Disponible à / Available at permalink :

Dépôt Institutionnel de l’Université libre de Bruxelles / Université libre de Bruxelles Institutional Repository

Thèse de doctorat/ PhD Thesis Citation APA:

Cloetens, W. (1967). De schepping van energie in de lineaire elektrodynamika's of het behoud van energie in onze niet-lineaire elektrodynamika ?

(Unpublished doctoral dissertation). Université libre de Bruxelles, Faculté des sciences, Bruxelles.

Disponible à / Available at permalink : https://dipot.ulb.ac.be/dspace/bitstream/2013/215221/3/b5ec5ffd-0b61-4231-be38-7d5809706882.txt

(English version below)

Cette thèse de doctorat a été numérisée par l’Université libre de Bruxelles. L’auteur qui s’opposerait à sa mise en ligne dans DI-fusion est invité à prendre contact avec l’Université (di-fusion@ulb.ac.be).

Dans le cas où une version électronique native de la thèse existe, l’Université ne peut garantir que la présente version numérisée soit identique à la version électronique native, ni qu’elle soit la version officielle définitive de la thèse.

DI-fusion, le Dépôt Institutionnel de l’Université libre de Bruxelles, recueille la production scientifique de l’Université, mise à disposition en libre accès autant que possible. Les œuvres accessibles dans DI-fusion sont protégées par la législation belge relative aux droits d'auteur et aux droits voisins. Toute personne peut, sans avoir à demander l’autorisation de l’auteur ou de l’ayant-droit, à des fins d’usage privé ou à des fins d’illustration de l’enseignement ou de recherche scientifique, dans la mesure justifiée par le but non lucratif poursuivi, lire, télécharger ou reproduire sur papier ou sur tout autre support, les articles ou des fragments d’autres œuvres, disponibles dans DI-fusion, pour autant que :

Le nom des auteurs, le titre et la référence bibliographique complète soient cités; L’identifiant unique attribué aux métadonnées dans DI-fusion (permalink) soit indiqué; Le contenu ne soit pas modifié.

L’œuvre ne peut être stockée dans une autre base de données dans le but d’y donner accès ; l’identifiant unique (permalink) indiqué ci-dessus doit toujours être utilisé pour donner accès à l’œuvre. Toute autre utilisation non mentionnée ci-dessus nécessite l’autorisation de l’auteur de l’œuvre ou de l’ayant droit.

--- English Version ---

This Ph.D. thesis has been digitized by Université libre de Bruxelles. The author who would disagree on its online availability in DI-fusion is invited to contact the University (di-fusion@ulb.ac.be).

If a native electronic version of the thesis exists, the University can guarantee neither that the present digitized version is identical to the native electronic version, nor that it is the definitive official version of the thesis.

DI-fusion is the Institutional Repository of Université libre de Bruxelles; it collects the research output of the University, available on open access as much as possible. The works included in DI-fusion are protected by the Belgian legislation relating to authors’ rights and neighbouring rights. Any user may, without prior permission from the authors or copyright owners, for private usage or for educational or scientific research purposes, to the extent justified by the non-profit activity, read, download or reproduce on paper or on any other media, the articles or fragments of other works, available in DI-fusion, provided:

The authors, title and full bibliographic details are credited in any copy;

The unique identifier (permalink) for the original metadata page in DI-fusion is indicated; The content is not changed in any way.

It is not permitted to store the work in another database in order to provide access to it; the unique identifier (permalink) indicated above must always be used to provide access to the work. Any other use not mentioned above requires the authors’ or copyright owners’ permission.

U N IV E R S IT A 5 B R U X E U E N S IS b X O 9 é"

VRIJE UNIVERSITEIT TE BRUSSEL

Fakulfeit der Wefenschappen

„ De schepping van energie

in de linéaire elektrodynamika's

of het behoud van energie

in onze niet-lineaire elektrodynamika?”

Thesis voorgesteld voor de wettelijke graad van

Doctor in de Natuurkunde

W=M- + *4*'+*'+ •F*4'T'+4(**

+

CET ûir/R\GE N’mNT PAS

+

DAIS !£ C<3MALTE PUBLIC,

+

KE PEUT ETBE CC»MJ«IQUS

+

■H^Ü'AVEC L’AUTORISATION DE L’AUTEtrR.+

Willy CLOETENS

Fakulteit der Wetenschappen

„ De schepping van energie

in de linéaire elektrodynamika's

of het behoud van energie

in onze niet-lineaire elektrodynamika?”

C Çti

Thesis voorgesteld voof de wettelijke graad van

Doctor in de Naluurkunde

Willy CLOETENS

Wij beschouwen het als een aangename taak de Vrije Universiteit van Brussel

te bedanken voor de oprechte vrijzinnige geest waarin wij hebben mogen wer-

ken, die steeds tôt het ware opstandige engagement heeft geleid in onze

wetenschappelijke opzoekingen en die hierdoor de grootste stimulans is

geweest b:i j de verwezeli jking van dit werk.

O

Inhoudsta fel.

Hoofdstuk I) Inleiding

Hoo f ds o-uk II) De vergelijking van Lorentz-Dirac ( puntlading ) . 1) Energie-bilan

Cpstelling van de linéaire vergelijking Instabiliteit: van de oplossing

2) Verkrachting van het kausaliteitsprincipe.

3) Energie-bilan van een elektron in een magnetisch veld (het Schott

energie paradox).

Hoofdstuk III) De vergelijking van Sommerfeld,Markoff, Bbhm-Heinstein en

Shih-Erber (uitgebreide vaste lading). 1) Opstelling van de vergelijking.

2) Bespreking van de stabiüteit en de causaliteit van de linéaire vergelijking.

Hooirdstuk IV) De Lorentz-invariante ^prgelijking van Prigogine-Henin ("uitgebreide vervormbare" lading).

1) Opstelling van de vergelijking.'

2) Bespreking yan^ de mogelijke instabiliteiten van de linéaire vergeli jiking

'3) Bespreking van de verkrachting van; het energiebehoud van de linéaire

vergelijking( Schott energie paradoxenj.

Hoofdstuk V) Basis voor een neo-relativiteit . 1) Het begrip "absolute tijd"

2) Het begrip " absolute waarneming" 3) Relativibtisch iiipuls

4) Relativistische stralrng

Hoofdstuk VI Basis voor een nieu^je elektrodynamika 1) Opstelling van on:ae niet-lineaire vergelijking

4) Het akademische probleem van het konstante elektrische veld. 5) Het konstante magnetische veld.

6) De transformatiewetten. van; elektrische velden bij Galilee-transformaties 7^) Natuurlijke breedte van spectrale lijnen.

4

I l O O f d s t U le I Inleiding

In dit proefschrift zullen wij vier verschillende elektrodynamika's bestuderen We zullen ons in deze uiteenzetting zelfs beperken tôt de niet-relativistische limiet ( v/c4< 1) om de grondige conceptuele verschillen tôt uiting te laten komen:

a) de struktuur van de lading'

b) de stabiliteit van de lading c) de causaliteit van de antwoorden

d) het detail van het energie-bilan

Wij zullen dé situatie als volgt samenvatten.

I) In de Lorentz-Dirac elektrodynamika gaat het over puntladingen. De théorie is instabiel, dit wil zeggen dat een puntlading inet een gegeven beginver- snelling zal stralen terwijl de beweging en\ de versnelling voor een gegeven

van nul verschillende beginwaarde voor de versnelling naar oneindig gaan. De théorie is in feite causaal dit wil zeggen dat de lading reageert in funktie van de uitwendige kracht nadat de kracht heeft ingewerkt en niet

ervoor.Om de théorie van Lorentz-Dirac te stabiliseren heeft men de gewoonte

de basisvergelijking te veranderen; dit leidttôt de verkrachting van het

causaliteitsprincipe.

In de- Lorentz-Dirac théorie treden vier variaties van energie op;

a) deze van de uitwendig geleverde arbeid: deze energie ^ordt geleverd

door de uitwendige velden.

b) deze van. de kinetische energie: deze inertiè'le energie kan waargenomen

worden bij de beweging.'

c) deze van de stralingsenergie: dit is een energie die optisch kan ^^aargenomen worden.

geen reden van bestaan heeft, veiligheidshalve werd steeds beweerd dat de Schott energie een omlceerbare energie zou zijn die in de onmiddelijke nabijheid van de lading zou blijven.

Wij zullen op een voorbeeld bewijzen dat in de Lorentz-Dirac théorie gebruikeli jke oplossingen paradoxen geven voor het. energie behoud,

II) De Sommerfeld elektrodynamika behandelt uitgebreide vaste ladingen.

Men kan beKTÎjzen dat deze théorie stabiel is indien de mechanische raassa ( dit wil zeggen de massa waarvan de oorsprong de lading zelf niet is)

positief is.De théorie is ook strikt causaal: dit wil zeggen dat de toekomst

enkel een funlctie zal zijn van het verleden. Men heeft echter ook Schott

energie paradoxen, voornamelijk bij de hoge frekwentiea; ( sterke magnetische velden of krachten die vlug veranderen gedurende de Lorentz tijdo , de

ij

_ -23

mikrosko pis che tijd, lo sec).

III) De Prigogine-Henin théorie veralgemeent het kader van de Sommerfeld

théorie, ze voert op reiativistische wijte een Lorentz-invariante cut.-off in. Aan de puntlading i^aarop de krachten in^erken wordt door de cut-off

een vervormbaar elektrisch eigenveld geassocieerd ; de auteurs spreken daarom

van een"üitgebreide vervormbare lading". Ket nadeel van deze théorie

is dat ze instabiel kan zijn voor fysische strukturen met positieve mechanisdie

massa; ze is dus instabieler dan de Sommerfeld elektrodynamika. Bovendien heeft men hier ook dezelfle Schoti energie paradoxen.

6 Is daarentegen de beginwaarde van de versnelling nul blijft de versnolling nul gedurende de tijd voor een vrij deeltje. Onze théorie is causaal. In onze théorie treedt door konstrulctie geen Schott energie op: er zijn dus geen Schott energie paradoxen mogelijk. De banen stemmen naar ons weten

P recies overeen met de eksperimenten. De niet - relativist ische limiet, is

Galilee-invariant indien men de transformatie^et geeft voor de olektrische velden. Dit wordt in de relativistische limiet (v/c pü 1) dan een neo-relativ.is

tische •fcl.eorie ( een théorie voor grote snelheden) waarin met, een. "absolute tijd" en"absolute waarnemers" een formulatie die in een zekere zin Galilee-

HooCdstuk II

1 Energie-bilan

Wij gaan in dit hoofdstuk een niet-historische maar pedagogische afleiding opstellen van de Lorentz-Dirac vergelijking geldend voor de puntlading.

Wij beschouwen eerst een linéaire beweging. lïet element van uitwendige arbeid is

(

2

.

1

.

1

)

Het is de"input" . Het is de energie die aan het systeem geleverd wordt. De

vraag is dan wat is de "output"? Welke energie geeft het systeem terug?

---^

elekt ron

systeem ---^

In feite aanvaarden Lorentz en Dirac dat

d5 = input= output (2-1.2)

De I utput bestaat bij hen uit drie verschillende energies.

a) het element van kinetische energie

- fYAasj (2.1.3)

b) het element van uitgestraalde energie ( de energie die onder de vorm van straling het elektron verlaat en naar oneindi"; gaat ) .‘

tivl - cU:

a^<A 3

8

c) het element van omkeerbare veldenergie (Schott energie) in de onmidde— lijke omgeving van de lading ( deze energie wordt niet waargenomen).

d-E =

-G Ja, ûtt (2.1.5)

•L

liï—et dt

(

2

.

1

.

6

)

Het behoud van de energie geeft

=o\E

GV-aS. ScA^y.o'X (2.1.7)

F V

ÔJz

0

^

^ ^ « Vd

— _?lE_ CLXj dfc _ _E^_0.àfc fn •] Q \

Na vereenvoudiging van vdt behoudt; nen

'W\ O.

2. b’

(2.1.9)

Voor een linéaire beweging heeft men dus identisch de vektoriële relatie

-9 <\Y\Qu ^ AJUut, \jO -t 3C> O/ (2.1. lo )

Het is welgekend dat het niet mogelijk is uit één behoudstheorema een unieke beweging; af te leiden. Daarom zullen wij aanvaarden dat de bewegingsvergelij âng voor linéaire bewegingen ook geldig is voor drie-dimensionele bev-zegingen

Aanvaardt men dat de uitwendige kracht (puntlading) gegeven wordt door

—J ‘>>3 - T? , 'TÎ aaa.'î

V-

-et

O

heeft raen als beu’egingsvergeli jkin^ van een goladen deeltje in het uitwendig elektrisdie veld on magnetische veld

-4 -uXt

- «/t

e

O

V X

i?

•r Itu ô.

3>c.^

(2.1.12:)

Dit is de niet-relati-.’istische of linéaire be\vegingsvergeli jking van:

Lorentz-Dirac. Deze vergelijking kan bekomen worden als linéaire limiet van

de Sommerfeld en Prigogine elektrodynaniika voor (2(r) = S (r) waar S (7) de Dirac delta funktie is.

Wij bestuderen nu de vrije puntlading.

±1. O- <Yr\X C».

(2.1. 13 )

Dit impliceert

a - s'SL _{(2.1. 14)}

De wiskundige oplossing van deze differentiaal vergelijking is

2. -i. Èt (2.1. 15)

Dit betekent dat een vrije puntlading met een gegeven beginversnolling

steeds maar versnelt zonder verder toedoen van uitwendige krachten. Het systeem ^^’ordt daarom instabiel gerioer.ici.

De totale waargenomen energip.( er is geen behoud van de waargenomen energies .)

à t

J

.

+

_(2.1.16)

lo

2) Verkrachting van het causaliteitsprincipe.

In c’e vorige paragra;’.'; hebbem wij gezien hoe voor een gegeven beginKaarcle vam de versnelling het systeem instabiel is, nu zullen wij onderzoeken hoe deze beginwaarde wordt aangeslagen door een uitwendig inpuls.

Wij bestuderen

Ce Lt 'j ~ VC SCt ') -V '3'^ eu

(2.,'2.1)

We nemen- nu de Laplace getransformeerde van deze vergelijking. Als bplossing

voor de negatieve tijden stelt. men

a(t)=o indien t 4 o

(

2

.

2

.'

2

)

Wij bekoinen

ûLlt) - Ç\ - K \ Sb

ca

^ ^

(2.'2.;3)

^ O

Waaruit de oplossing voor de positieve tijden

R

^ ^ ^ ~ ^

(2.'2.'4)

We vinden dus als oplossing voordien beschouwde niet-gedempte exponentiels wet.Nadat de kracht verdv.^enen is blijft het systeem versnelien. Deze oplossing kon nier aanvaard worden, daarom heeft men inplaats van de théorie grondig

te vrijzigen beroep gedaan op de verkrachting van het causaliteitsprincipe.' Men zegt dat de oplossing x(t) te schrijven is als

b

We neinen nu de integratie konstanten vooropgesteld door P.’A.M. Dirac

O

II

.X

voo r t = - OO , dit impliceert

O

II

X

voor t=o , det impliceert

Zo wordt de oplossing vooropgesteld door P. Dirac zelf

M X =

- K

Moci't

C 4 0

't >

en na afleiding

h

■Si

^ OQO't b 4 O Z O ^ oo*v D ~7 0

{‘2.2,'6)

[Z , 2.7)

Men ziet zeer goed op de oplossing voorgesteld door P. A. M. Dirac dat inen de ' I

causaliteit, v.erkracht , het deeltje versnelt voor de kracht inv-jerki ( voor

t=o) en niet meer daarna!! Dit is in feite onmogelijk. We beschour.Ten nu een energie-bilan.'

r.’.e-.' vindt dat

— OO d E 'fe-V\A -t V — OQ

(

2

.

2

/

8

)

Dit betekent dat de "verbeterde" oplossing aan een totaal energie bilan

voldoet voor het\>jelk er geen Schott energie meer optreedt.Na verkrachting van het causaliteitsprincipe heeft men dus "globaal" geen Schott energie

meer.in de Lorentz-Dirac théorie,,.

Dit doet er aan denken dat het goede "infinitésimale " energ:'..e—bilan zou

à.X, X

à £ -t à.\û _(2.2.9)

We zullen nu een voorbeeld geven dat er op duidt dat er in faite ook geen Schott energie zou mogen optreden 0oor in detail het constajite homogène magnetische veld te beschouwen ) vüor het constante magnetische veld

5) Hgt constante homogène magnetische veld.

Hier is de bewegingsvergelijking dan

-=»

o-^ - t T

■i. V )( H Jj. et

'YrvC 3nvi 0^ (2.3.'1)

Dit is équivalent met het stelsel

a

V.O ti

(X

\J

(2

.

3.2

)

Daar we een deeltje beschouwen dat met een konstante snelheid yolgens de x-as wordt geworpen in het constante veld, is de oplossing van het

systeem équivalent met

-■\J IV ) cL\:

(2

• 5 . 5 ) De oploseing is (

2

.3 .‘6 ) (

2

•

3.6

)

Ilet is een soort spiraal die divergeert en van het middelpunt weggaat naar

oneindig; positie,snelheid eni versnelling gaan naar oneindig. Op.dit voor-

beeld ziet inen duidelijk dat de waargenomen energies zeker weer niet be-

houden blijven en dat de tbeoretische baan weer niet overeenstemt met de eksperimentele. Om hieraan te verhelpen heeft G.'Plass een oplossing van het type (met o )

- cVt

\J _ \J Loo '2. t <0 V (2-3.7) (2 -'3-’8) voorgesteld.' G.Plass vindt (2-3.9) (2-3.10)

I-l

vooropgesteld door G.Plass voor de Lorentz-Dirac vergelijking. Men heeft v (o)=v , v {p)=o en voor de positieve tijden

X O y

(2 .'2

\jJ , IV'\ - \ a.v'cM^ tXk' ~ ■5, A£±iÉl‘^o 1'' - iü(Vx-UVl

J ^

_y ■

«>

—J

₍

2

. •

De initiale energie is de kinetische energie

E

--1

-

(2 . V

Wilt men dat

E

= £, ,V0 'U ^ X

•kw\ ^VVl ■'iXA.Ckl

(

2

/;

Dan heeft men de Schott energie van de "goede oplossing"

t = ^

(2

p

:

Men kan zich nu afvragen welke de waarde van deze energies zal zijn na lange tijden, cktyy 1 .

tu™

W

pM =

5Uvw

t

t

2,

- l.X^

X

2,

(

2

.-;2.x

;P12)

i .'lô )

> .14 )

5.15)

5 .^6)

3.a?)

3.318)

oi

2. o4 =

( 2.

. 19)

Eerst en vooral merken w±j op dat voor aile eksperimentele magnetische velden ( de lage frekwenties 4^ heeft dat

«4

( 2.5.2O

En dat men in aile praktische gevallen mag schrijven dat

c .

-V

W kt \

J_ "tvM ( 2. 5.21)

En na langô ti jden

fVfWl^ ^ L-mva ^

t ^ CXi ok _{( .2. 5.22 )}

Voor de voorgestelde en aanvaarde "goede oplossing" ( die de eksperirrientele oplossing^ is) treedt er dus (praktisch) weer geen Schott energie op! ! !

En voor de eksperimentele magnetische velden mag men dus als ogenbüikkeli jke différéntiële relatie (in feite) schrijven dat

A'Èh]- 0

Atvoi (2.5.23)

In sterke velden daarentegen ($jAo3~1, dit is geval voor de hoge frekwenties) is de Schott energie niet te verwaarlozen en negatief. Volgens de théorie

16

Iloofdstuk III)

1) De vergelijking van Sommerfeld.

In de Sommerfeld théorie verondex'Stelt men dat er uitwendige velden zijn gUitw lading een vaste sferische vorni heeft. rûen aanvaardt ook dat de ladingsdichtheid 0(^,t) velden schept en dat deze mikroskopische

, ^ m^rnik ;?mik , ^ ^ .

velden E en H kunnen berekend worden met de ve rgeli jkn.ngen van Ma;':well. Meer nog, de totale bewegingsvergelijking zou dan gegeven worden door de

mechanische kracht ) SeUjk te stellen aan de totale Lorentz-kracht.

-tôt

^ -V Sl X V\ _(ô.'l.'l)

E = t -V

1.L.E cv;«

(5.il.2)

V\ -r -1. W ^

^

(3.1.‘5

De vergeli jkiiigen van Maxwell zijn welgekend

- O

'3.'1.4) (3.1.5)

Ixt --

_{^ dit}

5.'1.6 )

ViW --

_{c c} (3.1.7)

Waar men heeft dat V -V^ de stroomdichtheid is.

c|)

-c

(3.1.8) men stelt

-nar

H > V K R (3.1.9) E - - i 'i R - (b

c -Dt

'

( 3.1. lo )

Daaruit kunnen de golfvergelijkingen voor de potentialen afgeleid worden

^ R _

11

^ ^

c

(3.1.11)

- Vl\

_{(3.1. 12 )}

Lost men deze golf vergeli jkingen op en substitueert men  en in de Lorentz-kracht bekomt men als linéaire bijdragen

1 1 *? •Vfu'l _{U e}

1

-lo

l.TiC''

c)(l

tL

6

\M ? ^ X 0 waa r Men noemt i ^

- 11

V

)

«1

1 v^

.2-cAkv \V (5.1.13) (3.1.14 ) (5.1.15) (3.1.16 )

een massa renormalisatie , m

IS

Zo be.komt men als linéaire benadering in de Sommerfeld théorie;

>y\~Si \ ^\üi ~ z-t. -ç. fc X Vi

he

3 ÏT c,^

t oO

Co^ d[^

b-'

^

(5.1.17)

2) Causaliteit en stabiliteit van de oplossing.

Voor een vrij deeltje gekénmerkt door een grote klasse funkties kan men

gemakkelijk bei%’ijzen dat de enige analytische oplossing van de bewegings-

/ergolijking gegeven wordt door

Zz[k) =

O (5.2.1)

indien men voor positieve mechanische massas een limiet voorwaarde eist van

het type

JLuvvx O. IV - O

t -X ~ CO ( .j , 2 , '2 )

Wij nemen de ladingsverdeling

— , \ à V. i ’t

(3 .^2 .'3 )

De bewegingsvergelijking voor een vrij deeltje is dan

alvj c

t

.c \ , ,,

1 0 J 0 J <

Wij zoeken een analytische oplossing

(3.2.4)

-^ ■■ O i T\ f\v\ A •'i!. •. 0 ~l~ ^~) jr Cl

C

Ç] I (Ô.2 } ’.v' a a r . K \ ia, l, \ A<

^ J, J„

( 3.2 . s )

Door de coefficiënten van de gelijke machten van t gelijlc te stellen bekorat men

,Cl.

1

...

V.

R ■

^

Jve 3.2.9

Men kan gemakkeli jk bevjijzen dat voor 1o

ûv = v-^ —---^ ilA -

MlV-^

^ ci tJio Z r^V _I (5.2.lo ) Waaruit (3.2.11)

De limiet Voorwaarde eist dan dat a = a(t) = c .

Dit leidt ertoe een kausa.liteitsprincipe te forrauleren ; de versnelling van een vrij deeltje is nul zolang geen enkele uiti-jendige kracht hierop in-geavrerkt heeft.Dâ.t wil zeggen

a(t) = O voor t / t indien O

"iuitw

F =o voot t <, t .

schri^vor-2o '-O 1 ^ v\ O ^ ^___ [ dJc i O- J O OQ. V - Vl \ IX V J (3.2.13)

Men ziet zeer goed op deze uitdrukking dat de versnelling op het ogenblik

t enkel afhangt van de krachten op dat ogenblik en de versnelling gedurende het verleden.

We nemen uitwendige krachten die zeer zacht aangestoken Vv’orden

op het beginti jdstip. Wj.j voeren nu Laplace transformaties in

VW)

Ji

l\:^ (3.2.14)

Zo ^^ordt de bewegingsvergeli jking ( voor linéaire elektrische velden)

(5.2.15)

waar de overdrachtsfunktie H(p) gegeven wordt door

H Ik)

[

'\ +

iv. c

_{V"' +}

Wij voeren nu een paar nieuwe notaties in

Dit geeft in het bovenste <T half-vlalc ( o ) •t _■ -i-CU V- iC'T'i } -'1 \ ± h. 2Uto

3

\"

- OO X - ^ X (5.2. i;

Deze funlctie heeft een snijding op de reêle as veroorzaalct door een Gauchy integraal. In het onderste half-vlak heeft men als analytische

verlenging die we gaan gebruilcen in de omgekeerde Laplace t rans f ormatie

c 'd'"

Uc ) = V —

h

X -(5.2.19 )

Indien de enige singulariteitc - Va:o H nu polen zijn heeft men als oplossing voor de positieve tijden ( t^o) j xi'i Hr ' z,

Daar H‘ gedefinieerd v-iordt door een Gauchy integraal heeft het geen pool

in het bovensteQ~half-vlak en zo wordt het aantal nullen van ^ gegeven

door (2 ’û ) ^ keer de variatie van het argument van Relî"'^ ^ +ilml-l''^ ^ ïijanneer C op de re^o as = o"^ ) loopt van - oc tôt + oa ( het punt

+ oû wordt aan het punt verbonden door een half-cirkel op oneindig).

In het algemeen mag men schrijven

-

- _

j

L^ \ .. .

«,>-

I

( 5 .-2 .Go ) ko / ko , ô W VA O G i, • ‘

is een gesloten kurve en snijdt de reëej.e as en per hypothèse rangschikken we '~'i ^

A-De hodograaf Reli'*' ^ +iImH^ ^ in de ounten ^ = 0 <T . <T', r -i- .

O ' 1 ct<, ^ - TT ^

+ — 1 °

In deze punten is Imll nul voor de lading van Sommerfeld.

De waarde van ReH^ ^ ( -ic<Tj^ ) is -D. ^ en men bewi jst gemakkeli jk dat oo

2 2

Jl-

_oq

or<\ (5. 2

.

22

)

ûoor induktie bexvijst meii dan gemakkeli jk in het algemeen geval door beroep te doen op de techniek van de hodografen dat de nodige en voldoende voor- waarde opdat een uitgebreid deeltje stabiel zou zijn is dat

m > O

Hoofd.stuk IV.

1.) Opstelling van de vergelijking van Prigogine-Henin.

Zoals voor de Sommerfeld théorie kunnen de potentialen geschreven worden die overeenstemmen met het elektrische en magnetische veld van een punt- lading.

nv\

'Hti

O

(4.1.1)

v'aar de stroomdichtheid Y gegeven wordt door

V

^ - oc e

3

4

(4.1.2)

Hieruit volgt dat de potentialen van de puntlading kunnen geschreven

orden als

' /> \

_ _ _ki (des'

^ \ w

~ s' ]

IJ

hïï

M

a

>-

r

^

'

rv»

(4.a.^5 )

De velden worden dan gegeven door

F

(4.1.4)

Men kan bewijzen dat F kan geschre/en x^^orden als ,ev

0 e. iT\“

(4 .'1.'5

24

Zij aanvaarden bovendien dat de Lorentz-kracht geldig blijft tôt op de puntsingulariteit , de bewegingsvergelijking is dus

( relativistiîT cl’ie vgl. ) me " w = eF u + eF u (4.1.6)

Nu komt de essentiè'le stap in de redejiering van Prigogine-Henin. Zij voeren een "relativii:tiscbe cut-of^' in, dit wil zeggen dat zij de divergenties in

de integralen zullen elimineren door een relativistisc’ne funktie op een (' 4

bepaalde plaats onder het integraal teken ]d k te plaatsen; de cut-off g

wordt zodanig ingevoerd dat F gesrlitst zal worden inu een massarenormalisatie en een eindige term.

Men Stelt

V.

I Ai

}

Uk> "t- 1 'l

(A.'l.'S)

^ u -V Ul,^

Nu kan, na twee partiële integraties naar s', F gesplitst worden in |0^'> Fmik |i-V F ' fxV + F’ '

Men heeft dat

F»’u= -*■ — ( ) UD-i.'fe- 0^, - c\ )

1

2_ Tj ^ n, jJ-V 0 SLi’- I ^ A _—> Va'_{T H} ^ U3 — C. W / —it___i_______Ÿ.___

- ^ r V

, I -V

_{^ ^ f t *}

_^

-V---De relativdLîtische bewegingsvergelijking zelf is dus

(4.1. lo)

^^^\ uJ ^ -V c. V" ,, , V .+ V i" U.

V- jx\> )> (4.1.11)

Indien men zich beperkt tôt de nlet-relativistische benadering ( V / c 4< 1 )

behoudt men als niet-relativistische bewegingsvergelijking t /CO

iWV^U.

V u5

4-t -V 4 X.

H

^ i

î. t'NW

d-cit'

ci\l Co^'l «i-Li-'J

(4.>1.^2 *- 03 ^

De Struktuur9(r) is gedefinieerd door

■? i- cd V

' ^ I

I

(4.a.43)

In feite heeft men geen "uitgebreide " struktuur maar een puntlading met een "bovengrens" op de integralen van de frekwenties.'

2) Mogelijke instabiliteiten van de linéaire vergelijking.

Het "voordeel " van de Prigogine théorie is dat ze relativiitisch is en de Sommerfeld théorie is het niet; maar wij hebben bewezen dat de Sommerfeld théorie stabiel is voor positieve mechanische massa's ( m^j> o ) ; dit bewijs kan niet veralgemeend wordén voor de Prigogine théorie tmdat de

2

cut-off lineair optreedt' Het is de f, die de Sommerfeld théorie stabiel

2 6

maalct.Voor de Prigogine-IIenin théorie zijn bijvoorbeeld voor cut-ofr funkties met één nulpunt

g ( 1, X 1 = ( 1 - ) h ( 1, X ) _(4.'2.1)

hodografen mogelijk van het type

Waar

-iv

_oO

₃

(4.2/2 )

en

-

1

d K

(4.i2.3)

Hiermee stemmen ins t abi li t eit e n overeen indien il <6 d

Dit is ook waar voor de oscillator (positionele kracht)

-A_ > O ..

OO'

V vi K iv^

'

'-i ^ (xk! jdil. ^ 'c-o , k ^ to^ OR. Vt - c' ') X

it c’- Jo i

Kiest men bijvoorbeeld de cut-off

(4.^2.4)

(4.‘2.3)

Na intégrât:'.O op k v;ordt de bewegingsvergeli jking

A t

3

3

- -k )

'1 -\z ) Z. X l\: \ _]

Door Laplace tirans f ormaties in te voeren en de determinanten van Routh-

Hurwitz te onderzoeken kan gemakkelijk aangr>tLOond worden dat deze vergelijking instabiel is. In de Soinmerfeld théorie zou vooi' dezelfde struktuur f

k de beweging stabiel zijn.

3 Verkrachting van het energiebeh-^v^Ld

Zowel in het Prigogine-Henin , als Sominer Celd , Markof f ,Bohin-Weinstein en Shih—Erber programma heeft men wezenlijk een verkrachting van het energie-

behoud.h/ij zullen dit aantonen op een voorbeeld. Wij nemen bijvoorbeeldde ladingsverdeling

0

= ^

) ^ (4.3.'l)

waa r

e =

'O-

(4.^5.'2)

Wij onderzoeken het probleem van het konstante magnetische veld; de beîjegings- vergelijking is dan voor de Prigogine théorie

<w.û- - _O i H

2 ïï c"

Lo^ eiLt û_ t )

Jû J

t"!: X- 'c> (4.3.5

Om deze integro-differentiaal vergelijking op te lossen stelt men

(4.^3.4)

Aldus bekomt men

■L t, ( I

( fi y. u^Oa.iV-'r' \

31\'X\aC -'o J 0 ^ (4.3 .'5 )

2S

U

oL - -Ar- s (4/3 . G )

iVien stelt dat

\)IU\ 3 (4.3.7) en dat - M Voût, U) =r s/A f\AC 44- '^, (4.5.8)

Voor de gekozen struktuur heeft men

(4.3.9)

Men bekomt dan als waarde van V(p)

■=

(3 vV )

_(4.O•lo)

Waar

(4.5.ai)

(4.^3.a2)

Wij merken op dat voor deze struktuur de nodige en voldoende Voorwaarue oiTi een stabiel deeltje te bekomen m^'^ -1/ 2m \s .

cA. ^ - V

Oan heeft men

M,

C. ^ U3V\jo -V

En voor positieve tijden heeft men ( door omgekeerde Laplace

:l

N/v _{T 'i.} ^

"'f. ' -'io^V '

___ V. l->oCi --- V A-^*" A- e>"

Nu tnerken wij op dat voor de gekozen benadering ( voce O^ ) «Teze zich herleidt tôt

X ■

Vl^ €^'p

-Dit is ongeveer de eksperimentele waarde.

Nu kan men het energie-bilan konstrueren: men heeft terug dat

Ç_ - o<Vv _

î_

A_

.

T-l

^ ^-zA oiik

-- - i V n ( d • ô . .10 ) (4 . O . 14 ) t ra ï‘is f O rmatie ) (4.3.15 ) (-,.3.16) oplossing (4.3.17) (4.3.'18) (4.5.19) (4.3.20)

5o

E -V MJ ( 4.5 . 1 )

-fc. w\ n.<b. 2

-Men heeft dus het behoud van de energie voor de lage frekwenties ( ). Bovendien ziet men dat er geen Schott energie optreedt! Aile kinetische

energie wordt (praktisch) omgevormd in stralingsenergie en men heeft dat

■A_/Vvv\ ^ — O

(4.3.f^r:)

en

« ■ w!

-^\rw\ “ t-.OQ ^

(4 13 .'2 5 )

Bovendien mag men schri jven ( voor dat zoals het moet

(4.'3 .-24 )

Nu gaan we aantonen dat dit niet algemeen waar is maar dat de Prigcgine-

Henin théorie implicoert dat de Schott energie ( ^3chott^ ©en willekeurig bedrag is voor een deeltje in rusb of in réchtlijnige bewegingen zonder

versnelling! ! !

Wi j kiezen terug de struktuur

V»

(4.3 12 5)

Bovendien neemt men bijvoorbeeld

m =o

Dan heeft inen voor linéaire bewegingen

o.K.'.) -- ^.^.-1 Elv^)

^

(.V

(4.3 .f;7 )

Waar eEE (d) de Laplace ge t r ans f o rmeer de is van het uitwendige elektrische

veld ( eEf ( t) ).

We kiezen als uitwendige kracht

- ORût

w\ t -C O

I

t P O . (4,3 12S )

0 heeft de diraensies van een tijd.Wij inerken op dat de uitwendige kracht vlug" verandert t,en opzichte van de Lorentz-tijd "g ^ ( men is in het ge'aied van de hoge frekwenties). Wij tonen nu aan dat het energie-bilan aanzienlijk

verkracht wordtJ ! !

iMen bekonit onmiddeli jk voor de positieve tijden als enige eksakte oplossing

— _ 'bOïut aiv\ = ^ ^ 9lJ^ tfeo

\)

-402^ V ^ ^ -

^

(4.3.29) (4.3 .'3o )

Men heeft v(o)=o.

Men heeft als niaximuin snelheid

fvï\ oy

9

(4.3.51)

Wij merken nu op dat het raogelijk is de parameters waarover men volledig

32.

•Vv\OLt (4.^3 .'132)

Men kan er dus zeker van zijn dat de niet-relativistische limiet zin heeft,!

Wij interesseren ons nu aan de limiet van de energies voor de lange tijden

( ckob»t):

b «O

b OO

V

= î)

(4j3 .^34)

V —

fc «O

vlU\ dLk

( 4.13 .'3 5)

(4.13 .’3 6)

en men heeft dat

ocCt ] - O .

t^oo

(4.^3.137)

Br wordt algemeen aanvaard dat de Scott-energie van een deeltje zonder

versnelling nul is. Men zou dus moeten hebben

K -b 'B) = d,

_(4.13.38)

want de energie die aan een deeltje gegeven wordt moét teruggevonden

worden onder de vorm van straling en kinetische energie zodra een deeltje

niet langer versnelC.^ Wij zien dus goed op een voorbeeld dat dit niet het

geval is in het Prigogine-Henin schéma, in het algemeen heeft men geen

behoud maar schepping van energie

K !> >>

En algovaeen is er schepping van energie voor de meeste elektrische velden of in net algemeen gev.'al van het magnetische' veld ( hoge f rek,:jenties ) ! ! ! Dit is ook zo voor het Sommerfeld schéma! ! !

Nu zijn er tT?ee mogelijke hypothesen

1) ofwel is er werkelijk"schepping" van energie mogelijk

( dit zou de filosofen en de industriëlen geweldige nieuwe uitwegen

bieden ... het zou voor de mensheid niet. siéent zijn moest dit war.r

zijn: de arbeid zou kunnen uitgeschakeld worden...)

2) üfwel is het Prigogine en Sommerfeld programma vais (dit is onze

bescheiden mening ).

Wij hebben daarom in hetgeen voljt de basis gelegd van; een nieuwe elektro-

dynamika waar het behoud van de energie r. priori wordt gegeven en de

Hoofdstuk V

Basis voor een neo-relativiteit 1) Hét begrip "absolute tijd"

De tijd wordt beschouwd als een parameter die in ieder punt de volgorde van de evenementen in dat punt geeft. De tijd wordt gemeten snet een apparaat ,^7aarvan de oorzaak van de beweging dezelfde blijft.In ieder punt plaatst ;rien eenzelfde apparaa:;.'

Men zegt dat men zodoende een absolute tijd heeft gekonstrueerd en gede^ini- eerdover gans de euklidische ruimte.

2 ) Het begrip "absol;u^e j^^aarneniing" .

Wij beschouwen ©n eveneme;:t in een punt. De "absolute v,:aarneming " van dat

evenement is de waarneming die plaats grijpt door de waarnenieï X in dat punt; Hij bepaalt de "absolute tijd" van dat evenement en de l'.oo rdinaten ; zo

bekomt men vier geordende getallen ( t, , x,^ , x^ ) die dat?'evenement loknli- seren in de tijd en in de ruimte. Een ander r^Taarnemer X’ wordt op een

absolute wijze op de hoogte gebracllt van de waarneming van X door zicl\ bij

X te informeren. De " supe r-waarnemer" is de X’jaarnemer die zich bij aile

waarnemers gaat informeren over hun stel getallen ( t, x , x^, x ) nadat een

geladen punt een bepaalde baan heeft beschreven; men zegt dat de " super-

^.jaarnemer " zodoende een "absolute vsjaarnem.v.ng" kan bepalen van de baan van

een geladen punt. De 'àbsolutr- aarneming" is dus verschillend van de gebruike

lijke relativistische T.Taarnening met lichtsignalen.'

3 ) Relativittisch impuls.

VJij aanvaarden dat een deelt je hoogstens met lichtsnelheid c kan bewegen ten opzichte van een gegeven assenstelsel. Daarom schrijv'r^n wij bijvoorbeeld

Het element van kinetische energie die hieraan geassocieerd kan worden is

fit M cL

VA _{- r}

( 5.‘3.'2 )

en niet de kinetische energie

à £ ~ ^ At (5.3.3)

van de mechanika van Newton.

4} Relativistische straling

Versnelt of vertraagt een deeltje dan wordt een positieve bijdrage energie uitgestraald. Wij kiezen als positieve funktie van de ve rs.ne llio.g a

v CL

-t» ^

VM. a ^

)

Is v/c 3. heeft nien als nie t - re la t i viit is che benadering:

(5.4.1)

36

Hoofdstuk VI)

J) Basis voor een nieuwe e lekt ro dynamika

Zoals in de Lorentz-Dirac théorie zullen wij de bewegingsvergeii jking af- leiden uit een energie-bilan.Daar we gezien hebben dat de Schott energie tôt paradoxen leidt en dat aile pogingen om "goede oplossingen" te bekomen

in fêite de Schott ener^e uitschakelen en dat de eksperimentele banen in feite overeenstemmen met variatie in Schott energie

Schott

(

6

.

1

.

1

. )

zullen wij de hypothèse maken dat er nooit een variatie in Schott energie is , en het behoud van de energie ^^ordt dan

input= output

(

6

.

1

.

2

)

en dus tÆ - 6lt. , , (i _(6.1.3) of

Ok d-t

ôk

(6.1.4

We beschouwen een re : htlijnige beweging, men heeft dan

\- vJ ^ \J ^

<j

t V

A -

_0"

'L

et

(6.1.5)

ci

e-Kaar analogie met de Lorentz-Dirac vergelijking zullen w:.j aannemen dat deze vergelijleing algemeen geldend is.

Men heeft dus

(X

e-''Z

(6.1v6)

et ^ (6.1.7)

l] \

e-Dit is voor een "super-waarnemer" een “ re la t i vdi-t i s che vergeli-jking'' met een n

absolute tijd. Dit betekent dat wij een vergelijking hebben voor hoge

snelheden zonder beroep te doen op de optische " relatieve tijd" gedefini- eerd door Lorentz en Eit'Stein.' In de niet-relativistische limiet heeft men

H ^ ' t

. AjkAX'^ _ îyt --v

S V >cv.v

O

♦

va

(X,

zJ'c. -V

‘L ^ xi

1?, (X

1 \J

(6.a

.

8

)

2) Bespreking van de kausaliteit en de stabilitoit van een vrij deoltje

De bewegingsvergeli jkii: g van een vrij deeltje is

WlCX.'J - _ (YA’S^^ <X

(

6

.

2

.

1

)

Deze vergelijking kan gesplitst worden in twee verschillende vergelijkingen

die in de grond met twee verschillende situa'cies ove reenstemmen

•=o-Vo)=^o (6.2.")

38

Voor het tweede soort beweging heeft men

(6.2.5)

Dit wil zeggen ( daar S zeer "klein" is ) dat het deeltj)e fantastisch snel vertraagt op het beginti jds.tip t=o. De oplossing is

(

6

.

2

.

6

)

-

C(-<x,v,v\ - a.'p) ijx

- 'Ji?\ e. _(6.2.7)

Heb deeltje is stabiel, voor een gegeven beginversnelling gaat de versnellin;

naar nulîDe oplossing is causaal, dit wil zeggen dat het etfect volgt op de oo rzaak.

3) Konstant elektrisch veld met mikroskopische aanslagtijd.

We beschouwen een uitwendig elektrisch veld met mikrosllopische aanshgtijd

(Ô.ï.i)

(

6

.

3

.

2

)

Men heeft praktisch voor 'Ï5'»l

(6.3.3)

De oplossing is

'Y<\

t

Deze oplossing is aanvaardbaar. De baan r(t) = v(t)dt stemt overeen met de

JO

eksperimenten en er is geen Schott energie te bespeuren!

4 ) liet konstante elektrische veld.

De bewegingsvergelijking is

(VWO, ^ îÆ.

t

V (Ô.4.1) O f

■L

CX4 _ ^y'c. \) -Y '5et/ - 0 (6.4.2)

Om de eksakte oplossing van deze niet-lineaire vergelijking te bepalen gebrui

ken wij een algemene methode ; vjij zoeken een analytische oplossing

. X

t

itV) = ^ v) ^

CLVPi

-i

1. 5'. U . -i . .1

^

L.'"'

2_ k f>)

Om deze analytische oplossing te bekomen volstaat het al de beginvoo rc. e n

te kennen. Daarom zullen wij de bewegingsvergeli jking n keer arleiden '■<'

I

w

40

Daar de bewegingsvergeli jlcing voldaan is op ieder ogenblik is dit oolc het geval op het begintijdstip , dus heeft men

a - -rü^cuv?) -o

* Q ^YA (6.4.4)

Door de bewegingsvergeli jlcing een eerste keer af te leiden bekomt men op

het begintijdstip

-V CL'C'' 'Ji-') il -V _(6.4.5)

De tweede afgeleide van de bewegingsvergeli jlcing geeft op het beginti jdstip

Æ o^voN V- ^ 2=0 (6.4.6)

CS>A

Dit wordt genrr.kkeli jk veraIgemsend

1 A- -V ’ô-'iowo') - — C i CMi.v ^ O (6.4.7)

«"VA,

Deze differentiaal vergelijking ( bewegingsvergelijking ) heeft een unieke

oplossing voor de beginvooru’aarden Ç\ ^ - 3, cup') -V cx'vp'ï

V ( O ) =a(o)=o (6.4.8)

Dit wil zeggen dat de andere beginvoorwaarden dan op een unieke wijze

En nien heei:t dan

- ^ Vfa

AA v.i')' - • • ■ ] (6.4.11)

Deze reeks kan gemakkelijk gebruikt worden tôt de basistijd t= i ûaarna kunnen Taylo r-roeks ontwikkelingen rond de punten t = i.'^,. , t= ^ y gebruikt

w orden. Voor korte tijden heeft men ( ^-z ^ i

0,S ^ "r 0|05t - o, oC, ^ o,oot5'^> •••J (Ô.4.12)

Er is terug geen enkel spoor van Schott energie te ontwaren en de oplossing

is aanvaardbaar.Men ziet dat de limiet terug gegeven wordt door

O. ^

<\A (6.4.15)

en dit is voor iedereen de aangenomen eksperimentele oplossing voor de lange

tijden. Daarmee is het akaderaiscii:■ probleem van het zuivere konstante

elektrische veld opgelost.

5 ) liet konstante niagnetische veld

De bewegingsvergeli jking voor een geladen dseltje in een konsta.nt -magnetisch

veld is in eerste benadering

<>y\Z - 1 M X 'A O

t J-

Î.Î. ■=>

(6.5.1)

Deze vektor relatie is équivalent met het systeem

_ uo 4 _-t — O

(L.

\J O

We eisen dat de oplossing van dit systeem aan drie voorwaarden voldoet

( 6.5.5)

a ) V ( O ) = V

X ' ' O

V (o) = O

y

Dit betekent dat ver het geladen deeltje op het beginti jdstip t=o snet een

snelheid volgens de x—as in het konstante magnetische veld werpen.

b) mav + m'5 „ a^ =o (

dit

Is

in feite een

gevolg van 6.5.2 ) (6.5.4)

Dit betekent dat op ieder ogenblik de Oiiizetting van kinetische energie in

St ralingsenergie rigoreu.-, moet voldaan zijn

(6.5.-5) Dit betekent dat indien we de lir.iiet nemen voor de stralingsenergie gaande naar nul we de welgekende cirkelvormige beweging raoeten terugvinden.

Wij proberen een oplossing van het type ( wij kunnen bewijzen dat de oplossing van dit type' moet zijn)

c) lim vfc)=v ( cosrot 1 — sinvot 1 )

\l

'J

O

- — dli.

(6.5.6)

De enige oplossing die aan de extra voorwaarden a)b ;e) voldoet wordt bepaald door

\i

(6. 5.-7j

'K

-'''0 \/ V^_

31;;''

t

Dus bekonit nien de eksakte fysische oplossing van het niet-lineair systee-m. Deze oplossing Iclopt met aile ekspe rimenten en v;i j trekken er weer e:. ns de aandacit op dat er nergens het minste spoor van Schott energie is te ontvjaren

■N'vxOvV 'V^'(5^_£C'=o (6.6.1)

ûeze vergelijking kan gesi^et worden in twee vergelijkingen die met twee

v.erschilj ende soorten b.eginvooru’aarden overeenstemmen

a)a(t)=o (6.6,2)

Dit stemt overeen met

a(o)=o (6.6.3)

Dit deeltje ( in deze situatie ) straalt niet.

b) mv(t) m ■g ( t ) =o (6.6.4)

Dit stemt overeen met

a ( O ) = - V (o ) / G ,(6.6,5)

Deoplossingis

a(t)=a(o) exp -X j ^ (6. 6. 6)

Een deeltje met deze beginvoorwanrden straalt dus ongeveer gedurende 5^.

Laten we één ogenblik veronderstellen dat een deeltje zonder versnelling

beweegt in een eerste Galilée stelsel 1 ten opzichte van een tweede stelsel 2.

a(t) = aj^(t) = ag(t) = a(o) = o

v(t) = v^(t) =v^(o)

[n het tweede GaliJee stelsel verbonden aan het eerste door

(t) = v^(o) +

^eweegt het de^ltje terug zonder versnelling. Dit is één van de oplossingen /an een vrij deeltje in het tweede stelsel.Onze théorie behoudt dus in een

(6. 6.‘7)

(6.6.^8 )

zekere zin de Galilee-invariantie.De studie van de transformatie van de tweede oplosssing ( dif f erentiaal vergeli jlcing ) is meer ingewilckeld; hier heeft men initiale waarden voor snelheid en versnelling en in feite inoet men dan ook de transforraatie wetten bepalen van de uitwendige velden die deze beginvoorv?aarden aanslaan.

In een tv-jeede Galilee stelsel is de bewegingsvergelijking

ATia. ^ “-t.

. T- r

<-[^\

iù (6. 6.lo )

Een mogelijkheid is in het tvreede stelsel 2 en te met en! ! !

Een andere mogelijkheid §^en te bepalen in funktie van , ïî^, enz Dit illustreren T;ij voor een linéaire beweging in een elektrisch veld^'

In het eerste stelsel 1 heeft mon

î.

(6.Ô.11)

De oplossing van deze vergelijking is

CKj ^ Z. ^

V ^ M ^ ^ \ :: \ , t 1

(6. ü.12 )

In het tweede stelsel 2 moet men hebben

0, vt : h. lV ~)

1 -I (6.6.13 )

In eerste ( niet-relativiitische ) benadering is het elektrische veld in het tweede stelsel ^ =. C<Y\ ftv l\ ~ 'V(\ k U •L a, L\rl ^

\ L

(6.6.14)

maar men t..eet dat

ït 1> A — <Vfi t ( 0-. lVI (6.6.15)

Daaruit volgt dat

ati. _ «t -t

is niet alleen een funktie van niaar ook var: E^(t) zelflDit kan. geniakkcli 3'K veraigemeend worden voor de relativiitische ve rgeli jking. Onze théorie is dus in een zekere zin Galilee-invariant mits de "goede" transformatie wet voor de uitwendige velden, die noch de t rans f o rmatie wet van'/GaliLee is ( de

identiteit) noch de trans f ormatie wet van Lorentz voor de uitvjendigé veldeni ! ! We kunnen dus in een neo-relativistisch kader een elektrodynamika formuleren

die vc’lledig strookt met aile eksperimenten en voor hetwelk geen Schott energie nodig is.

7) Natuurlijke breedte van de spectrale lijnen

Met deze théorie kan :;;en Je natuurlijke b.reedte van de spectrale liÿien bepalen. Men vindt dat de breedte moot begrepen zijn in het interval ATh

û h 4 I c

vo

De eksperimentele waarde is lo'"A. De Lorentz-Dirac théorie geeft 4f\'î6lo

-A

A.

46

HooCdstuk VII) Besluiten.

Wij hebben in eerste benadering een nieuKe eleKtrodynamika geformuleerd die strookt met aile huidige eksperimenten. Met meest f unda:np;'*; r—’.cerip in de natuurlcunde is het behoud van de enorgie. Wil men hieraan niet verzaken moet de elekt rodynamika ndig opnieuw geformuleerd worden zodat er geen Schott energie meer kan optreden.

De Lo rentz—invariantie van de beperkte relativiteit zal inoeten terzijde

ReCerenties .

1) DiracP.A.M. Proc. Roy. Soc. A 167 , L93 8,14 8 .• R) Plass G,', Rev. iviod. Phys.' 55, (1961) 57

3) Sommerfeld A.’, Gbtt Nachr, 2 (19o4) 99 4) Somraerfeld A.', Gott Kaciir, 5 (19o4) 365

5) Aiarkoff M., J. Phys .U .S . S . R . lo (1946) 156

6) Bohm D. and Weinstein i\: Phys.Rev.74 (1948) 1789 7) ,Weinstein M.', Thesis ( Princeton üniversity , 19 55 ) 8) Erber, Th.', Fortschritte der Physik 9,1961,343

9) Shih H-C. , Thesis ( Illinois InstLtute of Technology, 1965) lo ) Cloetens VJ. J.M.., Science Mem. , (Brussels University , J.963 ) 11) Cloetens U.’J. M., Physica 5o (1964) 1453

12) Cloetens W.J.M., Simon Stevin (te verschijnen) 13) Prigogine I. , and Heninf., Physica 28 (1962) 667

14) Cloetens W.J.i'.^.’, Tijdschrift van de Vrije üniversiteit Brussel 8 no3 15) Cloetens W. J.M.', Tijdschrift- van de Vrije Üniversiteit Srussel 8 no4 16) Cloetens W.J.M., Physica (tê-verschijnen )

17) Cloetens W.J .M. , M e d e d e1in g e n van de K1a s s e der W e t e n s c h a p p e n ( te verschijnen ).