Le gaz d'électrons et la transition métal-isolant à d dimensions : illustration de concepts liés à la symétrie de dilatation

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Submitted on 1 Jan 1975

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Le gaz d’électrons et la transition métal-isolant à d dimensions : illustration de concepts liés à la symétrie de

dilatation

G. Toulouse

To cite this version:

G. Toulouse. Le gaz d’électrons et la transition métal-isolant à d dimensions : illustration de concepts liés à la symétrie de dilatation. Journal de Physique, 1975, 36 (11), pp.1137-1141.

�10.1051/jphys:0197500360110113700�. �jpa-00208359�

LE GAZ D’ÉLECTRONS

ET LA TRANSITION MÉTAL-ISOLANT A d DIMENSIONS :

ILLUSTRATION DE CONCEPTS LIÉS A LA SYMÉTRIE DE DILATATION

G. TOULOUSE

Laboratoire de Physique ^{des Solides} (*), Université Paris-Sud, ^Centre d’Orsay

91405 Orsay, ^France

(Reçu ^{le 23 mai} 1975, accepté ^le 26 juin 19755

Résumé.

Le problème du gaz d’électrons chargés ^{est considéré} pour ^une dimensionalité d’espace

d arbitraire. L’étude du comportement ^des longueurs caractéristiques, longueur de corrélation et

longueur d’écran, ^fait apparaître ^{le rôle} particulier de la dimensionalité d

4, pour laquelle ^se

manifeste une propriété d’invariance d’échelle. Cette invariance d’échelle est illustrée par des considé- rations élémentaires sur le problème ^{à un} corps. Le comportement ^{des deux} longueurs, ^{et de leur} rapport 03BA, est discuté pour le ^cas homogène ^et pour le ^cas inhomogène, lorsque la transition métal- isolant est du type localisation.

Abstract.

The problem ^{of the} charged electron gas is considered for ^an arbitrary space dimen-

sionality ^d. Study of the behaviour of the characteristic lengths, correlation length ^and screening length, reveals the special role of the dimensionality d

4, for which appears ^a property ^{of scale} invariance. This scale invariance is illustrated by elementary considerations for the one body problem.

The behaviour of the two lengths and of their ratio _03BA, is discussed in the homogeneous ^{case and in}

the inhomogeneous case, when the metal-insulator transition is of the localized type.

Classification Physics ^Abstracts

8.150

7.480

1. Introduction.

Les progrès récents dans la théorie des phénomènes critiques ^des transitions de

phase ^{ont illustré} l’avantage d’étudier les systèmes physiques pour ^une dimensionalité spatiale d ^arbi-

traire et l’intérêt de considérer cette dimensionalité d

comme un paramètre pour des développements ^de perturbation. ^En outre, la méthode du groupe de renormalisation a fait voir l’importance ^des concepts liés aux opérations ^de dilatation : transformations d’échelle, invariance d’échelle [1].

C’est dans cet esprit qu’est ^{discuté ici le} système

du gaz d’électrons.

On sait _que, dans le problème ^{bien connu du} jellium (gaz d’électrons sur fond continu de charge positive) tridimensionnel, il existe deux longueurs ^caracté- ristiques j ^et Â, ^donnant respectivement la distance moyenne ^entre particules ^{et la} longueur ^d’écran [2].

A haute densité, ^on a À » j ^{et un} liquide métallique ;

à basse densité, ^on a À « j ^{et un} solide isolant (cristal

de Wigner) ; ^le changement ^de régime ^se produit pour À - j. ^En présence de désordre [3], il existe un seuil de localisation qui ^{ne se confond} plus ^{avec le bas de}

bande électronique ; ^le comportement ^des longueurs j

et Â, ^{l’allure du} diagramme ^de phases ^{ne sont} pas

encore bien compris ^et l’élucidation de ces propriétés

constitue l’une des motivations de ce travail.

Par ailleurs, ^le phénomène de l’écran (ici ^{écran de}

la charge électrique) ^{constitue en lui-même un} sujet

d’étude intéressant, ^du point ^{de vue des} symétries

brisées en particulier, sujet qui relie la transition métal- isolant à la transition supraconductrice (écran ^du champ magnétique) ^{et aux} transitions spontanées

de champs ^de jauge (confinement ^des quarks ?) [4].

Dans la première section, ^{le mode} d’extrapolation

en dimensionalité arbitraire d est précisé. ^{On voit}

alors apparaître naturellement le rôle particulier joué par la’dimensionalité d

4, pour laquelle ^une propriété d’invariance d’échelle apparaît : Â et j ^ne

sont plus ^deux longueurs indépendantes. ^Cette pro-

priété d’invariance d’échelle peut être étudiée sur le

problème ^{à un} corps, équivalent ^du problème ^de

l’atome d’hydrogène. ^On rappelle la solution classique (section 3) ^et la solution quantique (section 4) ^{de ce} problème élémentaire et mentionné partout [5], qui

est repris ici, ^{à titre} pédagogique, pour illustrer certains concepts ^de symétrie de dilatation. En section 5,

le problème ^du gaz d’électrons chargés ^{est considéré}

en dimensionalité arbitraire d, ^{en utilisant le théorème}

du viriel. Finalement, ^{en section} 6, ^sont présentées

diverses considérations sur la transition métal-isolant,

(*) Laboratoire associé

C.N.R.S.

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:0197500360110113700

1138

en milieu homogène ^{et en milieu} inhomogène (transi-

tion de localisation).

2. L’électrostatique ^{à d} dimensions et les deux

longueurs caractéristiques du gaz d’électrons.

2. 1 Le mode d’extrapolation des lois de l’électrostatique ^{à d}

dimensions peut ^sembler arbitraire _pourvu qu’on

retrouve les lois habituelles pour d

^{3. En} réalité, la manière physiquement raisonnable consiste à conser- ver l’équation ^de Laplace

en l’absence de charge, ^{et à} généraliser l’équation

de Poisson en

où p(r) ^est la densité spatiale ^de charge ^{et où C est}

une constante, choisie ci-dessous.

L’énergie d’attraction entre deux particules ^de charge opposée e et - e, ^{situées à} distance r dans un

espace de dimension d, ^{est alors}

où S(d) ^{est la surface d’une} hypersphère de rayon unité dans un espace de dimension d; ^{on choisit} alors C

S(d) pour raisons de simplicité d’écriture,

ce qui généralise la notation habituelle pour d

^3.

Noter qu’avec ^{ce mode} d’extrapolation, ^{la forme}

fonctionnelle de V(r) ^{varie avec} la dimensionalité d tandis _que la forme de sa transformée de Fourier

V(q) ^reste inchangée, ^en l/q2. ^En conséquence, ^{il faut}

noter que le problème d’un gaz d’électrons situés dans un film mince (ou situés à la surface libre d’un

liquide) ^{ne constitue} pas ^une réalisation physique ^du

cas particulier d

^{2 du} problème général ici considéré.

2.2 Considérons un gaz d’électrons de type jellium.

Pour une densité n d’électrons _par unité de volume,

on définit la longueur ro ^comme le rayon d’une

hypersphère de volume égal ^{au volume} disponible

par électron

en utilisant

où r désigne ^{la fonction} gamma.

Par ailleurs, pour des électrons, ^de spin t, ^obéissant

à la statistique ^{de Fermi, la} densité s’obtient en fonc- tion du vecteur d’onde de Fermi comme

d’où la relation entre kF ^et ro.

La longueur ^d’écran Â, ^seconde longueur du pro-

blème, s’obtient dans le cadre de l’approximation ^de Thomas-Fermi, ^en remplaçant ^dans l’équation ^de

Poisson la densité _{p par} sa forme linéarisée en V à

partir ^de

l’équation de Poisson devient alors

avec

Cette expression pour- peut ^{être mise sous forme} plus esthétiquement satisfaisante en utilisant l’expression

pour la fréquence ^de plasma

on obtient

On note que, tandis que j

1 IkF - ro, ^{on a}

d-2

À - ro2 . ^{On retrouve} bien le fait _{que, pour} la dimen- sionalité d

3, ^les longueurs j ^{et  ont} des variations différentes en fonction de la densité, si bien _que

À » j à haute densité et À « j à basse densité (Â ^étant

déterminé _par l’approximation ^de Thomas-Fermi).

Cependant, pour d

4, ^{on a :}

si bien qu’il n’y ^a plus qu’une longueur ^{dans le} pro-

blème, ^le phénomène ^de renversement du rapport Â/ ç

en fonction de la densité ne se produisant plus. ^Se reportant à la formule (2), ^{on note} que le rapport

1ï2 /me2, qui ^a les dimensions d’une longueur pour d

3 et constitue le _rayon de Bohr de l’atome d’hydro- gène, ^{devient sans dimension} pour d

^{4. Le} phéno-

mène d’invariance d’échelle pour d

^{4 dans le} pro- blème du jellium (une ^seule longueur caractéristique) peut donc être étudié au niveau élémentaire de l’atome

d’hydrogène, problème ^{à un} corps.

3. Potentiel en 1/r2. ^Solution _classique ^du problème ^à

un corps.

Nous considérons le problème ^défini par l’hamiltonien

Cet hamiltonien est une fonction homogène ^de degré 2 par rapport ^{aux variables} p ^et de degré - ²

par rapport ^{aux variables r. Il s’ensuit} (application

triviale du théorème d’Euler) que

Or le membre de gauche ^n’est autre, ^au signe près,

que le crochet de Poisson du viriel _r.p avec l’hamilto- nien ; ^{on a donc}

Il s’ensuit que la quantité

est une constante du mouvement.

Si les position ^et impulsion ^initiales (au temps

t

0) ^{de la} particule ^sont ro ^et po, ^on a, ^au temps t,

en vertu de la conservation de JC et Q,

La distance à l’origine obéit alors à l’évolution suivante

Cette loi d’évolution en fonction du temps ^montre

qu’il n’y ^a pas d’orbites fermées sauf dans le cas très restrictif

L’allure des trajectoires ^est aisément obtenue en

distinguant ^{les cas} répulsif (a 0) ^{et attractif} (a > 0)

et en examinant le signe ^du discriminant de l’équation

obtenue en faisant r2

0 dans (8).

Etant donnée une trajectoire r(t), d’énergie E,

on obtient _par une dilatation spatiale ^{dans le} rapport s,

une autre trajectoire r’(t’), d’énergie E’, ^{avec le dic-} tionnaire de correspondances ^{suivant :}

4. Potentiel en 1/r2. ^Solution quantique ^du problème

à un corps.

Nous allons rechercher les solutions de l’équation ^de Schrôdinger

avec

Bien _que nous soyons essentiellement intéressés ici _{par les} solutions dans un espace de dimension 4,

nous allons effectuer l’étude dans un espace de dimen- sion D arbitraire, parce que cela n’introduit aucune

difficulté supplémentaire.

La partie radiale de l’équation ^de Schrôdinger,

pour ^une onde de moment angulaire l, ^{s’écrit :}

avec

Dans le cas A = a

0, ^{on a un} problème ^de particule ^{libre avec} comportement ^à l’origine ^en

et comportement asymptotique ^en

Dans le cas général ^{A * 0, on tente de se} rapprocher

du problème ^de particule ^{libre en} définissant /, ^valeur effective ^de l, par l’équation :

Deux cas se présentent alors selon _que l’éq. (12)

admet des racines réelles ou complexes :

1) ^{Si A} 1 ( D )2 ^{cas d’un poten-}

tiel répulsif ^ou faiblement attractif, l’éq. (12) ^définit

une valeur effective / réelle

l’éq. (11) admet alors des solutions, d’énergie positive,

avec comportement ^à l’origine ^en

1140

et dont le comportement asymptotique ^est caractérisé par le déphasage

On note [6] que, dans la valeur critique A, ^{comme dans} l’expression ^du déphasage ô, la dimensionalité _spa- tiale D et le moment angulaire 1 n’interviennent _que par la combinaison 1 + D/2. ^{On note d’autre} part que ^le déphasage ^est indépendant ^de l’énergie.

2) ^{Si A} > A,,, ^{cas d’un} potentiel ^fortement attractif, il se produit ^le phénomène ^{de chute au} centre, il y ^a

un continuum d’états liés d’énergie négative ^arbitrai-

rement profonds. ^Pour des valeurs croissantes de A, c’est-à-dire du rapport ^{sans dimension} me’lh’, ^la catastrophe ^s’étend successivement ^aux états de moment angulaire 1 croissant.

Ces résultats peuvent être dérivés et compris ^à partir d’arguments ^de symétrie de dilatation. Etant donnée une fonction _propre y§(r), ^solution d’énergie E, de l’équation ^de Schrôdinger (10), ^{on obtient} par ^une dilatation spatiale ^{dans le} rapports, ^{une autre fonc-} tion propre y§’(r’), ^solution d’énergie E’, ^{avec le} dictionnaire de correspondances ^suivant

On en déduit immédiatement _{que s’il} existe un état lié, ^{il en existe un} continuum, ^et que le déphasage

des états non liés est nécessairement indépendant ^de l’énergie.

Si maintenant on considère l’opérateur viriel, ^on obtient l’équivalent quantique ^de l’éq. (5) :

5. Le théorème du viriel.

L’intérêt du théorème du viriel est ici de permettre ^{un lien entre le} problème

à un électron et le problème ^du gaz d’électrons chargés

et ceci à toute dimension d.

En dimension d, l’hamiltonien du _gaz d’électrons s’écrit

avec

L’opérateur ^{viriel B défini} par

obéit à l’équation ^{du mouvement}

La valeur _moyenne de B devant être stationnaire dans

un état propre du système, ^{on a}

et d’autre part

On obtient les valeurs _moyennes de l’énergie cinétique

et de l’énergie potentielle ^{dans un état} d’énergie ^{E :}

On retrouve bien ainsi les expressions ^connues pour le gaz d’électrons tridimensionnel. On voit d’autre part apparaître explicitement ^{le rôle} particulier joué

par la dimensionalité d

4.

6. La transition métal-isolant.

6. 1 . Il est com-

mode de considérer la transition métal-isolant à

température nulle, ^{en faisant} jouer ^à l’énergie ^de

Fermi EF ^{le rôle} particulier habituellement joué par la température ^{dans la} discussion des transitions de

phase (plus précisément EF joue le rôle de T. - T).

Partant d’un gaz d’électrons neutres, _pour lequel

la transition se produit ^à EF

⁰ faute de combat- tants, ^on voit que si l’on introduit une interaction

électrostatique ^entre électrons, l’effet de cette inter- action se fera sentir sur un intervalle d’énergies ^de

Fermi donné _par l’énergie ^{de crossover} E:

le critère étant obtenu, ^comme indiqué dans l’intro-

duction, ^{en faisant}

Noter que dans l’expression (17), ^{la constante de} couplage e2 peut ^{dans une certaine mesure être} considérée comme un paramètre variable, ^{dans la}

mesure où l’on peut faire varier la constante diélec-

trique du milieu substrat du _gaz d’électrons.

L’expression (17) ^{est tout à} fait semblable au critère de Ginzburg qui donne, pour ^une transition de phase ordinaire, ^la largeur ^{de la} région critique. L’expres-

sion (17) indique ^ainsi qu’à valeur donnée petite ^de

la constante de couplage e2 l’énergie ^{de crossover} Et

diminue lorsque la dimensionalité croît ce qui suggère

une réduction du domaine d’existence de la phase

cristalline de Wigner.

6.2 Il existe un autre type ^de transition métal-

isolant, ^induit par le désordre : c’est la transition de localisation [3]. ^On désigne ^{sous ce nom la transition}

obtenue lorsque ^le désordre transforme la nature des orbitales au niveau de Fermi, d’orbites délocalisées

en orbites localisées. Il s’agit ^donc essentiellement d’un

phénomène ^{à un} corps.

On peut alors obtenir [7] ^{un critère de} Ginzburg

pour évaluer l’intervalle d’énergies ^{de Fermi sur} lequel ^{se fait sentir} l’effet d’une concentration c

d’impuretés

6.3 Il apparaît clairement _que, toutes choses

égales par ailleurs, ^{à fort} désordre, ^{la transition}

métal-isolant sera du type localisation et à faible désordre, ^du type cristallisation; ^{il reste} toutefois nécessaire _pour élucider le diagramme ^de phases ^de

connaître l’ordre des transitions, ^ce qui ^se passe dans la région intermédiaire où les deux types ^{de transition}

entrent en compétition, enfin les modifications _que peuvent introduire les phénomènes ^d’ordre magnéti-

que. Sans prétendre traiter ici de tout cet ensemble de problèmes, ^nous allons maintenant présenter quel-

ques considérations sur le comportement ^{de la}

longueur ^{d’écran au} voisinage d’une transition métal- isolant du type localisation. Ceci vient en quelque

sorte compléter ^ce qui ^{a été} dit ci-dessus _{pour le}

cas homogène.

La phase ^isolante par localisation présente ^une

constante diélectrique e(q) qui ^{tend vers une constante} lorsque q --+ ⁰ (q ^vecteur d’onde). Lorsque l’énergie

de Fermi approche ^{du seuil de} localisation, ^{les orbi-} tales sont de moins en moins localisées, ^{et la constante} diélectrique e(0) diverge (pourvu ^{du moins} que la transition soit du second ordre, ^ce que ^nous suppo-

serons). Lorsque l’énergie ^{de Fermi est} supérieure

au seuil de localisation, ^le phénomène d’écran métal-

lique ^se produit ^{et la constante} diélectrique e(q) diverge ^en Ile pour q petit [2]. ^Ce comportement de e(q) ^{est valable en toute dimension} d’espace d :

c’est une conséquence directe du comportement ^en

1 Iq’ pour la transformée de Fourier du potentiel électrostatique.

Ce type ^de comportement ^{autour du} point ^de

transition est précisément ^{celui de la} fonction de corrélation transverse pour ^une transition de phase

ordinaire caractérisée _par un paramètre ^{d’ordre à n} composantes avec n * 1. Il ^est alors raisonnable

d’envisager ^la possibilité que, dans la transition ^de localisation, ^la polarisation joue le rôle de _compo- sante transverse du paramètre ^d’ordre (alors que dans une transition ferroélectrique, ^la polarisation ^est

composante longitudinale). ^{Si cette} attribution est correcte, elle permet ^de prédire ^que e(0), ^en phase localisée, diverge ^en (III AE DY ^{et que la} longueur d’écran, ^en phase délocalisée, diverge ^en (I/AE)t1v/2,

où les exposants y, q, ^v seraient, ^{selon diverses} prédic-

tions (que ^{l’on ne} rappellera pas ici, ^{voir références} dans [7]), ^{ceux d’un modèle n-vecteur avec n}

⁰ (n -# 1).

Si l’on considère le rapport K

À/ç, rapport ^de la longueur ^{d’écran à la} longueur ^de corrélation,

on constate alors _que, à la différence de ce qui ^se produit pour la transition supraconductrice [8], ^ce rapport, ^{même avec} les valeurs classiques ^des expo- sants, ^{ne reste} pas ^constant lorsqu’on ^{traverse la}

transition de localisation. Il ne semble donc _pas, au

moins à ce stade préliminaire, que l’on doive s’attendre pour la transition métal-isolant de localisation à un

phénomène semblable à celui de la division entre

supraconducteurs ^de type ^{1 et} II ; l’importance ^du problème ^rend cependant souhaitable une étude plus approfondie.

Dans le cas de la transition en milieu homogène,

le rapport ^{K, avec les valeurs} classiques ^des exposants,

4-d

se comporte ^en (AEf; ^{il n’est donc constant} que dans le cas limite d

4, ^{où se} produisent ^{alors les} comportements ^très particuliers considérés dans les sections précédentes.

Remerciements.

J’exprime ^ma gratitude ^à Philippe Nozières pour d’intéressantes discussions

sur certains points ^{abordés en section 6.}

Bibliographie

[1] Il existe maintenant plusieurs articles de

sujet. ^Une présentation élémentaire est donnée dans TOULOUSE, G.

et PFEUTY, P., Introduction

groupe de renormalisation

et à

applications (Presses Universitaires de Grenoble)

1975.

[2] PINES, D., NOZIÈRES, P., The theory of Quantum Liquids (Ben- jamin) ^1966.

[3] THOULESS, D. J., Phys. Rep. ^13C (1974) ^93.

[4] BALIAN, R., DROUFFE, ^J. M., ITZYKSON, C., Phys. ^{Rev. D 10} (1974) 3376.

[5] ^Voir par exemple : JACKIW, R., Phys. Today ²⁵ (1972) 23 ; LANDAU, L., LIFSHITZ, E., Mécanique Quantique (Mir)

1966.

[6] ^{Voir à}

propos BALIAN, R., TOULOUSE, G., ^Ann. Phys. ⁸³ (1974) 28.

[7] TOULOUSE, G., PFEUTY, P., ^{C. R. Hebd.} Séan. Acad. Sci. 280B

(1975) 33.

[8] ^DE GENNES, ^P. G., Superconductivity of Metals and Alloys

(Benjamin) ^1966.