Livre Théorie des fonctions holomorphes de plusieurs variables pdf - Web Education

des fonctions holomorphes

de plusieurs variables

CHEZ LE MÊME ÉDITEUR

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Géométrie algébrique, par D. Perrin. 1995,316 pages.

Groupes quantiques. Introduction au point de vue formel, par A. Guichardet. 1995, 164 pages.

Photons et atomes. Introduction à l'électrodynamique quantique, par C. Cohen-Tannoudji, J. Dupont-Roc, G. Grynberg. 1987,422 pages.

Processus d'interactions entre photons et atomes, par C . Cohen-Tannoudji, J. Dupont-

Roc, G. Grynberg. nouveau tirage, 1988,648 pages.

Hydrodynamique physique, par E. Guyon, J. P. Hulin, L. Petit. 1991,520 pages.

Éléments de chimie quantique à l'usage des chimistes, par J. L. Rivail. 1994, 2e édition, 456 pages.

Astrophysique : méthodes physiques de l'observation, par P. Léna. 1996, 2e édition, 528 pages.

Théorie

des fonctions holomorphes

de plusieurs variables

Christine Laurent-Thiébaut

Professeur à l'université Joseph Fourier (Grenoble 1)

S A V O I R S

A C T U E L S

InterÉditions

/

CNRS Éditions

f

DANGER

I

PHOTOCOPILL

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.

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20, rue des Grands-Augustins, 75006 Paris. Tél. : O1 44 07 47 70.

O 1997, InterÉditions, 5, rue Laromiguière, 75241 Paris Cedex 05 et

CNRS Éditions, 20/22, rue Saint-Armand, 75015 Paris.

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Tél. : O 1 43 26 95 35.

ISBN : 2-7296-0660-2 ISSN : 2-271-05501-6

Avant-propos

. . .

ix

Introduction

. . .

xi

I

Propriétés élémentaires locales des fonctions holomorphes

de plusieurs variables complexes

. . .

1

1 Notations et définitions . . . 1

2 Formule de Cauchy dans les polydisques . . . 4

3 Théorème de l'application ouverte . . . 8

4 Suites de fonctions holomorphes . . . 10

5 Applications holomorphes . . . 11

6 Quelques théorèmes d'extension holomorphe . . . 13

II

Courants. structures complexes

. . .

21

1 Courants . . . 21

2 Régularisation . . . 28

3 Indice de Kronecker . . . 38

4 Variétés analytiques complexes . . . 43

5 Structures complexes . . . 46

6 Formes différentielles de type ( p . q ) . . . 47

7 Opérateur

a.

cohomologie de Dolbeault . . . 49

8 Espace tangent complexe au bord d u n domaine . . . 51

III Noyau et formule de Bochner-Martinelli

.

Applications

. . .

55

1 NoyauetformuledeBochner-Martinelli-Koppelman . . . 55

2 Résolubilité du

8

pour une donnée à support compact . . . 61

3 Régularité du

8

. . .

66

4 Phénomène de Hartogs . . . 69

vi Table des matières

IV Transformée de Bochner-Martinelli et extension

de fonctions CR . . .

73

1 Transformée de Bochner-Martineili

. . .

73

2 Fonctions

C R

sur une hypersurface réelle

. . .

77

3 Théorème de Bochner

. . .

79

4 Formule de Stokes pour les fonctions

C R . . .

83

5 Primitives du noyau de Bochner-Martinelli

. . .

85

6 Un théorème d'extension de fonctions

C R . . .

87

V Extension de fonctions holomorphes et de fonctions CR

dans les variétés

. . .

91

1 Cohomologie à support compact et phénomène de Hartogs

. . .

91

2 Extension de fonctions

C R

de classe C"

. . .

94

3 FormuledeCauchy-Fantappié-LemmedeDolbeault

. . .

96

4 Isomorphisme de Dolbeault

. . .

101

5 Théorème de Bochner et extension de fonctions

C R

dans les variétés

. . .

105

VI Domainesd'holomorphieetpseudoconvexité

. . .

109

1 Domainesdholomorphieetconvexitéholomorphe

. . .

109

2 Fonctions plurisousharmoniques

. . .

117

3 Pseudoconvexité

. . .

129

VI1

Problème de Levi et résolution du

a

dans les domaines

strictement pseudoconvexes

. . .

143

1 Résolution du

d

avec estimations holdériennes dans les ouverts strictement convexes

. . .

144

2 Approximation uniforme locale des formes d-fermées dans les 3 Finitude de la cohomologie de Dolbeault dans les domaines strictement pseudoconvexes

. . .

155

4 Invariance de la cohomologie de Dolbeault par les extensions strictement pseudoconvexes

. . .

157

5 Théorème d'annulation pour la cohomologie de Dolbeault dans les domaines strictement pseudoconvexes

. . .

161

6 Formule intégrale pour résoudre le

a

avec estimation holdérienne danslesdomainesstrictementpseudoconvexes

. . .

163

7 Problème de Levi dans

cc"

. . . 170

domaines strictement pseudoconvexes . . . 153

8 Problème de Levi dans les variétés analytiques complexes

. . . .

174

VI11 Caractérisation des singularités illusoires pour les fonctions

CR

sur un bord strictement pseudoconvexe

. . .

189

1 Réduction au cas des fonctions continues . . . 189

2 Cas de la dimension 2

. . .

190 3 Caractérisationcohomologiqueendimensionn

2

2

. . .

192 4 Caractérisationdessingularitésillusoiresfaibles

. . .

194

Annexe A

. . .

203

1 Variétés différentiables

. . .

203 2 Partitions de l’unité

. . .

205

3 Espace cotangent en un point - Formes différentielles de degré 1 . 207 4 Espacetangentenunpoint-Champsdevecteurs

. . .

208

5 Algèbre des formes différentielles

. . .

211

6 Intégration des formes différentielles

. . .

216

7 Formule de Stokes

. . .

220

Annexe B

. . .

223

Annexe C

. . .

231

Bibliographie

. . .

235

Index des notations

. . .

239

Index terminologique

. . .

243

L‘origine de cet ouvrage est un cours fondamental de 3e cycle donné à l’Institut Fourier en 1994-95. Son objet est d’initier à la théorie des fonctions holomorphes de plusieurs variables complexes dans C” et dans les variétés analytiques com- plexes. I1 s’adresse en priorité à des étudiants en DEA ou débutant une thèse. I1 suppose connus les fondements de la théorie des fonctions holomorphes d’une variable complexe. Par contre, les bases de géométrie différentielle et de théorie des courants nécessaires à l’étude de l’analyse pluricomplexe sont rappelées dans l’annexe A et le chapitre II de ce volume.

Nous utilisons la méthode des représentations intégrales couplée avec la tech- nique des bosses de Grauert. Ce point de vue a l’avantage de proposer un pro- longement naturel en plusieurs variables des techniques d’une variable com- plexe et de conduire rapidement à d‘importants résultats globaux tout en évitant l’introduction de trop nombreux outils nouveaux. Ayant acquis ces méthodes, pré- sentées ici dans le cadre de la pseudoconvexité, le lecteur pourra aborder sans trop de difficultés la théorie d’Andreotti-Grauert, tant dans les variétés analytiques com- plexes que dans les variétés

C R

(cf. [He/Le2] et [L-T/Lel). Pour les applications, l’accent est mis sur les problèmes globaux d’extension de fonctions

C R

: phé- nomène de Hartogs-Bochner, étude des singularités illusoires pour les fonctions

CR.

La plupart des thèmes traités étant classiques, puisqu’ils font partie des fon- dements de l’Analyse Complexe, il est difficile d‘être original. Ce travail s’est donc largement inspiré d’ouvrages existants. Les sources utilisées ainsi que quelques re- pères historiques sont précisés à la fin de chaque chapitre. La bibliographie ne se propose pas d‘être exhaustive, c’est pourquoi de nombreux travaux fondamentaux en relation avec le sujet traité n’y sont pas inclus. Le lecteur intéressé par des notes historiques précises et une bibliographie beaucoup plus complète pourra consulter les notes de fin de chapitre et la bibliographie du livre de R.M. Range [Ra].

Une partie de ce livre (les paragraphes 5 et 6 du chapitre IV, le paragraphe 5 du chapitre Vet le chapitre VIII) doit beaucoup aux travaux de Guido Lupacciolu, disparu prématurément en décembre 1996.

X Avant-propos

Pour finir je voudrais remercier tous ceux qui m’ont aidée dans la rédaction de ce livre et plus particulièrement Alain Dufresnoy et Jürgen Leiterer. C’est grâce à

leurs remarques, tant sur la forme que sur le fond, que ce livre a pu atteindre sa forme finale.

Un grand merci égaiement à Myriam Charles pour la saisie d’un texte particu- lièrement riche en formules mathématiques et à Arlette Guttin-Lombard pour ses conseils Tg-niques.

Au début du siècle E Hartogs a mis en évidence les propriétes particulières d‘extension des fonctions hoiomorphes de plusieurs variables complexes en ex- hibant un domaine de

C2

qui n’est pas le domaine d‘existence d u n e fonction holomorphe (de tels ouverts n’existent pas dans C). La compréhension de ce phé- nomène est alors devenue un des principaux problèmes d‘analyse pluricomplexe. I1 fallait trouver de bonnes caractérisations des domaines d’existence des fonctions holomorphes, appelés domaines dholomorphie.

Les premiers travaux sur ce sujet, dus à E Hartogs [Har] en 1906 et E.E. Levi [Lev] en 1910, montrent que les domaines d’holomorphie satisfont certaines propriétés de convexité, que nous appellerons génériquement pseudoconvexité. L‘équivalence entre les différentes notions de pseudoconvexité, qui sont apparues au !Idu temps, a été prouvée par K. Oka [Okl dans les années 40. Les outils adaptés

à l’étude de la pseudoconvexité sont les fonctions plurisousharmoniques intro- duites indépendamment par i? Lelong [Lell] et K. Oka [Ok]. Dans les années 30, H. Cartan et P. Thuilen [Ca/Th] ont trouvé une caractérisation intrinsèque globale des domaines dholomorphie en termes de convexité par rapport à l’algèbre des fonctions holomorphes sur le domaine. Cette “convexité holomorphe” est un des concepts fondamentaux de l’Analyse Complexe. La caractérisation des domaines dholomorphie en termes de pseudoconvexité, encore appelée solution du pro- blème de Levi, a été donnée indépendamment par K. Oka [Ok], H. Bremmermann [Brl] et E Norguet [No] au début des années 50 pour les domaines de

Cn

et par H. Grauert [Gr] en 1958 pour les variétés analytiques complexes. Elle a nécessité la mise en œuvre de la théorie des faisceaux analytiques cohérents, qui s’est avérée être un outil puissant pour l’étude des espaces analytiques. La solution du pro- blème de Levi, que nous présentons ici, suit les idées de Grauert mais s’appuie sur la théorie des représentations integrales pour résoudre les problèmes techniques.

La théorie des représentations intégrales en Analyse Complexe trouve son ori- gine dans les travauxde H. Grauert, G.M. Henkin, I. Lieb et E. Ramirez [GrlLi, He1,2, Ram] au début des années 70. Depuis, cette théorie n’a cessé de se développer. Elle a permis de résoudre des problèmes inaccessibles par les méthodes antérieures et de retrouver, en les précisant, les principaux résultats de la théorie des fonctions

xii Introduction

holomorphes de plusieurs variables obtenus par d‘autres méthodes. I1 s’agit prin- cipalement de construire de bons opérateurs intégraux pour résoudre l’équation de Cauchy-Riemann. La résolution de cette équation est au cœur de la plupart des problèmes d’Analyse Complexe. Dans le cas de la résolution du problème de Levi, elle est à la base de la construction de la fonction holomorphe qui ne se prolonge pas.

Le résultat de Hartogs pose également le problème de l’extension des fonctions holomorphes définies au voisinage de tout le bord ou d’une partie du bord d’un do- maine et plus généralement des fonctions

C R

(c’est-à-dire des traces de fonctions holomorphes) définies sur tout ou partie du bord d’un domaine d’une variété analy- tique complexe. Une démonstration rigoureuse du résultat de Hartogs a été donnée indépendamment par S. Bochner [Bo] et E. Martinelli [Ma21 vers 1940 à l’aide d‘une formule intégrale, appelée aujourd’hui “formule de Bochner-Martinelli”. Depuis cette époque, cette formule joue un rôle fondamental dans l’étude de l’extension des fonctions C R dans Cn , mais ne permet malheureusement pas de résoudre les problèmes globaux d‘extension dans les variétés analytiques complexes. Le lien entre le phénomène d‘extension de Hartogs-Bochner et la résolution de l’équation de Cauchy-Riemann avec condition de support a été remarqué par L. Ehrenpreis [Eh] en 1961. C’est un point clé de l’étude de l’extension des fonctions

C R

dans les variétés. Au milieu des années 80, G. Lupacciolu et G. Tomassini [Lu/To] ont étu- dié dans un cas particulier le problème de l’extension d’une fonction C R définie sur une partie du bord d u n domaine. De nombreux mathématiciens ont contribué

à la résolution de ce problème d’extension au cours des dix dernières années. Les résultats que nous présentons ici sont principalement dus à G. Lupacciolu [Lu1,2].

Ces problèmes d‘extension globale sont bien sûr liés à la rcchcrche d’enveloppe d’holomorphie, mais également à un problème plus géométrique. I1 s’agit de la construction de chaînes holomorphes de bord donné. En effet si on considère le phénomène de Hartogs en termes de graphe, le graphe de l’extension holomorphe est une chaîne holomorphe dont le bord est la variété C R maximalement complexe définie par le graphe de la fonction

C R

donnée initialement.

Le livre est organisé comme suit :

Le chapitre I développe les propriétés élémentaires locales des fonctions holo- morphes de plusieurs variables complexes qui se déduisent de la théorie des fonc- tions holomorphes d u n e variable.

Dans une première partie, le chapitre II introduit les courants. La notion d‘indice de Kronecker de deux courants permet d’obtenir une formule de Stokes dans un cadre assez général. La seconde partie est consacrée aux variétés ana- lytiques complexes et à la définition des différentes notions liées aux structures complexes : formes différentielles de type ( p , q ) , opérateur

a

et cohomologie de Dolbeault.

Dans le chapitre III, nous démontrons la première formule de représentation in- tégrale : la formule de Bochner-Martinelli-Koppelman. La démonstration donnée

ici s’appuie sur la formule de Stokes pour l’indice de Kronecker. À l’aide de la for- mule de Bochner-Martineili-Koppelman nous commençons l’étude de l’équation de Cauchy-Riemann.

Le chapitre IV étudie le problème de l’extension des fonctions

C R

définies sur le bord d u n domaine borné de

C”

.

Le théorème d’extension de Bochner est dé- montré et un cas particulier d’extension lorsque la fonction n’est définie que sur une partie du bord du domaine est également considéré.

Le chapitre V traite du problème de l’extension des fonctions

C R

définies sur tout ou sur une partie du bord d’un domaine relativement compact d u n e variété analytique complexe. Nous étudions la relation entre ces phénomènes d’extension et l’annulation de certains groupes de cohomologie de Dolbeault.

Dans le chapitre Vi nous définissons les notions de domaine dholomorphie, convexité holomorphe et pseudoconvexité pour les ouverts de Cn. Nous prou- vons l’équivalence entre domaine dholomorphie et domaine holomorphiquement convexe et nous montrons que tout domaine dholomorphie est pseudoconvexe. La réciproque, appelée problème de Levi, est étudiée au chapitre ViI.

Le chapitre VI1 est consacré à la résolution du problème de Levi. La méthode s’appuie sur la résolution locale du

a

avec estimations holdériennes et sur l’étude de l’invariance de la cohomologie de Dolbeault par la technique des bosses de Grauert. L‘originalité de la démonstration donnée ici est l’utilisation d’un résultat dû à Laufer [Lau] qui permet de déduire l’annulation des groupes de cohomolo- gie de Dolbeault des théorèmes de finitudes obtenus par la résolution locale du

a.

Le chapitre se termine par la résolution du problème de Levi dans les variétés analytiques complexes et l’énoncé de plusieurs théorèmes d’annulation pour la cohomologie de Dolbeault qui permettent de donner des conditions géométriques suffisantes pour les phénomènes d’extension de fonctions

C R

étudiés dans le chapitre V.

Le chapitre VI11 donne des conditions nécessaires et suffisantes pour l’extension des fonctions

C R

définies sur une partie du bord d u n domaine strictement pseu- doconvexe.

-

Pour faciliter le travail du lecteur notons les faits suivants :

- Le chapitre III, les paragraphes 3 et 4 du chapitre Vet les chapitres VI et VI1 éla- borent l’ensemble de la théorie qui permet la résolution du problème de Levi, c’est- à-dire l’identité entre domaine dholomorphie et ouvert pseudoconvexe dans

C”

et l’identité entre variété de Stein et variété possédant une fonction dexhaustion strictement plurisousharmonique dans le cas des variétés.

- Le chapitre IV, les paragraphes 1, 2 et 5 du chapitre V, le paragraphe 8.3 du chapitre Vi1 et le chapitre VI11 sont consacrés à l’étude des phénomènes globaux d’extension des fonctions

CR.

Chapitre

I

Propriétés élémentaires locales des

fonctions holomorphes

de plusieurs

variables complexes

Ce chapitre est consacré à l'étude des propriétés locales des fonctions holomorphes de plusieurs variables complexes qui se déduisent directement de la théorie classique des fonctions holomorphes d'une variable complexe. L'élément de base de cette étude est une formule de Cauchy dans les polydisques qui généralise la formule de Cauchy classique. La plupart des théorèmes prouvés dans ce chapitre étendent au cas de plusieurs variables des résultats bien connus pour les fonctions holomorphes en dimension un (Théorème de l'ap- plication ouverte, Principe du maximum, Théorème de Montel, Théorème d'inversion lo- cale). Néanmoins, dans le cadre de l'étude de quelques problèmes d'extension holomorphe apparaît un phénomène spécifique à la dimension n, n

2

2, c'est le phénomène de Hartogs dont un cas particulier est exposé à la fin de ce chapitre. Ce phénomène sera étudié en détail dans le chapitre III.

1. NOTATIONS ET DÉFINITIONS

On note

N

l'ensemble des entiers naturels,

IR

le corps des nombres réels et C le corps des nombres complexes. Si n E

N

est un entier strictement posi- tif, l'ensemble

Cn

est muni de la structure d'espace vectoriel habituelle et si

z = (z1,

. . .

,z,) E

cc",

la norme de z est Iz( = (1.~11~

-+

.

.

.

+

On

définit un isomorphisme de R-espace vectoriel entre

Cn

et

R2"

en posant, pour

z = ( ~ 1 , .

. .

,

z,,) E

C n ,

zj = xj

+

iyj s i j = 1 , .

. .

,n.

Les opérateurs de dérivation holomorphe et antiholomorphe sont définis par

Si

a

= ( a l , .

.

.

,an)

E

PP

et ,8 = (pl,. . .

,&)

E

lV

sont des multi-indices et si 2 = ( 5 1 ,

. . .

,xn)

est un point de

R",

on pose

JaJ = a ~ + ' ~ ~ + a n , ( Y " ~ ! " . a , ! , x a = x " l . . ' x : " , 1

On écrira

D"

à la place de Dao et Dp à la place de

0'0

lorsqu'il n'y aura pas de risque de confusion.

Si D est un ouvert de

R",

l'espace vectoriel des fonctions continues sur D à

valeurs complexes est noté c'(O) ouC(D), celui des fonctions

k

fois continûment différentiables (IC E

N,k

>

O) est noté Ck(D). La réunion des espaces Ck(D), IC E

N,

est l'espace C"(D) des fonctions indéfiniment différentiables sur D. On vérifie aisément que

f

E c ' C ( D ) si et seulement si ~ a p f E

C ( D )

pour tout couple (a,/?) E

lV

x

i

V

tel que

ICI]

+

101 5

k.

Si

k

E

N,

l'espace vectoriel des fonctions

f

contenues dans

C k ( D )

et dont les dérivées Da

f

,lal<IC,

sont continues sur n e s t noté Ck

(n)

et C"

( D )

désigne l'espace des fonctions indéfiniment différentiables sur D dont toutes les dérivées sont continues sur

E.

Si D CC

R"

et si

f

E

C k

( D ) ,

k

E

N,

on définit la norme C k de

f

sur

D

par

Définition 1.1. Soit D un ouvert de

cc"

.

Une fonction f définie sur D à valeurs dans C est dite holomorphe sur D si

f

E C1 ( D ) et si

f

vérifie

8.f

-(z)

= O pourtout

z

E D e t t o u t j = 1 , . . . ,n.

(1.3)

azj

Le système d'équations aux dérivées partielles (1.3) s'appelle le système de Cauchy- Riemann homogène.

Remarque: il est clair que si

f

est holomorphe, alors

f

est holomorphe séparément par rapport à chaque variable. Plus précisément, si t = (z1)

.

. . ,zn) E D est fixé,

posons

Di =

{ t

E C

1

(21,.

.

. , ~ j - l , t , ~ j + l , .

.

.,.z,) E D } ,

I. Notations et définitions 3

alors la fonction fj : Dj

+

@ définie p a r t ++

f

(XI,.

. .

, z j - l , t , z j + l , .

. .

,zn) est

holomorphe.

On note O ( D ) l'ensemble des fonctions holomorphes sur l'ouvert

D

de

Cn

. Le résultat suivant est une conséquence directe de la Définition 1.1.

Théorème 1.2. Soit

D

un ouvert de

cc",

O(

D )

est une algèbre sur C et si

f E

O(

D )

satisfait

f

( z )

#

O pour toutz E

D

alors

f

E

O ( D ) .

Si

D

est un ouvert de

Cn

=

R2"

et

f

une fonction de classe

C'

dans

D ,

notons

df

( a ) sa différentielle en

a

E

D

; c'est l'unique application R-linéaire

IR2"

+

R2 telle que

f

( z

+

a ) =

f

( a )

+

df

(a)(.)

+

O( 1x1) lorsque

z

tendvers O dans

Cn.

Par un calcul simple on obtient

Une fonction

f

E

C ' ( I l )

est donc holomorphe sur

D

si et seulement si

pour tout

a

E

D .

Théorème 1.3. Une fonction

f

E C' ( D ) satisfait le système de Cauchy-Riemann homogène en un point a E

D

si et seulement si sa différentielle df ( u ) au point a est C-linéaire. En particulier

f

E O ( D ) si et seulement si sa différentielle en chaque point de D est C-linéaire.

Démonstration. Soient

f

E

C 1 ( D )

et a E

D.

D'après (1.4), on peut décomposer l'application IW-linéaire

df

( a ) de @" dans C en

df ( a ) = Sa

+ T a

L'application

Sa

est clairement @-linéaire et

T a

est la conjuguée de l'application

n

-C-linéaire

Ta

définie par

Ta

=

$$(u)dzj(a).

Comme toute application

R-

j=l

linéaire de @* dans C posséde une décomposition unique de ce type, d f ( u ) est @-linéaire si et seulement si

Ta

=

O, c'est-à-dire si

f

satisfait le système de Cauchy-

Riemann homogène. O

2. FORMULE DE CAUCHY DANS LES POLYDISQUES

Un sous-ensemble P de

Cn

est un polydisque ouvert, (respectivement : fermé), s'il existe des disques ouverts, (respectivement: fermés), Pl,

. . .

,P, de C tels que

P

=

Pi

x .

. .

x

P,.

Si < j est le centre de

Pj,

le point [ =

(CI,.

. .

,Cn)

est appelé centre de P et si rj est le rayon de Pj alors T = ( T I ,

. . .

, T , ) est appelé muftirayon

de P. L'ensemble d0P =

aPl

x .

. .

x aP, est le bord distinguéde P. Remarquons que doP n'est pas égal à la frontière de P dès que n

>

1. On note P = P(<,T) le polydisque de centre et de multirayon T .

Soit

P

=

P ( < , T )

un polydisque de

Cn

et g E C(d0P) une fonction continue sur le bord distingué de P. L'intégrale de g sur ûoP = aP1 x

.

. . x

aP,

est définie Par

g(C(û))eisl . . . eiendûl

. . .

dû,

s

lop

g(C)dCl.

. .

dCn = inr1

. . .

T ,

[ 0 , 2 K l "

o ù ~ ( û ) =

(Cl(e)

,...,

<,(e))

etCj(û) =

sj

+

rjeieJ p o u r j = 1 , . . .,n.

1,.

.

. ,n.

Si T et T' E R" on dira que T

<

T' si et seulement si, rj

<

T; pour tout j =

Le théorème suivant donne une formule de Cauchy pour les fonctions holo- morphes de plusieurs variables complexes qui généralise la formule de Cauchy classique. C'est un outil fondamental qui permet de généraliser au cas de plusieurs variables les propriétés élémentaires locales des fonctions holomorphes d u n e variable complexe.

Théorème 2.1. Soient P = P(u,r) u n polydisque de C" et

f E

C(P)

une fonction holomorphe séparément par rapport à chaque variable dans P , alors

Démonstration. Montrons tout d'abord par récurrencesur le nombre de variables que la formule (2.1) est vraie pour tout polydisque

P

= P(u,T),O

< T <

T ,

contenu dans

P.

Considérons l'assertion

(Cn) soit P un polydisque de Cn et

f

une fonction continue et séparément holomorphe au voisinage de

P ,

alors la formule (2.1) est valide.

Pour n = 1,

(CI)

est la formule de Cauchy classique que l'on suppose connue. Supposons que, si n

>

1,

(Cn-l)

est satisfaite. Fixons z = (21,.

. .

,z,) E

P

et appliquons (C,- 1) relativement aux ( n - 1) dernières variables pour le polydisque

P'

=

P2

x

. . .

x

Pn

de CY-'. On obtient alors

2. Formule de Cauchy dans les polydisques 5

Pour

(Cz,.

. .

,Cn)

fixédansdoP',lafonctiong définieparg(<)=f

(<&,

.

. .

,<,)

est holomorphe au voisinage de

Pl,

on peut donc lui appliquer la formule de Cau- chy. On a alors

L'assertion

(C,)

se démontre en substituant (2.3) dans (2.2) et en appliquant Si

f

satisfait aux hypothèses du Théorème 2.1 pour le polydisque

-

P = P ( u , T ) , elle vérifie les hypothèses de l'assertion

(C,)

pour tout polydisque

P

= P(a,T), O

< T

<

T et la formule (2.1) est valide pour

P,

soit

le Théorème de Fubini après avoir paramétré aP1 et &PI.

f (C) _{étant continue sur}

P\

_{{ z )}

_{on peut appliquer}

LafonctionC

-

(cl-zi)...(c

n - z n )

le Théorème de Lebesgue après avoir paramétré &P et faire tendre

T

vers T pour

obtenir (2.1). O

-

Corollaire 2.2. Soit D un ouuert de C" et

f

E C ( D ) une fonction holomorphe sépa- rément par rapport à chaque variable, alors f est de classec" dans -

D

et par consé- quentf E O ( D ) . Depluspourtouta E W ,

D"'f

E

O ( D )

e t D a f l f Odèsque

lBl #

0.

Démonstration. Pour tout

a

E

D ,

soit Pa un polydisque tel que

Pa

CC D. On peut alors appliquer le Théorème 2.1 à f et au polydisque Pa. La fonction ( ( , z ) M

étant continue sur doPa x Pa et de classe C" par rapport à z ,

f (O

( C i - z i ) . . . ( C n - Z n )

il suffit de dériver sous le signe dans la formule (2.1) (ce qui est possible) aussi O souvent que nécessaire pour obtenir le corollaire.

Théorème 2.3. Inégalités de Cauchy. Soient P = P(u,T) un polydisque de C" et

f

E O ( P ( a , r ) ) une fonction holomorphe sur P. Alors pour touta E W , on a

où 2 désigne le multi-indice (2,2,

. .

. ,2) E W

Démonstration. Fixons p tel que O

<

p

<

T et appliquons la formule de Cauchy

(2.1) à f et au polydisque P(a,p). Après dérivation sous le signe on obtient

où

1

désigne le multi-indice (1,1, .

. .

,1) E IV. On a alors la majoration

et on en déduit la formule (2.4) en faisant tendre p vers T .

En multipliant les deux membres de (2.6) par pa+n et en intégrant par rapport

à p, on obtient

P a f

(.)I

/

p a f n d p i

. . .

d p n -

<

[ O , l - i ] x . . . x [O,rnl

dpi.. ' d p n

/

If(c(o))lpi.. 'pndei

.

* * d e n

&

io

,.il x ... x [ O I T n ] [ O J T I " d où T"+2

<

-/

If(<)ldV (ai

+

2)

. .

( a n

+

2) - ( 2 ~ ) " _p(a,.) lD"f

(.)I

en utilisant le Théorème de Fubini et un passage en coordonnées polaires. O Corollaire 2.4. Pour tout (Y E W , p tel que 1

5

p

5

cc et tout ouvert

R

CC

D ,

il

existe uneconstantec =

C(cw,p,R,D)

telleque

Ilo"fllf2

5

cllf

IILP(D) p0urtout.f E

o ( D )

Lp(D).

Démonstrarion. Fixons

6

tel que O

<

6

<

dist(0,bD) et soit T = 6 alors pour

tout a E Cl,P(a,r) CC

D

et on aïestimation (2.5). Comme de plus

Jn

llfllL1(P(a,r))

5

C p l l f l I ~ P ( ~ ( a , r ) )

i

C p l l f l I ~ P ( ~ )

le corollaire est démontré.

o

Une des applications principales de la formule de Cauchy (2.1) est l'analyticité des fonctions holomorphes de plusieurs variables. Pour prouver ce résultat nous avons besoin de la notion de convergence pour une série indexée par IV.

Soit ( u , ) , ~ w " une famille de nombres complexes, on dira que la série

a ,

,EN(" est absolument convergente si

laal

= sup

{

laal

:

F

c

w

finie

1

<

+cc. ,EN" f f E F

Sous cette condition il existe un élément unique

A

de C tel que

On écrit alors A =

(T est une permutation de

IV,

la série

a ,

et A est appelée somme de la série

,EN" a E W

a,.

De plus, si an(,) est convergente et sa somme est

,EN"

2. Formule de Cauchy dans les polydisques 7

indépendante de la permutation (T. On a également a , ₌

c

(

c

a,).

OEM" kEM Icrl=k

Si ( f,),Epqn est une famille de fonctions continues sur un ouvert D de

Cn

et K un compact de

D .

On dira que la série f a converge normalement sur

K

si la série

sup

I

f a (2)

I

est convergente. a E N n

,EN" z E K

Considérons plus particulièrement le cas où f a ( 2 ) est un monôme, c'est-à-dire

f ,

( 2 ) = a,za = a,zyl . . . 2:". Comme dans le cas d u n e variable on a le Lemme

d'Abel :

Lemme 2.5. Supposons que pour

<

E Cn, avec

&

#

O pour tout j , la série

a,<, soit absolument convergente. Alors la série a a z a converge nor-

,EN" a E W

malementsurlepolydisque{z 6

Cn

1

lzjl

5

I&/}.

Théorème 2.6. Soient

D

c

Cn un ouvert et

f

E

Q ( D )

une fonction holomorphe sur

D ,

alors f est développable en série entière au voisinage de chaque point de

D ,

Le. si< E

D ,

il existe u n voisinage V de< dansCn tel que, pour toutz E V , on a

De plus la série du second membre converge normalement vers la fonction

f

sur tout polydisque f e r m é p C

D

centré en<.

Démonstration. Soit

<

E

D

et P CC D un polydisque centré en <. Pour tout z E P e t < E doP

Le second membre converge normalement par rapport à

<

sur doP. On peut alors intégrer terme à terme dans la formule de Cauchy (2.1) appliquée à f et au poly- disque

P.

Si z E

P ,

on a donc

De plus en dérivant sous le signe dans la formule (2.1), on obtient

La deuxième assertion du théorème est une conséquence du Lemme 2.5. O Corollaire 2.7. Principe du prolongement analytique. Soit

D

C @" un ouvert

connexe.

Si

f E

O ( D )

et s'il existe

a

E

D

tel que

D a f ( a )

= O pour tout Q E W ,

alors f ( z ) = O pour tout z E

D.

En particulier, s'il existe un ouvert non vide

U

C D tel que f (2) = O pour toutz E U alors

f

_= O sur D.

Démonstration. D’après le Théorème 2.6, l’ensemble

R

= { z E

D

I

D ” f ( z )

= Opourtouta E

W }

est ouvert. Par continuité des fonctions

D”

f ,

0

est aussi fermé. L‘ouvert

D

étant O On déduit aisément de la Définition 1.1 et des Théorèmes 2.1 et 2.6 la caractéri- connexe et

R

#

0,

on a

R

=

D.

sation suivante des fonctions holomorphes de plusieurs variables :

Corollaire 2.8. Soient

D

un ouvert de Cn et

f

une fonction de

D

dans @. Les asser- tions suivantes sont équivalentes.

u f

E O ( D ) ,

2)

f

E C(

D )

et

f

est séparément holomorphe en z1, . .

.

,zn,

3) pour tout polydisque

P

cc

D , f

vérifie la formule de Cauchy (2. i),

4) pour tout z E

D ,

f

est développable en série entière au voisinage de z. En fait l’hypothèse

f

E

C ( D )

peut être supprimée dans 2). L‘équivalence entre 1) et 2) ne nécessite aucune régularité par rapport à l’ensemble des variables, c’est le théorème de Hartogs [Har].

Théorème 2.9. Soit D un ouvert de

a?,

f

E

O ( D )

si et seulement si

f

est holo- morphe séparément par rapport à chaque variable.

Un tel résultat est faux pour les fonctions de plusieurs variables réelles comme le prouve le contre-exemple suivant :

Soit

f

:

R2

+

R définie par

La fonction f est analytique réelle séparément par rapport à chaque variable mais eiie est non bornée au voisinage de O.

3. THÉORÈME DE L‘APPLICATION OUVERTE

Le théorème de l’application ouverte et le principe du maximum qui s’en déduit s’étendent sans difficulté aux fonctions holomorphes de plusieurs variables. Théorème 3.1. Soit

D

u n ouvert connexe de Cn et f une fonction holomorphe sur

D.

Si f n’est pas constante alors l’application

f

:

D

-+

@ est ouverte (i.e. l’image d u n ouvert de

D

est u n ouvert de Cl.

Démonstration. Soient

a

E

D

et U un voisinage convexe de a , contenu dans

D .

D’après le principe du prolongement analytique

flu

$ f ( a ) car f n’est

3. Théorème de l’application ouverte 9

pas constante et D est connexe. Soit b E

U

tel que

f

( b )

#

f ( a ) , considérons

R

= {z E C

I

a

+

z(b - a ) E V } etposonsg(z) = f ( u

+

z(b - a ) ) pourz E

R.

L‘ouvert

R

est convexe et contient O et 1, de plus g(0) = ! ( a )

#

f(b) = g(1). D’après le théorème classique en dimension 1, g(R) est un voisinage de f(u).

O Comme f (

U )

3 g(R) le théorème est démontré.

Corollaire 3.2. Principe du maximum. Soient

D

un ouvert connexe borné de Cn et

f

une fonction holomorphe dans

D

et continue dans

D.

Si f n’est pas constante, on a pour tout

z

E

D

Démonstration. La continuité de f sur

D

et le théorème de l’application ou- verte impliquent que

f ( D )

= U est un ouvert borné. Soit w E

d U ,

alors

w = lim

f

(z,,) où ( Z , , ) , , ~ N est une suite de points de

D

dont on peut extraire une sous-suite qui converge vers un point de

d D ,

car

f

est ouverte. Par consé-

,,-io0

Corollaire 3.3. Soit f une fonction holomorphe sur un ouvert connexe

D

de C” .

Si

If

1

possède un maximum relatifen zo E D alors

f

est constante sur

D .

Démonstration. Soit V un voisinage ouvert connexe de zo dans

D

tel que pour tout z E

V ,

If

(.)I

5

I f

(.O)[. Supposons que f ne soit pas constante sur V , alors

d’après le Théorème 3.1, f ( V ) est un ouvert contenu dans le disque fermé de centre O et de rayon

If

(zo)

1,

il est donc nécessairement contenu dans le disque ouvert, ce qui est absurde. Par conséquent f est constante sur V et

D

étant connexe f est O Terminons ce paragraphe par une version du Lemme de Schwarz pour les fonc- constante sur

D

par le principe du prolongement analytique.

tions holomorphes de plusieurs variables.

Théorème3.4. Soitf unefonctionholomorphesurB(0,R) = { z E C”

I

IzI

<

R } .

On suppose que f admet l’origine comme zéro d’ordre IC, i.e. le développement de

Taylor de f en O ne comporte pas de termes d’ordre strictement inférieur à IC, et que

If

I

estbornépar uneconstanteM s u r B ( 0 , R ) . Alors

Démonstration. Pour z

#

O

fixé

dans

B(0,R)

et u E C tel que lu1

<

R

on pose

cp(u) =

f ( u 6 ) .

La fonction cp ainsi définie est holomorphe sur le disque

D(0, R)

de C et IqI est borné par

M

sur ce disque. De plus cp s’annule à l’ordre

k

en O. On peut dors considérer la fonction 9 ( u ) =

9,

elle est holomorphe sur

D(0,R)

et

si O

<

T

<

R,

on a 1Q(u)1

5

9 ,

si lu1 = T . D'après le principe du maximum

appliqué à

q ,

on a encore IQ(u)I

5

$,

si

l

u

1

5

T . En particulier si on choisit

T

2

1x1

e t u =

IzI

onobtient l Q ( l z l ) l

5

$

ouencore

If(.)[

5

Ml:l

. Cette inégalité étant valable pour tout T tel que IzI

5

T

<

R,

en passant à la limite on

O obtientdonclf(z)l

5

M I % [ .

k

k

4. SUITES DE FONCTIONS HOLOMORPHES

Soit D un ouvert de C". On dit qu'une suite ( f J ) 3 E ~

c

C ( D ) converge unifor- mément sur tout compact de D s'il existe une fonction f E C ( D ) telle que, pour tout compact

K

de

D,

la suite

(

f j ) j G N converge uniformément sur K vers f .

Nous allons définir une structure d'espace vectoriel topologique métrisable sur C( D ) pour laquelle la convergence des suites est équivalente à la convergence uni- forme sur tout compact. Un système fondamental de voisinages de O pour cette to- pologieest donnéparles ensembles V K , ~ =

{f

E C ( D )

1

s u p z E K l f ( z ) I

<

E } , où

K décrit la famille des compacts de D et E varie dans

Et;.

Comme D est réunion

dénombrable de compacts, la topologie ainsi définie est métrisable. Plus précisé-

w

ment, soit ( K j ) j E ~ une suite exhaustive de compacts de D , i.e. D =

u

Kj et

j = i

O

Kj CKj+i (avecparexempleKj = { z E D

1

d ( z , d D )

2

+,Iz/

5

j } ) . Pour

la topologie ci-dessus.

L'espace C ( D ) muni de cette topologie est complet, c'est un espace de Fréchet. On munit le sous-espace vectoriel O ( D ) de C ( D ) de la topologie induite par celle d e C ( D ) .

Théorème4.1. O ( D ) est un sous-espace fermédeC(D) etpour touta E

I

V

lesopé- rateurs Da sont continus de O ( D ) dans lui-même. Plus précisément si

(

f j ) j E N C

O(

D)

converge uniformément sur tout compact de

D

vers une fonction f E

C(

D ) , alors f E O ( D ) et pour toutcu E W , la suite ( D a f j ) j E N converge uniformément

sur tout compact de

D

vers D a f .

Démonstration. Elle est analogue à la démonstration dans le cas de la dimension 1.

I1 suffit de remplacer la formule de Cauchy classique par la formule de Cauchy dans

les polydisques. O

Définition 4.2. Un sous-ensemble

S

de O ( D ) est borné si et seulement si pour tout compact K

c

D

on a

5. Applications holomorphes 1 1

Nous donnons maintenant une caractérisation des parties compactes de

O ( D )

qui s'apparente à ceile des compacts des espaces vectoriels topologiques de dimen- sion finie.

Théorème 4.3. Théorème de Montel. Un sous-ensemble

S

de

O ( D )

est compact si et seulement s'il est fermé borné.

Dérnonstra tion

1) Condition sufisante: supposons que S est fermé borné, O ( D ) étant métri- sable il suffit de montrer que de toute suite d'éléments de

S

on peut extraire une sous-suite convergente. Soit

(

f v ) v E N une suite d'éléments de

S .

Puisque pour tout

v E

N,

f v E O ( D ) , on déduit des inégalités de Cauchy que les dérivées premières des fv sont uniformément bornées sur tout compact de

D.

Le Théorème d'Ascoli permet alors de conclure.

2) Condition nécessaire: soit K un compact de

D ,

alors l'application

II

.

I I K

de

C ( D )

dans

B,

qui à

f

fait correspondre supzEK

If

(.)I

est continue. Puisque

S

est compact, l'ensemble

{II

f

l l ~ ,

f

E

S }

est un compact de

B

et par conséquent sup{

II

f

l l ~ ,

f E

S }

<

+mû, ce qui prouve que

S

est borné. De plus

S

étant com-

O

pact, il est naturellement fermé.

5. APPLICATIONS HOLOMORPHES

L'étude des applications holomorphes va nous conduire à la définition des sous variétés analytiques complexe de C" . Nous verrons au chapitre II qu'une sous va- riétés analytiques complexe de C" est une variété analytique complexe au sens abs- trait.

Définition 5.1. Soit D un ouvert de <c", une application f , f = ( f i , .

. . ,

f m ) :

D

+

Cm

est holomorphe dans

D ,

si les fonctions f i ,

. . . ,

f m E O ( D ) . On note O ( D , P ) , l'espacedesapplications holomorphesdeD dans?.

Si

f E

O ( D , P )

et a E

D ,

la matrice

est appeléematrice jacobienne de

f

au pointa.

Proposition 5.2. SoientD

c

C? un ouvertet

f

= ( f i , .

. .

,fm) E

O ( D , C m ) ,

pour tout a E

D

(5.1)

f

( a

+

.)

=

f

( a )

+

Jf (a).

+ 4 4 )

lorsque t tend vers O dans C"

.

Démonstration. D'aprèsleThéorème 1.3, si

f

E

O ( D , P ) ,

ladifférentielie de

f

en

a,

df

( a )

est une application C-linéaire de C" dans

Cm

dont la matrice relativement aux bases canoniques de C" et

Cm

est donnée par J f ( a ) . Par définition de

@ ( a )

O on a donc la formule (5.1).

Théorème 5.3. Soient

f

:

D

C C"

+

R

c

Cm

et g :

R

c

Cm

Ce

deux applications holomorphes. Alorsg O

f

:

D

-+

Ce

est une application holomorphe et

pour tout a E

D

on a

( 5 4 J s o f W =

J d f

(.))JI(.).

Démonstration. D'après les résultats classiques du calcul différentiel, la différen- tielle de g O f au point a vérifie

(5.3) d(g O

f)(a)

= & ( f ( a ) ) O df ( a ) .

Mais puisque f et g sont des applications holomorphes leurs différentielles d f ( a ) et dg(

f

( a ) ) sont des applications C-linéaires dont les matrices relativement aux bases canoniques sont respectivement

J f ( a )

et

Jg(

f ( a ) ) . Par conséquent d(g O

f )

( a ) est C-linéaire pour tout

a

E D , ce qui signifie que g O

f

est une application

O

holomorphe, et la formule (5.2) résulte de (5.3).

Définition 5.4. Soient

D

u n ouvert de Cn, f une application holomorphe de D dans C" et a u n point de D . On dira que f est biholomorphe au voisinage de a s'il existe u n voisinage U de a tel que f

I

soit une bijection de U surf

( U )

et que

(f

I

u)

-'

soit une application holomorphe de

f

( U )

sur U .

Théorème 5.5. Inversion locale. Soient U u n voisinage de

a

E Cn et f E O(

U , P

).

Alors f est biholomorphe au voisinage de a si et seulement si det ( J f (a ) )

#

O.

Démonstration. L'hypothèse det(Jf(a))

#

O implique que df ( a ) est inversible. D'après le théorème d'inversion locale classique

f

est un C1-difféomorphisme lo- cal au voisinage de

a

et df

-'(

f

(y)) = (df(y))-l pour tout y assez voisin de

a.

Comme df (y) est C-linéaire car

f

est holomorphe son inverse ( d f (y))-' est égale- ment C-linéaire ce qui implique que f

-'

est holomorphe au voisinage de

f ( a )

car df

-Yf (Y))

= (df(d)-'.

Corollaire 5.6. Si

X

est u n sous-ensemble de

Cn

et si

kE{

1,2,

. . .

,n- 1}, les condi- tions suivantes sont équivalentes :

E

X ,

il existe une application biholomorphe

f

=

(f

1,

. . .

,

fn) définie sur u n voisinage

U

de

5

telle que i) Pour tout point

t

X n U = { z E

f k + l ( ~ ) = " ' = f n ( ~ ) = O } .

ii) Pour tout point

t

E

X ,

il existe u n voisinage V de

E

dans

Cn

et une appli- cation holomorpheg

V

-+

telleque

rgJ,(J) = n -

k

et

X

n

V

=

{ z

E V

I

g ( z ) = O } .

6. Quelques théorèmes d'extension holomorphe 13

iii) Pour tout point ( E

X ,

il existe un voisinage

W

de

5

dans C", un ouvert

R

dans

Ck

et une application h :

R -+

C" holomorphe telle que rgJh(E) = k et X

n

W = h(R).

Dérnonstrarion. il

+

ii) et iiil est immédiat.

Prouvons maintenant iil

+

i). Soient

V

et g satisfaisant iil, notons

G

l'applica- tionlinéaire

cc"

+

définie par

Jg(E).

Puisque r g J g ( [ ) = n- IC, l'application

G

est surjective et il existe

A

: C"

-+

Ck

telle que A @I G : Cn

-+

C" définie par A @ G ( z ) = (A(z),G(z)) soit bijective (on peut définir

A

comme la projection de C" sur ker G après identification de ker

G

et

Ck

par le choix d'une base). Posons f ( z ) = (A(z),g(z))pourz E V.Alorsdet

J f ( E )

= d e t ( A @ G )

#

0,doncdaprès le Théorème 5.5,

f

est biholomorphe sur un voisinage U de ( contenu dans V. De plus par définition de f on a

x

n U

= { Z E

U

I

fk+l(~) = . . . = fn(z) = O } .

Montrons pour terminer que iii)

+

ii]. Soient W et h satisfaisant iii), notons

H

l'application linéaire

Ck

-+ C" définie par J h ( ( ) . Puisque r g J h ( ( ) = k , l'ap- plication

H

est injective. Si

z

E C" =

ck

x

Cnpk

on pose z = (z'"''), alors l'application Q> définie par @ ( z ) = H ( z ' )

+

( 0 , ~ " ) est une bijection de C" dans C".~osonscp(z) = h ( d )

+

( ~ , z " ) p o u r z E

R

x C n - k . ~ o r s ~ ~ ( h - l ( ( ) , ~ ) = Q>

est inversible, donc d'après le Théorème 5.5, cp et biholomorphe au voisinage de (h-'(c),O). Posons

f

= cp-',

f

est définie et biholomorphe sur un voisinage V de ( contenu dans W et vérifie f ( h ( z ' ) ) =

(z',O).

I1 suffit alors de poser g = p O

f

où

O

p est la projection de C" sur qui envoie z sur z".

Définition 5.7. Soit

D

un ouvert de C". Un sous-ensemble

X

de D est une sous- variété analytique complexe de Cn si les conditions équivalentes i), ii) etiii) du Co-

rollaire 5.6 sont remplies. Si de plus X est fermée dans D , alors X est une sous-variété fermée de D .

6. QUELQUES THÉORÈMES D'EXTENSION HOLOMORPHE A. Théorème d'extension de Riemann

Nous voulons généraliser au cas de plusieurs variables le résultat d'extension holomorphe des fonctions holomorphes bornées d'une variable complexe dans un disque pointé. Dans C un point peut être considéré comme l'ensemble des zéros d u n e fonction holomorphe. Nous allons nous intéresser ici à l'extension des fonc- tions holomorphes bornées sur un ouvert de C" privé de l'ensemble des zéros d u n nombre fini de fonctions holomorphes.

Définition 6.1. Soient D un ouvert de C" et A

c

D . On dit que

A

est un ensemble analytique si pour tout a E

D,

il existe

un

voisinage

U

de a et

un

nombre fini de

fonctions holomorphes f i ,

. . .

,

f p sur

U

telles que

A

n

U

= { z E U

I

f l ( z ) = . . . =

f&)

= O}.

Proposition 6.2. Soient

D

un ouvert connexe de û? et

A

C

D

un ensemble analy- tique alors

i)

A

est fermé dans

D ,

ii) si A

#

D , D

\

A

est dense dans

D,

iii)

D

\

A est connexe. Démonstration

i) Par définition tout point a E

D

possède un voisinage

U

tel que A

n

U soit fermé car les fonctions fj j = 1,

. . .

,p, sont continues. Par conséquent A est fermé dans D .

O

ii) Raisonnons par l’absurde. Supposons que

B

= A

est non vide. On va prouver que

B

est fermé dans D et comme

B

est ouvert, non vide et

D

connexe on aura

A

=

D.

Soient a E

B,

U un voisinage ouvert connexe de a dans D et f i , . . .

,

fp des

élémentsdeO(U)telsqueAnU= { Z E

U

I

fl(z)=...= f,(z) =O}.Chaque

fonction fj , j = 1,

. . .

,p s’annule sur l’ouvert

B

n

U ; U étant connexe, d’après le principe du prolongement analytique, chaque fj j = 1,

.

.

.

,p, est identiquement nulle sur

U

et donc

U

c

A .

De plus U étant ouvert, U

CA= B

et puisque a E U , o n a a E B e t d o n c B = B .

O

iii) Supposons que D

\

A

#

0

et montrons tout d’abord :

(*) tout point a E

D

a un voisinage connexe U tel que U

\

A est connexe. Fixons a E D . Soit

U

un voisinage convexe de a sur lequel il existe des fonctions holomorphes f i , .

.

.

,

f p telles que

U

n

A = { z E

U

I

f l ( z ) =

. . .

= f,(z) =

O}. Soient ~ 0 ~ x 1 E U

\

A et V = {A E C

I

AZO

+

(1 - A)x1 E U } ; V est une partie convexe de C car U est convexe et il existe j E (1, .

. .

,p} tel que la fonction gj(A) = fj(Ax0

+

(1 -

A)zl)

ne soit pas identiquement nulle sur V et qu’en particulier g j ( 0 )

#

O. La fonction g j étant holomorphe, l’ensemble de ses zéros

A’

est discret dans V . Donc V

\

A’

est connexe. Mais

A’

contient l’ensemble {A E C

I

(Ax0

+

(1 - A)x1)

E

A

n

U } .

Supposons que fj(x1)

#

O, alors O et 1 sont dans V

\

A’,

qui est connexe, et par conséquent il existe un arc yx : [0,1] I+ C joignant O à 1 dans V

\

A’.

Si fj ( X I ) = O, alors 1 E

A’,

mais puisque

A’

est discret

il

existe E

>

O tel que le segment [ill

+

E]

n

A’ =

{

1). On construit alors un chemin y joignant O à 1 contenu dans (V

\

A’)

U

{

1) en joignant O à 1

+

E par un arc y1 : [O,;]

+

V

\

A’

puis 1

+

E à 1 par72 : [;,il

-+

(V

\

A’) ü {1} avec y 2 ( t ) = - 2 ~ t

+

1

+

2 ~ . L‘application

y

: t I+ y(t)zo

+

(1 - y(t))xl est alors un arc joignant

xo

à x1 dans

U

\

A

et donc

U

\

A

est connexe.

Montrons maintenant que

(*)

implique iii). Raisonnons par l’absurde. Suppo- sons que

D

\

A

=

Ui

ü

Uz

où les

U j ,

j = 1,2, sont des ouverts non vides disjoints.

6. Quelques théorèmes d'extension holomorphe 15

D'après ii) D = D

\

A = Ü, ü Ü2. Comme D est connexe Ü1

n

Ü2

#

0.

Soit a E Ü1

n

u2et U un voisinage de a tel que U

\

A

soit connexe (il en existe d'après

(*)).Alors

U

\

A

=

(U

n

U1) U

( ( U

n

U2). L'ensemble U

\

A

étant connexe et

A

fermé, l'un des (U

n

U j ) , j = 1,2 est vide, par exemple (U

n

U1) =

0,

ce qui est O impossible puisque U est un voisinage de

a

E u1.

Corollaire 6.3. SoientD u n ouvert c o n n e x e d e p et f etg des fonctions holomorphes

sur D. Si f et g coïncident sur une partie

S

de D pour laquelle il existe un ouvert connexe V de D tel que V

\

S

ne soit pas connexe, alors

f

etg coïncident sur D.

Démonstration. Soit A l'ensemble des zéros de f - g dans D . Supposons que

A

soit distinct de D . D'après la Proposition 6.2, V

\

A est connexe et V

\

A

est dense dans V donc dans V

\

S .

Par conséquent V

\

S

doit être connexe ce qui contredit O l'hypothèse. On a donc

A

= D.

Exemple: si

S

est une hypersurface réelle de

D ,

c'est-à-dire

S

= f - l ( O ) avec V f

#

O sur

S

et f E

C'(D,R),

par exemple,

S

satisfait la condition du Corol- laire 6.3. En effet

D

\

S

=

{x

E D

I

f

(x)

>

O} ü

{x

E

D

I

f

(x)

<

O}.

Théorème 6.4. Théorème de Riemann. Soient D u n ouvert de Cn et A u n ensemble analytique distinct de

D .

Soit

f

une fonction holomorphe sur

D

\

A.

Supposons que tout pointa E

A

possède u n voisinage

U

dans

D

tel que

f

(U\A soit bornée. Alors il

existe une unique fonction F sur D tellequeFID\A = f .

Démonstration. L'unicité est une conséquence immédiate du principe du prolon- gement analytique.

Etudions tout d'abord le cas n = 1. I1 suffit de prouver que si f est bornée et holomorphe dans le disque pointé { z E

C

I

O

<

IzI

<

R } ,

alors f se prolonge holomorphiquement au disque { z E @.

I

1x1

<

R } ,

car en dimension 1 les en- sembles analytiques sont discrets. Considérons le développement de Laurent de

f

sur le disque pointé { z E

C

I

O

<

(21

<

R }

Si

v

<

O, aw

-+

O quand T

+

O car f est borné et puisque

a ,

est indépendant d e r ,

a ,

= O. On a donc le résultat en posant

F ( z )

=

a,z".

,>O

Passons au cas général. Pour

a

E

A ,

soit V un voisinage connexe de

a

tel que f

IV\A

soit borné et sur lequel il existe des fonctions holomorphes f i ,

. . . ,

f p telles

que A

n

V

= { z E V

I

fi(.) =

. . .

= f p ( z ) = O}. On peut supposer que h = f i $ O et après un éventuel changement de coordonnées affine de

Cn

que

a

= O et h(0, . .

.

,O,z,) $ O dans un voisinage de z, = O. I1 existe alors

6

>

O tel