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Submitted on 1 Jan 1986
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Modèle de couplage entre les défauts et un écoulement parallèle aux couches dans un smectique A
P. Oswald
To cite this version:
P. Oswald. Modèle de couplage entre les défauts et un écoulement parallèle aux couches dans un smectique A. Journal de Physique, 1986, 47 (6), pp.1091-1096. �10.1051/jphys:019860047060109100�.
�jpa-00210284�
Modèle de couplage entre les défauts
et un écoulement parallèle aux couches dans un smectique A
P. Oswald
Université de Paris-Sud, Laboratoire de Physique des Solides, Bât. 510, 91405 Orsay Cedex, France (Reçu le 27 septembre 1985, accepté sous forme définitive le 10 février 1986 )
Résumé. 2014 Nous montrons qu’un réseau de paraboles focales ou une forêt de dislocations vis se couplent for-
tement à un écoulement parallèle aux couches en smectique A. Ce couplage engendre une concentration de la vorticité au voisinage des parois qui limitent l’échantillon et conduit à une augmentation notable de la viscosité apparente aux faibles taux de cisaillement que nous calculons. Ces prévisions théoriques sont comparées à l’expé-
rience. Nous présentons en particulier un dispositif simple, à la lame « flottante » qui permet une mesure fiable de la viscosité apparente d’un échantillon homéotrope.
Abstract. 2014 We show that, in a smectic A, a network of focal parabolae or a forest of screw dislocations are strongly coupled to a flow parallel to the layers. Because of this coupling, vorticity is concentrated near the walls limiting
the sample ; this leads to an increase of apparent viscosity with decreasing shear rate which we calculate. These theoretical predictions are compared with experimental data. We present a simple experimental set-up, with floating slide, which enables reliable measurements of apparent viscosity of a homeotropic sample.
Classification Physics Abstracts
61.30J
1. Introduction
L’experience montre qu’un smectique A cisaille paral-
16lement aux couches presente un comportement rheologique particulier, 1’6coulement se rigidifiant en
son centre. Cet effet, d’abord decrit en presence d’un
reseau de paraboles focales (que l’on obtient en dila-
tant legerement 1’echantillon [1]) subsiste a faible taux de cisaillement en echantillon hom6otrope [2] (Fig. 1).
L’hydrodynamique non conventionnelle [3] n’expli-
que pas ces observations, le coefficient de viscosite ?13
(qui decrit le glissement couche sur couche) ne pr6-
sentant pas de divergence en 1/co (cm 6tant la frequence
ou le taux de cisaillement en ecoulement continu [4]).
Des experiences de diffusion Rayleigh force ont
confirm6 ce resultat [5].
Pour expliquer la forme des profils des vitesses,
nous d6veloppons dans cet article un modele sim-
plifi6 de couplage entre les defauts et 1’6coulement.
Ces defauts peuvent etre des paraboles focales, bien
visibles au microscope polarisant, ou des disloca- tions vis, invisibles dans les memes conditions. Nous
savons n6anmoins, d’observations ant6rieures au
microscope electronique de repliques obtenues apres cryofracture, que les phases lamellaires contiennent
une densite importante de dislocations vis pouvant varier de 106 a 1011 cm-2 [6]. Nous savons 6gale-
Fig. 1. - G6om6trie de 1’echantillon et profil des vitesses observ6es exp6rimentalement en cisaillement parallele aux
couches.
[Geometry of the sample and velocity profile observed experimentally by shearing parallel to the layers.]
ment que ces dislocations jouent un role important
en fluage en compression normale aux couches
comme l’ont montr6 des experiences recentes aussi bien sur les systemes lyotropes [7] que dans les ther-
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:019860047060109100
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motropes [8]. Rappelons en particulier 1’existence de cette sequence d’instabilit6s h6licoldales des disloca- tions vis [8b] qui montre que ces d6fauts (ou la plupart
d’entre eux) traversent entierement 1’echantillon.
Le modele que nous proposons montre que tous
ces defauts genent 1’ecoulement et que la vorticit6 se concentre au contact des lames. Le calcul est mene d’abord dans le cas d’une ondulation des couches
qui simule grossierement un reseau de paraboles
focales puis dans le cas d’une foret de dislocations vis.
Dans ce deuxieme cas le comportement d’une dislo- cation vis et ses instabilit6s sont analyses. Cette approche th6orique permet de calculer explicitement
a la fois le profil des vitesses et la viscosite apparente de 1’echantillon en fonction du taux de cisaillement
applique. Ces resultats th6oriques sont compares a Inexperience. En particulier nous d6crivons un mon- tage simple, avantageux dans le cas smectique car il
61imine totalement 1’effet de lubrification [9] et per- met une mesure fiable de la viscosite apparente d’un echantillon hom6otrope.
2. Rigidifcation centrale de l’écoulement en presence
d’un réseau de paraboles focales.
Nous savons qu’une faible variation d’6paisseur d’un
echantillon hom6otrope conduit a la formation d’un reseau homogene de paraboles focales [10] (Fig. 2).
Ce m6canisme de nucleation reste globalement inchang6 lors d’une dilatation sous cisaillement paral-
16le aux couches a la difference pres que le reseau obtenu est beaucoup mieux ordonn6 [1]. Ce resultat
a 6t6 expliqu6 dans [11].
Dans ce paragraphe, nous tentons de pr6voir,
meme grossierement, quelles seront les propri6t6s de
1’ecoulement en presence de ce r6seau.
Pour r6pondre a cette question il convient d’abord d’6crire le champ des d6placements. Nous le d6si- gnons par u et 1’approximons (au moins en dehors
Fig. 2. - Reseau de paraboles focales (d’apres Rosenblatt
et ale [10]).
[Lattice of focal parabolae (from Rosenblatt et al. [10]).]
de la region de coeur des d6fauts, épaisse de quelques couches) par un reseau carre d’ondulation des cou-
ches :
Le choix des coordonn6es est precise sur la figure 1, d d6signe l’épaisseur de 1’echantillon.
Nous ferons par la suite deux hypotheses de tra-
vail :
- 1. Le champ de d6placement n’est pas modifi6
par 1’ecoulement. Les observations au microscope polarisant [1] montrent que le r6seau de paraboles
r6siste bien au cisaillement.
- 2. Le profil des vitesses est celui qui minimise 1’energie dissip6e. Cette approche se justifie si le
nombre de Reynolds de 1’ecoulement est petit devant
1 :
p est la densit6 voisine de 1 g/ ern 3, V la vitesse
impos6e aux lames (Fig. 1) et il la viscosite du smec-
tique (par souci de simplification nous faisons 1’hypo-
th6se que toutes les viscosit6s sont 6gales). Cette
condition est toujours largement satisfaite dans les
experiences d6jA cit6es.
Si la permeation est n6gligeable, ce qui requiert
de satisfaire a la condition [13] :
alors u = dt = Vz dt et la dissipation S ecrlt comme
dans un fluide visqueux :
Dans le cas pr6sent, nous cherchons la vitesse sous
la forme vx(z) n6gligeant ses variations p6riodiques
au
en x et y. Comme v y = 0 et v - z T x v x nous pouvonsp
écrire :
11 est facile de s’assurer que le dernier terme de cette
expression est n6gligeable (v_, v., et k q). Int6-
grant une premiere fois, nous obtenons par unite de surface dans le plan des couches :
La condition de minimisation s’ecrit :
Cette equation est a coefficients non constants. N6an- moins on peut, a ce niveau d’approximation, rem- placer (cos kz)’ par sa valeur moyenne sur 1’epais-
seur de 1’echantillon. La solution de (6) est alors
evidente :
Sur la figure 3, nous avons trace le profil des vitesses dans deux cas possibles :
1. Pour une ondulation simple au voisinage de
son seuil d’apparition. Nous savons qu’elle se d6veloppe [14] pour une dilatation 6 sup4rieure a la
valeur critique 6, :
K K module de flexion et B module de
(À.
=B’
K module de flexion et B module decompressibilité des couches) avec un vecteur d’onde
bien défini :
Ces r6sultats restent inchanges (avec une tres bonne approximation) en presence d’un 6coulement tant que le taux de cisaillement n’est pas trop grand
Quant a 1’amplitude de l’ondulation elle est donn6e
Fig. 3. -1) Profil des vitesses en presence d’une ondulation
de faible amplitude. 2) Profil en presence d’un reseau de paraboles focales.
[1) Velocity profile in the presence of an undulation of weak
amplitude. 2) Profile in the presence of a lattice of focal
parabolae.]
approximativement en fonction de 1’6cart au seuil par la relation [15] :
ce qui donne pour 6 = 2 ðc, uo = -a )..
Avec ces valeurs, le profil des vitesses (8) reste
sensiblement rectiligne (courbe 1, Fig. 3).
2. Pour un r6seau de paraboles focales de para- m6tre L (Fig. 2). Dans ce cas il convient de prendre
q I"OtJ 2 x/L et uo N L2/d. 11 apparait alors une forte rigidification centrale de 1’ecoulement et une concen-
tration importante de la vorticit6 au voisinage des
lames (courbe 2, Fig. 3). Un r6seau de paraboles
focales doit bloquer 1’ecoulement au centre de 1’echan- tillon. C’est bien ce qui a 6t6 observe [1].
3. Cas d’une distribution homogine de dislocations vis.
Que des coniques focales rigidifient 1’ecoulement en son centre n’est pas trop 6tonnant. Que cet effet
subsiste en leur absence (au moins au faible taux de cisaillement) 1’est plus.
Dans ce paragraphe nous proposons une inter-
pr6tation qui tient compte du couplage entre les
dislocations vis et 1’ecoulement, de simples ondula-
tions des couches, tres possibles exp6rimentalement, n’engendrant pas d’effets observables.
Ceci nous amene a r6pondre a deux questions :
que deviennent ces dislocations sous cisaillement et comment modifient-elles 1’6coulement ?
Pour r6pondre a la premiere question, consid6rons
une dislocation vis isol6e plac6e dans un champ de
V z
vltesse Vx = v = vZ . Sous I’action du cisaillement la ligne va se d6former. Pour trouver sa forme g6n6-
rale il suffit d’6crire 1’equilibre local d’un element de
ligne dl pris a la cote z. D6signons par a 1’angle que fait la ligne avec la normale aux couches (Fig. 4,
dz = ds cos a). La tension de ligne T, stabilisante,
Fig. 4. - Element ds d’une ligne de dislocation mixte.
[Element ds of a mixed dislocation line.]
1094
s’oppose a la force visqueuse f d6stabilisante ( f est
la force de resistance au glissement par unite de lon- gueur suivant z). L’6quilibre des moments (pres à l’origine en z = 0) s’6crit simplement :
Or nous savons que T - Ba2 (a 6paisseur d’une couche) [16] et que f - ?IV b2
2
[ 171, b étant le vec-
couche) [16] et que f f4’o.; 8 rw 2 1: r,,2 [17], b étant Ie vec- teur de Burgers de la dislocation et rc son rayon de
coeur. L’6nergie 61astique d’une dislocation vis variant
en b4 [18] les dislocations elementaires seront forte-
ment favoris6es (b = a). En supposant 6galement que le coeur est de structure n6matique, il est facile de
montrer qu’en statique r, - c distance moyenne entre deux molecules dans une couche [16]. Gardant
cette valeur en regime dynamique il vient, sachant
que typiquement alc - 6, f- rw/2. L’equation (12)
se r66crit dans ces conditions :
où T = 2 Vld est le taux de cisaillement applique et
D.-2
i - 16 Ba 2 un taux de cisaillement critique.
d2 q
Si r LC’ l’equation (13) peut etre satisfaite dans toute l’epaisseur de 1’echantillon : la ligne prend une configuration d’6quilibre stable.
Si r > rc la ligne est stable dans la region centrale d’6paisseur d * = dv/’T/-T,. En dehors de cette zone, elle devient instable et s’etale ind6finiment, la force visqueuse ne pouvant etre compensee par la tension de ligne. Ces diverses situations sont repr6sent6es sur
la figure 5.
Dans ce calcul, nous avons logiquement suppose
que le profil des vitesses n’6tait pas affect6 par la pr6-
sence d’une ligne isolce. Cette hypothese reste-t-elle
correcte en presence d’une foret de dislocations vis
(densite py = 1-2) ?
Fig. 5. - Formes d’equilibre d’une dislocation mixte pour des taux de cisaillement croissants.
[Equilibrium shapes of a mixed dislocation for increasing
shear rates.]
Supposons pour commencer que T,,,. Sous cette
condition, chaque ligne prend une configuration d’equilibre stable. Pour calculer le profil des vitesses
vx(z) (vx(± d/2) = + V) nous procédons par mini-
misation de 1’energie globale dissip6e. A notre approxi- mation, la dissipation ne depend pas de la forme de la ligne et vaut :
Comme dans 1’equation (6), le second terme decrit le couplage non lineaire entre les distorsions des couches induites par les d6fauts et 1’6coulement. Apres mini-
misation on obtient :
On retrouve un profil analogue a celui trouve dans
le paragraphe precedent (Fig. 3). Il se caractérise par
une forte rigidification centrale et deux couches limite de vorticit6 d’epaisseur y-1 6gale a la distance moyenne entre deux vis.
Une telle solution n’est valable qu’aux faibles taux de
cisaillement. Si r > T,,, chaque dislocation n’est stable que sur une 6paisseur d * d dans laquelle a lieu la dissipation. A 1’ext6rieur de cette zone, la ligne acquiert
un caractere coin et ne dissipe plus d’6nergie. Pour en
tenir compte, il suffit de multiplier dans (14) 1’energie dissip6e par les vis par le facteur d*ld. La solution du
probleme garde la forme (15) avec ici
Lorsque le taux de cisaillement augmente, y -1 aug- mente et le profil tend de nouveau vers un regime
lineaire. Celui-ci est atteint pour y -1 f"’t.I d/2 ce qui
donne :
Des expressions trouv6es, on peut tirer la viscosite apparente de 1’echantillon. On calcule de fagon 6vi- dente a partir de 1’expression (15) :
avec y -1 f"Ot.I I pour TT,, et y-1 = l( L/LC) 1/4 pour T>T,.
Nous avons report6 sur la figure 6 quelques courbes
de viscosite apparente calcul6es a partir de 1’equation (18) pour des densites différentes de dislocations vis.
En conclusion, ce modele rend bien compte des profils des vitesses anormaux d6jA observes exp6ri-
mentalement. 11 permet 6galement de pr6voir des
Fig. 6. - Viscosite apparente d’un echantillon homeotrope
sous cisaillement parallele aux couches calculee a partir de 1’equation (18). Nous avons choisi d = 100 f.1m, ty = 4 poises,
B = 10g erg/cm3. I est la distance moyenne entre deux dis- locations vis.
[Apparent viscosity of a homeotropic sample under shear
parallel to the layers, calculated from the equation (18). We
have chosen d = 100 f.1m, t¡ = 4 poises, B = 108 erg/cm3.
I is the average distance between two screw dislocations.]
anomalies importantes de la viscosite aux faibles taux de cisaillement. C’est ce que nous avons voulu tester
en r6alisant le montage qui suit.
4. Mesure de viscosite apparente.
Nous aurions pu pour cela utiliser un montage tradi- tionnel, par exemple un rh6ogoniom6tre cone-plan ou plan-plan. Malheureusement cet appareillage est mal adapt6 pour les raisons suivantes :
1) il est peu sensible aux faibles taux de cisaillement, 2) il est difficile de regler a mieux de 10- 3 rad le
parallelisme entre 1’axe du cone, celui du plan et celui
de rotation.
Cette deuxieme restriction est importante dans le
cas d’un smectique, car 1’effet de lubrification qui en
r6sulte est tres fort [9] et peut conduire a surestimer la viscosite d’un bon ordre de grandeur [16].
Pour éviter ces inconvenients, nous avons realise
un montage simple qui permet de mesurer la viscosite par comparaison avec celle d’un liquide connu. La
cellule de cisaillement que nous avons utilise est decrite dans la reference [1]. Le montage comprend (Fig. 7)
un echantillon smectique hom6otrope surmonte d’un echantillon de glycerine de viscosite bien connue. La
lame de verre interm6diaire est flottante. Ses deux faces sont paralleles a mieux de 10-4 rad et polies
a À 20. Pour chaque echantillon, le parall6lisme est
mieux que 2 x 10-4 rad. Par raison de commodite,
la lame inferieure est maintenue immobile et la lame
sup6rieure anim6e d’une vitesse v telle que :
Fig. 7. - Schema de principe du montage experimental.
1) Lames de verre a faces paralleles (mieux que 10-4 rad);
2) Echantillon hom6otrope de Sm A; 3) Glycerine ; 4) Mi-
croscope.
[Schematic representation of the experimental set-up.
1) Glass slides with parallel sides (better than 10-4 rad);
2) Homeotropic sample of Sm A; 3) Glycerin; 4) Micro- scope.]
Dans cette expression, ’1g d6signe la viscosit6 connue
de la glycerine, ’1app la viscosite apparente du smec- tique et d et D les 6paisseurs respectives des 6chantil- lons de smectique et de glycerine. En regime perma- nent, il est possible de travailler en deplacement, d’ou
la relation :
ou X est le deplacement impose de la lame sup6rieure
et x celui de la lame interm6diaire. Cette relation per- met de calculer ’1app les 6paisseurs d et D et les d6pla-
cements X et x 6tant connus par mesure directe au
microscope.
Assez facile a mettre en oeuvre, cette m6thode a
1’6norme avantage dans le cas smectique d’61iminer
l’effet de lubrification, l’epaisseur de 1’echantillon n’etant pas impos6e rigidement par 1’appareillage.
Seule, ici, est impos6e une contrainte de cisaillement,
le liquide isotrope n’offrant qu’une faible resistance . lors d’une petite variation d’epaisseur.
Si nous avons pu 61iminer cet effet parasite, reste
toutefois celui associ6 aux dislocations vis. Pour le verifier nous avons mesur6 la viscosite apparente du smectique en fonction du taux de cisaillement r = v/d.
Dans 1’exemple de la figure 7 nous avons d = 100 gum, D = 400 gm, T = 22 °C et ’1g = 12 poises. Nous
trouvons que la viscosite sature vers une valeur proche
de 4 poises et qu’elle augmente fortement aux faibles
taux de cisaillement. La comparaison avec les courbes
th6oriques de la figure 5 (meme echelle sur les deux figures) conduit a une distance moyenne entre vis 1 ~ 20 gum. Cette valeur n’est pas déraisonnable mais doit etre regardee avec prudence, malgr6 le bon accord quantitatif entre la theorie propos6e et Inexperience.
1096
Fig. 8. - Evolution de la viscosite apparente en fonction du taux de cisaillement. Cette courbe exp6rimentale se
confond bien avec la courbe theorique de la figure 6 a
condition de choisir 1 N 20 J.1m. Aux tres faibles taux de cisaillement ( 10-2 s-1) la viscosité mesur6e augmente plus vite que celle calculee. Ceci peut provenir d’effets de bord lies aux tensions superficielles des deux 6chantillons et d’effets de mouillage difficilement controlables.
[Evolution of the apparent viscosity as a function of the shear rate. This experimental curve fits well the theoretical
curve of figure 6 provided we choose 1 ~ 20 J.1m. With very
weak shear rates ( 10 - 2 s -1 ) the measured viscosity
increases faster than the calculated one. This can result from side effects connected with the surface tensions of the two samples and from wetting effects which are difficult
to control.]
En particulier la valeur de 1 depend fortement du choix
du rayon de coeur hydrodynamique dans 1’expression
de la force de friction qui agit sur une vis en mouve-
ment. Dans notre calcul nous avons pris r, - c, dis-
tance moyenne entre deux molecules dans une couche.
Si on prend un rayon plus grand, rc = nc, il convient
de prendre ici 1 - 20/n J.1m. Ayant de toute fagon
rc > c, la valeur trouv6e de 20 J.1m est n6cessairement par exces. Nous voyons ici que la connaissance de la densite des dislocations vis (peut-etre mesurable en
introduisant une sonde fluorescente ou des marqueurs
radioactifs) serait interessante pour estimer le rayon de coeur hydrodynamique d’une vis.
5. Conclusion.
Nous avons d6velopp6 un modele rheologique qui
rend bien compte des observations exp6rimentales, qu’il s’agisse de la forme des profils des vitesses ou
des mesures de viscosite apparente. Nous l’avons
applique au cas d’un 6coulement parallele aux cou-
ches. Mais il est clair qu’il peut etre 6tendu a d’autres geometries d’6coulement. Nous pensons par exemple
a des experiences en compression d’6chantillons pla-
naires. Neanmoins la situation risque d’etre plus compliqu6e, le coefficient de viscosite mis en jeu (172 dans les notations MPP [12]) pouvant presenter
une divergence en 1/i [4], bien que cela n’ait pas 6t6
prouv6 exp6rimentalement en 6coulement continu.
Remerciements.
J’ai bénéficié de discussions avec M. K16man, Mme
M. Veyssi6, Y. Qu6r6, 0. Parodi et H. Pleiner. Ce
demier m’a communique ses resultats sur la dyna- mique des dislocations vis avant publication. Je le
remercie ainsi que Mrs les Professeurs F. C. Frank et J. Friedel pour l’intérêt qu’ils ont port6 a ce travail.
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