ax 2 + bx + c = 0

IFT 2425

EXAMEN INTRA

Max Mignotte

DIRO,Départementd'InformatiqueetdeReherheOpérationnelle,loal2377

Http ://www.iro.umontreal.a/

∼

mignotte/ift2425/

E-mail:mignotteiro.umontreal.a

Date :24/02/2009

I ... Mesured'Inertitudeet Ampliationd'Erreur(29pts)

II ... ErreurenArithmétiqueFlottante (29pts)

III ... MéthodeduPointFixeet deNewton(25pts)

IV ... Fatorisation

LU

^(17pts)

V ... Interpolation(17pts)

Total ...

117

^points.

Tous douments personnels, alulatries et alulateurs autorisés

Onaimeraitfaireunprogrammeinformatiquequirésoudautomatiquementleséquationsduseonddegré

dustyle

ax ² + bx + c = 0

^{. Aetten,leprogramme demanderadonà}l'utilisateurde rentrerau lavier lesvaleurs

a

^,

b

^et

c

^{et aheraensuitelerésultat,'estàdirelesdeuxraines(}

x 1

^et

x 2

^{)deette équation,}

enutilisantlaformulelassiquesuivante

x 1 = − b + √

b ² − 4ac

2a

⁽¹⁾

x 2 = − b − √

b ² − 4ac

2a

⁽²⁾

Onsuppose que l'on rentre les valeurssuivantes

a = 1.0

^,

b = 4.00

^et

c = 2.0

^{. On supposera aussique}

lavaleur de

a

^{est onnue sans}approximation et que lesdeux autres valeurssontonnues ave une erreur relativede

1%

^.

Onvousdemande de:

1. Soulignezleshiressigniatifsexat (se)existantdanslavaleurapproximéede

b

^et

c

^.

<4 pts>

2. Donnerlavaleurapproximéede

x 1

^et

x 2

^{donnéepareprogramme(i.e.,}

x ^∗ ₁

^et

x ^∗ ₂

^).

<2 pts>

3. Donner laborne supérieure de l'erreur absolue ou inertitude totale de

x 1

^et

x 2

^(i.e.,

∆x 1

^et

∆x 2

⁾

parlaméthodedepropagationd'erreur(utilisantl'approximationdeTaylordelafontionaupremier

ordre).

<10 pts>

4. En déduirel'erreurrelativequefaite programmedansl'estimation numériquede

x 1

^et

x 2

^.

<3 pts>

5. Montrerqu'uneautrepossibilitéseraitd'exprimer

x 1

^{sousette forme}

x 1 = − 2c b + √

b ² − 4ac

(3)

<2 pts>

6. Donner l' inertitude totale de

x 1

^(i.e.,

∆x 1

^{) par laméthode de} propagation d'erreurutilisant l'ap- proximationdeTaylordelafontionaupremierordrepourl'expression(3).

<5 pts>

7. Desdeux expressionspour

x 1

^{(Equations(1)et (3))laquelle peutonduireàdesproblèmesd'erreurs}

numériqueslorsque

b

^{seratrèsgrandparrapportà}

a

^et

c

^{.Justiervotreréponse.}

<3 pts>

Réponse

1.

Onarespetivementpour

b

^et

c

^{uneerreurabsoluede}

∆b = 0.04 < 0.5 × 10 ^{− 1}

^et

∆c = 0.02 < 0.5 × 10 ^{− 1}

^.

Ce quinousdonnerespetivement,

b ^⋆ = 4.00

^,

c ^⋆ = 2.0

^.

<4 pts>

2.

x ^∗ ₁ = −4 + √

4 ² − 4 × 1 × 2

2 = − 2 + √

2 ≈ − 0.58578

^et

x ^∗ ₂ = −4 − √

4 ² − 4 × 1 × 2

2 = − 2 − √

2 ≈ − 3.41421

<2 pts>

3.

Pour aluler l'inertitude(ou laborne supérieure de l'erreurabsolue) de

x 1

^et

x 2

^{, on doit alulerla}

diérentielle

∆x 1

^et

∆x 2

^{(fontiondesdeux variables}approximées

b

^et

c

^{etdelavaleurpréise}

a

^),i.e.,(en

posant

∆ = b ² − 4ac)

∆x 1 (b, c) = 1 2a

− 1 + b

√ ∆

∆b + − 1

√ ∆ ∆c

∆x 2 (b, c) = 1 2a

−1 − b

√ ∆

∆b +

√ 1

∆ ∆c

<8 pts>

Ave

∆b = 0.04

^et

∆c = 0.02

^,soitpuisque

√

∆ = √

4 ² − 4 × 2 ≈ 2.828427

∆x 1 = 1 2

− 1 + 4 2.828427

× 0.04 +

− 1 2.828427

× 0.02 ≈ 0.01535

∆x 2 = 1 2

−1 − 4 2.828427

× 0.04 +

1 2.828427

× 0.02 ≈ 0.05535

<2 pts>

4.

Onobtientdonuneerreurrelativede

∆x 1 /x ^∗ ₁ ≈ 0.01535/0.58578 = 2.62 %

^et

∆x 2 /x ^∗ ₂ = 0.05535/3.41421 ≈ 1.62 %

<3 pts>

5.

− b + √

b ² − 4ac

2a = − b + √

b ² − 4ac

2a · b + √

b ² − 4ac b + √

b ² − 4ac = − b ² + b ² − 4ac 2a(b + √

b ² − 4ac) = − 2c b + √

b ² − 4ac

<2 pts>

6.

∆x 1 (b, c) = − 2c

− 1 + √ ^b

∆

(b + √

∆) ²

∆b +

− 2(b + √

∆) − ^{√ 4c} _∆ (b + √

∆) ²

∆c

≈ 0.03539 + 0.0064644 ≈ 0.0418544

<5 pts>

7.

Lorsque

b

^{seratrès grandpar rapport à}

a

^et

c

^, l'expressionde

x 1

^{donnée par l'équation (1) aura une}

annulationdesedue àlasoustrationdedeuxnombresquasiégauxapproximées.

<3 pts>

1. Soitl'expresionnumérique suivante

f (x) = ln(x + p x ² + 1)

(a) Identiez,pourquellevaleurde

x

^{,etletypedeproblèmenumériquemajeurauquelseraonfrontée}

lealuldeetteexpression.

<3 pts>

(b) Caluler

f (x) + f ( − x)

^.

<2 pts>

() En s'aidantde la questionpréédente,trouverdon une façonde aluler

f ( − 10 ¹⁰ )

^{(et faîte e}

alul)quineferapasintervenirletyped'erreurnumériquemisenévideneàlapremièrequestion.

<3 pts>

2. Soitlaroutinesuivante

ALGO

matpds[...][...] Tableau 2D de flottants

nrj flottant

• nrj= 0.0

• for i = 0 to 500000, i++ do . . .

. . .

for l = 0 to 5000, l++ do . . .

. . .

if COND1 then nrj+=matpds[l][i]

else nrj-=matpds[l][i]

• return nrj

dans laquellelesélémentsdutableau matpds[℄[℄sontdes ottants(simplepréision) inférieurs à

1.0

et laCOND1estremplie9foissur10.

Ce programme marhe, par ontre, on s'aperçoit que l'on a une perte de préision au niveau de la

valeurottantenrj renvoyéeparetteproédure.

On aimeraitrésoudre e problèmede perte depréisiontout en gardantle alul enoat pluttque

d'utiliser des doublequi augmenteraienttnotreoût alulatoirepar unfateur

2

^{. Identiez lepro-}

blème numérique qui est à l'originede ette perte de préisionet proposerune solution, 'est àdire

unnouveaupseudo-ode,permettantderenvoyerunevaleurnrjpluspréise(i.e.,pourlaquelleette

pertedepréisionnumériqueseraatténuée) enonservantdesvaleursottantes(float)simplepréi-

sion.Justiervotreréponse.

<10 pts>

3. Expliquer pourquoilealul numériquedeesexpressions

(a)

cos( x )

√ x ² +1 − 1

(b)

− 1 + exp x

peuvent onduire à des problèmes d'erreurs numériques (identiez aussi pour quelle valeur de

x

^).

Expliquer pourquoi (i.e., identier et iter le problème numérique assoié) et proposer une formule

équivalentequi permettraitd'éviteresproblèmesnumériquesetqui permettraitd'augmenter lapré-

isiondesalulsdeesdeuxexpressions.

<6 pts>

ennumérotationottante(i.e.,lapluspetite valeurqui ajoutéeà

1.0

^{donneraunrésultatnumérique-}

mentdiérentde

1.0

^).

Ilexisteunedeuxièmedénitionpossibledel'Epsilonmahine(etquidonneraunrésultatlégèrement

diérentdeeluidonnéeparlapremièredénition)quionsisteàdireque

l'Epsilon mahine estla diereneentrela pluspetite valeur ottantesupérieurà

1.0

^et

1.0

^.

Trouverdonettevaleurorrespondantàettedeuxièmedénition.Utiliseràettenunereprésen-

tation ottante binaireave unformatdutype

± 0.xxxx . . .

^{(ave 24}

x

^,i.e,

24

^{bitspourlamantisse)}

dontunbitahépermettantderéerlebitdesigne(0 pourlesigne+)etunexposantsur

8

^bits

permettantd'exprimer lesvaleursdel'exposantde-126à127.

<5 pts>

Réponse

1.(a)

On aura un problèmed'annulationde se (perte de préision) due à la soustration de deux nombres

approximésquasiégauxlorsque

x

^{vatendreversmoinsl'innie}

x → −∞

^.

<3 pts>

1.(b)

f (x) + f ( − x) = ln(x + p

x ² + 1) + ln( − x + p

x ² + 1) = ln(x ² + 1 − x ² ) = ln(1) = 0

<2 pts>

1.()

La question préédente nous montre que

f (x) = − f ( − x)

^{et don le alul de}

f ( − 10 ¹⁰ )

^{[qui pose le}

problèmenumérique expliquéeen1.(a)℄pourraêtre remplaéeparlealul de

−f (10 ¹⁰ )

^{qui nepose,ette}

foisi,moinsdeproblèmed'erreurnumérique.

Lealulde

f (−10 ¹⁰ )

^{surmaalulatriemedonnelerésultat}numériquementfaux

f (−10 ¹⁰ ) =

^MaERROR

et le alul (mathématiquement équivalent) de

− f (10 ¹⁰ )

^{me donne le résultat très préis}

− f (10 ¹⁰ ) =

− 23, 71899811

^.

<3 pts>

2

Le problème qui engendre ette perte de préision provient de l'erreur de déalage nééssaire lorsque

l'ordinateurdoitsommer(ousoustraire)deuxnombresottantsd'ordredegrandeurtrèsdiérente.Eneet,

verslande ette proédure (pour

i

^{grand),onadditionne (ouon soustrait)un nombreinférieurà}

1.0

^à

unesommepartiellequivraisemblablementseradel'ordredeplusieursmillions.Certainsmatpds[℄[℄seront

dontrèsapproximésetlapréisiondelasommerésultante(i.e.,nrj)enseraaetée.

<4 pts>

Unefaçonderenvoyerunevaleurnrj pluspréise(i.e.,pourlaquelleette pertedepréisionnumérique

seraatténuée)seraitdefaireunesommepartiellepourles

5000

^{élémentsdeladeuxièmeboule(Forl).De}

e fait, lasomme nrj+=tmp àlan dela deuxième boule onernera desnombres d'ordrede grandeur

moinsgrandetlapréisiondenrjseraplusgrande.

<6 pts>

ALGO

matpds[...][...] Tableau 2D de flottants

nrj flottant

• nrj= 0.0

• for i = 0 to 500000, i++ do . . .

tmp=0.0

for l = 0 to 5000, l++ do . . .

if COND1 then tmp+=matpds[l][i]

else tmp-=matpds[l][i]

nrj+=tmp

• return nrj

Nota:Lorsquejeprogrammesurmonordinateurlaroutinenonorrigée,avedesmatpds[℄[℄=0.1etla

COND1,remplie9fois sur10;lavraievaleurde

nrj = 200 × 10 ⁶

^.J'obtient

2097152

^{enutilisantlaroutine}

nonorrigéeenoattant,soituneerreursurlavaleurnrjde

98.9%

^{ensimplepréision(etde}

3.65 × 10 ^{− 6} %

en double préision). Pour la routine orrigée, j'obtient une valeur de

nrj = 200.000016 × 10 ⁶

^{, soit une}

erreursurlavaleurnrjde

8 × 10 ^{− 6} %

^{ensimplepréisionsoituneerreuridentiquequeellefaîteendouble}

préision.

3.

Dans les deux as, on aura un problème d'annulation de se due à la soustration de deux nombres

approximésquasiégauxlorsque

x

^{tendra verszéro.}

<1 pt>

Pour éviter e problème, on doit érire es relations de telle façon que plus auune soustration de

deux nombres inertains (i.e., impréis) quasi égaux apparaissent. On utilise le onjugué de l'expression

√ x ² + 1 −1

^{quel'onmultiplieaunumérateuretau}dénominateurdanslapremièreexpressionetonutilisera undéveloppementlimitéede

exp(x)

^{auvoisinagede}

0

^{pourladeuxième} expression.

(a) cos(x)

√ x ² + 1 − 1 = cos(x) √

x ² + 1 + 1

x ² (x → 0)

<2.5 pts>

(b) − 1 + exp x = x ² 2! + x ³

3! + x ⁴

4! + . . . x ⁿ

n! (x → 0)

<2.5 pts>

4.

Lapluspetitevaleurottanteplusgrandeque

1.0

^soustraiteà

1.0

^estdansettenumérotationottante permetdealulerl'Epsilonmahineselonette dénition

0. 1000000000000000000001

| {z }

24

^bits

× 2 ¹

^-

0. 10..

|{z}

24

^bits

× 2 ¹ = 2 ^{− 23}

<5 pts>

Nota:l'unedesdeuxdénitionsdel'EpsilonmahinevientdeGNUlibmanualetdeladoumentation

deMirosoftVisual C++,l'autreprovientdustandartISOC(f.Wikipedia).

Onseproposedetrouvernumériquementdans

R ⁺

^{unevaleurapprohéed'unedesrainesdelafontion,}

f (x) = x − ln(1 + x) − 0.2

⁽⁴⁾

1. Méthode du point xe

(a) Montrer qu'il existe une raine unique

r

^{pour ette Eq. (4) dans} l'intervalle

J =]0, 1]

^{. En re-}

marquantque l'équation

f (x) = 0

^est équivalente à

g 1 (x) = x

^ave

g 1 (x) = ln(1 + x) + 0.2

^,

montrerquel'intervalle

J

^{estunintervallesurlequellaonvergeneversunesolutionuniquepar}

laméthodedupointxeest assurée.

<5 pts>

(b) Utiliserlerésultatde laquestionpréédente pouralulerles

5

^{premièresestimées}

r 1 , . . . , r 5 ,

^en

partantde

r 0 = 0.5

^.

<4 pts>

() Trouverdeux fontions

g 2 (x)

^et

g 3 (x)

^{avelesquelles}

• g 2 (x) = x

^et

g 3 (x) = x

^sontéquivalentesàl'équation

f (x) = 0

^.

•

^{Pourlesquellesvous}demontrerezqu'ellesnesontpasontratantessur

J

^{(i.e.,pourlaquellela}

onvergeneversunesolutionuniqueparlaméthodedupointxen'estpasassurée).

<6 pts>

2. Méthode de Newton

(a) Soit

Υ(x)

^{, lafontion}intervenantdanslaméthode itérativede Newtonpourlarésolution dela raine

r

^{del'équation (4)dans}

J

^{. Donner}

Υ(x)

^{ainsiquelarelationitérative}

r n +1 = Υ(r n )

^.

<3 pts>

(b) Établissezsilaméthodeitérativepréédenteseraonvergente(sionprend

x 0

^dans

J

^).

<4 pts>

() En déduire une valeur approhée de

r

^après

3

^{itérations (i.e., donner}

r 1 , r 2 , r 3

^{) (ave toujours}

r 0 = 0.5

^).

<3 pts>

Réponse

1.(a)

L'étude desvariationsdelafontion

f

^sur

J =]0, 1]

^{montre quelafontionest ontinueet}déroissante sur

J

^{(donmonotone)(}

f ^′ (x) = _1+x ^{− x} < 0

^sur

J

^.<1pt>

Deplus, ona

f (0) = 0.2

^et

f (1) = ln(2) − 0.8 < 0

^don

f (0)f (1) < 0

^{et il existedonune raine}

r

^unique

dansetintervalle.<1 pt>

Deplus

g ^′ ₁ (x) = 1

1 + x < 1 ∀ x ∈ J =]0, 1]

Lafontion

g 1 (x)

^{estdonontratantesur}

J

^{etlaonvergeneestassurée.}

<3 pts>

1.(b)

En partantde

r 0 = 0.50

^,ona,

r n = g 1 (r n − 1 )

^et,

r 1 = 0.6054651081 r 2 = 0.6734135016 r 3 = 0.7148655532 r 4 = 0.7393346829 r 5 = 0.753502674

<4 pts>

Nota:Cela sembleonvergertrèslentementvers

r = 0.7722498296

^.

1.()

f (x) = 0

^{est équivalentà}

x = g 2 (x) = exp( − 0.2) exp(x) − 1

^{. Sur}

J

^,

g 2 (x)

^{n'est pas ontratante ar}

g ₂ ^′ (x) = exp( − 0.2) exp(x)

^et

g ₂ ^′ (1) ≈ 2.2255 > 1

^.

<3 pts>

f (x) = 0

^{est équivalent à}

x = g 3 (x) = 2x − ln(1 + x) − 0.2

^{. Sur}

J

^,

g 3 (x)

^{n'est pas ontratante ar}

g ₃ ^′ (x) = 2 − _1+x ¹

^et

g ^′ (1) = 1.5 > 1

^.

<3 pts>

2.(a)

Lafontion

f (x)

^{estdérivablesur}

J

^{et ona}

g(x) = x − f (x)

f ^′ (x) = x − x − ln(x + 1) − 0.2

1 − _1+x ¹ = x − x − ln(x + 1) − 0.2

x 1+x

Onadonlaformuleitérativesuivante,

r n+1 = r n − r n − ln(r n + 1) − 0.2

r n

1+ r n

<3 pts>

2.(b)

Pourdémontrerlaonvergenedeettesuiteitérative,leplussimpleestdedémontrer(danseas)que

x 0

^{et laraine quel'on herhene sontpas séparéparunextrema delafontion}

f (x)

^{(i.e., unendroitou}

f (x)

^s'annule).

f ^′ (x) = ₁₊ ^{− x} _x

^et

f ^′′ (x) = ₍₁₊ ^{− 1} _{x )} 2 < 0 ∀ x ∈ J

^don

f ^′

^est déroissante sur

J

^{. De plus}

f ^′ (0) = 0

^et

f ^′ (1) = − 0.5

^{.Donmisaparten}

x = 0

^{(quiest exlude}l'intervalle

J

^),

x 0

^{et laraine quel'onherhene}

sontpasséparéparunextremadelafontion

f (x)

^{etlaméthodedeNewtondevraitonverger.}

<4 pts>

2.()

En partantde

r 0 = 0.5

^,ona,

r n = Υ(r n − 1 )

^et,

r 1 = 0.6054651081 r 2 = 0.6615776673 r 3 = 0.6964865586 r 4 = 0.7195112841

<3 pts>

IV. Fatorisation

LU

^{(17 pts)}

1. Déomposerlamatrie

A

^enproduit

LU

^(sanspermutation)parlaméthodedelafatorisationdirete.

<8 pts>

A =





1 4 5

2 12 18 3 15 22





2. Calulerledéterminantde

A

^.

<3 pts>

3. Onaimeraitalulerl'inversedelamatrieU.Donnerl'inversedeettematrieenfaisantlesopérations

qui numériquementpermettraienttde lefairele plusrapidementpossible.Préiser dansle asd'une

matrie

U

^dedimension

n

^{,laomplexité} algorithmiquedeettetehnique.

<6 pts>

Réponse

1.

Parfatorisationdirete, ontrouve,

A =





1 4 5

2 12 18 3 15 22



 =





1 0 0 2 4 0 3 3 1





| {z }

L< 4 pts >





1 4 5 0 1 2 0 0 1





| {z }

U < 4 pts >

.

2.

det(A)

=

^det(L)

×

^det(U)

= 1 × (4 × 1)

= 4

<3 pts>

3.

Numériquement,larésolutionparsubstitutionarrièredestroissystèmes

U x = (1 0 0) ^t

^,

U x = (0 1 0) ^t

^et

U x = (0 0 1) ^t

permettraitd'obtenirlestroisolonnesdelamatrie

U ^{− 1}

^.

<2pts>

Ontrouvefailement,pourlapremièreolonne,

x = (1 0 0)

^{.Pourladeuxième olonne,}

x = ( − 4 1 0)

^et

enn pourlatroisièmeolonne,

x = (3 − 2 1)

^{,'estàdirelamatrie}

U ^{− 1}

^suivante

U ^{− 1} =





1 − 4 3 0 1 − 2

0 0 1





<2 pts>

Soituneomplexitéde

n × O( ⁿ ₂ ² ) = O( ⁿ ₂ ³ )

^.

<2pts>

1. Trouver,enutilisantlaformuledeLagrange,uneinterpolationde

exp(0.5)

^{enutilisantlaonnaissane}

despointssuivantsettrouverensuiteunebornesupérieuredel'erreurd'interpolationassoiéeàette

estimation.

x k

^{0 1 -2}

y k = exp(x k )

¹

≈

^2.72

≈

^0.135

<10 pts>

2. Trouver,enutilisantlaformuledeNewton-Gregory,uneinterpolationde

exp(0.5)

^{enutilisantlaonnais-}

sanedespointssuivants

x k

^{-1 0 1}

y k = exp(x k ) ≈

^{0.37 1}

≈

^2.72

<7 pts>

Réponse

1.

En utilisantdonlepolynmedeolloationd'ordredeuxquipasseparestroispoints,ona

P 2 (x) = (x − 1)(x + 2)

− 2 + x(x + 2)

3 × 2.72 + 2(x − 1)

6 × 0.135

<4 pts>

Unevaleurinterpoléepour

exp(0.5)

^{estdonestiméepar}

exp(0.5) ≈ P 2 (x = 0.5) ≈ 0.625 + 1.13 − 0.0056 ≈ 1.7527

<2 pt>

Uneborne supérieuredel'erreurd'interpolationestdonnéepar

exp(0.5) − P 2 (0.5)

<

f ⁿ⁺¹ (ξ)

(n + 1) ! (x − x 0 ) (x − x 1 ) (x − x 2 )

ξ ∈ [−2, 1]

<

exp(1)

3 ! (0.5 − 0) (0.5 − 1) (0.5 + 2)

< ≈ 0.283

<4 pts>

2.

En prenantdonestroispoints(équidistantsetordonnés), letableau desdiéreness'érit

x y ∆y ∆ ² y

-1 0.37

0.63

0 2 1.09

1.71

1 2.72

Onobtientlepolynmesuivant

P 3 (s) = 0.37 + 0.63s + 1.09 s (s − 1) 2

<3 pts>

Pourl'interpolationontrouve,puisque

s = _h ¹ (x − x 0 ) = ¹ ₁ (0.5 + 1) = 1.5 P (x = 0.5) = P (s = 1.5) ≈ 1.7275

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