Un compromis temps-espace pour la résolution de réseaux de contraintes par décomposition

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Un compromis temps-espace pour la résolution de

réseaux de contraintes par décomposition

Philippe Jégou, Cyril Terrioux

To cite this version:

Philippe Jégou, Cyril Terrioux. Un compromis temps-espace pour la résolution de réseaux de

con-traintes par décomposition. Premières Journées Francophones de Programmation par Concon-traintes,

CRIL - CNRS FRE 2499, Jun 2005, Lens, pp.159-168. �inria-00000073�

Un ompromis temps-espa e pour la résolution de réseaux de ontraintes par dé omposition

Philippe Jégou Cyril Terrioux LSIS- UMR CNRS 6168

Université d'Aix-Marseille3 Av. Es adrilleNormandie-Niemen 13397 MarseilleCedex 20(Fran e)

{philippe.jegou, yril.terrioux}univ.u-3mr s.f r

Résumé

Nous revenons i i sur une méthode de résolution de CSP par dé omposition introduite dans [16 ℄ et qui est appeléeRegroupement Cy lique. Alorsque[16 ℄ se limitait à présenter uniquement les prin ipes de la méthode,dans ette ontribution,nousmontrons om-ment elle- i peut être rendue opérationnelle, notam-mentparuneexploitationidoinedespropriétésdes sous-graphestriangulés.Dansunse ondtemps,nous présen-tons des résultats formels qui démontrent que le Re-groupement Cy liqueréalise ee tivementun ompro-mistemps-espa eentermesde omplexitésthéoriques. Nous on luons etarti leenprésentantquelques résul-tatsexpérimentauxquimontrentqueleRegroupement Cy lique.peutêtree a eenpratique.

Abstra t

WestudyhereaCSPde ompositionmethod intro-du ed in[16 ℄ and alled Cy li -Clustering.While [16 ℄ only presents the prin iplesof the method, thispaper explainshow this method an be made operationalby exploitinggood propertiesof triangulatedindu ed sub-graphs. After, we give formal results whi h show that Cy li -Clusteringproposes atime-spa etrade-o w.r.t. theoreti al omplexities.Finally,we presentsome preli-minary experiments whi h show that Cy li -Clustering basedonanhybridadaptationofTree-Clustering alled BTD[18 ℄maybee ientinpra ti e.

1 Introdu tion

Le formalisme CSP (Constraint Satisfa tion Pro-blem) onstitue un adre puissant pour la repré-sentation et la résolution e a e de nombreux pro-blèmes.Enparti ulier,denombreuxproblèmes

a adé-quipermetnotammentl'expressiondeproblèmes NP- omplets.Généralement,lesCSPsontrésoluspar dif-férentes versions de lare her hede type"ba ktra k" dontla omplexité est exponentielle dans lataille de l'instan e. Néanmoins, des résultats théoriques tels que eux présentés dans [10℄ ont montré que, pour le asde ertainesinstan es, de meilleures bornes de omplexité pouvaient être proposées. Ces nouvelles bornes sont obtenuesen appliquant des méthodesde dé ompositionquifon tionnentenexploitantdes pro-priétés topologiques du réseau de ontraintes, 'est-à-dire du graphe (ou de l'hypergraphe) représentant la stru ture du problème. Par exemple, dans [6, 9℄, deuxstratégiesdedé ompositionontétéproposées,la méthodedel'ensemble oupe- y le (CCM)et leT ree-Clustering (TC). Néanmoins, alors que leur intérêt théoriquesembletout àfaitavéré(voir[13℄pourune telle analyse), leuravantagesur unplan pratiqueest loind'êtredémontré.

D'aborddans [16℄ et puis dans [8℄, des ompromis entre omplexité en temps et en espa e ont été pro-posésanderendre ette lassed'appro hesutilisable en pratique. Plus ré emment en ore, dans [18℄, une appro he hybride de la dé omposition de CSP a été proposée.Cette appro heest hybride ausens où elle ombine leba ktra kingave ladé omposition stru -turelle.Cette méthode amontré sonintérêt pratique pour la résolution de CSP di iles. Aussi, il semble quedetels ompromisainsiquelanotiondeméthodes hybrides,permettentdeproposerdesimplémentations réalistes pour les méthodes stru turelles. Cet arti le étudie etteorientationenanalysantetenessayantde

peler i iquel'arti le [16℄selimitait essentiellementà lades ription de ses motivations et de ses prin ipes. Parexemple,ilnefournissaitau uneindi ationpré ise pouruneexploitationpratiquedeCC.Deplus,au une analysethéorique, ni pratique,n'était présentée dans [16℄, et n'a depuis, été réalisée. Aussi, au regard des derniers développements réalisés au niveau de la dé- omposition de CSP, et en parti ulier des appro hes qui exploitent des ompromis entre temps et espa e, il nous a semblé pertinent d'étudier l'appro he de la méthodeCC.

La première étape de ette méthode, telle qu'elle étaitintroduite dans[16℄, onsistaiten la détermina-tion des liques maximales du réseau de ontraintes initial(dugraphedon ).Cetteappro hepeutse révé-lerd'unintérêt limité ar lenombrede liques maxi-malesdans unréseau de ontraintes peut être expo-nentieldanslenombredesesvariables[24℄.Aussi, l'ex-ploitationpratiquede CCrequiert-elleune étude ap-profondie an de ontourner déjà ettepremière dif- ulté. Ce i est rendu possible par la démar he sui-vante,quis'appuiesurlanotiondesous-grapheinduit triangulé.AlorsqueTCfon tionneenapproximantla dé omposition arbores ente optimale d'un réseau de ontraintes,notreappro hedeCCdétermined'abord unsous-grapheduréseaude ontraintesduproblème onsidéré,sous-graphequi serévèle déjàstru turé en arbre.Cettepartie,interneauCSPdedépart,possède don despropriétéstrès utilespourunerésolution ef- a e. De plus, une propriété, simple mais très utile sur leshypergraphes,nous permet de onstruire, sur labase de e sous-graphe,unCSP équivalentau pro-blème dedépart. Une partie de elui- isera arbores- ente,alorsquel'autre orrespondraexa tementàun ensemble oupe- y le.L'analyseduréseau est fondée surdespropriétésdesgraphestriangulés.

Notre nouvelle des ription de CC nous permet de présenterdenouveauxrésultatssurla omplexitédes méthodes de dé ompositions, qui tendent à prouver que ettete hnique onstitueun ompromisentreTC et CCM. Par exemple, nous démontrons i i que les omplexités théoriquesen temps et en espa ede CC sesituententre elles deTCetdeCCM.

Finalement,nousprésentonsuneimplémentationde CCquiestbaséesurBTD[18℄.Cetteimplémentation permet à CC d'obtenir des résultats expérimentaux assezintéressantsenpratique.

Cet arti le est organisé omme suit. La se tion 2 introduitlesdénitionsessentiellesausujetdu forma-lismeCSP et desméthodes dedé omposition omme TCetCCM.Lase tion3introduitlesfondations théo-riques de CC, puis la se tion suivante présente une

ee tivede CCet présente quelquesrésultats expéri-mentauxpréliminaires.

2 Réseauxde ontraintesetméthodesde dé omposition

2.1 Problèmesde satisfa tionde ontraintes Un problème de satisfa tion de ontraintes (CSP) égalementappeléréseaude ontraintes, onsisteenla donnéed'unensembledevariablesquidoiventêtre af-fe tées ha uneàunevaleurissued'undomaineni,de telle sortequetoutesles ontraintessoientsatisfaites. Formellement,unCSPestainsidéniparun quadru-plet

(X, D, C, R)

.

X

estunensemble

{x

1

, . . . , x

n

}

de

n

variables.Chaquevariable

x

i

prendsavaleurdansun domaineniasso ié

D

i

,domainegurantdans

D

.Les variables sont soumisesàdes ontraintes dénies par

C

.Chaque ontrainte

C

i

estdénieparladonnéed'un ensemble

{x

i

1

, . . . , x

i

ji

}

desvariablesqu'elle ontraint ainsiquepar elled'unerelation

R

i

(de

R

)telleque

R

i

représente l'ensemble des tuples sur

D

i

1

× · · · × D

i

ji

qui permettent de satisfaire la ontrainte. Une solu-tionduCSPestuneae tationdetouteslesvariables à des valeurs qui permettent de satisfaire toutes les ontraintes.

Pour un CSP

P

, l'hypergraphe

(X, C)

est ap-pelé hypergraphe de ontraintes. Un CSP est dit bi-naire si toutes ses ontraintes sont binaires, i.e. elles on ernent ha uneexa tement deuxvariables. Dans e as,

(X, C)

est en fait un graphe (appelé graphe de ontraintes) asso ié à

(X, D, C, R)

. Pour un CSP donné, le problème onsiste soit à trouver toutes les solutions, soit une solution, ou en ore savoir s'il en existe une. Le problème de dé ision (existen e d'une solution) est onnu pour être NP- omplet, elui du al ul d'unesolutionétantNP-di ile.

Engénéral,lesCSPsontrésoluspardiérentes ver-sionsdelare her heba ktra k,dontla omplexitéest alorsexponentielledanslatailledel'instan e onsidé-rée.Par onséquent,denombreuxtravauxdudomaine ont her hé à améliorer l'e a ité de la re her he. L'undesrésultatsessentielsdudomaine,présentédans le ontexte limité des CSP binaires, est donné dans [10℄.Dans etarti le,E. Freuderintroduit une pro é-dure de prétraitrementdont l'objetest de onstruire unbonordresur lesvariables,avantl'exé utiond'un algorithmedere her he.E.Freuderexhibeensuiteune onditionquipermetd'armerqu'au unba ktra kne sera opéré pendant la re her he. Cette ondition est liée à la fois à une propriété stru turelle vériée par le réseaude ontraintes,ainsiqu'à lavéri ationpar

priété laplusintéressante s'énon ealorspar:

Théorème 1 ([10℄) Un CSP binaire ar - onsistant dontle graphede ontraintesesta y lique admetune solutionetil existeunordrede re her he glouton(i.e. sans ba ktra k) pourla trouver.

Notons dès àprésentque ette propriétéest égale-ment vériée pour le as de ontraintes d'arité quel- onque,etdontleréseauestdon onstituéparun hy-pergraphede ontraintes[15℄).Cettepropriétémontre que larésolution ee tive(tra tability) d'unCSP est intimementliéeàdespropriétéstopologiques, 'est-à-dire stru turelles, de son graphe de ontraintes sous-ja ent.

Cettepropriétéa onduitplusieurs her heursà pro-poserdesméthodesquipermettraientderésoudredes CSP quel onques, àsavoirdesCSP y liques. On re-tiendraprin ipalement laméthodeditede l'ensemble oupe- y le [6℄ et le tree- lustering [9℄ que nous pré-sentonssu in tementdanslesse tionssuivantes.

2.2 Tree- lustering (TC)

Parmilesméthodesbaséessurlanotionde dé ompo-sition arbores ente de graphes [21℄,nousavons hoisi, sansmanquedegénéralité,etpourdesraisonsde sim-pli ité, de dé rire TC. Cependant, notre travail peut êtreadaptéàd'autresméthodesdedé omposition éga-lement basées sur la dé omposition arbores ente de graphes[13,7℄.

TCpro ède en onstruisantunCSPdéniàpartir de regroupementsdevariables( lusters)de sorteque l'intera tionexistantentre lusters soit alors stru tu-rée en arbre. Le nouveauCSP est équivalent à elui d'origine (i.e. il possède le même ensemble de solu-tions), mais l'hypergraphe de ontraintes asso ié est maintenanta y lique. Aussi, lapropriété on ernant lesCSPa y liquesestalorsappli ableà ettenouvelle représentationduproblèmededépart.Pourprésenter TC dansle détail,puis ensuiteleRegroupement Cy- lique,nousdevonsrappelerquelquesdénitionsissues delathéoriedesgraphesetdeshypergraphes: Dénition 1 La 2-se tion (ou graphe primal) d'un hypergraphe

(X, C)

est le graphe

(X, E)

ave

E =

{{X

i

, X

j

} | ∃C

k

∈ C

telle que

{X

i

, X

j

} ⊆ C

k

}

.

Dénition 2 Ungrapheestdittriangulésitout y le de longueur au moins égale à 4 possède une orde, i.e. une arêtejoignant deux sommets non- onsé utifs le longdu y le.

Dénition 3 Etant donné un graphe

G = (X, C)

et un ordre

σ = (x

1

, x

2

, . . . , x

n

)

sur

X

, les su es-seurs d'unsommet

x

i

sontles élémentsde l'ensemble

{x

j

∈ X \ {x

i

} : {x

i

, x

j

} ∈ C

and

j > i}

.Nousdirons qu'un sommet

x

i

est simpli ial pour

σ

si les su es-seurs de

x

i

sont deux à deux adja ents. Nous dirons qu'un ordre

σ = (x

1

, x

2

, . . . , x

n

)

de

X

est un ordre d'éliminationparfait si, pour

i = 1, . . . , n

,

x

i

est sim-pli ialpourl'ordre

σ

.

Théorème 2([11℄) Un graphe

G = (X, C)

est dit triangulésietseulementsi

X

admetunordre d'élimi-nationparfait dans

G

.

Diérentes dénitions équivalentes de la notion d'a y li ité d'hypergraphe ont été proposées dans la littérature. I i, nous onsidérerons elle relative aux graphestriangulés:

Dénition4 Un hypergraphe est dit onforme si toutes les liques maximales de sa 2-se tion orres-pondentàune arêtedansl'hypergrapheoriginal. Dénition5 ([2,3℄) Un hypergraphe est a y lique s'ilest onforme etsisa2-se tion esttriangulée.

Lapro édureTC omporteplusieursétapes.La pre-mière est basée sur la triangulation de la 2-se tion. Cetteopération, qui estréaliséebien sûr uniquement si e graphe n'est pas déjà triangulé, ajoute de nou-velles arêtes an de produire une 2-se tion triangu-lée [23℄, dont l'hypergraphe doit ensuite être déter-miné.C'estl'objetdelase ondeétape,puisqu'elleva identier les liques maximales

{C

′

1

, . . . , C

′

m

}

dans la 2-se tiontriangulée[12℄.L'étapesuivantefournit l'hy-pergraphea y liquedontlesarêtes orrespondentaux liques maximales de la 2-se tion. Cet hypergraphe possèdené essairementpar onstru tion,une2-se tion trianguléeet ilest onforme.La omplexitéentemps de es diérentes étapes est

O(n + e

′

₎

où

n

est le nombredesommetset

e

′

lenombred'arêtesdugraphe triangulé. Une fois es étapes réalisées, il faut alors dénir le CSP résultant qui est obtenu en résolvant haque sous-problème déni par les lusters ( liques maximalesdel'hypergraphe)

C

′

1

, . . . , C

m

′

, haque sous-problème étant onstitué des variables appartenant au luster orrespondant.Les ontraintesà onsidérer sontalors ellesgurantàl'origineentrelesvariables. Larésolutionde haquesous-problèmevaproduireune listedetuples onsistantsqui orrespondentaux solu-tions.La omplexitéentempsde esdiérentesétapes est

O(m.d

W+1

₎

où

d

est la taille du plus grand do-maine et

W + 1

l'arité de la plus grande ontrainte dans le nouveau CSP (elle est égale à la taille de la plus grande lique dans la 2-se tion triangulée). Fi-nalement,nousobtenonsunCSPglobalement onsis-tant en utilisant un ltrage par inter- onsistan e ou pairwise- onsisten y [15℄, qui équivaut à l'exé ution de la onsistan e d'ar sur les tuples. La omplexité

entemps est

O(n.d

W

+1

_{.(W + 1).log(d))}

. Notons que la omplexitéenespa eest

O(m.d

W

+1

₎

maisqu'ilest possible de la limiter à

O(m.d

S

₎

, omme 'est par exemple le as ave l'adaptation de TC fournie par laméthode "Cluster Tree Elimination" [7℄). Dans e as,

S

est latailledelaplusgrandeinterse tionentre pairesde lusters, 'est-à-dire la taille maximum des séparateursminimauxdugraphe.

Enn, il faut rappeler i i que le problème qui onsiste à al uler la meilleure dé omposition arbo-res ente, 'est-à-direladé ompositionpourlaquellela valeurde

W

estminimum, onstitueunproblèmequi estNP-di ile.Pourplusdedétails,voir[7℄.

Parlasuite,nousidentieronssouslesigleTC,les méthodesbasées ommeTC[9℄, surladé omposition arbores ente de réseaux de ontraintes. Il s'agit par exemple de Join Tree Elimination [7℄ ou en ore de ClusterTreeElimination [7℄.

Alors que es méthodes semblent fournir les ap-pro hes les plus e a espour la résolution de CSP, dumoinspour equi on ernela omplexitéthéorique entemps(voirl'analysede[13℄),leurintérêtpratique est hélas très limité. Les raisons de et état de fait sontqueletempsde al ulee tif estnalementtrès important,et de plus qu'elles né essitent l'allo ation et l'exploitationd'unespa emémoiretropimportant pourrésoudredes aspratiquesréels.Aussi,dans[18℄, uneappro healternative,appelée BTD,aété propo-sée.Sonobjetestdelimiterlatailledel'espa erequis, etd'éviterégalementdenombreuxtraitements redon-dantlorsdelare her he.AlorsqueTC al uletoutes lessolutionsde haque luster,puismémoriseles ae -tations (tuples) orrespondantes sur les interse tions entre lusters (pour les meilleures appro hes), BTD ne al ulequ'unepartiede essolutionsetdon ,n'en enregistreque ertaines. Dans BTD, es ae tations sontappeléesgoodssiellepeuventêtreétenduesàdes ae tation onsistantes sur la partie de CSP qui est onne tée à ette interse tion, et elles sont appelées nogoods si e n'est pas possible. Aussi, omme pour lesautresméthodes pro édantpardé omposition ar-bores enteet basées surTC, la omplexité enespa e de BTDest limitée ar elleest bornée par

O(m.d

S

₎

. Toutefois, e pire des as n'est généralement pas at-teint en pratique grâ e à l'enregistrement des goods et des nogoods. Dufait de e ompromis, BTDpeut résoudredesinstan esqueniTC,ni sesdiverses opti-misationsnepeuventappréhender.

2.3 Laméthodedel'ensemble oupe- y le(CCM) Un ensemble oupe- y le d'un graphe (respe tive-mentd'unhypergraphe)estunensembledesommets dont lasuppressioninduitun graphea y lique(resp.

fait que l'ae tation de variables hange, d'une er-taine façon, la onne tivité ee tive du graphe de ontraintestraité.Aussi,lorsd'unere her he,dèsque touteslesvariablesd'unensemble oupe- y leontété ae tées, le graphe de ontraintes résultant ne pos-sèdealorsplusau un y le.Lesous-problèmeasso ié estalorsa y liqueetlethéorème1peutdon être ex-ploité.Unepropriétépermetderésumerlaméthode: Propriété 1 Sitouteslesvariables quiappartiennent àunensemble oupe- y led'ungraphede ontraintes (respe tivement un hypergraphe de ontraintes) sont ae téesensatisfaisantles ontraintesquiportentsur elles,etsileCSPrésultantd'uneappli ation d'un l-trage par onsistan ed'ar (respe tivementpar inter- onsistan e)nevoitau undomainevide,alors le pro-blème admet des solutions et tolère un ordre de re- her he glouton.

Le test de onsistan e d'un CSP peut don s'opé-rer,d'aborden ae tant defaçon onsistante,les va-riablesd'unensemble oupe- y le,puisenpropageant par onsistan e d'ar l'eet de ette ae tation. La tailledel'ensemble oupe- y le onstituealorsla "hau-teur" du ba ktra king né essaire à la résolution du problème. Plus pré isément, pourunCSP binaire, la omplexité entempsdeCCM est

O(e.d

K+2

₎

où

e

est le nombrede ontrainteset

K

la taille de l'ensemble oupe- y le. Le oût né essaire à la re her he d'une ae tation onsistante sur l'ensemble oupe- y leest

O(d

K

₎

. Pour haque solution de l'ensemble oupe- y le(i.e.uneae tation onsistante),ilestné essaire de résoudre le CSP a y lique induit. La omplexité en temps est alors de

O((n − K).d

2

₎

, et par onsé-quent,nousobtenonsglobalement

O(e.d

K+2

₎

.Onpeut onstater que le paramètre le plus important dans ette omplexitéest

K

,etqueleproblème d'optimisa-tion visant àminimiser

K

est NP-di ile [20℄. Cette méthode peutêtre étendue auxCSP non-binaires, la omplexitéentempsétantalors

O(e.r.log(r).d

K

₎

où

r

est la taille (nombrede tuples) de larelation la plus grandeasso iéeaux ontraintesdansleCSP [17℄. No-tons qu'aprèsl'ae tation de l'ensemble oupe- y le, le CSP a y lique induit peut dans e as être résolu parlemême typede pro édureque TC, aronse si-tue alors dans un CSP qui n'est pas né essairement binaire.

2.4 Comparaison desméthodes

L'avantageleplusimportantdeTC on ernela na-turedurésultatee tivementobtenuparlaméthode. TC al uleunereprésentationduproblèmequipermet l'obtentiondessolutionssansba ktra kingàl'issuede

e typed'avantage ar toutesolutiondoit être al u-lée àl'aided'unere her heparba ktra king,qui sera bornéeparlataille del'ensemble oupe- y le.

Toutd'aborddans[4℄,puisré emmentdans[13℄,ila étédémontréquesil'on onsidèrelesvaleursoptimales de

W

et

K

,nousaurons

W + 1 ≤ K + 2

.Ainsi,TCest théoriquementmeilleurqueCCMpour equi on erne la omplexitéentemps.Toutefois,niTCniCCMn'ont à e jourdémontré leurréel intérêtpratique.Comme ela est armé dans [18℄, e phénomène est dû à la omplexité en espa e observée en pratiquepour TC, alorsquepourCCM, etétatdefaitestprobablement dûàla omplexitéentemps.

3 Mise en oeuvre du regroupement y- lique (CC)

An d'éviter les in onvénients de TC et de CCM, une appro he alternative appelée regroupement y- lique (CC)aétéintroduitedans[16℄.Notonsque et arti leselimitait uniquementàprésenter lesidéesde l'appro hesans é lair issementsur lamise enoeuvre ee tive de la méthode. Tel que présenté dans [16℄, CC fon tionne en quatre étapes. La première étape onsiste en la re her he de toutes les liques maxi-males du graphe de ontraintes initial. La deuxième étape onsidère haque liquemaximalepourrésoudre le sous-problème asso ié. Le résultat onsiste en un hypergraphe de ontraintes dont les ontraintes or-respondent aux diérents sous-problème résolus. Les deux dernières étapes déterminent d'abord un en-semble oupe- y le,puispourterminer,lan ent l'exé- ution de CCM sur e nouveau CSP. L'exé ution de CC n'est malheureusement pas e a e pour des raisons d'ordre à la fois théorique et pratique. Par exemple, il est bien onnu que pour un graphe quel- onque, lenombredeses liquesmaximalespeutêtre exponentiel dans le nombre de ses sommets [24℄ et ainsi, onduireàunepremièreétapedi ilement réa-lisable en pratique.Dans et arti le,nous présentons uneautreappro hepourlamiseenoeuvredeCC, ori-ginellement introduite dans [17℄. Cette appro he est basée sur l'exploitation des propriétés ombinatoires et algorithmiques des graphes triangulés. La gure1 résumel'appro he.LapremièreétapedeCC(a) iden-tie un sous-graphe triangulé (Triangulated Indu ed Subgraph,noté TIS) dugraphe (tousles sommetset arêtes appartiennentau TIS, ex eptésles sommets2 et 4etlesarêtesenpointillés).Ladeuxièmeétape gé-nèreunCSP n-airea y liquebasé sur leTIS (b). La dernière étape résout le CSP initial en appliquant la méthodedel'ensemble oupe- y lesurlenouveau pro-blème,puisquelessommetsquinegurentpasdansle

6

1

2

3

4

5

7

8

9

10

11

1

2

3

4

5

7

8

9

10

11

(b)

(a)

6

Fig. 1  Une dé omposition par regroupement y- lique.

problème.Dans etexemple, esontlessommets2et 4.Lesjusti ationsthéoriquesde etteappro hesont baséessurlespropriétésdesTIS.

Dénition6 Etant donné ungraphe

G = (X, C)

, si

T

estunsous-ensemblede

X

,

G(T ) = (T, C(T ))

estle sous-graphede

G

induit par lessommets de

T

, 'est-à-dire

C(T ) = {{x

i

, x

j

} ∈ C : x

i

, x

j

∈ T }

.Le graphe

G(T )

est unsous-graphe induit triangulé (TIS) de

G

si et seulement si

G(T )

est triangulé.

G(T )

est TIS Maximal (MTIS) si

T

est maximal pour l'in lusion (il n'estpas in lusstri tementdansunsous-ensemble

T

′

_{⊆ X}

telque

G(T

′

₎

soittriangulé.

Dans[1℄,Balaset Yu dénissentunalgorithme ap-peléTRIANGpourle al uld'un MTIS.Sa omplexité entempsest

O(n + e)

. NotonsqueleMTIS n'estpas né essairement de taille maximum, mais qu'il s'agit toujoursd'unsous-graphemaximalausensde l'in lu-sion.Ce in'estpassurprenantpar eque leproblème de lare her hed'un sous-graphe maximumtriangulé estunproblèmeNP-di ile[20,25℄.

Poursimplier,etsansmanque degénéralité,nous présentonsnotreappro heuniquementsurlesgraphes de ontraintes, don les CSP binaires. Pour étendre ette méthodeauxCSPn-aires,il sutde onsidérer la 2-se tion omme dans TC. Etant donné le graphe de ontraintesinitial,lapremièreétape onsisteen la re her he d'un TIS. En exploitant les propriétés des hypergraphesa y liques, la se onde étape génére un hypergraphequi possède deuxtypesd'arêtes.Le pre-mier typed'arêtes orrespond aux liques maximales du TIS et le se ond aux arêtes dugraphe initial qui ne gurent pas dans le sous-graphe. La 2-se tion de et hypergraphe orrespond augraphede ontraintes initial et on onnaît alors un ensemble oupe- y le de ethypergraphe,ensemble orrespondantaux som-metsquinegurentpasdansleTIS.Cethypergraphe permet de générer un nouveau CSP dont toutes les arêtes orrespondent aux nouvelles ontraintes. Les tuples des relationsde ompatibilité de es nouvelles ontraintessontproduits en énuméranttoutes les af-fe tations partielles onsistantes des variables appar-tenantaux ontraintes. Ladernièreétape onsisteen

Dénition7 Etantdonné ungraphe

G = (X, C)

: 

H

max

(G) = (X, C

′

₎

désigne l'hypergraphe induit par les liques maximales de

G

, 'est-à-dire que

C

′

estl'ensemble des liquesmaximales de

G

.  étantdonnéunsous-ensemble

Y

de

X

,

E

G

(Y ) =

{c ∈ C : c∩Y 6= ∅}

,i.e.

E

G

(Y )

estl'ensembledes arêtesquipossèdentaumoinsunsommetdans

Y

. Dénition8 Etant donnés un hypergraphe

H =

(X, C)

et

Y

,unsous-ensemblede

X

: 

H(Y ) = (Y, C

′

₎

désigne l'hypergraphe induit par l'ensembledesommets

Y

,où

C

′

_{= {c}

′

_{⊆ Y : ∃c ∈}

C, c

′

_{⊆ c}

et

c

′

estmaximal

}

.

 si

Y

est telque

H(X \ Y )

est a y lique, alors

Y

estunensemble oupe- y lede

H

.

Propriété 2 Etant donnésun graphe

G = (X, C)

et unsous-ensemble

T

de

X

tel que

G(T )

est triangulé, alorsl'hypergraphe

H

max

(G(T ))

esta y lique.

Notons dès à présent que pour des questions de pla e,nousnedonneronsi iau unepreuve.Lele teur intéressépourralestrouverdans[19℄.

Propriété 3 Etantdonné ungraphe

G = (X, C)

,un sous-ensemble

T

de

X

et

C

′

l'ensemble des liques maximales de

G(T )

, 'est-à-dire

H

max

(G(T ))

=

(T, C

′

₎

,alors si

G(T )

est triangulé,

X \ T

est un en-semble oupe- y le de l'hypergraphe

H

T

= (X, C

′

_∪

E

G

(X \ T ))

.

Propriété 4 Etant donné un graphe

G = (X, C)

et

T

est unsous-ensemble de

X

; si

G(T )

est un MTIS de

G

, alors

Y = X \ T

est un ensemble oupe- y le minimalde

H

T

= (X, C

′

_∪E

G

(Y ))

où

C

′

estl'ensemble des liquesmaximalesde

G(T )

.

Dénition9 Etant donné un CSP binaire

P

G

=

(X, D, C, R)

de graphe

G = (X, C)

, et ave

T

sous-ensemblede

X

telque

G(T )

esttriangulé, leCSP in-duit par

T

sur

P

G

est

P

H

T

= (X, D, C

T

, R

T

)

qui est dénipar: 

C

T

= C

′

_{∪ E}

G

(Y )

où

C

′

estl'ensembledes liques maximales de

G(T )

, 'est-à-dire

H

max

(G(T )) =

(T, C

′

)

et

Y = X \ T



R

T

= {R

i

∈ R : C

i

∈ E

G

(Y )} ∪ {R

′

i

: C

i

′

∈

C

′

et

R

′

i

=⊲⊳

C

j

⊆C

_i

′

R

j

}

où le symbole

⊲⊳

désigne l'opérateur de jointure de la théorie desbasesde donnéesrelationnelles.



H

T

= (X, C

T

)

.

Si

G(T )

estunMTISde

G

,alors

P

H

T

estappelé CSP maximalinduit par

T

sur

P

G

.

Nous appliquons ette dénition à l'exemple donné dans la gure 1. I i,

T = X\{2, 4}

et don

C

T

=

{{1, 2}, {1, 11}, {2, 3}, {2, 10}, {3, 4}, {3, 9},

{4, 5}, {4, 6}, {4, 8}, {5, 6, 7}, {6, 7, 8}, {8, 9}, {9, 10},

{10, 11}}

. Les relations asso iées aux ontraintes binaires orrespondent aux relations initiales alors que les nouvelles ontraintes, dénies par des relations ternaires, sont obtenues en résol-vant les sous-problèmes asso iés. Aussi, nous avons

R

{5,6,7}

= R

{5,6}

⊲⊳ R

{5,7}

⊲⊳ R

{6,7}

et

R

{6,7,8}

= R

{6,7}

⊲⊳ R

{6,8}

⊲⊳ R

{7,8}

.

Finalement,ilfautque,leCSPinduitmaximal

P

H

T

possèdeexa tementlemêmeensembledesolutionsque

P

G

.

Théorème 3 Soit

P

G

= (X, D, C, R)

unCSPbinaire de graphe

G = (X, C)

,

T

un sous-ensemble de

X

tel que

G(T )

estunTIS,et

P

H

T

= (X, D, C

T

, R

T

)

leCSP induit par

T

on

P

G

.L'ensemble de solutions de

P

G

, noté

Sol

P

G

, est égal à l'ensemble de solutions

P

H

T

, noté

Sol

P

HT

.

Lethéorème3résumelaméthode:étantdonnéun CSP binaire

P

G

= (X, D, C, R)

de graphe

G

, il est susantdedéterminerunensemble

T

desommetstel que

G(T )

est un TIS de

G

. Pour trouver l'ensemble

T

, nous pouvonsutiliser lapro édure TRIANG(

G, T

). Après, nous onsidérons

G(T )

et nous al ulons ses liquesmaximales

C

′

grâ e àunepro édure adéquate CliquesMaxTriangulated(

G(T ), C

′

). A l'étape sui-vante, nous générons le CSP induit par

T

sur

P

G

,

P

H

T

= (X, D, C

T

, R

T

)

en résolvant haque sous-problème orrespondantà haque liquedans

C

′

.Nous notons ettepro édureGenerate(

P

G

, T, C

′

_{, P}

H

T

). Fi-nalement, puisque le sous-ensemble

X \ T

est un ensemble oupe- y le minimal de l'hypergraphe

H

T

, nous pouvons appliquer la méthode de l'ensemble oupe- y le généralisée pour résoudre

P

H

T

, en ap-pelant la pro édure Cy leCutsetMethod(

P

H

T

, X \

T, Sol

P

G

). 1.

CyclicClustering(P

G

, Sol

P

G

)

2. Begin 3. TRIANG(

G, T

); 4. CliquesMaxTriangulated(

G(T ), C

′

); 5. Generate(

P

G

, T,

C

′

_,

_P

H

_T

); 6. Cy leCutsetMethod(

P

H

T

, X

\ T, Sol

P

G

) 7. End

Fig.2RegroupementCy lique.

Théorème 4 Etant donné un CSP binaire

P

G

, la pro édureCy li Clustering al ule

Sol

P

G

.

Théorème 5 La omplexité en temps de Cy li Clustering est

O(e + n.a.d

a+k

₎

et la om-plexité enespa e est

O(n.s.d

s

₎

où

s

estla taille de la plus grande interse tion entre deux lusters, 'est-à-direlataillemaximaledesséparateursminimauxdans leTIS et

k

est lataillede l'ensemble oupe- y le.

met dedéterminerlesparamètresdela omplexité,

a

et

k

en O(

n + e

) fournissant ainsi un nouvelle me-suredela omplexitéd'unCSPdontl'évaluationpeut êtreobtenueenuntempslinéaire,sousl'hypothèsede l'emploi de TRIANG.Un autre avantagequi est oert parCCrésidedans lefait quela"hauteur"totale de ba ktra king est en fait dé omposée en deux parties diérentes:l'unerelativeàlarésolutiondel'ensemble oupe- y le(leparamètre

k

),etl'autrepourrésoudre lessous-problèmes(leparamètre

a

).Finalement,nous pouvons onstater que la omplexité est bornée par

exp(a + k)

.

Pourappliquer e a ement etteméthode, il nous fautd'abordrésoudreunproblèmed'optimisation ar la première étape onsiste indire tement, à détermi-ner les paramètres les plus importants pour e qui on erne la omplexité :

a

et

k

. Aussi, il serait in-téressantde minimiser

k

, e qui revientà maximiser

|T |

.Ilnoussemblequel'emploidel'algorithmeTRIANG ne soit pas né essairement, dans e as, la meilleure appro heenvisageable.Toutefois,nousne onnaissons pas, à e jour, de résultats on ernant e problème d'optimisation.

4 Comparaison théorique

Nous onsidéronsi i

W

et

S

pourTC,

K

pourCCM et

a

,

s

et

k

pourCC. Bien queles valeursoptimales de

W

,

S

,

K

,

a

,

s

et

k

soientdi iles àdétermineren pratique ar tous les problèmes d'optimisation asso- iés sontNP-di iles,l'analyse proposéei iprend en ompte lesvaleursoptimalesde esparamètres.

Tout d'abord, il est lair que

s ≤ S

. Notons qu'il estfa iled'exhiberdesexemplesdeCSPpourlesquels

k + a ≪ K

.Plusgénéralementet formellement,notre premierrésultatnouspermetd'armerquele Regrou-pementCy liqueestthéoriquementmeilleurqueCCM pour equi on ernela omplexitéentemps.

Théorème 6 Etant donné un CSP binaire

P

G

=

(X, D, C, R)

, si

P

G

possède un ensemble oupe- y le de taille

K

, alors il existe né essairement une dé- omposition par Regroupement Cy lique dont les pa-ramètres

a

et

k

vérient

k + a ≤ K + 2

.

Notons quepourla omplexitéenespa e,CCMest meilleure que CC puisque l'espa e requis est linéaire danslenombredevariables,soitlimitéà

n

.

Le théorèmesuivant nouspermet d'armer quela dé ompositionpar RegroupementCy liqueest systé-matiquement meilleure quele tree- lustering pour e qui on ernela omplexitéenespa e.Lapreuvede e résultat est basée sur le fait quela valeur

W + 1

est

liquedansungraphe.

Théorème 7 Etant donné un CSP binaire

P

G

=

(X, D, C, R)

, pour toutes les dé ompositions par Re-groupement Cy lique dontles paramètressont

a

et

k

, etpourtouteslesdé ompositionspartree- lusteringde paramètre

W

,nousavons

a ≤ W + 1

.

Lethéorèmesuivantest lairementplusintéressant puisqu'ilétablitlelienentreles omplexitésentemps deTCetdeCC.

Théorème 8 Etant donné un CSP binaire

P

G

=

(X, D, C, R)

,s'ilexisteunedé ompositionpar Regrou-pementCy liquedontlesparamètressont

a

et

k

,alors il existe une dé omposition par tree- lustering de pa-ramètre

W

vériant

W + 1 = k + a

.

Enrésumé,pourles omplexitésthéoriques,onala garantied'obtenir:

 Pourletemps:

CCM ≤ CC ≤ T C

 Pourl'espa e:

T C ≤ CC ≤ CCM

oùlanotation

X ≤ Y

signiequelaméthode

X

pos-sèdeune omplexitémoinsbonneque ellede

Y

.

5 Mise en oeuvre du Regroupement Cy- lique ave BTD

5.1 Deuxappro hesnaturelles:CC-BTD

1

et CC-BTD

2

Dufaitdel'intérêtpratiquelimitédeTC,ilest natu-reld'implémenterCCenremplaçantTC,après l'ae -tationdel'ensemble oupe- y le,parBTDdont l'e- a ité est largement meilleure que elle de TC [18℄. Aussi, nous montrerons i i omment il est possible d'exploiter BTD et nous présenterons une optimisa-tiondesonemploidansCC.

PourimplémenterCC,uneappro henaturellepeut onsister en l'exé ution de BTD dès qu'une nouvelle ae tation onsistante de l'ensemble oupe- y le est trouvée.Cetteappro he,notéeCC-BTD

1

,est immé-diatement envisageable et de plus, elle garantit l'ob-tention des bornes de omplexité fournies par CC. Néanmoins, ette appro he n'est pas né essairement la plus e a e. En eet, dès que CC réalise une nouvelleae tation onsistante de l'ensemble oupe- y le, il faut exé uterBTD, qui al ulera et enregis-trera notamment ànouveaudes "goods" et des "no-goods".Toutefois,ilest lairqu'unepartiede e al ul peutêtreévitée.En eet, onsidéronsune ae tation onsistantede l'ensemble oupe- y le. BTD al ulera etenregistreralesgoodsetlesnogoodsasso iésà l'af-fe tation onsidérée. En eet, ertains nogoods sont

de l'ensemble oupe- y le onduit à l'in onsistan e d'unepartiedel'ae tationdesfuturesvariables.Pour une autre ae tation de l'ensemble oupe- y le, la même ae tationde la même variable pourrait ette fois- ifournirungood.Aussi,étantdonnéeune ae -tation onsistantedel'ensemble oupe- y le,ilsemble impossible d'exploiter les goods et les nogoods pro-duits parunpré édent appel deBTD. Néanmoins,il estpossibled'exploiterlesnogoodsproduits lorsd'un appel préliminaire de BTD. Nous noterons ette se- onde appro heCC-BTD

2

. I i, avantdelan er CC, nous réalisons un appel préliminaire de BTD. Il est lairquetouslesnogoodsenregistrés orrespondentà desae tationsquinepourrontjamaisêtreétenduesà desae tations omplètes onsistantes,enparti ulier enin luantlesvariablesquiappartiennentàl'ensemble oupe- y le.Aussi, esnogoodspeuventêtreexploités pourtraitertouteslesae tations onsistantesde l'en-semble oupe- y lepourstopperlare her he.D'autre part, les goods al ulés ne peuvent pas être exploi-tés dire tement ar ils ont été al ulés sur des sous-problèmesquinesontpasné essairement ompatibles ave touteae tationdel'ensemble oupe- y le.

Avant de présenter des expérimentations sur es deuxappro hes,notonsquel'intégrationdeBTDdans CCoredéjàunintérêtthéorique:

Théorème 9 EtantdonnéunCSP

P = (X, D, C, R)

etunedé omposition par RegroupementCy liqueave unTIS

G(T )

etdesparamètres

a

et

k

.La omplexité de CC-BTD

i

(

i = 1, 2

) est

O(e + n.a.d

a+k

₎

alors que la omplexité en espa e est

O(n.s.d

s

₎

où

s

est la taillede la plusgrande interse tion entredeux liques maximalesde

G(T )

.

5.2 Resultatsexpérimentaux

Tout d'abord, avantde présenter les résultats que nous avons obtenus, il nous faut noter que l'e a- itédeCCdépend fortementdunombredesolutions (ouae tationspartielles onsistantes) de l'ensemble oupe- y le. En eet, dans le pire des as, CC al- ulera toutes lessolutions de l'ensemble oupe- y le. Aussi,pourdesraisonsd'e a ité,CCdoits'appuyer surunensemble oupe- y lequi enre èlepeu, equi onduit dire tement à la question d'un al ul d'en-semble oupe- y lequisatisferait etypedepropriété. Une façon de pro éder peut onsister à al uler un MTIS en utilisant l'algorithme de Balas et Yu [1℄. En faisant ainsi, nous obtenons ertes un ensemble oupe- y le de taille raisonnable, mais qui possède parfois trop de solutions. Aussi, avons-nous préféré onstruireunensemble oupe- y leéventuellementde

ANG de Balaset Yu, mais une méthode heuristique sans garantie de minimalité. Cette méthode pro ède en hoisissantunsommet(unevariable),enl'enlevant dugraphede ontraintes, eten répétant epro essus jusqu'à e que legraphe résultantsoit triangulé. Les sommetssupprimésformentalorsunensemble oupe- y le. An de limiter le nombrede solutionsde l'en-semble oupe- y le, lors de haque étape, le sommet hoisiest elui qui orrespond àla variable qui est a priori laplus ontrainte,soit, ellequipartageleplus de ontraintesave lesvariablesdéjàséle tionnées.

Nousavonsd'abordexpérimenté CC-BTD

i

sur des instan esdeCSPbinairesaléatoires lassiquesetnous avons omparé les résultats obtenus ave F orward-Che king [14℄, MAC [22℄ et FC-BTD [18℄. Pour or-donner les variables dans FC, MAC ou même, dans letraitementdes lusterspourFC-BTDetCC-BTD

i

, nousavonsutilisél'heuristique lassique

dom/deg

[5℄. Cetteheuristique hoisitenpremierlesvariable

x

i

qui minimisent leratio

|d

_xi

|

|Γ

_xi

|

ave

d

x

i

le domaine ourant de

x

i

, et

Γ

x

i

l'ensemble des variablespartageantune ontrainteave

x

i

.Lesinstan esaléatoiresdites las-siques,ontétéproduitesenutilisantlegénérateuré rit par D. Frost, C.Bessière, R. De hter et J.-C. Régin. Ce générateur onsidère 4 paramètres :

n

,

d

,

e

et

t

. IlproduitainsidesCSPd'une lasse

(n, d, e, t)

possé-dant

n

variables,dontledomaineest detaille

d

,et il existeautotal

e

ontraintesbinaires(

0 ≤ e ≤

n(n−1)

2

) pourlesquelles

t

tuplessontinterdits (

0 ≤

t

≤ d

2

). Les lasses que nous avons onsidéréesse situent dans le voisinagedelatransitiondephase.Pour haque lasse, nous avonsrésolu 50 instan es, qui dans haque as, possédaientungraphede ontraintes onnexe.

Les résultats sont donnés dans [19℄. Nous avons onstaté que CC-BTD

1

et CC-BTD

2

obtiennent des résultat similaires. L'existen e de tels résultats n'est ensoipassurprenant,par eque, omme elaadéjàété observédans[18℄,il existetrèspeu denogoods stru -turelsdanslesinstan esaléatoires lassiques,pourdes raisons évidentes intrinsèquementliéesàlanaturede es instan es. Ainsi,il n'y aquetrès peu denogoods quipeuventêtreexploités,etquidefaitleseront.Ce i explique que CC-BTD

i

possède des performan es in-férieuresàFCouFC-BTD.Toutefois,CC-BTD

i

sup-planteMACquandFCs'avèremeilleur queMAC.De plus, en dépit de l'absen e de propriétés adéquates pour l'exploitation d'une telle méthode stru turelle, nous n'avonspasobservédedégradationsigni ative des performan esde ette méthode, parrapport aux résultatsoertsparFCouFC-BTD.

Commeil est bien onnuque lesinstan es deCSP binairesaléatoires lassiquesnere èlentau une

stru -Classe

W

K

a + k

FC MAC FC-BTD CC-BTD

1

CC-BTD

2

(50,15,15,75,5,15,8 0,5 0) 27,96 46,70 30 42,00 89,98 10,14 4,76 3,35 (50,15,15,76,5,15,8 0,5 0) 28,10 46,38 30 24,68 85,14 23,62 3,35 2,44 (50,15,15,71,5,20,1 30, 50) 28,28 50,34 35 46,42 159,96 40,70 0,35 0,35 (50,15,15,72,5,20,1 30, 50) 29,14 50,40 35 211,36 699,47 128,53 0,29 0,30 (50,15,15,77,5,15,8 0,3 0) 27,96 46,40 30 1,89 8,64 1,58 4,89 1,49 (50,15,15,78,5,15,8 0,3 0) 28,10 46,28 30 39,98 89,56 1,51 3,45 2,15 Tab. 1  Classes d'instan es stru turées aléatoires. Paramètres

W, K

et

a + k

des dé ompostions et temps d'exé ution (ense ondes)deFC,FC-BTD,CC-BTD

1

et CC-BTD

2

.

enêtre faitepour etypededé omposition,ilnousa semblé né essaire de réaliser des tests en s'appuyant ette fois- i, sur des instan es de CSP binaires aléa-toiresstru turées.Parinstan es stru turées,nous en-tendonsdes instan esdontlesgraphesde ontraintes vérient despropriétés qui ontunsens pour des mé-thodes telles que CC. Formellement, notre généra-teur aléatoire prend 8 paramètres. Il onstruit des CSP de la lasse

(n, d, a, t, s, k, e

1

, e

2

)

ave

n + k

va-riables, ha une possédant un domaine de taille

d

. Pour haque ontrainte,

t

tuplessontinterdits. Con er-nant lastru ture, le générateur onstruit d'abord un arbre de liquessur

n

sommets( omme dans[18℄)où

a

est lataille de laplusgrande lique et

s

elle dela plus grande interse tion entre paires de liques. No-tons que tout arbre de liques est un TIS. Les

k

va-riables restantes orrespondent alors à un ensemble oupe- y le pour lesquelles

e

1

ontraintes sont pré-sentes.Finalement,nousrajoutons

e

2

ontraintesan de onne ter les variables de l'ensemble oupe- y le et elles de l'arbrede lique. De ette manière, nous généronsdesproblèmesqui re èlentunestru ture ex-ploitable.Malheureusement,nousnepossédonsparde méthodequi soitenmesuredere onnaître systémati-quementunetellestru ture.Puisquenotreobje tifest devérierl'intérêtdeCC-BTD

i

dansle adrede pro-blèmes stru turés, et nonde jugerdelaqualité dela méthodeduTIS,etdon de elledel'ensemble oupe- y le,lastru tureserafournieenentréedeCC-BTD

i

. Les lassesdeCSPquiontfaitl'objet d'expérimenta-tionssonttoutessituées auvoisinagedelatransition de phases (voirtable 1). Pour haque lasse onsidé-rée,nousavonsrésolu50instan es.Enn,pour haque instan e, legraphe de ontraintesest onnexe.

La table 1 montre que CC-BTD

i

peut surpasser MAC, FC et FC-BTD quand la stru ture du pro-blèmepossèdedetellespropriétés.Notonsparailleurs qu'en equi on ernelesparamètresdela omplexité (

W, K, a

et

k

), TCfournit, ommel'indiquent les ré-sultats théoriques de lase tion 4,les meilleurs résul-tats. Larésolutionqui suit nereprend ependantpas

pageendeuxétapesdistin tesdelapartie "exponen-tielle"dansCC, onstitueunavantagesurleplan pra-tique.NouspouvonsaussiobserverqueCC-BTD

2

est meilleurqueCC-BTD

1

.Aussi,lesnogoodsenregistrés pendant la phase de traitement préliminaire réalisée parl'appelàBTDpermettent-ilsàCC-BTD

2

d'éviter ertaineszonesdel'espa edere her hepotentiel.

Pour résumer, CC-BTD

i

peut onstituer une ap-pro he intéressante pour la résolution de problèmes stru turés. La di ulté essentielle on erne alors le problème de re onnaissan e de la stru ture du pro-blème que laméthode pourrait exploiter, en parti u-lier,l'aptitudequ'ellepeutavoirà al ulerunTISde bonne qualité, 'est-à-dire onduisant à un ensemble oupe- y le re elant peu de solutions. Une onsé-quen e immédiate de e onstat est qu'il est mainte-nantné essaire dedévelopperdesméthodes al ulant desTISave etobje tif,avantdepouvoirtotalement armerl'intérêtpratiquedeCC-BTD

i

.

6 Con lusion

Dans epapier,nousavonsétudiéleRegroupement Cy lique[16℄.Alorsque[16℄selimitaitàprésenterles prin ipesdelaméthode,nousavonsexpliqué omment ette méthodepeutêtremiseenoeuvre ee tivement parl'exploitationdepropriétésdesous-graphes trian-gulés. Nous avons ensuite montré que le Regroupe-mentCy liqueoreun ompromisentretemps et es-pa esurleplandela omplexitéthéorique.Pour ela, nous avonsdémontré quesa omplexité entemps est inférieure à elle de laméthode de l'ensemble oupe- y lealorsquepour e qui on ernesa omplexitéen espa e, elle est inférieure à elle du Tree-Clustering. Finalement,nousavonsprésentéles résultats d'expé-rimentations qui montrent que le Regroupement Cy- lique, quand il s'appuie sur une adaptation hybride du Tree-Clustering appelée BTD[18℄, peut ee tive-ment être très e a e en pratique, e i à partir du momentoùl'instan eàrésoudrere èledespropriétés stru turellesadaptéeset re onnaissables.

d'abord,nousdevonsétudierlesoutilsalgorithmiques pour al ulerdesTISdemeilleurequalité.Lase onde dire tion on ernel'étudevisantàexploiteraumieux lesinformationsproduitesparBTDpendantlaphase detraitementpréliminairedansCC-BTD

2

.

Référen es

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