ÉTUDE NUMÉRIQUE ET EXPÉRIMENTALE DU SCHÉMA MODAL DE COQUES CYLINDRIQUES, FINIES, RAIDIES CIRCONFÉRENTIELLEMENT

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Submitted on 1 Jan 1990

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ÉTUDE NUMÉRIQUE ET EXPÉRIMENTALE DU SCHÉMA MODAL DE COQUES CYLINDRIQUES,

FINIES, RAIDIES CIRCONFÉRENTIELLEMENT

Bernard Laulagnet, C. Boisson, M. Gotteland, B. Guerin

To cite this version:

Bernard Laulagnet, C. Boisson, M. Gotteland, B. Guerin. ÉTUDE NUMÉRIQUE ET EXPÉRI- MENTALE DU SCHÉMA MODAL DE COQUES CYLINDRIQUES, FINIES, RAIDIES CIR- CONFÉRENTIELLEMENT. Journal de Physique Colloques, 1990, 51 (C2), pp.C2-253-C2-256.

�10.1051/jphyscol:1990261�. �jpa-00230682�

(2)

COLLOQUE DE PHYSIQUE

Colloque C2, suppl6ment au n'2, Tome 51, F6vrier 1990

ler Congrès Français d'Acoustique 1990

ETUDE NUMERIQUE

ET

EXPERIMENTALE

DU

SCHEUA

MODAL DE COQUES CYLINDRIQUES, FINIES, RAIDIES CIRCONF~RENTIELLEMENT"'

B. LAULAGNET, C. BOISSON, M. GOTTELAND et B. GUERIN

Laboratoire Vibrations-Acoustique, Bat.

303,

INSA de Lyon,

20.

Avenue Albert Einstein, F-69621 Villeurbanne Cedex, France

~ é s u m é

-

Nous proposons une méthode pour d é t e r m i n e r l e schéma modal d ' u n e coque c y l i n d r i q u e f i n i e e t r a i d i e c i r c o n f é r e n t i e l l e m e n t . C e t t e méthode dé- bouche e n p a r t i c u l i e r s u r un p r o g i c i e l q u i permet de d é t e r m i n e r a i s é m e n t les f r b q u e n c e s p r o p r e s e t les modes p r o p r e s a s s o c i é s d e c e t y p e de s t r u c t u r e . Summarv

-

The o b j e c t i v e of t h i s work i s t o a n a l y s e t h e modal scheme o f a r i n g f i n i t e s t i f f e n e d s h e l l , and t o propose a g e n e r a l method which r e q u i r e e a s y c o m p u t a t i o n s t o o b t a i n f r e q u e n c i e s and mode s h a p e s o f t h i s s t r u c t u r e .

INTRODUCTION

L ' é t u d e d e s v i b r a t i o n s l i b r e s d e s c o q u e s c y l i n d r i q u e s f i n i e s e t r a i d i e s c i r - c o n f é r e n t i e l l e m e n t à f a i t l ' o b j e t d e nombreux t r a v a u x [ I l , C 2 1 , 1 3 1 , [4]. Le b u t d e n o t r e p r é s e n t a t i o n e s t d e p r o p o s e r une approche t h é o r i q u e d e l ' é t u d e

d u shéma modal d e c e s s t r u c t u r e s q u i a b o u t i t numériquement à une démarche f a c i l e pour d é t e r m i n e r l e s f r é q u e n c e s p r o p r e s e t l e s rnodes p r o p r e s d e c e s s t r u c t u r e s .

II

-

APPROCHE THEORIQUE

L ' a n a l y s e v i b r a t o i r e d e s coques e s t b a s é e s u r l ' a p p r o c h e é n e r g é t i q u e [ S I . Les h y p o t h è s e s s u i v a n t e s s o n t c o n s i d é r é e s : l a coque e s t simplement appuyée, l e s r a i d i s s e u r s c i r c o n f é r e n t i e l s p e u v e n t a v o i r une s e c t i o n d r o i t e quelconque, e t pour une coque donnée l e s r a i d i s s e u r s peuvent ne p a s a v o i r l a même s e c t i o n d r o i t e : l e l o n g de l a coque l e s r a i d i s s e u r s peuvent ê t r e r é g u l i è r e m e n t r é p a r t i s ou non ; t h é o r i q u e m e n t il n ' y a p a s d e l i m i t e pour l e nombre de r a i d i s s e u r s p r é s e n t s s u r une coque. Considérons a l o r s l a f o n c t i o n de Hamilton pour une coque r a i d i e c i r c o n f é r e n t i e l l e m e n t p a r N r a i d i s s e u r s :

1

(1) $ =

\

^(TC-Wc)dt⁺

if:

^(Ti-Wi!dt

t 0

-

^\r a i d i " ç s e u r s

avec T : é n e r g i e c i n é t i q u e , W : é n e r g i e d e d é f o r m a t i o n .

a / La f o n c t i o n d e Hamilton d e l a coque non r a i d i e c o n s t r u i t e à p a r t i r d e s h y p o t h è s e s d e Donne11 e s t c l a s s i q u e . ( I n e r t i e r o t a t i o n n e l l e e t e f f o r t t r a n - c h a n t n é g l i g é s ) , v o i r modèle s u r l a f i g u r e 1.

b/ Pour c e q u i c o n c e r n e l e s r a i d i s s e u r s c i r c o n f é r e n t i e l s , n o t r e approche e s t b a s é e s u r l a t h é o r i e d e s p r o f i l s o u v e r t s e n v o i l e mince [ 6 ] , [ 7 ] . Voici les p r i n c i p a l e s h y p o t h è s e s : ( v o i r f i g u r e 2 e t f i g u r e 3 ) .

(1) Dans l e c a d r e du c o n t r a t n o 1.588 (INSA Lyon) E.D.F.

-

D.E.R.

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:1990261

(3)

COLLOQUE DE PHYSIQUE

F i g u r e 1 - Coque c y l i n d r i q u e r a i d i e e t système d e coordonnées

F i g u r e 2

-

Déplacement d e l a s e c t i o n d r o i t e d ' u n r a i d i s s e u r

F i g u r e 3

-

système d e coordonnées c u r v i l i g n e s

1/ Dans l e p l a n ( x , z ) l a forme d e l a s e c t i o n d r o i t e r e s t e inchangée a v a n t e t a p r è s d é f o r m a t i o n .

2/ Les c o n t r a i n t e s d e c i s a i l l e m e n t dans l e p l a n ( y , t ) s o n t n é g l i g e a b l e s . A i n s i l e champ de déplacement d ' u n r a i d i s s e u r de p r o f i l o u v e r t p e u t - ê t r e exprimé e n

" v a r i a b l e s d e coque".

A ' e t M s o n t d e s p o i n t s c o u r a n t s d a n s l e p l a n ( x , y ) de l a s e c t i o n d r o i t e d u r a i d i s s e u r ; 1 e s t l e p o i n t d ' a t t a c h e du r a i d i s s e u r e t O l e p o i n t du f e u i l l e t moyen de l a coque, il v i e n t :

a v e c :

wA, ( M , 1) : a i r e s e c t o r i e l l e de p ô l e A '

La f o n c t i o n d e Hamilton e s t a l o r s exprimée e n " v a r i a b l e ç de coque" p u i s q u e l e s e x p r e s s i o n s ( 2 ) s o n t i n t r o d u i t e s d a n s (1)

.

Maintenant, l e schéma modal d e l a coque non r a i d i e é t a n t d é t e r m i n é

,

les

déplacements de l a coque r a i d i e s o n t a l o r s e x p r i m e s s u i v a n t l e s développements s u i v a n t s :

Dnmjcos n y COS m rx/L

( 3 )

]

⁼

^@ 2

ⁿ ^j

^[

s i n n if s i n m ax/L

( w J

n=O m=ï j = l o s n s i n m ~ X / L

(4)

a v e c : L : longueur d e l a coque ; n e t m, r e s p e c t i v e m e n t l e s o r d r e s c i r c o n f é - r e n t i e l s e t l o n g i t u d i n a u x ; j , t y p e d e mode ( f l e x i o n , t o r s i o n , t r a c t i o n - compression) ;

Drim.,

E

.,

1, composantes du v e c t e u r p r o p r e . Tous c a l c u l s e f f e c t u é s , l a miniAisaPYdn d e l a f o n c t i o n n e l l e de Hamilton donne l e s é q u a t i o n s modales du mouvement :

( 4 mpqk ( a i q k - u 2 a -u 2Mi

+

C L' ( ~

^pqmjk)

i

^apmj

~

⁼^O

~

^{a v e c}^:

~ ~

pqk i = l m = l j=l

rn pqk' w ~ q k ^:r e s p e c t i v e m e n t , masse g é n é r a l i s é e e t p u l s a t i o n p r o p r e .

Mi Ri r e s p e c t i v e m e n t , élément d e l a m a t r i c e de masse g é n é r a l i - pqmJk' pqmjk ' s é e , e t élément de l a m a t r i c e de r a i d e u r g é n é r a l i s é e

l i é s a u ième r a i d i s s e u r , d ' a b s c i s s e l o n g i t u d i n a l e x i ' e t l a forme m a t r i c i e l l e :

Les p u l s a t i o n s p r o p r e s s o n t l e s s o l u t i o n s de l ' é q u a t i o n ( 5 ) e t l e s v e c t e u r s p r o p r e s a s s o c i é s p e r m e t t e n t de c a l c u l e r l e s déformées p r o p r e s .

I I I

-

CALCULS-RESULTATS

La p r i n c i p a l e d i f f i c u l t é numérique r e n c o n t r é e l o r s de l a mise a u p o i n t du p r o g i c i e l r é s u l t a n t e s t l a r é s o l u t i o n d ' u n système l i n é a i r e homogène c ' e s t - à - d i r e l a r é s o l u t i o n d ' u n e é q u a t i o n du t y p e f ( w ) = O. Le c a l c u l d e s d i f f é r e n t s d é t e r m i n a n t s e s t d é l i c a t c a r l a p r é c i s i o n du r é s u l t a t s e r é p e r c u t e s u r l e c a l c u l d e s v e c t e u r s p r o p r e s a s s o c i é s . Nous avons u t i l i s é l a méthode de Gauss a v e c s t r a t é g i e du p i v o t p a r t i e l a v e c , l o r s q u e c e l a é t a i t n é c e s s a i r e du p o i n t d e vue numérique, n o r m a l i s a t i o n de l a m a t r i c e de b a s e .

I c i , nous proposons une comparaison d e s r é s u l t a t s o b t e n u s p a r n o t r e approche a v e c ceux o b t e n u s p a r deux a u t e u r s i ¹^1, ^[²¹s u r une coque r a i d i e donnée p a r Hoppmann [ 1 1.

n m 1 2 3 4 Coque c y l i n d r i q u e de Hoppmann,

2 ( a ) 1530 2 0 4 0 3200 4 4 4 0 aluminium ; rayon : 1.925 i n ; ( b ) 1565 2174 3515 5091 é p a i s s e u r : 0.065 i n : l o n g u e u r :

15.53 i n ; 19 r a i d i s s e u r s c i r c o n f é - 1705 2301 3590 5120 r e n t i e l s , de s e c t i o n r e c t a n g u l a i r e , 3 ( a ) 4080 4090 4520 5000 h a u t e u r : 0.21 i n , l a r g e u r : 0.125 i n

( b ) 4321 4312 4545 5123 m : o r d r e l o n g i t u d i n a l ( c ) 4189 4198 4449 5031 n : o r d r e c i r c o n f é r e n t i e l .

4 ( a )

- -

7560 7800

( b ) 8027 7972 7968 8089

( c ) 7625 7579 7585 7713

5 ( a )

- -

11400

-

( b ) 11929 11882 11840 11842

( c ) 12012 11962 11915 11910

( a ) f r é q u e n c e s e x p é r i m e n t a l e s [ 1 1

( b ) f r é q u e n c e s t h é o r i q u e s ( é l é m e n t s f i n i s ) [ 2 ] ( c ) n o t r e approche.

L o r s d e l ' e x p o s é nous p r é s e n t e r o n s e n p a r t i c u l i e r l ' a n a l y s e de l a d e n s i t é moda- l e d ' u n e coque r a i d i e , e t une comparaison t h é o r i e - e x p é r i e n c e .

I V

-

CONCLUSION

Nous avons p r é s e n t é une méthode pour d é t e r m i n e r l e s f r é q u e n c e s p r o p r e s e t l e s modes p r o p r e s a s s o c i é s d ' u n e coque c y l i n d r i q u e f i n i e e t r a i d i e c i r c o n f é r e n t i e l - lement. C e t t e approche c o n d u i t à un programme de s i m u l a t i o n s i m p l e pour d é t e r - miner l e shéma modal de c e t y p e d e s t r u c t u r e .

(5)

COLLOQUE DE PHYSIQUE

BIBLIOGRAPHIE

[l] W.H. HOPPMANNII, 1958, J. Acous. Soc. Am. 30, 77. Some c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e f l e x u r a l v i b r a t i o n s o f o r t h o g o n a l l y s t i f f e n e d c y l i n d r i c a l s h e l l s . [2] A.M.J. AL-NAJAFI, WARBURTON G.R.,1970 J.S.V. 1 3 ( 1 ) , 9-25. F r e e v i b r a t i o n

of r i n g

-

S t i f f e n e d c y l i n d r i c a l s h e l l s .

131 I . D . WILKEN, W. SOEDEL, 1976 J.S.V. 4 4 ( 4 ) , 563-576. The r e c e p t a n c e method a p p l i e d t o r i n g

-

S t i f f e n e d c y l i n d r i c a l s h e l l s : a n a l y s i s o f modal c h a r a c - t e r i s t i c s .

[4] D.J. MEAD, N.S. BARDELL, 1987, 1 1 5 ( 3 ) , 499-520. F r e e v i b r a t i o n o f a t h i n c y l i n d r i c a l s h e l l w i t h p e r i o d i c c i r c u m f e r e n t i a l s t i f f e n e r s .

[5] B. LAULAGNET, Thèse

-

Rayonnement a c o u s t i q u e d e s c o q u e s c y l i n d r i q u e s f i n i e s r a i d i e s r e v ê t u e s d ' u n m a t é r i a u de masquage. 1989 INSA LYON, 190 p.

[ 61 VLASSOV B.Z., P i è c e s l o n g u e s e n v o i l e s minces, P a r i s , E y r o l l e s , 1962.

654 pages.

171 BAHUAUD J. e t VIALATON G., F l e x i o n e t t o r s i o n d e s p o u t r e s à p a r o i s minces e t à s e c t i o n d r o i t e o u v e r t e , INSA LYON 1980, 206 pages.