­

namique. Lorsque, dans le diagramme concentration- temps de résidence, ces deux branches distinctes se joignent continûment, le système est monostable. Au contraire en présence d’une région de recouvrement, le système présente une bistabilité entre état stationnaire et homogène. L'augmentation d’un paramètre de contrôle peut engendrer le passage de la branche inferieure à la branche supérieure du bistable en une valeur Ci de ce paramètre (figure (1.1-a)). Si nous réduisons ensuite celui-ci.

nous retombons sur la branche inférieure en une valeur plus petite C2, il en résulti' la

formation d’une boucle d’hystérésis. Pour certaines cinétiques chimiques, la varia­

tion d’un second paramètre de contrôle permet d’induire une transition entre régime monostable et bistable (figure (1.1-b)).

Considérons un système réaction diffusion de la forme

Tu du

dt f{u,v;a,j) + Llsj'^u

Tv dv

dt g{u,v;a,j) + ,

( 1 . 1 )

où / et ^ décrivent les cinétiques non-linéaires et r„, et Ly correspondent re­

spectivement aux temps et longueurs caractéristiques de l’activateur u et l’inhibiteur V] a et y notent les deux paramètres de contrôle. Comme nous considérons des cinétiques réactionnelles avec des boucles de rétroaction positive pour l’activateur et négative pour l’inhibiteur, il existe un domaine de l’espace des paramètres {a ,7) tel que /„ > 0 et < 0.

Les ESH sont solutions du système d’équations non- linéaires algébrique / = 0, g = 0. Ils sont localisés dans l’espace (u. v) aux intersections des courbes f{u,v) = 0 et g{u, u) = 0 qui typiquement, pour un système bistable, présentent l’allure donnée à la figure (1.2).

La stabilité d’un ESH en absence de diffusion requiert que la trace (T = (r„)“^/u -t- { tv )~^9 v ) de la matrice Jacobienne soit négative et que son déterminant (A = { tu )~^fu{Ty)~^gv — { tu )~^fv{Ty)~^gy ) soit positif. Ces deux quantités devant être évaluées autour de l’ESH considéré. Nous en déduisons immédiatement que les états I et III sont stables, tandis que la •'oliition intermédiaire II est instable.

En fonction de la nature des non-linéarités des cinétiques / et g, nous pouvons

rencontrer une large variété de bistal)ilité nutre ESH. Nous reprenons sur la figure

(1.3) les situations les plus souvent réalisées par les systèmes RD à deux variables

(Murray 1993, Gray et Scott 1990).

Figure 1.1: Étude expérimentale par Ganapathisubramanian et Showalter (1984) de la réaction iodate-acide arsénique.

(a) Boucle d’hystérésis avec transitions entre ESH en Ci et C2 dans le diagramme du logarithme de la concentration de l'iodide [/“] en fonction du logarithme du temps de résidence.

(b) Transition entre le régime monostable et histable obtenue en variant la concen­

tration de l’iodide.

Figure 1.2: Tracé des courbes f{u,v) = 0 et g{u,v) — 0 ("nullclines”) dans le cas bistable. Nous pouvons distinguer trois intersections qui correspondent aux trois ESH.

Figure 1.3: Différentes classes de bistahtlué mire ESH.

(a) double noeud-col (caractéristique eu "S~I. (h) quatre noeuds-cols (caractéristique en ”champignon"-”Mushroom”), (c) branche isolée (d) noeud-col et transcntiqne.

(e) fourche (pitchfork).

Il s’agit de configurations pour lesquelles le passage entre états stationnaires s’effectue via une bifurcation noeud-col (saddle-node), transcritique ou fourche (pitchfork).

Noter la situation dans laquelle les ESH forment une branche isolée résultante de la fusion entre deux bifurcations noeud-col de la caractéristique "champignon” (Gray et Scott 1990).

1.3 Rythmes, formes et échelles caractéristiques.

1.3.1 Bifurcation de Hopf et Turing.

De nombreuses études (Pismen 1979 et 1980, Ortoleva et Ross 1975, Kerner et Osipov 1994) se basent sur le rapport des temps et longueurs caractéristiques ainsi que sur la forme des courbes f{u, u) = 0 et g{u, v) = 0 (”nullclines” ), pour distinguer les différents comportements spatio-temporels des équations (1.1). Exprimons tout d’abord les conditions sous lesquelles se présentent une instabilité de Hopf et do Turing d’un ESH. La relation de dispersion obtenue par l’analyse de stabilité linéaire est donnée par

Une instabilité de Hopf d’un ESH apparaît lorsque la trace T = r^fu + T^gv d<* lu ma­

trice Jacobienne est positive ou nulle et que la partie imaginaire de u est dilftT. titc de zéro. Cette instabilité conduit au développement d’oscillation tempcudlv do

avons deux paramètres de contrôle, comme pour (1.1) , nous sommes en prosom o

non pas d’un seuil de bifurcation mais d’une courbe critique dans l’espace {a. • i Les conditions sont généralement satisfaites lorsque le processus d’inhibition est leur

par rapport au processus d’activation, c'est-à-dire pour e = ru/r„ << 1. Pri'cixm-

TuTyU^ - ^[Tu{gv - q^Ll) + r„(/u - q^Ll)]

+ {fu-q^Ll){gy-q^Ll)-fyg^ = Q.

fréquence critique

que ces oscillations peuvent apparaître, en présence d’une bifurcation sous- critique, pour des valeurs inférieures aux seuils.

D’autre part, la bifurcation de Turing prend place lorsque le déterminant de la matrice Jacobienne A(9) s’annule, soit

- q^UuLl + Q v LI) + fuQv - îvQu = 0. (1.3)

Lorsque l’inhibiteur agit à longue portée et l’activateur à courte portée, Ly ^ le déterminant A < 0, par conséquent TES H est instable par rapport à la formation d’une structure spatiale périodique de nombre d’onde Çc = {fu9v—fv9u)^^^‘^K^u^vY~''^^^-

1.3.2 Structures spatio-temporelles d’excitabilité.

Pour un processus d’inhibition lent et à courte portée en comparaison avec le proces­

sus d’activation ( ex = Ly/Ly > 1 et e = Ty/vy < 1), le système peut développer sous certaines conditions une onde d’excitabilité (Keener 1980, Tyson et Keener 1988). La dynamique d’un tel phénomène est principalement contrôlée par la forme des courbes /(u, v) = 0, g{u, v) = 0, par la valeur des paramètres e et a ainsi que par l’amplitude de la perturbation de l’ESH. Nous décrivons ici avec quelques détails comment les ar­

guments d’échelles caractéristiques permettent de spécifier la dynamique du système.

Nous verrons par la suite toute l’importance de ce raisonnement qui est à la base des méthodes de développement en perturbations singulières. Pour plus de facilité nous effectuons le changement de variable des coordonnées spatiales et temporelle suivant: Xj XiLy et t ^ Tvy. Nous rebaptisons ensuite les nouvelles variables (Ai, T) par leurs anciennes notations (x,, t), le système d’équations (1.1) s’écrit alors

= /(u. ü;n,7) 4- du

dt

(1.4)

— = eg{u,v;a,'y) + 5 v ,

où 5 = DyfD^ est le rapport des coefficients de diffusion {D = L?-/ t ) de l’inhibiteur sur l’activateur. Considérons une situation monostable, les courbes /(li, u) = 0 et g{u, u) = 0 ne se croissent qu’en un unique point 5(u„ uj et ont l’allure donnée sur la figure (1.4 -a)).

(C)

Figure 1.4: {a} Courbes f = 0 et g = 0 dans le régime excitable.

(b) Forme d’une impulsion propagative typique générée par une perturbation < r-- - de l’ESH.

(c) Déformation en fonction de la valeur de l’inhibiteur du potentiel r- l’équation de l’activateur u.

Perturbons localement l’activateur n tout en maintenant l’inhibiteur v

Nous constatons sur la figure (1.4 -b) que pour une perturbation de a

à une valeur critique Ua, le système rela-xe vers son état initial S. Lors<iiu‘

perturbation dépasse la valeur critique, le système quitte l’état S et effectue une excursion importante dans l’espace (u,v) avant de revenir dans son état initial.

Cette excursion, représentée par la courbe S ABC S sur la figure (1.4 -a), correspond à une onde propagatrice d’excitabilité (figure (1.4 -b)). La notion d’excitabilité est donc liée à l’existence d’un seuil de perturbation au-delà duquel une dynamique non triviale est générée. Nous constatons que ce puise est constitué de deux phases ([5^4]

et [BC] sur la figure (1.4 -b) accompagnées d’une variation importante de u pendant lesquelles v reste pratiquement constant, et de deux phases {[AB]) et ([C5]) durant lesquelles u n’est pas modifié au contraire de u. Si dans une première approche nous négligeons les effets liés à la diffusion, sur une échelle de temps "courte” de l’ordre de 0(1) le système bascule de l’état S à. A. Dans l’espace cette transition correspond à la formation d’un front en u de largeur qui connecte ses deux états, tandis que

reste constant. Sur une échelle de temps plus longue, de l’ordre de 0(e"^), l’inhibiteur v croît {A > S) et la variable rapide u suit de manière adiabatique cette évolution. Donnons une image intuitive de ces phases dans la limite e —>• 0, où l’activateur dérive d’un potentiel J- tel que du/dt = —ôT/6u, tandis que l’inhibiteur est quasi-stationnaire. La dynamique du système se visualise dans le potentiel F dont la forme varie avec v (figure (1.4 -c)). La perturbation initiale fait basculer le système du puits de potentiel gauche (état S) vers le puits de potentiel droit (état A). Une lente augmentation de l’inhibiteur prend place et donne lieu à une déformation de F qui réduit la profondeur du puits droite et augmente celle de gauche. En B il ne subsiste que le puits gauche dans lequel le système bascule rapidement (état C). Sur une distance s’est formé un front raide qui relie

l’état B k C. En C, le système présente un déficit en activateur {C < S), pur

conséquent v décroît lentement sur une échelle de temps 0(e~^). L’activateur "Uit

de manière adiabatique cet ajustement (pii mène le système vers son état d’équilibre

initial. Montrons quels sont les effets de [irocessus de transport dissipatifs tels (pie l.i

diffusion et ce tout d’abord avec (î ~ 1 (Keener 1980. Dockery et al. 1988, Dockerv rt

Keener 1989, Kessler et Levine 1989). La [lerrurbation initiale localisée en activati'ur

se développe rapidement et donne lieu à un gradient de concentration important. La diffusion vers les régions adjacentes initie une perturbation critique qui déclenche le processus d’excitation. Il en résulte le développement d’un puise animé d’une vitesse Vu = L u / tu . Celui-ci présente la particularité de ne pas se déformer lors de sa propagation, en effet les fronts d’excitation [AB) et de réfraction (CD) se meuvent à même vitesse. Les ondes d’excitabilités peuvent aussi se matérialiser sous forme d’ondes cibles ou de spirales (Winfree 1980, Keener 1986, Keener et Tyson 1986). Dans un réacteur gel des paires d’ondes d’excitations peuvent être déclenchées sous l’action d’un éclair lumineux (Dulos et al. 1991, Noszticzius et al. 1987). Elles présentent l’allure de deux croissants contre-propagatif que l’on dénomme excyclons et qui résultent du fractionnement en deux d’une onde cible.

Ces excylons s’annihilent mutuellement lors d’une collision. Notons de plus que ces puises peuvent aussi être émis spontanément à partir d’hétérogénéité lorsque le réacteur gel est en régime oscillant.

La situation est différente lorsque nous considérons des systèmes excitables pour lesquelles l’inhibition est à longue portée par rapport à l’activation c'('st- à-dire 5 » 1. La diffusion de v vers l’avant de la région d’excitation inhibe toute propagation du processus et équilibre d’autre part la production locale en inhibiteur.

Une structure localisée stationnaire est ainsi formée (Koga et Kuramoto 1980. Ohta

et al. 1989). Une séparation importante des échelles de temps peut conduire à une

instabilité de Hopf de cette structure (lui subit alors une alternance de contrac tioti

et d’extension (Koga et Kuramoto 1080. .N'ishiura et Mimura 1989). L’existence à

une dimension spatiale, d’une famille d'ondes stationnaires périodiques de grande

amplitude a aussi été mise en évidence pour e/5 suffisamment petit (Ermentnmt

et al. 1984, Klaasen et Troy 1984). Pour des dimensions supérieures des solutions

stationnaires de symétrie radiale ont egalement été obtenues (Klaasen 1986). 11 faut

noter que les phénomènes de blocage de fronts sont intimement liés au carai ten'

non-variationnels des équations (l.ô).

1.3.3 Propagation de fronts et structures stationnaires en régime bistable.

En régime bistable, un système peut présenter des transitions entre états station­

naires homogènes pour des perturbations d’amplitudes suffisantes (Fife 1979). Des fronts de vitesses et de profils différents peuvent se distinguer en fonction du rap­

port des temps et longueurs caractéristiques (Ortoleva et Ross 1975, Collins et Ross 1978, Shyldkrot et Ross 1985). Lorsque e -C 1, et Du/D„ » e un front rapide peut se propager, en revanche lorsque le coefficient de diffusion de u est beaucoup plus petit que le coefficient de u, la vitesse du front est faible. Enfin lorsque le temps caractéristique de l’activateur est plus grand ou égale à celui de l’inhibiteur et que 5 < e, U varie sur une échelle de longueur de l’ordre de y/ëô > 1 et le front ne présente pas un profil raide. Nous montrons dans la seconde partie de ce chapitre que l’expression de la vitesse de propagation dépend non seulement de la cinétique des processus, mais aussi du rapport des coefficients de diffusion. Cet effet inter­

vient par le biais d’une intégrale de chemin qui lie les deux ESH dans l’espace dos concentrations. (Shyldkrot et Ross 1985).

Dans les transitions de phases d’équilibre la dynamique de l’interface séparant deux régions de phases distinctes est complètement déterminée à partir de l’énergie libre F du système. Celui-ci évolue vers une configuration énergétique minimale nù la phase dominante plus favorable envahi complètement la phase dominée. Dan>

les systèmes réaction-diffusion, la situation peut être différente, en effet lorsciu il

n’est plus possible d’associer un potentiel aux équations (1.5), la distinction entre

état dominant et dominé disparaît. Il est alors possible d’obtenir pour des valeurs

identiques de tous les paramètres, des fronts qui se propagent dans l’une ou l’autre

direction , et ce en fonction des profils initiaux en activateur et inhibiteur (Ortoleva

et Ross 1975). Cette multiplicité de fronts est une manifestation indéniable du

caractère non-variationnels des équations dynamiques. .A.u concept de multiplicité

de fronts s’associe naturellement la notion de bifurcation de fronts. II s’agit d une

transition entre un domaine des paramètres pour lesquels il est possible de distinguer état dominant et dominé, d’un domaine où cette distinction disparaît et donc où la multiplicité de fronts peut s’établir. La première étude de stabilité de ces fronts à été réalisée sur le modèle de FitzHugh-Nagumo pour J = 0 par Rinzel et Terman (1982), et a ensuite été généralisée par Ikeda et al. (1989) et par Hagberg et Meron (1994(a)). Indépendamment Coullet et al. (1990) ont introduit pour ce phénomène le vocabulaire de transition Ising-Bloch par analogie aux systèmes ferromagnétiques (Lajzerowicz et Niez 1979).

Les fronts entre ESH peuvent subir des instabilités morphologiques (Kuramoto 1980) qui conduit au développement de structures stationnaires que nous analyserons plus en détail dans la suite. Ces fronts sont les éléments essentiels des structures lo­

calisées stationnaires qui s’organisent sous forme de domaines d’un ESH plongé dans l’autre, la croissance de ceux-ci est limitée par une interaction inhibitrice non-locale (Schimansky-Geier et al. 1991 et 1995, Zülicke et al. 1990, Toko et Yamafuji 1990).

Signalons aussi que de très nombreuses études sont consacrées à la propagation d'un front dans un milieu instable donnant lieu à la formation d’une structure spatiale qui s’établit derrière le front. La vitesse de celui-ci et la longueur d’onde de la structure sont déterminées en première approximation par le critère de stabilité marginale (Dee et Langer 1983. .Ahlers et Cannell 1983, Dee et van Saarloos 1988.

van Saarloos 1988 et 1989).

D’autres études effectuées sur des n'*acteurs agités {5 = 1) en présence d’un gradient de concentration imposé par les bords, ont montré l’existence d’une instabilité d'un état stationnaire inhomogène de référence pouvant conduire à une structuration stationnaire sous forme de motifs à un ou à trois fronts (Arnéodo et Elezgaray 1987, Elezgaray 1989, Arnéodo et al. 1991).

Des structures spatiales stationnaires extrin.sèques induites par des conditions an.x bords de types Dirichlet ont au.-»i ere olitenues (Nicolis et Prigogine 1977). leur

longueur d’onde est imposée par les dimensions géométriques du système l't elles

subsistent même pour des coefficients de diffusion égaux. Il est également possible d’observer, dans des systèmes de petites tailles, des structures stationnaires lorsqu’un ESH est soumis à des perturbations d’amplitudes finies, celles-ci présentent alors une longueur d’onde caractérisée par le couplage entre réaction et diffusion ainsi que par l’extension spatiale du système (Vastano et al. 1987, Vastano 1988).

Il se dégage de cette classification à partir des échelles de temps et longueurs car­

actéristiques, une très riche diversité des dynamiques spatio-temporelles observées dans les systèmes bistables. Il nous sera d’autant plus facile de situer nos résultats dans ce contexte en nous référant aux paragraphes de cette section ainsi qu’a l’abondante littérature qui s’y rattache. Insistons toutefois que les arguments basés sur les échelles caractéristiques permettent seulement de développer une intuition et ne peuvent en aucun cas se substituer à une analyse non-linéaire qui seul peut décrire correctement la dynamique du système au-delà d’une instabilité ou d’une sit­

uation critique. Soulignons néanmoins que l’application des méthodes non-linéaire de perturbations singulières et des équations d’amplitudes est intimement liée aux diverses limites discutées.

1.4 Modèle de FitzHugh-Nagumo.

1.4.1 Introduction.

Les processus de transports et les réactions chimiques qui contrôlent la dynamique

spatio-temporelle des phénomènes observés en laboratoire, telle que ceux décrits

aux paragraphes ci-dessus, s’avèrent intrinsèquement compliqués. Citons seulement

à titre d’exemple la réaction de Belouzov-Zhabontinsky qui fait intervenir un grand

nombre d’espèces chimiques (Zhabotinskii 1964. Field 1985). L’étude théorique de

ces systèmes requiert de procéder à une élimination des variables qui ne gouvernent

pas les propriétés des solutions des éfiuarions d évolutions. Cette réduction se déduit

du rapport des échelles de temps et de longueurs caractéristiques des diverses espèces

ainsi que des propriétés de symétrie du système. Les modèles proposés réalisent un compromis entre leur réalisme et leur potentialité quant à l’application des méthodes mathématiques. Nous limitons nos investigations sur les modèles de FitzHugh- Nagumo (FitzHugh 1961, Nagumo et al. 1962) et de Gray-Scott (Gray et Scott 1983) qui sera abordé à la fin de ce chapitre.

Initialement le modèle de FitzHugh-Nagumo a été introduit en neurobiologie dans le contexte de l’étude de la propagation d’impulsions électriques du système nerveux. Il a ensuite été utilisé pour décrire les ondes d’excitabilité (voir l’abondante bibliographie citée dans les paragraphes introductifs) qui apparaissent en régime ex­

citable et fait maintenant figure de proue de l’étude des systèmes bistables. Notons que généralement ce modèle est introduit sans développer une dynamique micro­

scopique sous-jacente, récemment Malevanets et Kapral (1996) ont montré qu’il est possible de lui associer un schéma réactionnel développé sur un réseau cubique.

Dans la littérature le modèle de FitzHugh-Nagumo recouvre diverses variantes d’un système de deux équations réaction-diffusion qui se caractérise par une évolution linéaire de l’inhibiteur.

1.4.2 modèles cubique et quadratique.

Dans ce travail nous étudions deux versions du modèle de FitzHugh- Nagumo, la première présentant une non-linéarité cubique (u^) et la seconde une non-linéarité quadratique (u^), qui brise la symétrie d'inversion. Les équations réaction-diffusion sont données par

du

dt U

dv

dt

t; ,

(1.3)

où /? > 0, 7 > 0 sont des paramétr('s de contrôlent positifs, â = Dy/D,^ ^{('St 1('}

rapport des coefficients de diffusion de l’inhibiteur v sur l’activateur u. Le paramètre e = T u / t ^ désigne le rapport des temps caractéristiques. Nous étudions tout d’abord la situation où /3 = 0 et o 7^ 0 qui correspond à une interaction cubique, ensuite nous nous concentrons sur le cas d’une non-linéarité quadratique j3 ^ 0 avec a = 0.

Les états stationnaires et homogènes sont solutions des équations algébriques suiv­

antes :

— j3u^ + u(j — 1} — a = 0 -yu ~ a = V.

Il est possible, mais aucunement utile d’exprimer les solutions de la première équation à partir des fonctions sinus, cosinus hyperboliques ou de puissance selon les valeurs de 7, 13 et a. Précisons en fonction des paramètres la nature des états stationnaires homogènes dans diverses situations particulières.

i) /? = 0 et a = 0

Les trois ESH sont alors donnés en fonction de 7 par ;

U = 0

= ±\J\ -1-

Un échange de stabilité entre l’état trivial et u± s’effectue par une bifurcation fourchette (”pitchfork”) en 7p = l ( voir figure (1.5)).

ii) /3 = 0 et a 7^ 0

Contrairement à la situation précrdente. cette configuration des paramètres

est générique. Le diagramme de l)ifiircation est formé de deux branches non

connectées (figure (1.6). La première joint asymptotiquement d’une part la

Figure 1.5: Tracé des ESH en fonction du paramètre 7 lorsque P = 0 et a = 0.

L'échange de stabilité entre les ESH se produit en jp = 1 via une bifurcation fourchette ("pitchfork”).

solution triviale uq = 0 pour 7 —>■ 00 et d’autre part, pour a > 0, la branche u+ pour 7 —>• —00 (u_ pour a < 0). La seconde branche est constituée d'une bifurcation noeud-col en jsn- Cette bifurcation imparfaite se caractérise [)ar une disparition de la singularité en 7 = 0 et présente une transition douce et analytique; l’importance de l’imperfection se mesurant par la valeur de u, en 7 = 0. Signalons qu’un tel comportement ne se rencontre pas seulement dan.s les systèmes réaction-diffusion, mais aussi dans le problème de Taylor-C’ourtre où la longueur du cylindre et la nature des conditions aux bords contrnleut

le caractère imparfait de la transition vers et entre états structurés de uutrx (Benjamin 1978, Mullin et Cliffe 1986). Il en est de même pour l’instabilité de Rayleigh-Bénard en présence d’une imperfection thermique telle que de^ parues latérales faiblement conductrices (Sparrow et al. 1964, Chapman et PriM tnr 1980, Busse et Riahi 1980).

iü) /? = 0 et 7c = 1

Pour cette situation particulière il ne subsiste qu’un seul état statiumi.un'

qualifié de critique (voir paragraphe suivant) :

Figure 1.6: Tracé des ESH en fonction du paramètre 7 lorsque (3 = 0 et a ^ 0.

L'échange de stabilité entre les ESH se produit en jsn une bifurcation noeud-col (saddle-node).

Uc a

Vc = a'/'[l-a2/3|

( 1 . 6 )

iv) /3 = 0 et 7 7^ 0, a 7^ 0. Pour des valeurs de 7 différente de 1, nous avons en fonction de a :

• monostabilité pour 7 > 1

• bistabilité pour 7 < 1.

Les ESH en fonction de a sont représentés pour trois valeurs caractéristiques

de 7 sur la figure (1-6), l’apparition de la bistabilité se fait au travers de

deux bifurcations noeud-col (saddle-node), qui sont situées, en absence de

non- linéarités quadratiques {p = 0), symétriquement par rapport à l’origine

en ±a. 571*

-0.10 0.10

a

Figure 1.7: Tracé des ES H pour trois valeurs distinctes de 7 en fonction du paramètre a lorsque /3 = 0. Lorsque 7 < 1, /e système est bistable et l’échange de stabilité t^ntrc les ESH se produit en iOsn via deux bifurcations noeud-col (saddle-node).

v) S ^ 0 et a = 0

Le système n’est plus invariant sous la transformation

U —>• —u

V ^—>■ —V

{a —> —a).

Les ESH s’expriment sous la forme:

V = -■n.

Les transitions entre ESH se font (figure (1.8)) par une bifurcation mm !.-'

tique en 7tc = 1 et une bifurcation noeud-col en 7

1 + dV4.

Figure 1.8: Tracé des ESH pour /3 7^ 0 en fonction du paramètre 7 lorsque a = 0. En Jtc = 1> système présente une bifurcation transcritique et en une bifurcation noeud-col.

1.4.3 Analogie avec les transitions de phases.

Les diverses évolutions ( figure (1.5, 1.6, 1.7)) des ESH en fonctions des paramètres a et 7, rappellent les courbes représentatives des transitions de phases d’équilibre du premier et second ordre (Nitzan et al. 1974). Celles du premier ordre présentent une discontinuité de l’état du système et des grandeurs thermodynamiques tt'lles que l’entropie et l’énergie interne. Dans une transition du second ordre, les vari­

ables thermodynamiques changent continûment au point de transition, alors «pi**

leurs dérivées, telle que la chaleur spécifique, sont discontinues. Généralement cette transition s’accompagne de brisures de symétries de certaines propriétés. Dans le langage des équations différentielles, on introduit le vocabulaire de transition "forte

et "douce”. La première se réfère au

la transition entre ESH s’accompai;ne d’une discontinuité, telle que celle d’une double bifurcation noeud-col (figure ( 1.7n La seconde correspond à une transition continue, mais pour laquelle la dérivée «les ESH présente une singularité au point de Infurcation (figure 1.5).

Dans l’étude des transitions de phases [)aramagnétique-ferromagnétique, on di>-

tingue deux approches d’une part, en fonction de la variation du champ magnétique extérieur appliqué H et d’autre part en fonction de la température T du système (Landau et Lifchitz 1984, Binney et al. 1995). Pour une température maintenue constante, une évolution du champ magnétique conduira à une transition de phase caractérisée par une boucle d’hystérèse de la magnétisation M (paramètre d’ordre) analogue à celle de la figure (1.7). Pour cette raison nous qualifions d’approche en champ l’évolution des ESH en fonction du paramètre a lorsque 7 est maintenu con­

stant. Pour une variation de la température, en absence de champ magnétique la courbe d’évolution est équivalente à la bifurcation fourchette de la figure (1.5) et en présence d’un champ constant, l’évolution est comparable à celle de la figure (1.6).

Nous désignons, pour ces raisons, l’évolution des ESH en fonction de 7 lorsque a est fixé, par l’appellation d’approche en température.

Comme pour les transitions du premier ordre, un point marginal du modèle de FHN, lorsque 7 est fixé à une valeur inférieure à 1, est caractérisé par:

(r)

'au' T.aisn ⁼ 0 . (1.7)

La réciproque de cette relation (prise pour a —>• 0) est l’analogue d’une suscepnbilicé thermodynamique. De plus lorsque la condition suivante est satisfaite:

(

18

le point marginal est un point do Infiircation. Cette condition revient a impox-r la condition de transversalité (Sattingor 198.3 et Nicolis 1995).

Le système présente un point critique, lorstiue 1’ équation 1.7 est satisfaite et ([uo

0-a

( “ï T ) ->c .<lc

ün- ⁼ 0 ,

pour autant que la dérivé troisième soit non nulle. Ce point (figure (1.7)) correspond donc à 7c = 1 et Oc = 0 pour le modèle cubique (/? = 0).

Du point de vue des relations mathématiques, la fonction G joue un rôle analogue à l’énergie libre F.

Pour la transition du second ordre(a = 0,7 = 1), il n’est plus possible de distinguer point de transition et point critique. La transition en 7 = 1 est con­

tinue, alors que sa dérivée présente une singularité. De plus dés que a ^ 0, u ciui est l’équivalent du paramètre d’ordre est différent de zéro pour toute valeur de '•

L’action de a, équivalent d’un champ extérieur, est de réduire la symétrie de la phiL^e désordonnée (la plus symétrique). La distinction entre les deux phases s’estompe, le point de transition disparaît, par conséquent la transition s’étale.

Si nous déployons le diagramme de transitions de phases paramagnétique-ferromaunet t(|ue selon la température et le champ magnétique extérieur, le paramètre d’ordre M{H. T)

prend la forme d’une variété plissée représentée sur la figure (1.9).

De la même manière, nous pouvons représenter l’évolution des ESH u en foncti(nl.^

des paramètres a et 7 par une variété plissée donnée sur la figure (1.10).

Une projection de cette variété sur le plan (a, 7) est représentée sur la figure (1.11).

Nous pouvons y distinguer deux courbes d’équations

Ces conditions peuvent s’exprimer de manière différente si l’on introduit une fonction G = + u{j - 1) — a. Un point marginal est alors défini comme:

(1.9)

Le point critique étant défini par la condition supplémentaire :

(1.10)

Figure 1.9; Évolution de la magnétisation M{H,T) pour une transition de phase ferromagnétique- paramagnétique en fonction de la température T et de la magnétisation M.

±a,n = ±2(—(LU)

qui correspondent aux limites noeud-col des ESH. A l’intérieur de la région délimitée par ces deux courbes le système présente une bistabilité, tandis qu’à l’extérieur de celle-ci ne subsiste qu’un seul ESH. Ces courbes se joignent en un point singulier qui

n’est autre que le point critique, connu dans le vocabulaire des systèmes dyniuuKi.ue^

sous l’appellation de singularité de rebroussement ”cusp” (Thom 1962).

Il est possible de développer beaiuonp plus loin l’analogie avec les transition^ >!e phases d’équilibre et de calculer iint.imment le rôle de la dimension du >v^r. rue.

l’effet des fluctuations inhomogene> ()rothes du point de transition en appliqu.uit

les techniques du groupe de renoriiMli^ation ainsi que les lois de relaxation d.ui.'' certaines circonstances vers les ESH i Duwel et al. 1977, 1984 et 1985, .\ir/,m i r

al. 1974). Notons toutefois que i onrr.urement au cas des transitions de ph.iM d’équilibre, la nature macroscopique de l etat impliqué dans une bifurcation nduir

le rôle des fluctuations. Elles iiiiliu'ent 'culement un déplacement des mmu L le

bifurcation entre ESH et non une I I>rri ( non aux lois d’échelles ~ et U,

Figure 1.10; Variété plissée représt-nfant Ir.i ESH u du modèle cubique de FHN

fonction des paramètres a et y.

Figure 1.11: Projection de la variété des ESH dans le plan (a, y), les deux courbes distinguent région bistable et monostable et se rejoignent au point ”cusp”.

1.4.4 Analyse de stabilité linéaire.

Dans ce paragraphe nous donnons les résultats de l’analyse de stabilité linéaire sans nous attacher à en rappeler les bases pour lesquels de très nombreux ouvrages sont disponibles (Nicolis 1995, Manneville 1991, Glendinning 1995). Notons que la bistabilité du système rend intrinsèquement complexe les expressions des seuils des diverses bifurcations qui ont été calculé numériquement. Nous décrivons la nature des ESH, successivement, en absence et en présence de diffusion et ce pour les modèles cubiques et quadratiques. Il nous est apparu plus facile de traiter dans un paragraphe unique les deux modèles et ce malgré l’inconvénient de devoir souvent passer de l’un à l’autre.

Considérons tout d’abord la stabilité des ESH en absence de diffusion, c'est-à-dire lorsque = 0, situation rencontrée dans les réacteurs agités (CSTR). Nous

savons que les valeurs propres qui contrôlent la stabilité sont données par;

iÜ[^2 T V T- - Adet

T ^ 9

¹

¹²

où T et det désignent la trace et le dett'rminant de la matrice des perturbations

linéarisées L.

Modèle cubique en absence de diffusion.

Pour le modèle cubique (/? = 0), la matrice L s’écrit

l l-2,u] -1 \

L = ^ ,

V ^7 -e j

où Us désigne un des ESH solution de l’équation u, + «3(7 — 1) — a = le déterminant et le discriminant X> = - Adet valent

T = l-Zul-e det = —e(l — 3Uj) + €7

V = (l-e)2-6(l-e)u2 + 9u^-4€(3u^-l+7).

Trois situations différentes peuvent se présenter :

i) P > 0 et det > 0.

Ce qui revient à imposer que

1 1

4€7 — (1 + Dans ce cas nous avons:

3u: ^ >

3«2(3 u 2 - 2(f - m >

0. La trace,

(1.13)

1) un noeud attracteur lorsque -. j < ^ \ < 0;

2) un noeud répulseur lorsque > 0.

ii) P > 0 et det < 0

qui se traduit par les inégalités suivantes:

e(3Uj +7-1) < 0

3ul{3ul - 2{e + 1)) > 4e7-(l + e)^

et qui correspond à un col.

iii) P < 0 et T 7^ 0 qui revient à imposer:

1 - 3u^ / e

3u^(3u^ - 2(e +1)) < 467-(1 + e)^

Pour cette configuration des paramètres, nous avonswi =0^2 = Ai ±

1) un foyer stable lorsque Ai < 0

2) un centre lorsque fj, = 0

Un cycle limite (bifurcation de Hopf) asymptotiquement stable émerge d'un ^'^•T instable lorsque la trace de L s’annule (séparation entre foyer stable et iii.-'t.iNf 1.

c’est-à-dire lorsque 1 — 3^^ — 6 = 0. La fréquence d’oscillation au seuil de la bifur­

cation est donnée par Qc- Pour a = 0. la trace T = 1 — 6 pour l’état trivial /<, n et T = 1 — 3(1 — 7) — 6 pour u, = ±>/l - 7. Les ESH sont linéairement ^i.iMe vis-à-vis de la bifurcation de Hopf lorsque 6 > 1. Lorsque 7 = 1, Uj = a*' ' la tr u e T = 1 — 3a^/^ — 6, la bifurcation de Hopf est exclue dés que 6 > 1 — 3a^^^.

Modèle quadratique en absence de diffusion.

La matrice L a comme expression

L ~ ( + -1 \

\ J

où Us = /3/2 ± l/2^/?2 + 4(1 — 7). La trace, le déterminant et le discriminant sont donnés par

T = 1 — 3Ug + 2/3us — e det = —e{l — 3ul + 2/3us) + e'y

» = Y + y\//3" + 4(1 - 7) + ffHi - f - 47)

+ /5[(-e + 2 — 3'f)\Jp'^ + 4(1 - 7)] + (e + 7)^ + 2 - 4e + 97^ - I27.

Il est difficile d’expliciter les conditions à imposer sur les paramètres pour caractériser la nature des points fixes. Nous nous limitons donc à citer ces contraintes.

i) 2? > 0 et det > 0, qui correspond à:

1) noeud attracteur lorsque cj2 < < 0- 2) noeud répulseur lorsque ui > uj 2 > 0.

ii) î? > 0 et det < 0 qui équivaut à un col.

iii) V < 0 et T ^ 0

nous avons alors o;i = = /^ ± iQc 1) un foyer stable lorsque /J < 0;

2) un centre lorsque /x = 0.

La bifurcation de Hopf se produit pour T = 0 = 1— 3u^ + 20Use. La branche triviale

U = 0 est instable de Hopf pour toute valeur de 7 dès que e est inférieur à 1. les

branches deviennent instable de Hopf en;

IH = \w + ^JlP + 3(1 - «)) + 5(2 + £).

Modèle cubique en présence de diffusion.

En présence de processus de transport diffusif, nous savons qu’une instabilité de Tur- ing peut se manifester et donner lieu à des structurations spatiales stationnaires. Les valeurs propres qui contrôlent la stabilité sont données par une expression identique au cas précédent, le déterminant de la matrice linéarisée présente une dépendance additionnelle en le nombre d’onde q dans l’espace de Fourier. La matrice Jacobienne L est donnée par;

Nous pouvons expliciter le calcul de qc et du paramètre critique seulemctit d.in>

les cas limites suivant:

L

le nombre d’onde critique qc associé à cette instabilité satisfait à l’expression:

(i) a = 0

- pour uo = 0

■rn 45e

- pour u± = àzy/l — 7

(1.16) (ii) 7 = 1 et Uj =

(1.17) Nous avons calculé numériquement dans le plan (a, 7) le lieu des seuils d’instabilités de Turing (figure (1.12), il faut noter l’existence d’une valeur jl au-delà duquel les ESH de l’approche en champ (figure (1.7) sont toujours stables par rapport à l’instabilité de Turing. Ce diagramme est tracé pour une valeur de e telle qu’aucune bifurcation de Hopf ne se présente. Notez aussi que cette figure est schématique, le lieu de Turing ayant été dilaté artificiellement par souci de clarté.

Modèle quadratique en présence de diffusion.

La matrice linéarisée L s’écrit :

le nombre d’onde critique Q c associé à cette instabilité satisfait à l’expression:

L

|(3u^ - 1 - + 7).

0

(ILSi

Tl Yo Tc Yt

Figure 1.12: Tracé dans le plan (7, a) du lieu des seuils d’instabilités de Turing, ainsi que de la courbe en ”cusp”. Noter l’existence d’une valeur jl en deçà de laquelle les ESH de l’approche en champ sont toujours stables vis-à-vis de l’instabilité de

Turing.

Pour l’état trivial Ug = 0, on retrouve le même résultat que le cas a = 0 du para­

graphe précédent, la non-linéarité quadratique n’intervenant pas. Pour les états non-triviaux les seuils calculés numériquement sont représentés dans le plan (*. J) sur la figure (1.13).

1.5 Réduction de la dynamique au voisinage du point critique.

Considérons le système réaction-dilfusion de FHN lorsque l’instabilité de Turing se produit dans un voisinage du ixiiiit critique (7c = 1, Oc = 0) en absence de bifurcation de Hopf des ESH. Dans ces conditions, le système réaction-diffusion peut se ramener à une équation de Swift-Holienberg généralisée qui contient uni' non-

linéarité quadratique et un terme indépendant d’imperfection. Notons tout d abord

Figure 1.13: Tracé dans le plan (7,/?) du lieu des seuils d’instabilités de Turing, ainsi que de la courbe correspondante à l’instabilité noeud-col et transcritique.

que lorsque le seuil de l’instabilité difFusive concide avec celui de la bifurcation entre ESH, le nombre d’onde critique s’annule. En effet une bifurcation homogène requiert l’annulation du déterminant det de la matrice linéarisée alors que le carré du nombre d’onde critique est donné par = sjdet/ô. La longueur caractéristique intrinsèque (çc~^) d’origine physique diverge, il ne subsiste plus comme échelle de longueur que l’extension géométrique du système et comme échelle de temps celle des processus de transport diffusif. Ce phénomène apparaît aussi pour les systèmes à l’équilibre, où la divergence des fluctuations de densité au point critique donne lieu a l’opalescence critique (Binney et al. 1995). Notre problème présente au.s,M une analogie avec l’instabilité de Rayleigh-Bénard en présence de parois faiblement conductrice, le nombre d’onde critique tend vers zéro et s’annule dans la limite de parois parfaitement isolante (Chapman et Proctor 1980, Busse et Riahi lOM).

Proctor 1981). Nous reviendrons sur ce point après avoir obtenu l’équation réduite du système RD.

Il faut souligner que la matrice Jacobienne évaluée au point 7 = 1 et a = 0.

lorsque 5 = e ne présente aucune dégénérescence. Les valeurs propres sont u\ = 0 et

a;2 = 1 — e qui reste négative tant que e > I. c'est-à-dire en absence de bifurcation

de Hopf. Le problème étudié est de co-dimension 1 et de co-rang 1. Dans le ( a.'.

d’une interaction entre bifurcation de Hopf et noeud-col, la période de l’oscillation diverge, mais le système révèle néanmoins une dégénérescence (Keener 1981 et 1982, Dangelmayr et Knobloch 1987, Kirk 1991). La trace et le déterminant de la matrice linéarisée s’annule simultanément, par conséquent la valeur propre présente une multiplicité algébrique double et géométrique simple (Co-dimension 2 co-rang 1).

Notre situation se distingue aussi de l’interaction Turing-Hopf pour laquelle les deux instabilités subsistent au point de dégénérescence qui est donc de co-dimension 2 (Kidachi 1980, Guckenheimer et Holmes 1983, Nicolis 1995). Il est aisé de réaliser qu’il est impossible de faire concider une solution homogène et modulée alors que rien ne l’empêche d’osciller dans le temps.

Proche du point critique, nous pouvons développer 7 sous la forme;

7 = 1-éa/i^-éO(/i^),

où û: = ±1 respectivement dans le cas monostable et bistable. Rappelons les coor­

données des points noeud-col

- ± (

1

10

Dans les conditions du développement, la concentration de u dans le voisinage de l’instabilité de Turing peut être approximée par u w ~ /i. Nous pouvons donc introduire les développements suivants;

u = //Ui -I- "t" O(n^)

(

1

20

= /XCl

V

(

1

21

Pour le calcul de l’échelle spatiale nous nous référons aux expressions du nombre d’onde critique en 7 = 1 et ar± :

<!c = -i-

(1.22)

i = S — € — 3âul 25

La compatibilité entre ces deux expressions impose que

ô-e = Çn + 0{n'^), (1.23)

où C ~ 0(1). Le comportement de Çc ~ fourni la nouvelle échelle spatiale:

Vr = M Vp'+0(

^). (1.24)

Sachant que U3 = l’équation (1.22) permet d’obtenir le développement de n puisque ~ ~ fj?, nous avons donc :

a — üT± = + O(n^). (l-'-ô)

L’échelle de temps caractéristique se déduit d'un développement en série de Taylor au premier ordre non trivial du tau de croissance (r{q, a) = Reui autour de { üt ±, qc)- Nous savons que:

rr[q,.,ir) y

{—) diii ' J <irt:

0

0,

dès lors, nous obtenons

roCT = K-eo{q^-ql)\

où

^■0

K

e.

Comme il suit que

1 /da\-i ûT± ^da'

ü — CI

± ar±

i'^o

a

T

dt

-

(1.26) Introduisons les développements des concentrations (eq 1.20), des paramètres ( eqs (1.23, 1.25)) du temps (1.26) et de l’espace (1.24) dans les équations (1.5), avec /5 = 0, nous obtenons ainsi une série de problème linéaire à résoudre en les différents ordres en

• Ordre 0(/i)

L’équation s’écrit:

nous obtenons immédiatement (lue = Vi.

• Ordre 0(/x^)

f 1 ^-1 ) f U2 \ f 0 \

= [e -e J [v, J ⁰ J V, J

La solution de ce système s’écrit U2 — U2 = ~ ^i-

• Ordre 0(/x^)

dr

( _Ui \

V /

+ ^(1.27:

V 0

Il faut exprimer la condition de solvabilité de ce système, pour cela nous cal­

culons le vecteur propre de valeur propre nulle de la matrice adjointe L]..

Celui-ci satisfait à l’équation suivante :

Li '

^

-l -f

' -4)\

^

dont la solution est = (-f l). La condition de solvabilité s’obtient en multipliant scalairement à droite l c<iuation (1.27) par le vecteur adjoint t '.

ce qui nous donne après resommation .inx divers ordres en

e — Idu

e dt = a — (y - l)ii - u' à - €

U - e

(

1

28

Cette équation peut aussi être obtenue strictement en 7 = 1, dans ce cas le rôle du petit paramètre sera joué par Nous pouvons déduire que Çc q I/6 et 5 — e ~ Pour le cas (/3 0, a = 0) du modèle de FHN quadratique, la même démarche peut s’effectuer en développant autour de (/? = 0, 7 = 1) qui

Un développement similaire (au cas /? = 0) a été proposé en optique non- linéaire pour un système passif faiblement dispersif soumis à un signal incident cohérent dans le cas d’un désaccord en fréquence positif (Mandel et al. 1993).

Une généralisation de cette équation au cas complexe a été obtenue dans le cas des lasers présentant un faible désaccord en fréquence (Lega et al. 1994.

Lega et al. 1995).

Quel regard porter sur l’équation (1.29) ? Elle se réduit lorsque n ft i s’annulent au modèle de Swift-Hohenberg introduit dans le contexte de riii.'<tal)ilité de Rayleigh-Bénard dans l’appro.ximation Boussinesq pour la composante h<ir- izontale du champ de vitesse et de la température (Swift et Hohenberg 1!)77).

Ce modèle peut aussi s’obtenir par la projection des équations de B()ii.s.»iti<~'q sur les modes critiques du problème dans la limite du nombre de Prandt 1 inhm (Cross 1980). Une généralisation a été proposée au cas non-Boussinexi [xnir lequel la dépendance de la viscosité en la température est prise en cumpfv

donne lieu à l’apparition d’une non-linéarité quadratique équivalente à

(Bestehorn et Haken 1984). .Notre approche montre que ce modèle ap[)arait

naturellement pour tout système réaction-diffusion à deux espèces dan.', le

voisinage d’un point critique. Nous en élargissons sa validité et son ( liamp

d’application avec tous les avantages de simplicité qu’il présente pour Ifrudt' est l’analogue du point critique. L’équation (1.28) est complétée par un terme quadratique du type f3u^. Elle prend une forme légèrement différente si l’on pose r = Çg — (7 — 1) avec q'^ = ^ et t =

(1.29)