Programmation par contraintes pour l'optimisation multicritère

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Programmation par contraintes pour l’optimisation

multicritère

Diego Olivier Fernandez Pons

To cite this version:

Diego Olivier Fernandez Pons. Programmation par contraintes pour l’optimisation multicritère.

Pre-mières Journées Francophones de Programmation par Contraintes, CRIL - CNRS FRE 2499, Jun

2005, Lens, pp.432-434. �inria-00000086�

Programmation par ontraintes pour l'optimisation multi ritère

Diego Olivier Fernandez Pons

12

1

Université Pierre etMarie Curie- Paris VI, 5 pla eJussieu 75005Paris

2

ILOGS.A, 9rue de Verdun94253 Gentilly Cedex

diego-olivier.fernandez-po ns i rp .jus sieu .fr dofponsilog.fr

Résumé

Lesproblèmesd'optimisation ombinatoire multi ri-tèresont desproblèmesardus arils ombinentles dif- ultésdesproblèmes ombinatoires lassiquesave des préféren es omplexes sur leur solutions. C'est epen-dant sous etteformequese présententlaplupartdes problèmesindustrielsréels.

Aprèsavoirexaminédestravauxutilisantdes pro é-duresdeprogrammationlinéaire,relaxationlagrangienne ouénumération roissantepourlesrésoudre,nousen ex-traironslesidéesfondamentalesquenousréintroduirons dansuneappro hedeprogrammationpar ontraintes.

Nouspourronsalors ombiner esméthodesave des ontraintesglobalesd'optimisation( hemin,arbres, ou-plages)pourrésoudre ertainsproblèmesmulti ritère.

Abstra t

Multi riteria optimization problems are spe ially hardbe ause they ombinedi ult ombinatorial pro-blemswith omplex preferen esontheir solutions. Ho-weverthisishowmostrealproblemsariseinpra ti e.

Wewillseesomete hniquesusedinlinear program-ming,langrangianrelaxationand ost-in reasing enume-rationtosolvemulti riteriaoptimizationproblems.

We willreintrodu e these te hniques in onstraint programmingand ombinethemwithoptimization glo-bal onstraints allowing us to solve some multi riteria optimizationproblems.

1 Introdu tion

La résolutionde problèmes omplexesen program-mation par ontraintes se fait par une appro he de dé omposition et oopération : D'abord le problème est ramené à une onjon tion de ontraintes

P

=

C

1

∧

C

2

∧

. . . ∧ C

n

, où ha une des ontraintes ad-met un algorithme de résolution e a e, souvent

issu de la re her heopérationnelle. Ensuite est ee -tuée une re her he arbores ente au ours de laquelle haque ontraintefaitdes dédu tionslo alesen fon -tiondesdonnées onnues(variablesxées,bornes in-férieuresousupérieures), puislespropageauxautres ontraintesan que es dernières puissent également enbéné ier.

Nous proposons de suivre une démar he similaire pouraborder ertainsproblèmesd'optimisation om-binatoire multi ritère : optimisation sous ontraintes de ressour es, optimisation min-max, optimisation sousin ertitude ave diérentss énarios de données, optimisationsousin ertitudereprésentéespardes in-tervalles.

Ainsinouspartironsde ontraintesglobales d'opti-misationpourdesproblèmesmono ritère(arbre, he-min, ouplage).Nousexamineronsaufuret àmesure des méthodes de re her he opérationnelle déjà mises en oeuvre par d'autres auteurs pour es problèmes. Puis nous les transposerons en programmation par ontraintesenles ombinantaux ontraintesglobales.

2 Contraintes globales d'optimisation L'élément atomique de notre dé omposition est la ontrainte globale d'optimisation. Il existe des ontraintesglobalesd'optimisationpourlesproblèmes d'arbres [1℄, ouplages[10℄ et plus ourt hemin [11℄ et uneméthode généralepouren rééràpartird'une formulationlinéairedu problème onsidéré et des in-formationsfournies parunsimplexe[4℄[5℄.

Ilnous faut ependantimposerque les ontraintes globales d'optimisation mettent à disposition des autresélémentsdusolveurde ontraintesles informa-tionssuivantes :

1. unesolution

x

de oûtminimal parmil'ensemble dessolutionspossibles

2. pourtoutar

a

appartenantà

x

,le oûtdelaplus petitesolutionne ontenantpas

a

3. pourtout ar

a

n'appartenantpasà

x

,le oûtde lapluspetitesolution ontenant

a

Laplupartdes ontraintesglobalesd'optimisation ma-nipulent internement es informations ou desvaleurs pro hes.

2.1 Lien ave lesproblèmesd'énumération Unedesméthodes lassiquespourrésoudredes pro-blèmesmulti ritèresest l'énumérationenordre rois-santdessolutions(rankingmethods).Ehrgott[3℄ pro-poseunalgorithmegénériqueendeuxphasesqui s'ap-puiesurdesalgorithmesd'énumération roissantedes solutions.Andemontrerl'appli abilitéde ette pro- édure,il re ense 4familles diérentes d'algorithmes d'énumérationparusdanslalittérature:

1. Lesplus ourts hemins(Eppstein,Martins) 2. Lesarbres ouvrants(Gabow,Katoh) 3. Lesae tations(Cameriniet Hama her) 4. Lesots(ChegireddyetHama her)

Il signale également l'existen e d'algorithmes géné-riques dus à Lawler, et Hama her et Queyranne. Il existe aussides généralisationsdans ertaines lasses dematroïdes.

De fait, les ontraintes globales pré édentes entre-tiennent des rapports étroits ave es algorithmes [9℄. En parti ulier, les informations fournies par les ontraintes susent pour imposer au solveur de ontraintes de par ourir les solutions en ordre des oûts roissants.

3 Intera tion ave le solveur de ontraintes

Leproposdes ontraintesglobalesestderéduire l'es-pa edere her heenéliminantdeszonesoùiln'existe au unesolutionmeilleurequelameilleuresolution dis-ponible. Elles réagissent de e fait aux évènements d'interdi tion ou imposition d'un ar (par l'arbre de bran hement ou par une autre ontrainte) et de ré-du tiondelabornesupérieure.

Nous onsidéronslesproblèmesmulti ritèresoù:  haque ritèreestmatérialiséparuns énario(une

valuation

c

k

ij

,

(i, j) ∈ G

d'ungraphe

G

ommun)  laperforman e d'une solution sur un ritèreest la somme des oûts de ha un de ses éléments

c

k

_{(s) =}

P

ij∈s

c

k

ij

 l'obje tif est de trouverune solution préférée au sensd'unerelationdepréféren e quenousallons dénir

Etant donnée une borne

B

k

sur haque ritère, le solveurde ontraintess'o upedetrouverunesolution réalisable

s

auproblèmedesatisfa tion:





X

ij∈s

c

1

ij

< B

1





∧





X

ij∈s

c

2

ij

≤

B

2





Notre moyen d'intera tion ave le solveur de ontraintesestderésoudredessuitesdeproblèmesde satisfa tion etteformeenmodiantlesbornes

B

k

.

4 Optimisation sous ontraintes de res-sour es

La modi ation la plus simple est de transformer l'undes ritèresenobje tif:onre her hel'arbre ou-vrantde oûtminimal,nedépassantpaslesbornesde ressour e

B

k

allouéesauxautres ritères(i i

r

k

).





X

ij∈s

c

ij

< C

t





∧



 ∀k,

X

ij∈s

r

ij

k

≤

B

k





Onrésouddon unesu essionde problèmes

P

t

où laborne

C

t

prendlavaleurdelasolutionduproblème pré édent, don

C

0

> C

1

> . . . > C

m

= opt

. Intuitivement, le solveur de ontraintes va énumérer les solutionssuivantle ritèrede oût jusqu'à e que toutesles ontraintesderessour esoientsatisfaites.

Sellmann[12℄ àlasuitedestravauxdeDumitres u [2℄ a ré emment proposé de renfor er lapropagation pardes ontraintesredondantes(autrementditquine hangent pas les solutions du problème mais en ré-duisentletempsde al ul)sousformede ombinaisons linéairederessour es.

Comme es deuxauteursutilisentdesméthodesde relaxation lagrangienne qui al ulent déjà des suites degraphes delaforme

(c

ij

+

P

k

λ

k

_r

k

ij

)

ilsseservent des ombinaisonslinéairesdéjàgénéréesainsi.

5 Optimisation min-max

Pourrésoudreunproblèmed'optimisationmin-max, il faut faire dé roître toutes les bornes simultané-ment. Onpose

z

t

= max

k

C

k

t

et à haquerésolution,

C

k

t+1

= z

t

,sibienquel'onobtientunesuite dé rois-sante

z

0

> z

1

> . . . > z

m

= opt



 ∀k,

X

ij∈s

c

k

ij

< C

k

t





tère d'arrêt pour l'énumération roissante des solu-tions suivant toute ombinaison linéaire onvexe des ritères

c

λ

ij

=

P

k

λ

k

c

k

ij

ave

P

k

λ

k

_{= 1}

. Ils montrent également que le hoix des oe ients peut ae ter grandement les performan es et proposent diverses heuristiquespourleur al ul.

Les modi ations que nous avons introduites suf-sentàgarantirlarésolutionduproblème.Ande re-trouverl'appro hed'Hama heretRuhe, ilsut d'in-troduirela ombinaisonlinéaire onvexesousformede ontrainte supplémentaire et dedemanderau solveur d'énumérersuivant elle- i.





X

ij∈s

X

k

λ

k

c

k

ij

!

<

X

k

λ

k

C

k

t





Ilestaussipossiblederésoudredesproblèmes min-maxregret(danslequellaperforman ed'unesolution pour haque ritère est la diéren e entre son oût et le meilleur oût qu'elle aurait pu avoir). En eet, les ontraintes globales d'optimisation al ulent des informations diérentielles (augmentation du oût de la solutionminimalequand onimposeou interditun ar donné).Ellessontdon invariantespartranslation de l'origine.Ilest ennpossiblede résoudredes pro-blèmes d'optimisationT heby hevenintroduisantles oe ientsmultipli atifs adaptés.

6 Optimisation robuste

Supposons désormais que nous ayons un problème min-max ave unnombre exponentielde ritères. La méthode lassique pour aborder e genre de pro-blèmesenprogrammationlinéaireestlagénérationde ontraintes (dé omposition de Benders, bran h-and- ut) : on résoud une relaxation

P

k

= C

1

∧

C

2

∧

. . . ∧ C

k

du problème où seul un petit nombre de ontraintesgure.Silasolution

s

trouvéevérietoutes les ontraintes,elleestlasolutionglobaleduproblème. Autrementontrouvedes ontraintesvioléeset onles ajouteauproblème

P

k+1

= P

k

∧

C

k+1

.

La justi ation théorique de la génération de ontraintes en programmation linéaire est que, pour desraisons dedimensiond'espa esve toriels,la solu-tionoptimaleest déterminéeparunnombrerestreint de ontraintes. Autrement dit, si l'on dispose d'une bonneheuristiquepourajouterles ontraintesau pro-blème

P

k

la onvergen e sera rapide. Pour les pro-blèmesdemin-maxenprogrammationpar ontraintes, uneseule ontraintesutàdéterminerlasolution op-timale.

oeuvreune méthodede générationde ontraintes(de typebran hand ut)pourunproblèmed'optimisation sous in ertitude où l'in ertitude est matérialisée par des intervalles dans les valeurs des ar s d'un graphe

c

ij

∈

[inf

ij

, sup

ij

]

. Il s'agit de trouver une solution (unarbre ouvrant)auproblèmemin-maxregretave autant de ritèresque de ombinaisonsdiérentes de valeurspour

c

ij

7 OWA et intégrales de Choquet

Les préféren es ren ontrées dans les parties pré é-dentes sont toutes des as parti uliers d'OWA (orde-redweightedaverage).Ils'agitdemoyennespondérées danslesquelles les oe ientsdepondérationnesont pasappliquésaux ritèresmaisauxrangs:

z(x) =

X

k

ω

σ

x

(k)





X

ij∈x

c

k

ij

(x)





où

σ

x

estunepermutation quiordonneles ritèresen ordre dé roissant - en d'autres termes on ommen e partrierlesperforman es

c

k

_(x)

de

x

puisonapplique lasommepondérée.

Orpourrésoudreunproblème dejob-shop en pro-grammationpar ontraintes,Zhou[13℄aintroduitune variante dela ontrainted'ae tation, permettantde maintenir les bornes inférieures et supérieures d'une famille

y

k

, y

1

≤

y

2

≤

. . . ≤ y

n

sa hant qu'elle doit êtreunepermutationd'uneautrefamille

x

k

.

Enn,lesOWAsontellemêmesdes asparti uliers d'intégralesde Choquet, pour lesquelles Le Huede et al.ontintroduitune ontrainteglobale[8℄[7℄.Cesontil noussembleautantdepistesintéressantespour pour-suivre estravaux.

8 Con lusion

Nousnoussommeseor ésdemontrerqueles pro-blèmes d'optimisation multi ritère par e qu'ils sont à la frontière entre les problématiques ombinatoires et dé isionnelles sont ertes parti ulièrement di- iles mais aussi parti ulièrement intéressants. Ainsi donnent-ils l'o asion d'appliquer des te hniques is-suesdelare her heopérationnelle,laprogrammation par ontraintes, la programmation linéaireou en ore de l'aideà ladé ision.Nous avonsen parti uliermis l'a entsurlerlequepouvaientyjouerles ontraintes globales et omment les ombiner ave d'autres in-formationsnotamment ellesissuesdespropriétésdes préféren esutilisées.

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