Réduction de la dynamique au voisinage du point critique

point critique.

Considérons le système réaction-dilfusion de FHN lorsque l’instabilité de Turing

se produit dans un voisinage du ixiiiit critique (7c = 1, Oc = 0) en absence de

bifurcation de Hopf des ESH. Dans ces conditions, le système réaction-diffusion peut

se ramener à une équation de Swift-Holienberg généralisée qui contient uni' non-

Figure 1.13: Tracé dans le plan (7,/?) du lieu des seuils d’instabilités de Turing,

ainsi que de la courbe correspondante à l’instabilité noeud-col et transcritique.

que lorsque le seuil de l’instabilité difFusive concide avec celui de la bifurcation

entre ESH, le nombre d’onde critique s’annule. En effet une bifurcation homogène

requiert l’annulation du déterminant det de la matrice linéarisée alors que le carré

du nombre d’onde critique est donné par = sjdet/ô. La longueur caractéristique

intrinsèque (çc~^) d’origine physique diverge, il ne subsiste plus comme échelle de

longueur que l’extension géométrique du système et comme échelle de temps celle

des processus de transport diffusif. Ce phénomène apparaît aussi pour les systèmes

à l’équilibre, où la divergence des fluctuations de densité au point critique donne

lieu a l’opalescence critique (Binney et al. 1995). Notre problème présente au.s,M

une analogie avec l’instabilité de Rayleigh-Bénard en présence de parois faiblement

conductrice, le nombre d’onde critique tend vers zéro et s’annule dans la limite

de parois parfaitement isolante (Chapman et Proctor 1980, Busse et Riahi lOM).

Proctor 1981). Nous reviendrons sur ce point après avoir obtenu l’équation réduite

du système RD.

Il faut souligner que la matrice Jacobienne évaluée au point 7 = 1 et a = 0.

lorsque 5 = e ne présente aucune dégénérescence. Les valeurs propres sont u\ = 0 et

a;2 = 1 — e qui reste négative tant que e > I. c'est-à-dire en absence de bifurcation

de Hopf. Le problème étudié est de co-dimension 1 et de co-rang 1. Dans le ( a.'.

d’une interaction entre bifurcation de Hopf et noeud-col, la période de l’oscillation

diverge, mais le système révèle néanmoins une dégénérescence (Keener 1981 et 1982,

Dangelmayr et Knobloch 1987, Kirk 1991). La trace et le déterminant de la matrice

linéarisée s’annule simultanément, par conséquent la valeur propre présente une

multiplicité algébrique double et géométrique simple (Co-dimension 2 co-rang 1).

Notre situation se distingue aussi de l’interaction Turing-Hopf pour laquelle les deux

instabilités subsistent au point de dégénérescence qui est donc de co-dimension 2

(Kidachi 1980, Guckenheimer et Holmes 1983, Nicolis 1995). Il est aisé de réaliser

qu’il est impossible de faire concider une solution homogène et modulée alors que

rien ne l’empêche d’osciller dans le temps.

Proche du point critique, nous pouvons développer 7 sous la forme;

7 = 1-éa/i^-éO(/i^),

où û: = ±1 respectivement dans le cas monostable et bistable. Rappelons les coor­

données des points noeud-col

- ± (1.10)

Dans les conditions du développement, la concentration de u dans le voisinage de

l’instabilité de Turing peut être approximée par u w ~ /i. Nous pouvons donc

introduire les développements suivants;

u = //Ui -I- "t" O(n^)

(

1

.

20

)

= /XCl

V

Pour le calcul de l’échelle spatiale nous nous référons aux expressions du nombre

d’onde critique en 7 = 1 et ar± :

4

<!c =

-i-(1.22)

i = ^{S — € — 3âul}₂₅

La compatibilité entre ces deux expressions impose que

ô-e = Çn + 0{n'^), (1.23)

où C ~ 0(1). Le comportement de Çc ~ fourni la nouvelle échelle spatiale:

Vr = M Vp'+0(m^). (1.24)

Sachant que U3 = l’équation (1.22) permet d’obtenir le développement de n

puisque ~ ~ fj?, nous avons donc :

a — üT± = + O(n^). (l-'-ô)

L’échelle de temps caractéristique se déduit d'un développement en série de Taylor

au premier ordre non trivial du tau de croissance (r{q, a) = Reui autour de {üt±,

qc)-Nous savons que:

rr[q,.,ir)

y

diii

{—)_{' J <irt:}

0

0,

dès lors, nous obtenons

roCT = K-eo{q^-ql)\

où

^■0

K

e.

Comme il suit que

1 /da\-i

ûT± ^da'

«T± >9c

ü — CIt±

ar±

i'^o

£>T± ,Qc

a

T

dt

-(1.26)

Introduisons les développements des concentrations (eq 1.20), des paramètres ( eqs

(1.23, 1.25)) du temps (1.26) et de l’espace (1.24) dans les équations (1.5), avec

/5 = 0, nous obtenons ainsi une série de problème linéaire à résoudre en les différents

ordres en

• Ordre 0(/i)

L’équation s’écrit:

• Ordre 0(/x^)

f 1 -1 ) f U2 \ f 0 \

=

[e -e J [v, J 0 J V, J

La solution de ce système s’écrit U2 — U2 = ~

^i-• Ordre 0(/x^)

dr

( _{Ui \}

V /

+ (1.27:

V 0

Il faut exprimer la condition de solvabilité de ce système, pour cela nous cal­

culons le vecteur propre de valeur propre nulle de la matrice adjointe L]..

Celui-ci satisfait à l’équation suivante :

Li '

'01

^ 02 -l -f

' -4)\

^ 02

dont la solution est = (-f l). La condition de solvabilité s’obtient en

multipliant scalairement à droite l c<iuation (1.27) par le vecteur adjoint t '.

ce qui nous donne après resommation .inx divers ordres en

e — Idu

e dt ^{= a — (y - l)ii - u'}

à - €

U

-e

(

1

.

28

)

Cette équation peut aussi être obtenue strictement en 7 = 1, dans ce cas le

rôle du petit paramètre sera joué par Nous pouvons déduire que Çc qI/6

et 5 — e ~ Pour le cas (/3 0, a = 0) du modèle de FHN quadratique, la

même démarche peut s’effectuer en développant autour de (/? = 0, 7 = 1) qui

Un développement similaire (au cas /? = 0) a été proposé en optique non-

linéaire pour un système passif faiblement dispersif soumis à un signal incident

cohérent dans le cas d’un désaccord en fréquence positif (Mandel et al. 1993).

Une généralisation de cette équation au cas complexe a été obtenue dans le

cas des lasers présentant un faible désaccord en fréquence (Lega et al. 1994.

Lega et al. 1995).

Quel regard porter sur l’équation (1.29) ? Elle se réduit lorsque n ft i

s’annulent au modèle de Swift-Hohenberg introduit dans le contexte de riii.'<tal)ilité

de Rayleigh-Bénard dans l’appro.ximation Boussinesq pour la composante h<ir-

izontale du champ de vitesse et de la température (Swift et Hohenberg 1!)77).

Ce modèle peut aussi s’obtenir par la projection des équations de B()ii.s.»iti<~'q

sur les modes critiques du problème dans la limite du nombre de Prandt 1 inhm

(Cross 1980). Une généralisation a été proposée au cas non-Boussinexi [xnir

lequel la dépendance de la viscosité en la température est prise en cumpfv

it

donne lieu à l’apparition d’une non-linéarité quadratique équivalente à

tn-(Bestehorn et Haken 1984). .Notre approche montre que ce modèle ap[)arait

naturellement pour tout système réaction-diffusion à deux espèces dan.', le

voisinage d’un point critique. Nous en élargissons sa validité et son ( liamp

d’application avec tous les avantages de simplicité qu’il présente pour Ifrudt'

est l’analogue du point critique. L’équation (1.28) est complétée par un terme

quadratique du type f3u^. Elle prend une forme légèrement différente si l’on

pose r = Çg — (7 — 1) avec q'^ = ^ et t =

de la formation de structures.

Comme nous l’avons remarqué ci-dessus dans l’équation (1.29) le nombre

d’onde est fonction de <5 — e, pour la limite Qc = 0 cette équation est alors

du type de celle de Kuramoto-Sivashinsky, dans le sens où le mode homogène

est neutre. Celle-ci a été abondamment étudiée dans de multiples situations

telles que la propagation de fronts de flammes (Sivashinsky 1977 (a) et (b)), la

solidification directionnelle ( Sivashinsky 1983, Brattkus et Davis 1988, Riley

et Davis 1990, Malomed 1992) , l’instabilité de Rayleigh-Bénard en présence de

parois faiblement conductrices (Gertsberg et Sivashinsky 1981), et en optique

non-linéaire ( pour le système déjà mentionné mais en présence d’un désaccord

en fréquence nul (Mandel et ai. 1993)). Elle a aussi été obtenue dans le con­

texte d’une description généralisée de la dynamique de phase par Kuramoto

(1976, 1984). Cette équation présente des structures à grande longueur d’onde

tout comme celles que nous avons obtenues en vérifiant numériquement la re­

lation Çc “ c’est-à-dire la divergence de la longueur d’onde lorsque les

bifurcations de Turing et homogène coïncide. Pour cela nous avons simulé les

équations de FHN cubique pour a = 0 en fixant (5 = 2 et en évaluant le nombre

d’onde à (7 —

7to)/(Tp

-

7to)

= 1 (écart au seuil fixe), nous obtenons un très

bon accord avec la relation théorique pour c —>■ 2 (figure (1.14)).

Les simulations numériques ont été effectuées sous des conditions aux bords

flux-nuls. Il est intéressant de noter fine les structures spatiales observées

(figures (1.15)) correspondent toujours au nombre d’onde Çc de la stabilité

linéaire, et ce même lorsqu'il ne subsiste que deux longueurs d’onde. Les

effets de confinement n’apparaissent piis et nous n’observons pas de transitions

entre structures intrinsèques et extrinsé(}ues (induites par la géométrie ou les

conditions aux bords) comme c'est par exemple le cas dans certains systèmes en

optique non-linéaire (Arecchi et al. 1993. 1994, Pampaloni et al. 1994). Ceci

ce comprend aisément dans la rneMire où. pour la longueur L choisie, le nombre

d’onde intrinsèque Qc est toujours excité .ivant le nombre d’onde extrinsèque

Figure 1.14: Vérification numérique de la divergence de la longueur d'onde

lorsque l’instabilité de Turing tend vers la bifurcation homogène. Les paramètres

d’intégration des équations de FHN cubique sont: a = 0, ô = 2, (7 — 7ro)/('p -

= 1. La ligne continue représente la relation théorique, les cercles les résultats

numériques

Qcext = 27rn/L. Dans d’autres conditions des structures extrinsèques peuvent

s’observer dans des systèmes réaction-diffusion soumis à des conditions aux

bords de type Dirichlet (Nicolis et Prigogine 1977).

Figure 1.15: Structures de Turing obtenues par simulations des équations de FHN

cubiques (5 = 2) pour différentes valeurs de e correspondantes à des valeurs de qc

de plus en plus petites en accord avec la figure précédente.

Dans le document Disponible à / Available at permalink : (Page 40-49)