A : "la personne choisie souffre de déficience auditive"

1S DEVOIR SURVEILLE N°7 Le 10 avril 2019 I. Dans une population, on compte 43% de femmes et 57% d hommes.

11% des femmes et 8% des hommes souffrent d une déficience auditive. On choisit une personne au hasard et on définit les événements suivants :

F : "la personne choisie est une femme"

A : "la personne choisie souffre de déficience auditive"

Partie 1.

1. Représenter la situation par un arbre pondéré.

2. Calculer P (A F) et interpréter par une phrase.

3. Calculer la probabilité que la personne choisie souffre de déficience auditive.

Partie 2. Dans cette partie, les résultats seront arrondis au millième.

Dans cette partie, on considère que 9% des personnes de la population considérée souffrent d une déficience auditive.

On sélectionne 52 personnes au hasard dans la population pour un sondage au sujet d’un test auditif.

Le nombre de personnes est suffisamment grand pour que les tirages puissent être considérés comme indépendants.

On note X la variable aléatoire égale au nombre de déficients auditifs dans la sélection.

1. Déterminer la loi de probabilité de X. Justifiez votre réponse.

2. Calculer P (X 4) en écrivant la formule. Interpréter.

3. A la calculatrice, déterminer la probabilité pour que la sélection contienne au moins neuf personnes souffrant de déficience auditive.

4. A la calculatrice, déterminer la probabilité pour que la sélection contienne au plus dix personnes souffrant de déficience auditive.

5. Déterminer E (X). Interpréter le résultat dans le contexte de cet exercice.

II. f est la fonction définie sur \{ 4 4} par f( x) x 5

x² 16 et C

_f

est sa courbe représentative dans un repère.

1. Construire le tableau de variations de f.

2. Déterminer une équation de la tangente à la courbe de f au point d abscisse 0.

3. Étudier la position relative de C

_f

et .

III. ABC est un triangle non aplati. Soient I et J les points tels que I est le milieu du segment [AB ] et AJ 3 AC . Partie A.

1. Placer I et J sur la figure ci-contre.

2. Soit K le point tel que : 2 BK 3 CK 0 .

a.

Démontrer que BK 3

5 BC .

b.

Placer le point K sur la figure.

Partie B.

1. Exprimer les vecteurs IJ et IK en fonction des vecteurs AB et AC .

2. Les points I, J et K sont-ils alignés ? Justifier.

Partie C.

Dans le repère ( A AB AC )

, on considère le point L de coordonnées



 1

4

1 . 1. Placer le point L sur la figure.

2. Le point L appartient-il à la droite (IJ) ?

IV. Soit m un nombre réel. Soit (d

1

) : (m 1)x 0,25y 2 0 et ( d

2

) : x my 5 0 deux droites d’un repère. Pour quelle(s) valeur(s) de m ces deux droites sont-elles parallèles ?

V. Dans un repère du plan d origine O, on considère un vecteur u et deux points A et B tels que u



 2 1

; A(2 6) et B( 5 10).

Une équation cartésienne de la droite (d

₁

) est 4x 3y 7 0.

La droite ( ) ^d

2

passe par le point A et a pour vecteur directeur u . 1. Déterminer une équation de la droite (OB ).

2. Le point de coordonnées (1 1) appartient-il à la droite ( d

₁

) ? Justifier.

3. Donner un vecteur directeur de la droite ( ) ^d

¹

et tracer ( ) ^d

¹

dans le repère ci-dessous.

4. Déterminer une équation cartésienne de la droite ( ) ^d

²

. Tracer la droite ( ) ^d

²

dans le repère.

5. Les droites (OB ) et (d

2

) sont-elles sécantes ? Si oui, déterminer les coordonnées de leur point d’intersection C.

6. Soit (d

3

) la droite d’équation x 3 y 10 0. Déterminer deux points de la droite ( ) ^d

3

et tracer la droite ( ) ^d

3

.

7. Les droites (OB ), (d

₂

) et (d

₃

) sont-elles concourantes ? Justifier.

8. Bonus. Montrer que la droite ( ) ^d

2

est une hauteur du triangle OAB .

CORRECTION DU CONTRÔLE N°7 1S

I.

Partie 1.

1. On peut construire l arbre suivant :

2. P(A F) 0,43 0,11 0,0473. La probabilité que la personne soit une femme souffrant de déficience auditive est 0,0473.

3. P(A) 0,0473 0,57 0,08 0,0929. La probabilité que la personne choisie souffre de déficience auditive est 0,0929.

Partie 2.

1. On répète 52 fois de façon indépendante l épreuve de Bernoulli qui consiste à choisir une personne et à noter si elle souffre de déficience auditive. La probabilité qu elle souffre de déficience auditive est 0,09.

X compte le nombre de personnes souffrant de déficience auditive. Alors X suit la loi binomiale de paramètres n 52 et p 0,09.

2. P(X 4) 



5 2

4 0,09⁴ (1 0,09)^{52 4} 0,192. La probabilité qu exactement 4 personnes parmi les 52 souffrent de déficience auditive est environ 0,192.

3. P(X 9) 1 P(X 8) 1 0,959 soit P(X 9) 0,041.

La probabilité pour que la sélection contienne au moins neuf personnes souffrant de déficience auditive est environ 0,041.

4. P(X 10) 0,994.

La probabilité pour que la sélection contienne au plus dix personnes souffrant de déficience auditive est environ 0,994.

5. E(X) 52 0,09 4,68. En moyenne, sur un grand nombre de groupes de 52 personnes, on aura 4,68 personnes souffrant de déficience auditive par groupe.

II. f est la fonction définie sur \{ 4 4} par f(x) x 5

x² 16 et Cf est sa courbe représentative dans un repère.

1. f est définie sur \{ 2;2} donc elle est dérivable sur \{ 2;2} car c est une fonction rationnelle.

Pour tout x de \{ 4 4}, f (x) 1(x² 16) (x 5)2x (x² 16)²

x² 10x 16 (x² 16)² .

Signe de x² 10x 16 : 36 donc le trinôme a deux racines qui sont 2 et 8 et il est du signe de a 1 sauf entre ces racines. On a donc le tableau suivant :

x 4 2 4 8 + x² 10x 16

(x² 16)² f (x)

f(x)

1/4

1/16

2. a pour équation y f (0)(x 0) f(0).

f (0) 0² 10 0 16 (x² 16)²

1

16 et f(0) 0 5 0² 16

5 16.

1 5

F

0,43

A 0,11

A 0,89

F

0,57 A

0,08

A 0,92

3. On étudie le signe de f(x) 



1 16x ⁵

16 . f(x) 



1 16x ⁵

16 . x 5 x² 16 



1 16x ⁵

16

x 5 x² 16

x 16

5 16

16(x 5) x(x² 16) 5(x² 16) x² 16

x³ 5x² x² 16

x²(x 5) x² 16 . On peut alors construire le tableau :

x 4 0 4 5 + x 5

x² 16 x²(x 5) x² 16 Position de C_f

et

C_f en dessous de

C_f au dessus de C_f au dessus de C_f en dessous de

C_f au dessus de

III.

Partie A.

1.

2. Soit K le point tel que : 2BK 3CK 0 .

a. 2BK 3CK 0 donc 2BK 3CB 3BK 0 donc 5BK 3BC

donc BK 3 5BC b. Placer le point K sur la figure.

Partie B.

1. IJ IA AJ I est le milieu de [AB] donc IA 1

2 BA 1

2 AB Alors IJ 1

2AB 3AC. IK IA AB BK

IK 1

2 AB AB 3

5 BC IK 1

2 AB 3

5

(

BA AC

)

IK 1

2 AB 3

5 AB 3 5 AC IK 1

10AB 3 5AC.

2. On constate que IJ 5 IK. Les vecteurs IJ et IK sont colinéaires donc les points I, J et K sont alignés.

Partie C.

1.

2. On a A(0 0) ; B(1 0) ; C(0 1) I est le milieu de [AB] donc I



1 2 0 J(0 3) et L



1

4 1

3. IJ









1 2 3

et JL









1 4 4

3. det

(

IJ JL

)









1 2

1 4

3 4

5

4  0. Les vecteurs IJ et JL ne sont pas colinéaires donc les points I, J et L ne sont pas alignés.

IV.

( )

^d1 a pour vecteur directeur u



0,25

m 1 et

( )

^d2 a pour vecteur directeur v



m 1

( )

^d1 et

( )

^d2 sont parallèles ssi u et v sont colinéaires ssi det

(

u v

)

0

ssi 



0,25 m m 1 1 0

ssi 0,25 m² m 0

ssi m² m 0,25 0

=0 donc le trinôme a une racine qui est m0

1 2 Les droites

( )

^{d1 et}

( )

^d2 sont parallèles ssi m 1

2 . V.

1. On a O(0 0) et B( 5 10) donc OB 



5 10 .

OB est un vecteur directeur de la droite (OB) donc (OB) a une équation de la forme 10x 5y c 0 où c est un réel.

O est un point de (OB) donc 10 0 5 0 c 0, c'est-à-dire c 0.

(OB) a pour équation 10x 5y 0 ou 2x y 0.

2. 4 1 3 ( 1) 7 4 3 7 0 donc le point de coordonnées (1 1) appartient à la droite

( )

^d1 . 3. Un vecteur directeur de

( )

^{d1 est w}_^{ 3}_4^.

4. u



2

1 est un vecteur directeur de

( )

^{d2 donc}

( )

^d2 a une équation de la forme x 2y c 0 où c est un réel.

A(2 6) appartient à

( )

^d2 donc 2 2 6 c 0, c'est-à-dire c 10.

( )

^d2 a pour équation x 2y 10 0.

5. (OB) a pour vecteur directeur OB



5

10 et

( )

^d2 a pour vecteur directeur u



2 1 . det

(

OB u

)





5 2

10 1 5 20 25. Les vecteurs OB et u ne sont pas colinéaires donc les droites (OB) et

( )

^d2 ne sont pas parallèles. Soit C(x y) leur point d intersection.

(x y) est solution du système (S) : _^2x y 0 x 2y 10 0 (S) 



2x y 0

2x 4y 20 



2x y 0 5y 20 



2x 4 0 y 4 



x 2

y 4 . Ainsi C( 2 4).

6. (d3) est la droite d’équation x 3y 10 0.

Si y 0 : x 10 0  x 10. Le point de coordonnées (10 0) est un point de

( )

^{d3 .}

Si y 1 : x 3 10 0  x 7. Le point de coordonnées (7 1) est un point de

( )

^{d3 .}

7. Voir graphique

8. (OB) et

( )

^d2 se coupent en C. (OB),

( )

^d2 et

( )

^d3 sont concourantes ssi C est un point de

( )

^d3 . ( 2) 3 4 10 2 12 10 0 donc C est un point de

( )

^d3 .

Les droites (OB),

( )

^{d2 et}

( )

^d3 sont donc concourantes en C.

Les droites (OB), (d2) et (d3) sont-elles concourantes ? Justifier.

9. A est un point de

( )

^d2 . Montrons que

( )

^d2 est perpendiculaire à (OB).

( )

^d2 coupe (OB) en C. Montrons que le triangle ACO est rectangle en C :

AC ( 2 2)² (4 6)² 20 ; OC ( 2 0)² (4 0)² 20 et OA (2 0)² (6 0)² 40. D une part AC² OC² 20 20 40 ; d autre par OA² 40.

On a OA² AC² OC² donc le triangle OAC est rectangle en C d après la réciproque du th de Pythagore.

Ainsi

( )

^d2 est perpendiculaire à (OB).

La droite

( )

^d2 passe par A et est perpendiculaire à (OB). C est donc la hauteur issue de A dans le triangle OAB.