Estimation des paramètres pour des modèles adaptés aux séries de records

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Estimation des paramètres pour des modèles adaptés

aux séries de records

Anis Hoayek

To cite this version:

Délivré par UNIVERSITE de MONTPELLIER

Préparée au sein de l’école doctorale

Information, Structures, Systèmes (I2S)

Et de l’unité de recherche

Institut

Montpelliérain Alexander Grothendieck (IMAG)

Spécialité : Biostatistique

Présentée par Anis HOAYEK

Soutenue le 25/11/2016 devant le jury composé de

M. Clément DOMBRY, Professeur, Université de Franche Comté

Rapporteur

M. Joseph NGATCHOU-WANDJI, Professeur, Université de Lorraine

Rapporteur

M. Jean-Noël BACRO, Professeur, Université de Montpellier

Examinateur

Mme. Zainab ASSAGHIR, Maitre de conférences, Université Libanaise

Examinateur

M. Gilles DUCHARME, Professeur, Université de Montpellier

Directeur

M. Hassan ZEINEDDINE, Professeur, Université Libanaise

Co-Directeur

M. Zaher KHRAIBANI, Maitre de conférences, Université Libanaise

Co-Encadrant

Estimation des paramètres pour des

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▲❡$ ✈❛ δt ♣&❡♥♥❡♥* $❡✉❧❡♠❡♥* ❞❡✉① ✈❛❧❡✉&$✳ ❆✐♥$✐✱ ♣♦✉& ♠♦♥*&❡& ❧✬✐♥❞)♣❡♥✲

❈❍❆#■❚❘❊ ✷✳ ▼❖❉➮▲❊ ▲❉▼ ✷✽ ❆✈❡❝ ❝❡ ♠♦❞)❧❡✱ ❧❡ ,❛✉① ❞❡ 0❡❝♦0❞ ❡1, ✿ Pt(θ) = ˆ ft(x) t−1 Y k=1 Fk(x) ! ❞x, = ˆ f (x− θ × t) t−1 Y k=1 F (x− θ × k) ! ❞x, = ˆ f (y) t−1 Y k=1 F (y + θ× k) ! ❞y.

✷✳✶ ❘$%✉❧(❛(% ♣+$❧✐♠✐♥❛✐+❡%

❉❛♥1 ❧❡ ❝❛❞0❡ ❞✬✉♥ ♠♦❞)❧❡ ▲❉▼✱ ❇❛❧❧❡0✐♥✐ ❡, ❘❡1♥✐❝❦ ✭✶✾✽✺✮ ♠♦♥,0❡♥, A✉❡ ♣♦✉0 ✉♥ θ > 0 ❡, 1✐ E (Y+) < ∞ (y+= max (0, y))✱ ♦♥ ♣❡✉, ❞C✜♥✐0 ✉♥

,❛✉① ❞❡ 0❡❝♦0❞ ❛1②♠♣,♦,✐A✉❡ ✿ P (θ) = lim t→∞Pt(θ) . ❈❡,,❡ A✉❛♥,✐,C ❧✐♠✐,❡ P (θ) ❞♦✐,✱ ❡♥ ❣C♥C0❛❧✱ H,0❡ C✈❛❧✉C❡ ♥✉♠C0✐A✉❡♠❡♥,✱ ♠❛✐1 ✉♥❡ ❡①♣0❡11✐♦♥ ❡①♣❧✐❝✐,❡ ❡1, ❞✐1♣♦♥✐❜❧❡ ❞❛♥1 ❝❡0,❛✐♥1 ❝❛1✳ ❊①❡♠♣❧❡ ✷✳✶✳ ❙✐ ❧❡1 Yt 1✉✐✈❡♥, ✉♥❡ ❧♦✐ ❞❡ ●✉♠❜❡❧ ❞❡ ♣❛0❛♠),0❡1 ❝♦♥♥✉1✱ A✉❡ 1❛♥1 ♣❡0,❡ ❞❡ ❣C♥C0❛❧✐,C ❡, ❛✜♥ ❞❡ 1✐♠♣❧✐✜❡0 ❧❛ ♣0C1❡♥,❛,✐♦♥ ♥♦✉1 ♣0❡♥❞0♦♥1 ❝♦♠♠❡ C,❛♥, µ = 0 ✭♣❛0❛♠),0❡ ❞❡ ♣♦1✐,✐♦♥✮ ❡, β = 1 ✭♣❛0❛♠),0❡ ❞✬C❝❤❡❧❧❡✮✱ ♥♦,C❡ G (0, 1) ❞❡ 1♦0,❡ A✉❡ F (y) = exp (− exp (−y))✱ ♦♥ ❛ ❛❧♦01 ❧❛ 0❡❧❛,✐♦♥ ✿

F (y + a) = exp"−e−y−a
_,

= exp"_−e−y
e−a_,

❈❍❆#■❚❘❊ ✷✳ ▼❖❉➮▲❊ ▲❉▼ ✸✶ ❉✬❛♣&'( ❧✬❡①❡♠♣❧❡ ✷✳✶✱ ❧❡ 0❛✉① ❞❡ &❡❝♦&❞ P [δt = 1]✱ ♣♦✉& ✉♥❡ ❞✐(0&✐❜✉0✐♦♥ ❞❡

❈❍❆#■❚❘❊ ✷✳ ▼❖❉➮▲❊ ▲❉▼ ✸✸

❋✐❣✉$❡ ✷✳✶ ✕ ❊&♣()❛♥❝❡ ❞❡ NT ❞❛♥& ❧❡ ❝❛& ❞❡ ❧❛ ❧♦✐ ❞❡ ●✉♠❜❡❧ ✿ ❝❛& ✐✐❞ ✈&

♠♦❞8❧❡ ▲❉▼✳

❯=✐❧✐&❛♥= ❧✬✐♥❞(♣❡♥❞❛♥❝❡ ❞❡& ✐♥❞✐❝❛=)✐❝❡& ❞❡ )❡❝♦)❞& ♣♦✉) ❧❛ ❧♦✐ ❞❡ ●✉♠❜❡❧✱ ♥♦✉& ❝❛❧❝✉❧♦♥& ❧✬❡①♣)❡&&✐♦♥ ❞❡ ❧❛ ✈❛)✐❛♥❝❡ ❞❡ NT ✿

V [NT] = E [NT]− T X t=1  1_{− e}−θ 1_{− e}−tθ 2 .

▲❛ ❋✐❣✉)❡ ✷✳✶✱ ♠♦♥=)❡ C✉❡ ❧❛ ♠♦②❡♥♥❡ ❞✉ ♥♦♠❜)❡ ❞❡ )❡❝♦)❞& ❡&= ♣❧✉& ❣)❛♥❞❡ ❞❛♥& ❧❡ ❝❛& ❞✉ ▲❉▼ ✭✐❝✐ ❛✈❡❝ ✉♥❡ ❞✐&=)✐❜✉=✐♦♥ &♦✉&✲❥❛❝❡♥=❡ G (0, 1) ❡= ✉♥ ❞)✐❢= θ = 0.1✮ C✉❡ ❞❛♥& ❧❡ ❝❛& ✐✐❞ ❡= ❧❛ ❞✐✛()❡♥❝❡ ❛✉❣♠❡♥=❡ ❛✈❡❝ T ✳ ▲❛ ❋✐❣✉)❡ ✷✳✷✱ ❝♦♠♣❛)❡ ❧❛ ❢♦♥❝=✐♦♥ ❞❡ ♠❛&&❡ ❞❡ NT ❞❛♥& ❧❡ ❝❛& ▲❉▼✱ ❝❛❧❝✉❧(❡

&✉✐✈❛♥= ✭✷✳✷✳✷✮ ✭❞✐&=)✐❜✉=✐♦♥ &♦✉&✲❥❛❝❡♥=❡ G (0, 1) ❡= ❞✐✛()❡♥=❡& ✈❛❧❡✉)& ❞❡ θ✮ ❛✈❡❝ ❧❡ ❝❛& ✐✐❞✳ ❖♥ )❡♠❛)C✉❡ C✉❡ ❞❛♥& ❧❡ ❝❛& ▲❉▼ ❧❡ ♠♦❞❡ ❞❡ ❧❛ ❞✐&=)✐❜✉=✐♦♥ ❡&= =♦✉❥♦✉)& ♣❧✉& ❣)❛♥❞ C✉❡ ❝❡❧✉✐ ❞✉ ❝❛& ✐✐❞ ❡= ❧❛ ❞✐✛()❡♥❝❡ ❛✉❣♠❡♥=❡ ❞❡ ❝♦♥❝❡)= ❛✈❡❝ ❧❡ ❞)✐❢= θ✳ ❉❡ ♣❧✉&✱ ❧❛ C✉❡✉❡ ❞❡ ❞)♦✐=❡ ❞❡ ❧❛ ❢♦♥❝=✐♦♥ ❞❡ ♠❛&&❡ ❞❡ NT ❡&= =♦✉❥♦✉)& ♣❧✉& (♣❛✐&&❡ ❞❛♥& ❧❡ ❝❛& ▲❉▼✳

❈❍❆#■❚❘❊ ✷✳ ▼❖❉➮▲❊ ▲❉▼ ✸✼

P [Ln=ln/_Ln

−1=ln−1] =

(1− exp (−θ)) (1 − exp (−θln−1)) exp (− (ln− ln−1− 1) θ)

❈❍❆#■❚❘❊ ✸✳ ❊❙❚■▼❆❚■❖◆ ❉❯ #❆❘❆▼➮❚❘❊ θ ❉❊ ❉➱❘■❱❊ ✹✷ ❈❡$$❡ ♠&$❤♦❞❡ ❞✬❡+$✐♠❛$✐♦♥ ❡+$ ❜❛+&❡ +✉1 ❧❡ ❢❛✐$ 4✉❡ ❧❡ ♠♦♠❡♥$ ENT T  ❡+$ ❛♣✲ ♣1♦①✐♠& ♣❛1 ❧❡ $❛✉① ❞❡ 1❡❝♦1❞ ❛+②♠♣$♦$✐4✉❡ P (θ) ❛✜♥ ❞❡ 1❡♥❞1❡ ˆθ2♣❧✉+ ❢❛❝✐❧❡ ; ♦❜$❡♥✐1 ✭❝❛1 ❧❡ ❝❛❧❝✉❧ ❞✐1❡❝$ ❞❡ ❧❛ ❢♦♥❝$✐♦♥ 1&❝✐♣1♦4✉❡ ❞❡ ENT T  ❡+$ ♣❧✉+ ❝♦♠♣❧✐4✉&✮✳ ❈❡ 4✉✐ ❢❛✐$ 4✉✬♦♥ ♣❡✉$ ✈♦✐1 ❝❡$$❡ ♠&$❤♦❞❡ ❞✬❡+$✐♠❛$✐♦♥ ❝♦♠♠❡ ✉♥❡ ✈❛1✐❛♥$❡ ❞❡ ❧❛ ♠&$❤♦❞❡ ❞❡+ ♠♦♠❡♥$+✳ ❯♥❡ ✈❡1+✐♦♥ ♣❧✉+ ❝♦♠♣❧❡①❡ ❞❡ ❝❡$ ❡+$✐♠❛$❡✉1 ❡+$ ♣1&+❡♥$&❡ ; ❧❛ ❙❡❝$✐♦♥ ✸✳✷✳✷✳

✸✳✷✳✶ ▲♦✐ ❞❡ ˆθ

2 ❙✉♣♣♦+♦♥+ 4✉❡ ❧❛ +✉✐$❡ {Yt, t≥ 1} ❡+$ &$❡♥❞✉❡ ; ✉♥❡ +✉✐$❡ ❞♦✉❜❧❡♠❡♥$ ✐♥✜♥✐❡ {Yt,−∞ < t < +∞}✳ ◆♦✉+ ♣♦✉✈♦♥+ ❞&✜♥✐1 ♣♦✉1 −∞ < t < +∞ ✿ M_t−1 = max

1≤i<∞(Yt−i− θi) .

δ_t∗ = ( 1 si Yt > Mt−1 0 sinon . ❡$ N_T∗ = T X t=1 δ∗_t. ❖1✱ δ_t∗ = 1 ⇐⇒ Yt > Mt−1, ⇐⇒ Yt > max

1≤i<∞(Yt−i− θi) ,

⇐⇒ (Xt− θt) > max

1≤i<∞(Xt−i− θ (t − i) − θi) ,

❈❍❆#■❚❘❊ ✸✳ ❊❙❚■▼❆❚■❖◆ ❉❯ #❆❘❆▼➮❚❘❊ θ ❉❊ ❉➱❘■❱❊ ✹✹ ❊♥ ❡✛❡❝&✉❛♥& ✉♥ ❞❡✉①✐,♠❡ ❝❤❛♥❣❡♠❡♥& ❞❡ ✈❛1✐❛❜❧❡✱ y = x − θt✱ ♦♥ ♦❜&✐❡♥& ✿

rh = ˆ R f (y) t−1 Y k=−∞ F (y + θ (t_{− k))} ! × ˆ _+∞ y−θh f (w) Gh(w)❞w  ❞y, = ˆ R f (y) ∞ Y k=1 F (y + θk) ! × ˆ _+∞ y−θh f (w) Gh(w)❞w  ❞y, = ˆ R  f (y) G_∞(y) ˆ _+∞ y−θh f (w) Gh(w)❞w  ❞y. ✭✸✳✷✳✷✮ ❈♦♠♠❡ ♦♥ ❛ =✉♣♣♦=? @✉❡ ❧❡= Yj =♦♥& ❞❡ ❧♦✐ G (0, 1)✱ ❡& ❡♥ ♣♦=❛♥& τ = e−θ✱ ♦♥

❈❍❆#■❚❘❊ ✸✳ ❊❙❚■▼❆❚■❖◆ ❉❯ #❆❘❆▼➮❚❘❊ θ ❉❊ ❉➱❘■❱❊ ✹✺ ˆ +∞ y−θh f (w) Gh(w)❞w = ˆ 1 F (y−θh) uPhk=1−1τk❞u, = 1− F (y) Ph−1 k=0τk−h Ph−1 k=0τk , = 1− τ 1_{− τ}h  1_{− F (y)}(τ −1)τ hτ h−1  . ✭✸✳✷✳✹✮ ❖♥ *❡♠♣❧❛❝❡ ✭✸✳✷✳✹✮ ❡1 ✭✸✳✷✳✸✮ ❞❛♥2 ✭✸✳✷✳✷✮ ♣♦✉* ♦❜1❡♥✐* rh = 1− τ 1_{− τ}h ˆ R

f (y) F (y)1−ττ ❞y −

ˆ

R

f (y) F (y)τ h+1(1−τ )τ h−τh+1❞y

❈❍❆#■❚❘❊ ✸✳ ❊❙❚■▼❆❚■❖◆ ❉❯ #❆❘❆▼➮❚❘❊ θ ❉❊ ❉➱❘■❱❊ ✺✶ √ THT  ˆ θ2  − HT(θ)  _L −→ N (0, ϑ (θ)) . ♦# ϑ (θ) = λ (θ)❞HT(θ) ❞θ 2 ❡& ❞HT (θ) ❞θ = 1− ❞GT(θ) ❞θ , = 1₋ ❞P (θ) ❞θ (1_{− P (θ))}2 # 1 T T X t=1 Pt(θ)− P (θ) % + 1 (1_{− P (θ))} # 1 T T X t=1 ❞Pt(θ) ❞θ − ❞P (θ) ❞θ % + ❞P (θ) ❞θ (1− P (θ))3   1 T2 T X t=1 Pt(θ) (1− Pt(θ)) + 1 T T X t=1 Pt(θ)− P (θ) !2  + 1 2 (1_{− P (θ))}2 # 1 T2 T X t=1 ❞Pt(θ) ❞θ − 1 T2 T X t=1 ❞P2 t (θ) ❞θ +2 1 T T X t=1 Pt(θ)− P (θ) ! 1 T T X t=1 ❞Pt(θ) ❞θ − ❞P (θ) ❞θ !% , ❛✈❡❝✱ Pt(θ) = 1−e −θ

1−e−tθ ❡& P (θ) = 1 − e−θ✳ ,❛- .✉✐&❡✱

√

Tθˆ₂∗_{− H}T (θ)

 _L

−→ N (0, ϑ (θ)) . ✭✸✳✷✳✶✶✮ ❉❡ ♣❧✉.✱ ❛✜♥ ❞❡ ♠♦♥&❡- ;✉❡ HT (θ)−→ θ✱ ✐❧ .✉✣& ❞❡ ♣-♦✉✈❡- ;✉❡ GT (θ)−→

0✳ ❖-✱ ❡♥ ❛♣♣❧✐;✉❛♥& ❧❡ ❢❛✐& ;✉❡ gT (θ)−→ P (θ) .✉- ❧✬@;✉❛&✐♦♥ ✭✸✳✷✳✶✵✮ ✐❧ ♥♦✉.

❈❍❆#■❚❘❊ ✸✳ ❊❙❚■▼❆❚■❖◆ ❉❯ #❆❘❆▼➮❚❘❊ θ ❉❊ ❉➱❘■❱❊ ✺✸ ❆❧♦%&✱ ❧❡ ♣❛&&❛❣❡ ❞❡ NT - ❧✬✉0✐❧✐&❛0✐♦♥ ❞❡& δt ❞♦♥♥❡ ❡♥ ♣%✐♥❝✐♣❡ ♣❧✉& ❞✬✐♥✲

❢♦%♠❛0✐♦♥& &✉% ❧❡ ♣❛%❛♠70%❡ θ✳ ❆✐♥&✐✱ ❡♥ &❡ ❜❛&❛♥0 &✉% ❧❡& ✐♥❞✐❝❛0%✐❝❡& ❞❡ %❡❝♦%❞& ♦♥ ♣❡✉0 ❡&♣:%❡% ❛♠:❧✐♦%❡% ❧❛ ;✉❛❧✐0: ❞❡& ❡&0✐♠❛0❡✉%&✳

✸✳✸✳✷ ❈❛❧❝✉❧ ❞❡ ˆθ

3

◆♦0%❡ ❜✉0 ❡&0 ❞✬❡&0✐♠❡% ❧❡ ❞%✐❢0 θ ❞❛♥& ❧❡ ❝❛& ❞✬✉♥❡ ❞✐&0%✐❜✉0✐♦♥ &♦✉&✲ ❥❛❝❡♥0❡ G (0, 1)✱ ❡♥ &❡ ❜❛&❛♥0 &✉% ❧❛ ♠:0❤♦❞❡ ❞✉ ♠❛①✐♠✉♠ ❞❡ ✈%❛✐&❡♠✲ ❜❧❛♥❝❡ ❡0 ❡♥ ✉0✐❧✐&❛♥0 ❧❛ ❞✐&0%✐❜✉0✐♦♥ ❞❡ ♣%♦❜❛❜✐❧✐0: ❞❡& ✐♥❞✐❝❛0%✐❝❡& ❞❡ %❡❝♦%❞& {δt, 1≤ t ≤ T }✳ ▲❡& δt &♦♥0 ✐♥❞:♣❡♥❞❛♥0& ❡0 &✉✐✈❡♥0 ❧❛ ❧♦✐ ❞❡ ❇❡%♥♦✉❧❧✐ ❞❡

♣❛%❛♠70%❡ Qt(τ ) = _1−τ1−τt✱ ❡♥ ✉0✐❧✐&❛♥0 ♣♦✉% &✐♠♣❧✐✜❡% ❧❛ %❡♣❛%❛♠:0%✐&❛0✐♦♥

τ = exp (−θ) , 0 < τ < 1✳ ◆♦0%❡ 0%❛✈❛✐❧ ❝♦♥&✐&0❡ ❛❧♦%& - 0%♦✉✈❡% ❧❡ τ ;✉✐ ♠❛①✐♠✐&❡ ❧✬❡①♣%❡&&✐♦♥ ✿ L (τ ) = P [δ1, . . . , δT; τ ] , = T Y t=2 Qt(τ )δt(1− Qt(τ ))1−δt. ✭✸✳✸✳✶✮

H♦✉% ❝❡ ❢❛✐%❡✱ ✉♥❡ ❛♣♣%♦❝❤❡ ❝♦♥&✐&0❡ - ❞:%✐✈❡% log L (τ) ♣❛% %❛♣♣♦%0 - τ ♣✉✐& - ❝❛❧❝✉❧❡% ❧❡& %❛❝✐♥❡& ❞❡ ❝❡00❡ ❞:%✐✈:❡ ✿ log L (τ ) = T X t=2 [δtlog (Qt(τ )) + (1− δt) log (1− Qt(τ ))] , = T X t=2  δtlog (1− τ) − δtlog " τ"1− τt−1

_{+ log}"_τ"_{1− τ}t−1

− log"1_{− τ}t
. ❖%PT t=2δt = NT − 1✳ H❛% &✉✐0❡✱

log L (τ ) = NT log (1− τ)+(T − NT) log (τ )−log

❈❍❆#■❚❘❊ ✸✳ ❊❙❚■▼❆❚■❖◆ ❉❯ #❆❘❆▼➮❚❘❊ θ ❉❊ ❉➱❘■❱❊ ✺✽

✸✳✹ ❊♥ ✉&✐❧✐)❛♥& {L

n

, n

≥ 1} ✿ ❊)&✐♠❛&✐♦♥ ♣❛/ ♠❛①✲

✐♠✉♠ ❞❡ ✈/❛✐)❡♠❜❧❛♥❝❡

❉❛♥% ❧❡ ♠)♠❡ ❝♦♥,❡①,❡ ❞✬✉♥ ♠♦❞1❧❡ ▲❉▼ ❛✈❡❝ ✉♥❡ ❧♦✐ %♦✉%✲❥❛❝❡♥,❡ G (0, 1)✱ ❝❛❧❝✉❧♦♥% ✉♥ 9✉❛,:✐1♠❡ ❡%,✐♠❛,❡✉: ❞✉ ❞:✐❢,✱ ❡♥ %❡ ❜❛%❛♥, %✉: ❧❡ ♣:✐♥❝✐♣❡ ❞✉ ♠❛①✐♠✉♠ ❞❡ ✈:❛✐%❡♠❜❧❛♥❝❡ ❡, ❡♥ ✉,✐❧✐%❛♥, ❧❛ ❞✐%,:✐❜✉,✐♦♥ ❞❡ ♣:♦❜❛❜✐❧✐,> ❞❡% ✐♥❞✐❝❡% ❞❡ :❡❝♦:❞% {Ln, 1≤ n ≤ NT = m}✳ ❉✬❛♣:1% ❧❛ @:♦♣♦%✐,✐♦♥ ✷✳✶✶✱ ❧❛ %✉✐,❡ {Ln, 1≤ n ≤ NT} ❢♦:♠❡ ✉♥❡ ❝❤❛D♥❡ ❞❡ ▼❛:❦♦✈ ❞❡ ♣:♦❜❛❜✐❧✐,> ❞❡ ,:❛♥%✐,✐♦♥ ✿ P [Ln=k/_Ln −1=j] = (1− τ) (1 − τj_{) τ}k−j−1 (1_{− τ}k−1_{) (1− τ}k₎ , ❡, ❞✬❡%♣❛❝❡ ❞✬>,❛, E = {L1 = 1 < L2 = l2 <· · · < LNT = lNT ≤ T }✳ ◆♦,♦♥% 9✉❡ ❞❛♥% ❧✬❡①♣:❡%%✐♦♥ ❞❡ ❧❛ ♣:♦❜❛❜✐❧✐,> ❞❡ ,:❛♥%✐,✐♦♥ ♦♥ ❛ :>✉,✐❧✐%> ❧❛ :❡♣❛:❛♠>,:✐✲ %❛,✐♦♥ τ = e−θ_✳ ▲❡ ,:❛✈❛✐❧ ❝♦♥%✐%,❡ ❛❧♦:% H ,:♦✉✈❡: τ 9✉✐ ♠❛①✐♠✐%❡ ❧❛ ✈:❛✐%❡♠❜❧❛♥❝❡ ❞❡ ❝❡,,❡ ❝❤❛D♥❡ ❞❡ ▼❛:❦♦✈✳ ❖♥ ❛ T (τ ) = P [L1 = l1, . . . , LNT = lNT; τ ] , = NYT−1 n=1 P [Ln+1=ln+1/_Ln=ln] P [L₁ = l₁] , l₁= 1✭:❡❝♦:❞ ,:✐✈✐❛❧✮, = (1− τ) " 1_{− τ}l1
_τl2−l1−1 (1_{− τ}l2−1) (1− τl2) × · · · × (1_{− τ)}"1_{− τ}l_{NT −1
τ}l_NT−lNT −1−1 " 1_{− τ}l_NT−1
"_{1− τ}l_NT
, = (1− τ) NT _τl_NT−NT " 1− τl_NT
QNT n=2(1− τln−1) . @♦✉: ,:♦✉✈❡: ˆˆτ 9✉✐ ❞>♥♦,❡ ♥♦,:❡ ❡%,✐♠❛,❡✉: ♣❛: ❧❛ ♠>,❤♦❞❡ ❞✉ ♠❛①✐♠✉♠ ❞❡ ✈:❛✐%❡♠❜❧❛♥❝❡✱ ❧❛ ♠>,❤♦❞❡ ❝❧❛%%✐9✉❡ ❡%, ❞❡ ❞>:✐✈❡: log T (τ) ♣❛: :❛♣♣♦:, H τ✱ ♣✉✐% H ❝❛❧❝✉❧❡: ❧❡% :❛❝✐♥❡% ❞❡ ❝❡,,❡ ❞>:✐✈>❡✳ ❖♥ ❛

log T (τ ) = NT log (1− τ) + (lNT − NT) log (τ )− log

❈❍❆#■❚❘❊ ✸✳ ❊❙❚■▼❆❚■❖◆ ❉❯ #❆❘❆▼➮❚❘❊ θ ❉❊ ❉➱❘■❱❊ ✻✹ ❇❛❧❧❡&✐♥✐ ❡) ❘❡+♥✐❝❦ ✭✶✾✽✺✮ ♠♦♥)&❡♥) 6✉❡ ❞❛♥+ ✉♥ ♠♦❞9❧❡ ▲❉▼ ❛✈❡❝ ✉♥❡ ❞✐+)&✐❜✉)✐♦♥ +♦✉+✲❥❛❝❡♥)❡ ❞❡ ●✉♠❜❡❧✱ NT

T −→ (1 − τ) ♣&❡+6✉❡ +D&❡♠❡♥)✳ F❛&

+✉✐)❡✱ ♣&❡+6✉❡ +D&❡♠❡♥) ✿ lim T →∞ 1 T  −NT (1_{− τ)}2 + 1 τ2(NT − T )  = − (1 − τ) (1_{− τ)}2 + 1 τ2((1− τ) − 1) , = −1 (1− τ) τ < 0, ✭✸✳✼✳✶✮ ❡)✱ lim T →∞ 1 T T τT −2"_{T + τ}T _{− 1}
(1− τT₎2 = _{T →∞}lim T τT_{(1 +}τT /T −1/T) τ2_{(1− τ}T₎2 , = lim T →∞ T eT log(τ )_{1 +} eTlog(τ ) T −1/T  τ2_{(1− τ}T₎2 , = 0. ✭✸✳✼✳✷✮ ❉✬❛✉)&❡ ♣❛&)✱ 1 T T X t=2 δt (t_{− 1) τ}t−3_{(t− 2 + τ}t−1₎ (1_{− τ}t−1₎2 ≤ 1 T T X t=2 (t_{− 1) τ}t−3_{(t− 2 + τ}t−1₎ (1_{− τ}t−1₎2 , = 1 T T X t=2 t(t− 1) τ t−3_{(t− 2 + τ}t−1₎ t (1_{− τ}t−1₎2 . ✭✸✳✼✳✸✮ ▲❛ +✉✐)❡ bt = t; t > 1❡+) ✉♥❡ +✉✐)❡ ❝&♦✐++❛♥)❡ ❞❡ &L❡❧+ ♣♦+✐)✐❢+ ❞✐✈❡&❣❡❛♥) ✈❡&+

❈❍❆#■❚❘❊ ✸✳ ❊❙❚■▼❆❚■❖◆ ❉❯ #❆❘❆▼➮❚❘❊ θ ❉❊ ❉➱❘■❱❊ ✻✼ ❡①✐%&❡♥&✱ ❡& 1 T T X t=2 ❞2_{log f} t(δt, τ ) ❞τ2 P −→ lim T →∞ 1 T T X t=2 E❞ 2_{log f} t(δt, τ ) ❞τ2  . ❍②♣♦$❤&'❡ ✽✳ E❞ 3_{log f} t(δt, τ ) ❞τ3  ❡& lim T →∞ 1 T T X t=2 E❞ 3_{log f} t(δt, τ ) ❞τ3  , ❡①✐%&❡♥&✱ ❡& 1 T T X t=2 ❞3_{log f} t(δt, τ ) ❞τ3 P −→ T →∞T →∞lim 1 T T X t=2 E❞ 3_{log f} t(δt, τ ) ❞τ3  . ❉!♠♦♥%&'❛&✐♦♥✳ ▲❛ ❧♦✐ ❢❛✐❜❧❡ ❞❡% ❣1❛♥❞% ♥♦♠❜1❡% ✭❋❡❧❧❡1 ✭✶✾✻✽✮ ♣❛❣❡ ✷✺✸✮✱ ❞♦♥♥❡ ✉♥❡ ❝♦♥❞✐&✐♦♥ %✉✣%❛♥&❡ ♣♦✉1 ❧❡% ❝♦♥✈❡1❣❡♥❝❡% ❡♥ ♣1♦❜❛❜✐❧✐&A ❞❡% ❍②✲ ♣♦&❤F%❡% ✻✲✽✳ E❞logft(δt, τ ) ❞τ  = ❞ log ft(0, τ ) ❞τ ft(0, τ ) +❞ log ft (1, τ ) ❞τ ft(1, τ ) , =  1− tτt−1 τ _{− τ}t + tτt−1 1_{− τ}t   τ − τt 1_{− τ}t  +  −1 1_{− τ} + tτt−1 1_{− τ}t   1− τ 1_{− τ}t  , = 1− tτt−1 1_{− τ}t − 1 1_{− τ}t + tτt−1 1_{− τ}t, = 0. H❛1 %✉✐&❡✱ ❧✬❤②♣♦&❤F%❡ ✻ ❡%& ✈A1✐✜A❡✳

❈❍❆#■❚❘❊ ✸✳ ❊❙❚■▼❆❚■❖◆ ❉❯ #❆❘❆▼➮❚❘❊ θ ❉❊ ❉➱❘■❱❊ ✼✵ ❍②♣♦$❤&'❡ ✶✶✳ "♦✉% &♦✉& ε > 0✱ lim T →∞ 1 T T X t=2 E   ❞logft(δt, τ ) ❞τ     τ0 2 ■♥❞    _{❞ log ft} (δt, τ ) ❞τ     τ0 2!1_/2 > ε√T      = 0. ✭✸✳✼✳✼✮

❆✈❡❝ ■♥❞ {A} ❡/& ❧✬✐♥❞✐❝❛&%✐❝❡ ❞❡ ❧✬❡♥/❡♠❜❧❡ A✳

❉!♠♦♥%&'❛&✐♦♥✳ "♦✉% ✉♥ ❝❡%&❛✐♥ ε > 0 ✜①9✱ ♣♦/♦♥/ ♣♦✉% t ≥ 2✱ Bt = ❞ log ft (d, τ ) ❞τ , = ( b1t = _1−τ−1 +tτ t−1 1−τt /✐ d = 1 b2t = 1−tτ t−1 τ −τt + tτ t−1 1−τt /✐ d = 0 . ❘❛♣♣❡❧♦♥/ <✉❡✱ δt = ( 1❛✈❡❝ ✉♥❡ ♣%♦❜❛❜✐❧✐&9 Q1t= _1−τ1−τt 0❛✈❡❝ ✉♥❡ ♣%♦❜❛❜✐❧✐&9 Q2t= τ −τ t 1−τt . ❉✬❛✉&%❡ ♣❛%&✱ ❞❛♥/ ❧✬❍②♣♦&❤A/❡ 6 ♦♥ ❛ ♠♦♥&%9 <✉❡ ✿

❈❍❆#■❚❘❊ ✸✳ ❊❙❚■▼❆❚■❖◆ ❉❯ #❆❘❆▼➮❚❘❊ θ ❉❊ ❉➱❘■❱❊ ✼✶ ❡# b2_1tQ1t =  −1 1_{− τ} + tτt−1 1_{− τ}t 2 1_{− τ} 1_{− τ}t, = 1 1− τ − 2tτt−1 (1_{− τ}t₎2 + (tτt−1₎2_{(1− τ)} (1_{− τ}t₎3 , −→ ₁ 1

− τ ❝❛& ❧✬❡①♣♦♥❡♥#✐❡❧❧❡ ❧✬❡♠♣♦&#❡ /✉& ❧❛ ♣✉✐//❛♥❝❡ ❡# 0 < τ < 1. ❉❡ ♠2♠❡ ♦♥ ♠♦♥#&❡ 3✉❡ ✿ b2 2tQ2t−→ 1 τ. ❆✐♥/✐✱ b2 1tQ1t ❡# b22tQ2t❛❞♠❡##❡♥# ❞❡/ ❧✐♠✐#❡/ ✜♥✐❡/✳ ❊# ❝♦♠♠❡ ❧❡/ ✐♥❞✐❝❛#&✐❝❡/

❈❍❆#■❚❘❊ ✹✳ ▼❖❉➮▲❊ ❉❊ ❨❆◆●✲◆❊❱❩❖❘❖❱✳ ✼✺ ❚❤"♦$%♠❡ ✹✳✶✳ ❇❛❧❧❡$✐♥✐ ❡' ❘❡)♥✐❝❦ ✭✶✾✽✼✮✱ ❞❛♥) ❧❡ ❝♦♥'❡①'❡ ❞✬✉♥ ♠♦❞9❧❡ ❞❡ ❨❛♥❣✲◆❡✈③♦$♦✈✱ )✬✐❧ ❡①✐)'❡ ✉♥❡ ❝♦♥)'❛♥'❡ P (0 < P ≤ 1) '❡❧❧❡ @✉❡ lim T −→∞T −1_/2 T X t=1 (Pt− P ) = 0, ❛❧♦$)✱ NT T −→ P ♣$❡)@✉❡ )B$❡♠❡♥'✱ ❡' √ T  NT T − P  −→ N"0, P − P2
_.

✹✳✷ ▼♦❞&❧❡ ❞❡ ❨❛♥❣✲◆❡✈③♦1♦✈ ✈2 ▼♦❞&❧❡ ▲❉▼

+$♦♣♦-✐/✐♦♥ ✹✳✷✳ ❯♥ ♠♦❞9❧❡ ❞❡ ❨❛♥❣✲◆❡✈③♦$♦✈✱ ❛②❛♥' ✉♥❡ ❞✐)'$✐❜✉'✐♦♥ )♦✉)✲ ❥❛❝❡♥'❡ Y ∼ G (0, 1) ❞❡ ❢♦♥❝'✐♦♥ ❞❡ $H♣❛$'✐'✐♦♥ FY (y) = exp (− exp (−y)) ❡'

ρt = exp (θt) ❡)' H@✉✐✈❛❧❡♥' I ✉♥ ♠♦❞9❧❡ ▲❉▼ ❛✈❡❝ ❧❛ ♠M♠❡ ❞✐)'$✐❜✉'✐♦♥ )♦✉)✲❥❛❝❡♥'❡ ❡' ✉♥ ❞$✐❢' θ✳ ❉H♠♦♥)'$❛'✐♦♥✳ "♦✉% ✉♥ ♠♦❞)❧❡ ❞❡ ❨❛♥❣✲◆❡✈③♦%♦✈ ❞❡ ❞✐45%✐❜✉5✐♦♥ 4♦✉4✲ ❥❛❝❡♥5❡ G (0, 1) ✿ FXt(x) = {F (x)} ρt_, = [exp (_{− exp (−x))]}ρt_, = exp (− exp (−x) × ρt) ,

= exp (_{− exp (−x) × exp (log (ρ}t))) ,

= exp (− exp (− (x − log (ρt)))) ,

= FY (x− log (ρt)) .

❆✐♥4✐✱

Xt = Yt+ log (ρt) . ✭✹✳✷✳✶✮

❙✐ ρt = exp (θt)✱ ♦C θ ❡45 ✉♥❡ ❝♦♥45❛♥5❡ ♣♦4✐5✐✈❡✱ ♦♥ %❡5♦♠❜❡ 4✉% ❧❡ ♠♦❞)❧❡

❈❍❆#■❚❘❊ ✹✳ ▼❖❉➮▲❊ ❉❊ ❨❆◆●✲◆❊❱❩❖❘❖❱✳ ✽✵ NT = m ✶ ✷ ✸ ✹ ✺ . . . ✾ ✶✵ ˆ γ1 ≃ 1 ≃ 1 ≃ 1 1.291 1.631 . . . 8.885 ∞ ❚❛❜❧❡ ✹✳✶ ✕ ❱❛❧❡✉/0 ❞❡ ˆγ1 ♣♦✉/ 4♦✉4❡0 ❧❡0 ✈❛❧❡✉/0 ❞✉ NT✱ 7✉❛♥❞ T = 10 ut(γ) = 1− γt γt_{(1− γ)}, ❛✈❡❝ u0(γ) = 0, ❡4 S (T, m | ~u (γ)) ❡04 ❧❛ ❣;♥;/❛❧✐0❛4✐♦♥ ❞✉ ♥♦♠❜/❡ ❞❡ ❙4✐/❧✐♥❣ ❞❡ ✶er _{❡0♣@❝❡✱} ❞;✜♥✐❡ ♣❛/ ❧❛ ❝♦♠♣❛/❛✐0♦♥ ❞❡0 ❞❡✉① ♣♦❧②♥D♠❡0 0✉✐✈❛♥40 ✿ T −1_Y t=0 (s + ut(γ)) = T X m=0 S (T, m | ~u (γ)) sm_. ❆ 4✐4/❡ ❞✬❡①❡♠♣❧❡✱ ❛♣♣❧✐7✉♦♥0 ❝❡44❡ ♠;4❤♦❞❡ ❞✬❡04✐♠❛4✐♦♥ I ✉♥ ♠♦❞@❧❡ ❞❡ ❨❛♥❣ ♦K T = 10✳ L♦✉/ ❝❤❛7✉❡ ✈❛❧❡✉/ ♣♦00✐❜❧❡ ❞❡ m ❛❧❧❛♥4 ❞❡ 1 I T ✱ ♦♥ ❝❛❧❝✉❧❡ ♥✉♠;/✐7✉❡♠❡♥4 ❧❡ γ 7✉✐ ♠❛①✐♠✐0❡ ❧❛ ❢♦♥❝4✐♦♥ ❞❡ ♠❛00❡ ✭✹✳✹✳✶✮ ❞❡ NT✳ ❈❡❝✐ ❞♦♥♥❡ ❧❛ ❚❛❜❧❡ ✹✳✶ 0✉✐✈❛♥4❡ 7✉✐ ❞♦♥♥❡ ❧❛ ✈❛❧❡✉/ ❞❡ ˆγ1✱ ♣♦✉/ ❝❤❛7✉❡ ✈❛❧❡✉/ m ♣♦00✐❜❧❡✳ ❈❡44❡ 4❛❜❧❡ ♠♦♥4/❡ 7✉✬♦♥ ♥❡ ♣❡✉4 ♣❛0 ❞✐/❡ ❣/❛♥❞ ❝❤♦0❡ 0✉/ ❧❡ ❝♦♠♣♦/4❡✲ ♠❡♥4 ❞❡ ❝❡4 ❡04✐♠❛4❡✉/✳ ❊♥ ❡✛❡4✱ ♣♦✉/ ❝❡/4❛✐♥❡0 ✈❛❧❡✉/0 ❞❡ m✱ ˆγ1 =∞✳ ❉♦♥❝✱ ♦♥ ♥❡ ♣❡✉4 ♠V♠❡ ♣❛0 ❝❛❧❝✉❧❡/ ❧❡0 ♠♦♠❡♥40 ❞❡ ❧✬❡04✐♠❛4❡✉/✳ ▼❛✐0✱ ❡♥ ❛❞❛♣4❛♥4 ❧❡ ❚❤;♦/@♠❡ ✸✳✶✱ ♦♥ ♣❡✉4 ♥;❛♥♠♦✐♥0 ♦❜4❡♥✐/ ✉♥ ✐♥✲ 4❡/✈❛❧❧❡ ❞❡ ❝♦♥✜❛♥❝❡ (γL, γU) ❞❡ ♥✐✈❡❛✉ ❡①❛❝4 ♣♦✉/ γ✳ ❆ 4✐4/❡ ❞✬❡①❡♠♣❧❡✱ ❝♦♥0✐❞;/♦♥0 ✉♥ ♠♦❞@❧❡ ❞❡ ❨❛♥❣ ❛✈❡❝ T = 100✱ α = 5% ❡4 0✉♣♣♦0♦♥0 7✉✬♦♥ ❛ ♦❜0❡/✈; m = 44✳ ▲✬❛♣♣❧✐❝❛4✐♦♥ ❞✉ 4❤;♦/@♠❡ ✸✳✶ ❞♦♥♥❡ ❧❡0 ✈❛❧❡✉/0 ✿ γL = 1.489 ❡4 γU = 2.151✳ ◆♦4♦♥0 7✉✬❡♥ ♣/✐♥❝✐♣❡ ♦♥ ♣❡✉4 ❢❛✐/❡ ❝❡ 4/❛✈❛✐❧ ❛ ♣/✐♦/✐ ♣♦✉/ 4♦✉4❡0 ❧❡0 ✈❛❧❡✉/0 ❞❡ T ✱ α ❡4 m ❡4 ❝/;❡/ ✉♥❡ 4❛❜❧❡ I 4/♦✐0 ❡♥4/;❡0 ✭♦✉ ✉♥ ♣/♦✲ ❣/❛♠♠❡ ✐♥❢♦/♠❛4✐7✉❡✮ I ❧❛7✉❡❧❧❡ ♦♥ ♣❡✉4 0❡ /;❢;/❡/ ❡♥ 4♦✉4❡0 ❝✐/❝♦♥04❛♥❝❡0✳ ▼❛✐0 ❝♦♠♠❡ ❧❛ ❢♦♥❝4✐♦♥ ❞❡ ♠❛00❡ ✭✹✳✹✳✶✮ ❞❡ NT ❡04 ❝♦♠♣❧✐7✉;❡ I ♠❛♥✐♣✲ ✉❧❡/✱ ♥♦✉0 ♥✬✐/♦♥0 ❞♦♥❝ ♣❛0 ♣❧✉0 ❧♦✐♥ ❞❛♥0 ❧✬;4✉❞❡ ❞✉ ❝♦♠♣♦/4❡♠❡♥4 ❞❡ ❝❡4 ❡04✐♠❛4❡✉/✳

✹✳✹✳✷ ❊♥ ✉&✐❧✐)❛♥& N

T

✿ ❊)&✐♠❛&✐♦♥ ♣❛/ ❧❛ ♠0&❤♦❞❡ ❞❡)

♠♦♠❡♥&)

❈❍❆#■❚❘❊ ✹✳ ▼❖❉➮▲❊ ❉❊ ❨❆◆●✲◆❊❱❩❖❘❖❱✳ ✽✹ ❆❧♦%&✱ E #_N T T − h (γ) 2% = 1 ThT (γ)− 1 T✷ T X t=1 P_t2(γ) + (hT (γ)− h (γ))2. ✭✹✳✹✳✻✮ ,❛% &✉✐0❡✱ ❡♥ %❡♠♣❧❛5❛♥0 ✭✹✳✹✳✻✮ ❞❛♥& ✭✹✳✹✳✺✮ ♦♥ ♦❜0✐❡♥0✱ E [ˆγ2] ≃ γ + HT (γ) , ♦9✱ HT(γ) = hT(γ)− h (γ) (1− h (γ))2 + 1 (1− h (γ))3 # 1 ThT(γ)− 1 T✷ T X t=1 P2 t (γ) + (hT (γ)− h (γ))2 % . ✭✹✳✹✳✼✮ ❉♦♥❝✱ E [ˆγ2]− γ ≃ HT (γ) . ,❛% ❛✐❧❧❡✉%&✱ √ T (hT(γ)− h (γ)) = √ T  E  NT T  − P (γ)  , = √T 1 T T X t=1 Pt(γ)− P (γ) ! , = √T 1 T T X t=1 (Pt(γ)− P (γ)) ! , = √1 T T X t=1 (Pt(γ)− P (γ)) .

❈❍❆#■❚❘❊ ✹✳ ▼❖❉➮▲❊ ❉❊ ❨❆◆●✲◆❊❱❩❖❘❖❱✳ ✽✼ "♦✉% ❝❡ ❢❛✐%❡✱ ✉♥❡ ❛♣♣%♦❝❤❡ ❝♦♥/✐/0❡ 1 ❞3%✐✈❡% log L (υ) ♣❛% %❛♣♣♦%0 1 υ ♣✉✐/ 1 ❝❛❧❝✉❧❡% ❧❡/ %❛❝✐♥❡/ ❞❡ ❝❡00❡ ❞3%✐✈3❡ ✿

log L (υ) = NTlog (1− υ)+(T − NT) log (υ)−log

❈❍❆#■❚❘❊ ✹✳ ▼❖❉➮▲❊ ❉❊ ❨❆◆●✲◆❊❱❩❖❘❖❱✳ ✽✾ ■❧ ♥❡ &❡'(❡ ♣❧✉' +✉✬- &.❡①♣&✐♠❡& ❧✬✐♥❢♦&♠❛(✐♦♥ ❞❡ ❋✐'❤❡& ✭✹✳✹✳✶✺✮ ❞❛♥' ❧❛ ♣❛&❛♠.(&✐'❛(✐♦♥ ♦&✐❣✐♥❛❧❡ ✭❝✬❡'( - ❞✐&❡ ❡♥ γ✮✱ ❡♥ ❛♣♣❧✐+✉❛♥( ❧❛ ♠.(❤♦❞❡ ❞❡❧(❛ '✉& ❧✬.+✉❛(✐♦♥ ✭✹✳✹✳✶✹✮ ♦♥ ♦❜(✐❡♥( ✿ I−1 T (γ) = IT−1(υ)×  ❞ ❞υ  1 υ 2 . ❆✐♥'✐ IT (γ) = IT (υ)  ❞ ❞υ "₁ υ
2, = υ4IT (υ) . = 1 γ2_{(γ − 1)}2 T X t=1 Pt(γ) + 1 γ2 T − T X t=1 Pt(γ) ! −T " 1 + γT_{(T − 1)}
γ2_(γT _{− 1)}2 − T X t=2 (t− 1) (1 + (t − 2) γt−1₎ γ2_(γt−1_{− 1)}2 Pt(γ) . ❡( ˆ γ3− γ q I_T−1(γ) L −→ N (0, 1) . ✭✹✳✹✳✶✼✮ ❆❧♦&'✱ ♣♦✉& ✉♥ ♥✐✈❡❛✉ ❞❡ ❝♦♥✜❛♥❝❡ 1 − α✱ ✉♥ ✐♥(❡&✈❛❧❧❡ ❞❡ ❝♦♥✜❛♥❝❡ ❞❡ γ ❡'( ❞♦♥♥. ♣❛& ✿  ˆ γ3− q I_T−1(ˆγ3)z1−α_/2, ˆγ₃+ q I_T−1(ˆγ3)z1−α_/2  . ✭✹✳✹✳✶✽✮

✹✳✺ ❙✐♠✉❧❛)✐♦♥, ♥✉♠-.✐/✉❡,

❈❤❛♣✐%&❡ ✺

❚❡♠♣+ ✐♥%❡&✲&❡❝♦&❞+ ❡% %❡+%+

❞✬❛❞23✉❛%✐♦♥

❚♦✉❥♦✉$% ❞❛♥% ❧❡ ❝♦♥,❡①,❡ ❞✬✉♥ ♠♦❞0❧❡ ❞❡ ❨❛♥❣✱ ♥♦✉% 4,✉❞✐♦♥% ❞❛♥% ❝❡ ❝❤❛♣✐,$❡ ❧❡ ❝♦♠♣♦$,❡♠❡♥, %,♦❝❤❛%,✐8✉❡ ❞✉ ,❡♠♣% ✐♥,❡$✲$❡❝♦$❞% ❡, ♥♦✉% ❞♦♥✲ ♥♦♥% %❛ ❧♦✐ ❛%②♠♣,♦,✐8✉❡✱ ✐♥❞4♣❡♥❞❛♠♠❡♥, ❞❡ ❧❛ ❧♦✐ ❞❡% ✈❛ %♦✉%✲❥❛❝❡♥,❡%✳ <✉✐%✱ ❡♥ %❡ ❜❛%❛♥, %✉$ ❝❡% $4%✉❧,❛,%✱ ❝♦♠❜✐♥4% ❛✉① ❡%,✐♠❛,❡✉$% ♦❜,❡♥✉% ❛✉ ❝❤❛♣✐,$❡ ♣$4❝4❞❡♥,✱ ♥♦✉% ✐♥,$♦❞✉✐%♦♥% ♣❧✉%✐❡✉$% ,❡%,% ❞✬❛❞48✉❛,✐♦♥ ❞✬✉♥ ♠♦❞✲ 0❧❡ ❞❡ ❨❛♥❣✳ ❖♥ $❡♠❛$8✉❡ 8✉❡ ❝❡% ,❡%,% ♣❡✉✈❡♥, ❛✐❞❡$ @ %✉❣❣4$❡$ ❞❡% ❝♦$✲ $❡❝,✐♦♥% ❛✉ ♠♦❞0❧❡✳ ❊♥✜♥✱ ♥♦✉% ❛♣♣❧✐8✉♦♥% ♥♦% $4%✉❧,❛,% ,❤4♦$✐8✉❡% @ ❞❡% ❞♦♥♥4❡% ❛♥❛❧②%4❡% ♣$4❝4❞❡♠♠❡♥, ♣❛$ ❨❛♥❣ ✭✶✾✼✺✮ ♣$4%❡♥,❛♥, ❧❡% $❡❝♦$❞% ❞❡ ❧❛ ❝♦✉$%❡ ❞❡ ✷✵✵ ♠0,$❡% ❞❛♥% ❧❡% ❏❡✉① ♦❧②♠♣✐8✉❡%✳

✺✳✶ ❉✐%&'✐❜✉&✐♦♥ ❞✉ &❡♠♣% ✐♥&❡'✲'❡❝♦'❞%

❈❍❆#■❚❘❊ ✺✳ ❚❊▼#❙ ■◆❚❊❘✲❘❊❈❖❘❉❙ ❊❚ ❚❊❙❚❙ ❉✬❆❉➱◗❯❆❚■❖◆✶✵✶ ❯#✐❧✐&❛♥# ✭✺✳✶✳✹✮✱ ♦♥ ♦❜#✐❡♥# ✿ p (2, j) = 1 Λ (j + 1) j X i=0 p (1, i) , = p (1, j) j X i=0 1 Λ (i + 1), = p (1, j)  1 + 1 Λ (2)+· · · + 1 Λ (j + 1)  , ≥ p (1, j) . ❉❡ ♣❧✉&✱ p (n + 1, j)− p (n, j) = j X i=0 p (n, i) Λ (j + 1)− j X i=0 p (n− 1, i) Λ (j + 1) , = 1 Λ (j + 1) j X i=0 {p (n, i) − p (n − 1, i)} , = 1 Λ (j + 1) j X i=1 {p (n, i) − p (n − 1, i)} . ❊♥ ♣♦✉7&✉✐✈❛♥# ❧❡ ❝❛❧❝✉❧ ❞✬✉♥❡ ❢❛=♦♥ 7>❝✉7&✐✈❡ ❡# ❡♥ ✉#✐❧✐&❛♥# ❧❡ ❢❛✐# ?✉❡ p (2, j) ≥ p (1, j) ∀j ≥ 0✱ ♦♥ ♠♦♥#7❡ ?✉❡ p (n + 1, j) ≥ p (n, j) , ∀j ≥ 0✳ ❆✐♥&✐✱ ❝♦♠♠❡ ❧❛ &✉✐#❡ {p (n, j)}n≥1 ❡&# ❝7♦✐&&❛♥#❡ ❡# ♠❛❥♦7>❡✱ ❡❧❧❡ ❡&# ❞♦♥❝

❝♦♥✈❡7❣❡♥#❡✳ ◆♦#♦♥& lim

n−→∞p (n, j) = qj✱ j ≥ 0✳

E♦✉7 j = 0✱

lim

n−→∞p (n, 0) = 1.

❆✐♥&✐✱ q0 = 1 = _γ10✳ ❊♥ 7❛✐&♦♥♥❛♥# ♣❛7 7>❝✉77❡♥❝❡✱ ❡# ♣♦✉7 ✉♥ j ≥ 1✱ &✉♣♣♦&♦♥&

❈❍❆#■❚❘❊ ✺✳ ❚❊▼#❙ ■◆❚❊❘✲❘❊❈❖❘❉❙ ❊❚ ❚❊❙❚❙ ❉✬❆❉➱◗❯❆❚■❖◆✶✵✷  1−_{Λ (j + 1)}1  qj = 1 Λ (j + 1) j X i=0 1 γi,  1− 1− γ 1− γj+1  qj = 1− γ 1− γj+1 1− 1 γj 1₋ 1 γ , qj = 1 γj.

❆✐♥&✐✱ ❞✬❛♣,-& ❧❡ ❚❤2♦,-♠❡ ✺✳✷✱ ❧❛ ❧♦✐ ❞❡ ❧❛ ✈❛ ∆Ln ❡&7 ❛&②♠♣7♦7✐9✉❡♠❡♥7

❣2♦♠27,✐9✉❡ ❞❡ ♣❛,❛♠-7,❡ 1₋ 1 γ  ❡7 ❞❡ ❢♦♥❝7✐♦♥ ❞❡ ♠❛&&❡ ✿ pj(γ) = lim n−→∞P [∆Ln = j] , =  1− 1 γ   1 γ j−1 , = γ− 1 γj , j≥ 1. ✭✺✳✶✳✻✮

✺✳✷ ❚❡%&% ❞✬❛❞*+✉❛&✐♦♥

✺✳✷✳✶ ❚❡&' ♣♦✉+ ❧❡ ♠♦❞/❧❡ ✐✐❞

❆✈❛♥7 ❞✬❛❥✉&7❡, ✉♥ ♠♦❞-❧❡ ❞❡ ❨❛♥❣ ♦✉ ▲❉▼ H ✉♥ ❡♥&❡♠❜❧❡ ❞❡ ❞♦♥♥2❡&✱ ✐❧ ❢❛✉7 ❞✬❛❜♦,❞ 2✈❛❧✉❡, ❧❛ ♥2❝❡&&✐72 ❞❡ ❝❡ ♥✐✈❡❛✉ &✉♣♣❧2♠❡♥7❛✐,❡ ❞❡ ❝♦♠♣❧❡①✐72✳ K♦✉, ❝❡ ❢❛✐,❡✱ ✉♥❡ ❛♣♣,♦❝❤❡ ❝♦♥&✐&7❡ H 7❡&7❡, ❧✬❤②♣♦7❤-&❡ ♥✉❧❧❡ H0✿ ❧❡& ❞♦♥♥2❡&

♣,♦✈✐❡♥♥❡♥7 ❞✬✉♥❡ &✉✐7❡ ❞❡ ✈❛,✐❛❜❧❡& ❛❧2❛7♦✐,❡& ✐✐❞✳ ◆♦✉& ♣♦✉✈♦♥& ❢♦♥❞❡, ✉♥ 7❡❧ 7❡&7 ❞✬❛❞29✉❛7✐♦♥ &✉, ❧❛ &✉✐7❡ ❞❡& ✐♥❞✐❝❛7,✐❝❡& ❞❡ ,❡❝♦,❞& {δt, 1≤ t ≤ T }

❈❍❆#■❚❘❊ ✺✳ ❚❊▼#❙ ■◆❚❊❘✲❘❊❈❖❘❉❙ ❊❚ ❚❊❙❚❙ ❉✬❆❉➱◗❯❆❚■❖◆✶✵✹ ❈❡♣❡♥❞❛♥)✱ ❧❛ ,)❛)✐,)✐.✉❡ ✭✺✳✷✳✷✮ ❡,) ✐♥✉)✐❧✐,❛❜❧❡ ❝❛7 ❧❡ ♣❛7❛♠9)7❡ γ ❡,) ✐♥❝♦♥♥✉✳ ❖♥ ❞♦✐) ❞♦♥❝ ❧✬❡,)✐♠❡7✳ =♦✉7 ❝❡ ❢❛✐7❡✱ ♦♥ ❝❛❧❝✉❧❡ ❧❛ ✈❛❧❡✉7 eγ .✉✐ ♠✐♥✐♠✐,❡ χ (γ)✳ ▲❛ ,)❛)✐,)✐.✉❡ ✉)✐❧✐,❛❜❧❡ ❡,)

χ (eγ) = arg min

❈❍❆#■❚❘❊ ✺✳ ❚❊▼#❙ ■◆❚❊❘✲❘❊❈❖❘❉❙ ❊❚ ❚❊❙❚❙ ❉✬❆❉➱◗❯❆❚■❖◆✶✵✺ h3(x, a) = x (x− 1) (x − 2) − 9ax (x − 1) + 18xa2− 6a3,

h4(x, a) = 24Cx4− 96aCx3+ 144a2Cx2− 96xa3+ 24a4,

h5(x, a) = 120Cx5− 600aCx4+ 1200a2Cx3− 1200a3Cx2+ 600a4x− 120a5,

❈❍❆#■❚❘❊ ✻✳ ❊❙❚■▼❆❚■❖◆ ❇❆❙➱❊ ❙❯❘ (RN, LN) ✶✶✵

✻✳✶ ❊$%✐♠❛%✐♦♥ ❜❛$,❡ ✉♥✐/✉❡♠❡♥% $✉0 ❧❡$ δ

t ❆✉ ❈❤❛♣✐)*❡ ✸✱ ♥♦✉0 ❛✈♦♥0 ❝♦♥0✐❞4*4 ❧❡ ❝❛0 ❞✬✉♥ ♠♦❞8❧❡ ▲❉▼ ❞❡ ❞✐0)*✐✲ ❜✉)✐♦♥ 0♦✉0✲❥❛❝❡♥)❡ ❞❡ ❧♦✐ ❞❡ ●✉♠❜❡❧ ❛✈❡❝ ♣❛*❛♠8)*❡ ❝♦♥♥✉ ❡)✱ 0❛♥0 ♣❡*)❡ ❞❡ ❣4♥4*❛❧✐)40✱ ♥♦✉0 ❛✈♦♥0 ❝♦♥0✐❞4*4 ❧❛ ❧♦✐ G (0, 1)✳ ■❝✐ ♥♦✉0 ♥♦✉0 ♣❧❛❝♦♥0 ❞❛♥0 ❧❡ ❝❛❞*❡ ❞✬✉♥ ♠♦❞8❧❡ ▲❉▼ ❛✈❡❝ ✉♥❡ ❞✐0)*✐❜✉)✐♦♥ 0♦✉0✲❥❛❝❡♥)❡ ❞❡ ❧♦✐ ❞❡ ●✉♠❜❡❧ ❞❡ ♣❛*❛♠8)*❡0 ✐♥❝♦♥♥✉0✳ ▲❛ ti`eme _{♦❜0❡*✈❛)✐♦♥ ❞❡ ❧❛ 04*✐❡ )❡♠♣♦*❡❧❧❡ ❡0) ❞❡ ❧❛} ❢♦*♠❡ ✿ Xt = Yt+ θt, ✭✻✳✶✳✶✮ ❛✈❡❝ θ ❧❡ ✓ ❞*✐❢) ✔ ❡) {Yt, t≥ 1} ✉♥❡ 0✉✐)❡ ✐♥✜♥✐❡ ❞❡ ✈❛*✐❛❜❧❡0 ❛❧4❛)♦✐*❡0 ✐✐❞ K✉✐

0✉✐✈❡♥) ❧❛ ❧♦✐ G (µ, β) ❞❡ ❢♦♥❝)✐♦♥ ❞❡ *4♣❛*)✐)✐♦♥ F (y) = exp− exp−y−µ β  ✳ ➱✈✐❞❡♠♠❡♥)✱ ✐❧ ♥❡ ♥♦✉0 ❡0) ♣❛0 ❞♦♥♥4 ❞✬♦❜0❡*✈❡* ❧❛ 0✉✐)❡ Xt✱ 0❡✉❧❡♠❡♥) 0❡0 *❡❝♦*❞0 Rn = XLn ♦M Ln ❡0) ❧✬✐♥❞✐❝❡ ❞✉ ni`eme *❡❝♦*❞✳ ◆♦)*❡ ❜✉) ❡0) ❞✬4)❡♥❞*❡ ❧❡0 *40✉❧)❛)0 ❞✉ ❈❤❛♣✐)*❡ ✸ ❡) ❞❡ )❡♥)❡* ❞✬♦❜)❡♥✐* ❞❡0 ❡0)✐♠❛)❡✉*0 ❞❡0 ♣❛*❛♠8)*❡0 θ✱ µ ❡) β ❡♥ ✉)✐❧✐0❛♥) ❧❡ ♣*✐♥❝✐♣❡ ❞✉ ♠❛①✲ ✐♠✉♠ ❞❡ ✈*❛✐0❡♠❜❧❛♥❝❡ ❜❛04 0✉* ❧❛ ❞✐0)*✐❜✉)✐♦♥ ❞❡0 ✐♥❞✐❝❛)*✐❝❡0 ❞❡ *❡❝♦*❞0 {δt, t≥ 1}✱ ❛✈❡❝ ❧❡0K✉❡❧0 ♦♥ ❛✈❛✐) ♦❜)❡♥✉ ❞❡0 *40✉❧)❛)0 ✉)✐❧❡0 ❛✉ ❈❤❛♣✐)*❡ ✸✳ ❙✐ ❧❛ ❞❡♥0✐)4 ❞❡ Yt ❡0) ft(y) = _β1exp 

❈❍❆#■❚❘❊ ✻✳ ❊❙❚■▼❆❚■❖◆ ❇❆❙➱❊ ❙❯❘ (RN, LN) ✶✶✶

♣❛#❛♠%&#❡ ❞✬*❝❤❡❧❧❡ β ✉♥✐1✉❡♠❡♥&✱ ✈✐❛ ❧❡ &❡#♠❡ ν✳ ❖# ❝♦♠♠❡ ν ❡7& ❢♦♥❝&✐♦♥ ❞❡ θ

β✱ ❝❡7 ❞❡✉① ♣❛#❛♠%&#❡7 ♥❡ 7♦♥& ♣❛7 ✐❞❡♥&✐✜❛❜❧❡7✳ ❊♥ ❢❛✐& ✐❧ ❡7& ❧♦❣✐1✉❡ 1✉❡

>❛ ♥❡ ❧❡ 7♦✐& ♣❛7 ❝❛# Xt = Yt+ θt ⇐⇒ X_βt = Y_βt+_βθt✳ ❆❧♦#7✱ ♦♥ ♣❡✉& ❝♦♥❝❧✉#❡

1✉❡ ♥♦&#❡ ❝❡♥7✉#❡ ❡7& ✐♥❢♦#♠❛&✐✈❡ ♣♦✉# ❧❡ 1✉♦&✐❡♥& θ

β ♠❛✐7 ♥♦♥✲✐♥❢♦#♠❛&✐✈❡

7✉# µ✱ β ❡& θ ♣#✐7 ✐♥❞✐✈✐❞✉❡❧❧❡♠❡♥&✳

❊♥ ✉&✐❧✐7❛♥& ❧❛ ♣#♦♣#✐*&* ❞✬✐♥❞*♣❡♥❞❛♥❝❡ ❞❡7 ✐♥❞✐❝❛&#✐❝❡7 ❞❡ #❡❝♦#❞7 ❞❛♥7 ✉♥ ♠♦❞%❧❡ ▲❉▼ ❞❡ ❞✐7&#✐❜✉&✐♦♥ 7♦✉7✲❥❛❝❡♥&❡ ❞❡ ❧♦✐ ❞❡ ●✉♠❜❡❧ ✭❇♦#♦✈❦♦✈✱ ✶✾✾✾✮✱ ♦♥ ♣❡✉& ❛❧♦#7 ❝♦♥7&#✉✐#❡ ✉♥❡ ❢♦♥❝&✐♦♥ ❞❡ ✈#❛✐7❡♠❜❧❛♥❝❡ ❜❛7*❡ 7✉# ❧❡7 δt✳

❊♥ ❛♣♣❧✐1✉❛♥& ❧❡ ♣#✐♥❝✐♣❡ ❞✉ ♠❛①✐♠✉♠ ❞❡ ✈#❛✐7❡♠❜❧❛♥❝❡✱ ❧❡ &#❛✈❛✐❧ ❝♦♥7✐7&❡ K &#♦✉✈❡# ν 1✉✐ ♠❛①✐♠✐7❡ ❧✬❡①♣#❡77✐♦♥ 7✉✐✈❛♥&❡ ✿ L (ν) = P [δ1, . . . , δT; ν] , = T Y t=2 P [δt] , δ1= 1✭#❡❝♦#❞ &#✐✈✐❛❧✮✱ = T Y t=2 Qt(ν)δt(1− Qt(ν))1−δt, = T Y t=2 (1_{− ν)}δt_{(ν− ν}t₎1−δt (1− νt₎ .

➱&❛♥& ❞♦♥♥* ❧✬❛7♣❡❝& ✓ #*❣✉❧✐❡# ✔ ❞❡ ❝❡&&❡ ✈#❛✐7❡♠❜❧❛♥❝❡✱ ❧❛ ♠*&❤♦❞❡ ❝❧❛77✐1✉❡ ❡7& ❞❡ ❞*#✐✈❡# log L (ν) ♣❛# #❛♣♣♦#& K ν✱ ♣✉✐7 ❞❡ ❝❛❧❝✉❧❡# ❧❡7 #❛❝✐♥❡7 ❞❡ ❝❡&&❡ ❞*#✐✈*❡✳ log L (ν) = T X t=2 [δtlog (Qt(ν)) + (1− δt) log (1− Qt(ν))] , = T X t=2  δtlog (1− ν) − δtlog " ν"1_{− ν}t−1

+ log"ν"1_{− ν}t−1

− log"1_{− ν}t
_,

= NTlog (1− ν) + (T − NT) log (ν)− log

❈❍❆#■❚❘❊ ✻✳ ❊❙❚■▼❆❚■❖◆ ❇❆❙➱❊ ❙❯❘ (RN, LN) ✶✶✻ ❆#♥♦❧❞ ❡! ❛❧✳ ✭✶✾✾✽✱ ♣❛❣❡ ✷✽✮ ♠♦♥3#❡♥3 4✉❡✱ ❞❛♥6 ❧❡ ❝❛6 ✐✐❞✱ ❧❛ 6✉✐3❡ ❞❡6 ✈❛❧❡✉#6 ❞❡ #❡❝♦#❞6 ❢♦#♠❡ ✉♥❡ ❝❤❛<♥❡ ❞❡ ▼❛#❦♦✈✳ ❆✐♥6✐✱ ✐❧ ♥✬❡63 ♣❛6 ❞A#❛✐6♦♥♥❛❜❧❡ ❞❡ ♣♦6❡# ❝♦♠♠❡ ♣#❡♠✐C#❡ ❛♣♣#♦①✐♠❛3✐♦♥ 4✉❡ ❧❡6 ✈❛❧❡✉#6 ❞❡ #❡❝♦#❞6 ❢♦#♠❡♥3 ✉♥❡ ❝❤❛<♥❡ ❞❡ ▼❛#❦♦✈✳ ❊3 ❝♦♠♠❡ ❧❡6 Xt 6♦♥3 ✐♥❞A♣❡♥❞❛♥3❡6✱ ✭✻✳✷✳✸✮ 6✬A❝#✐3✱ L (θ) = f (xl1) (_NT Y i=2 f"xli | xli−1
) (NYT−1 i=1 P_{Ai | xl} i, xli+1 ) Ph_AN T | xl_NT i . ✭✻✳✷✳✹✮ ❆✜♥ ❞❡ ♠❛①✐♠✐6❡# ❧✬❡①♣#❡66✐♦♥ ✭✻✳✷✳✹✮ ❡3 3#♦✉✈❡# ✉♥ ❡63✐♠❛3❡✉# ˆθ ❞❡ θ✱ ✐❧ ❢❛✉3 ❞A3❡#♠✐♥❡# ❧❡6 ♣#♦❜❛❜✐❧✐3A6 ❝♦♥❞✐3✐♦♥♥❡❧❧❡6 f "xli | xli−1
2≤i≤NT✳ I❛# 6✉✐3❡✱ ✐❧ ❢❛✉3 ❞A✜♥✐# ❧❛ ❧♦✐ ❥♦✐♥3❡ fX_li,X_li−1 " xli, xli−1
❞❡ ❞❡✉① #❡❝♦#❞6 ❝♦♥6A❝✉✲ 3✐❢6✳ ❈♦♠♠❡ ♥♦✉6 6♦♠♠❡6 ❞❛♥6 ❧❡ ❝❛6 ❞✬✉♥ ♠♦❞C❧❡ ▲❉▼ ❛✈❡❝ ✉♥❡ ❞✐63#✐❜✉3✐♦♥ 6♦✉6✲❥❛❝❡♥3❡ ❞❡ ❧♦✐ ❞❡ ●✉♠❜❡❧✱ ✉♥❡ ♣#❡♠✐C#❡ ❛♣♣#♦❝❤❡✱ 4✉✐ ♥❡ 6❡♠❜❧❡ ♣❛6 ❞A#❛✐6♦♥♥❛❜❧❡ P ♣#❡♠✐C#❡ ✈✉❡✱ ❡63 ❞❡ 6✉♣♣♦6❡# 4✉❡ ❧❛ ❞✐63#✐❜✉3✐♦♥ ❥♦✐♥3❡ 6✉✐3 ✉♥❡ ❧♦✐ ❜✐✲●✉♠❜❡❧✳ ●✉♠❜❡❧ ❡3 ▼✉63❛✜ ✭✶✾✻✼✮ ♦♥3 ♣#A6❡♥3A ❞❡✉① 3❡❧❧❡6 ❧♦✐6 4✉✬✐❧6 ❛♣♣❡❧❧❡♥3 ❞❡6 ❜✐✲●✉♠❜❡❧✳ ❙✐ X ❡3 Y 6♦♥3 ❞❡✉① ✈❛#✐❛❜❧❡6 ❛❧A❛3♦✐#❡6 4✉✐ 6✉✐✈❡♥3 ❧❛ ❧♦✐ G(0, 1) ❞❡ ❢♦♥❝3✐♦♥ ❞❡ #A♣❛#3✐3✐♦♥ F (x) = e−e−x ✱ ❛❧♦#6 ❧❛ ❢♦♥❝3✐♦♥ ❞❡ #A♣❛#3✐3✐♦♥ ❥♦✐♥3❡ ❞❡ ❧❛ ♣#❡♠✐C#❡ ❢♦#♠✉❧❛3✐♦♥ ❡63 ✿ FX,Y (x, y, a) = exp  −"e−x+ e−y
+ a (ex+ ey)−1, ✭✻✳✷✳✺✮ ❡3 ❝❡❧❧❡ ❞❡ ❧❛ 6❡❝♦♥❞❡ ❡63 FX,Y (x, y, b) = exp h −"e−bx+ e−by
1/bi. ✭✻✳✷✳✻✮ ❉❛♥6 ❧❡6 ❞❡✉① ❝❛6 0 ≤ a < 1 ❡3 b ≥ 1 6♦♥3 ❞❡6 ♣❛#❛♠C3#❡6 ❞❡ ❞A♣❡♥❞❛♥❝❡ ❡♥3#❡ X ❡3 Y ✳ ❙❡❧♦♥ ♥♦3#❡ ❝❤♦✐① ❞❡ ❧❛ ❢♦#♠✉❧❛3✐♦♥ ✭✻✳✷✳✺✮ ♦✉ ✭✻✳✷✳✻✮ ♦♥ ❞✐3 4✉❡ ♥♦✉6 6♦♠♠❡6 ❞❛♥6 ❧❡ ❝❛6 ❞✬✉♥ a − mod`ele ♦✉ b − mod`ele✳ ❆✐♥6✐✱ ❧❛ ❞❡♥6✐3A ❥♦✐♥3❡ ❡63 ✿ • ❈❛6 a − mod`ele✱

fX,Y (x, y, a) = FX,Y (x, y, a) e−(x+y)



❈❍❆#■❚❘❊ ✻✳ ❊❙❚■▼❆❚■❖◆ ❇❆❙➱❊ ❙❯❘ (RN, LN) ✶✶✼

fX,Y (x, y, b) = FX,Y (x, y, b)× e−b(x+y)×

❈❍❆#■❚❘❊ ✻✳ ❊❙❚■▼❆❚■❖◆ ❇❆❙➱❊ ❙❯❘ (RN, LN) ✶✷✵ θ ❇✐❛✐& r ˆ V_θˆ₅ s −  ❞2 log L(θ) ❞θ2 −1 ✵✳✵✺ ✵✳✵✶ ✵✳✵✹✶✵ ✵✳✵✸✸✹ ✵✳✶✵ ≃ 0.00 ✵✳✵✵✼✹ ✵✳✵✵✼✷ ✵✳✶✺ ≃ 0.00 ✵✳✵✵✺✹ ✵✳✵✵✺✹ ✵✳✷✵ ≃ 0.00 ✵✳✵✵✹✺ ✵✳✵✵✹✺ ✵✳✷✺ ≃ 0.00 ✵✳✵✵✸✾ ✵✳✵✵✹✵

❚❛❜❧❡ ✻✳✶ ✕ ❇✐❛✐& ❡1 2❝❛41&✲1②♣❡& ❞❡ ˆθ5✱ ♣♦✉4 ❞✐✛24❡♥1❡& ✈❛❧❡✉4& ❞✉ ❞4✐❢1 θ

ˆ

θ5 ❛ 212 ❝❛❧❝✉❧2✳ ❉❡ ❝❡& ✺✵✵✵ &24✐❡&✱ ❧❡& ❝❛4❛❝124✐&1✐A✉❡& ❤❛❜✐1✉❡❧❧❡& ♦♥1 212

❡♠♣✐4✐A✉❡♠❡♥1 ❡&1✐♠2❡&✳

▲❛ ❚❛❜❧❡ ✻✳✶ ❞♦♥♥❡ ❧❡ ❜✐❛✐& ❞❡ ❧✬❡&1✐♠❛1❡✉4 ❞❛♥& ❧❛ ❞❡✉①✐I♠❡ ❝♦❧♦♥♥❡✳ ▲❛ 14♦✐&✐I♠❡ ❝♦❧♦♥♥❡ ❞✉ 1❛❜❧❡❛✉ ❞♦♥♥❡ ❧✬2❝❛41✲1②♣❡ ❡♠♣✐4✐A✉❡ ✭K ♣❛41✐4 ❞❡ ✺✵✵✵ &24✐❡&✮ ❞❡ ˆθ5✳ ❊♥✜♥✱ ❧❛ ❞❡4♥✐I4❡ ❝♦❧♦♥♥❡ ❞♦♥♥❡ ❧❛ ♠♦②❡♥♥❡ ❡♠♣✐4✐A✉❡ ✭&✉4 ❧❡&

✺✵✵✵ &24✐❡&✮ ❞❡ s −  ❞2 log L(θ) ❞θ2 −1 ✳

❖♥ 4❡♠❛4A✉❡ A✉❡ ❧✬❡&1✐♠❛1❡✉4 ˆθ5 ❞❡ θ ❡&1 ❞❡ ❜♦♥♥❡ A✉❛❧✐12✱ 1❛♥1 &✉4 ❧❡

♣❧❛♥ ❞✉ ❜✐❛✐& ❡1 ❞❡ ❧✬2❝❛41✲1②♣❡✳ ❉✬❛✉14❡ ♣❛41✱ ❡♥ ❝♦♠♣❛4❛♥1 ♥♦14❡ ❡&1✐♠❛1❡✉4 ❛✈❡❝ ˆθ3✱ ♦❜1❡♥✉ ♣❛4 ❧❛ ♠21❤♦❞❡ ❊▼❱ ❜❛&2❡ ✉♥✐A✉❡♠❡♥1 &✉4 ❧❡& ✐♥❞✐❝❛14✐❝❡& ❞❡

4❡❝♦4❞& ❞✉ ❈❤❛♣✐14❡ ✸✱ ❙❡❝1✐♦♥ ✸✳✸ ✭✈♦✐4 ❧❡& ❚❛❜❧❡& ✸✳✷ ❡1 ✸✳✸ ♣❛❣❡& ✻✵✱ ✻✶✮✱ ♦♥ ♣❡✉1 ❝♦♥❝❧✉4❡ A✉❡ ❧❡& ❞❡✉① ❡&1✐♠❛1❡✉4& &♦♥1 ♣4❡&A✉❡ &❛♥& ❜✐❛✐&✱ ❛✈❡❝ ✉♥❡ ♣❡1✐1❡ ♣42❢24❡♥❝❡ ♣♦✉4 ˆθ3♣♦✉4 ❧❡& ♣❡1✐1❡& ✈❛❧❡✉4& ❞❡ θ✱ ♠❛✐& ❧✬❡&1✐♠❛1❡✉4 ♦❜1❡♥✉ ❡♥ &❡

❜❛&❛♥1 &✉4 ❧❡& ❝♦✉♣❧❡& ❞❡& ❞♦♥♥2❡& (Rn, Ln)❡&1 ♠♦✐♥& ✈❛4✐❛❜❧❡✱ &✉41♦✉1 ♣♦✉4

❧❡& ❣4❛♥❞❡& ✈❛❧❡✉4& ❞❡ θ✳ ◆♦1♦♥& A✉❡✱ ❧✬❡&1✐♠❛1❡✉4 ˆθ3 ♦❜1❡♥✉ ❛✉ ❈❤❛♣✐14❡ ✸ ❡&1

❛✉&&✐ ✉1✐❧❡ ♣♦✉4 ❞♦♥♥❡4 ✉♥ ♣♦✐♥1 ❞❡ ❞2♣❛41 ❞❡ ❧✬❛❧❣♦4✐1❤♠❡ ♥✉♠24✐A✉❡ ♠❡♥❛♥1 K ˆθ5✳ ❊♥✜♥✱ &✐❣♥❛❧♦♥& A✉❡ s −  ❞2 log L(θ) ❞θ2 −1 ❡&1 ✉♥❡ ❜♦♥♥❡ ❛♣♣4♦①✐♠❛1✐♦♥ ❞❡ ❧✬2❝❛41✲1②♣❡ ❡①❛❝1 ❞❡ ˆθ5✳ V❛4 &✉✐1❡ ✐❧ ♥✬❡&1 ♣❛& ❞24❛✐&♦♥♥❛❜❧❡ ❞❡ ❝♦♥❥❡❝1✉4❡4