Estimées L^2 de Hörmander

(1)

Estimées L

²

de Hörmander

FrançoisDEMARÇAY

Département de Mathématiques d’Orsay Université Paris-Sud, France

1. Espaces de Hilbert à poids pour l’équation∂u=f

En dimension complexe n > 1, soitΩ ⊂ Cⁿun domaine, à savoir un ouvert connexe.

L’objectif principal de ce chapitre est de présenter en détail la résolution, due à Hörmander en 1965, de l’équation :

∂u = f,

d’inconnue une(p, q)-forme différentielle lisseu ∈ Cp,q^∞(Ω)de bidegrés quelconques0 6 p6net06q 6n−1:

u = X

16i1<···<i_p6n

X

16k1<···<kq6n

u_i₁_,...,i_p_;k₁_,...,k_qdz_i₁ ∧ · · · ∧dz_i_p ∧dz_k₁ ∧ · · · ∧dz_k_q

=: X

|I|=p

0 X

|K|=q

0u_I;Kdz^I∧dz^K [Abréviation]

à coefficients lissesu•;• ∈ C^∞(Ω)dans le domaine, et de second membre une(p, q+ 1)- forme lissef ∈C_p,q+1^∞ (Ω):

f = X

16i1<···<ip6n

X

16j1<···<jq+16n

f_i₁_,...,i_p_;j₁_,...,j_q+1dz_i₁ ∧ · · · ∧dz_i_p ∧dz_j₁ ∧ · · · ∧dz_j_q+1

=: X

|I|=p

0 X

|J|=q+1

0 f_I;Jdz^I∧dz^J [Abréviation],

laquelle doit nécessairement satisfaire∂f = 0, à cause de la relation∂ ◦∂ = 0satisfaite par la différentiation extérieure antiholomorphe — analogue à la relationd◦d= 0dite de Poincaré — :

∂u = f =⇒ 0 = ∂f [Condition nécessaire],

et ce, sous l’hypothèse géométrique cruciale que :

Ω⊂Cⁿest un domaine pseudoconvexe ;

par souci de complétude, on rappelle qu’un théorème fondamental caractérise le fait — équivalenta posteriorià une définition — queΩ ⊂Cⁿestpseudoconvexepar l’existence d’au moins une fonction réelle de classeC^∞:

ϕ: Ω −→ R

qui estd’exhaustionau sens où les ensembles de sous-niveau : z ∈Ω : ϕ(z)6c b Ω

1

(2)

sont compacts pour toutc∈Ret telle que, en tout pointz ∈Ωet pour tout vecteur tangent w∈T_zΩ∼=Cⁿ:

n

X

j=1 n

X

k=1

∂²ϕ

∂zj∂zk

(z)w_jw_k > e(z)

n

X

i=1

|w_i|²,

avec une constantee(z) > 0. Un argument de régularisation permet alors de trouver une fonctione: Ω−→ ]0,∞[de classeC^∞satisfaisant cela en tout pointz ∈Ω.

L’objectif principal en ligne de mire est donc le

Théorème 1.1. [Hörmander 1965]Dans un domaine pseudoconvexeΩ ⊂ C^n>1, l’équa- tion :

∂u = f

possède une solutionu∈Cp,q^∞(Ω), pour toutef ∈Cp,q+1^∞ (Ω)telle que∂f = 0.

Toutefois, l’étude directe de l’équation∂u =f en catégorieC^∞présente certaines dif- ficultés qu’il est avisé de contourner dans un premier temps avant de revenir ultérieurement à la catégorieC^∞. D’après un principe évident, plus l’espace dans lequel on recherche une solution est vaste, plus les facilités à en trouver une augmentent. Or en un certain sens, le plus vaste des espaces fonctionnels est celuiD⁰ des distributions.

Toutefois, un espace intermédiaire entre C^∞ etD⁰, plus flexible qu’eux deux, car en- richi de tous les concepts fondamentaux issus de la géométrie euclidienne classique, s’est avéré, avec le temps et l’expérience de l’histoire mathématique des équations aux dérivées partielles, être l’espaceL² des fonctions de carré intégrable. En effet, on y dispose d’un produit scalaire qui permet d’effectuer des projections orthogonales (manquantes dans les espaces de Banach), et surtout, nous verrons que dans les espaces de Hilbert, ce sera le fameux Théorème de représentation de Riesz qui fournira, tel un Deus ex machina, une solution à l’équation∂u=f.

Précisément, l’objectif intermédiaire sera le

Théorème 1.2. [Hörmander 1965]Dans un domaine pseudoconvexeΩ ⊂ C^n>1, l’équa- tion :

∂u = f,

interprétée au sens des distributions, possède une solution u ∈ L²_p,q(Ω,loc), pour toute f ∈L²_p,q+1(Ω,loc)telle que∂f = 0.

Tout d’abord, qu’entend-on parL²_p,q(Ω,loc)? Soit pour commencer une(p, q)-forme : u = X

|I|=p

0 X

|K|=q

0 u_I;Kdz^I ∧dz^K,

à coefficients mesurablesu_I;K: Ω−→C, les primes signifiant que la sommation s’effectue sur des multi-indices strictement croissants.

Définition 1.3. Le produit hermitien ponctuel entre deux formes mesurables sur Ω de mêmes bidegrés(p, q):

u = X

I

0X

K

0u_I;Kdz^I∧dz^K et v = X

I

0X

K

0v_I;Kdz^I∧dz^K

(3)

1.Espaces de Hilbert à poids pour l’équation∂u=f 3

est la fonction mesurableΩ−→C:

u^•v := X

I

0X

K

0u_I;Kv_I;K.

En un point fixéz ∈Ω, c’est le produit hermitien standard sur leC-espace vectoriel de dimension finie de tous ces coefficients. Alors d’après des propriétés élémentaires connues, la quantité :

|u|² := u^•u,

est le carré d’une norme, et on a l’inégalité de Cauchy-Schwarz ponctuelle : u^•v

6 |u| |v|.

Pour abréger, la mesure de Lebesgue2n-dimensionnelle surCⁿ ∼=R²ⁿsera notée : dλ.

Définition 1.4. On dit queuest decarré localement intégrabledansΩ: u ∈ L²_p,q(Ω,loc),

lorsque, en restriction à tout sous-ensemble compactC bΩ: Z

C

|u|²dλ < ∞,

ce qui équivaut à :

u_I;K ∈ L²(Ω,loc) (∀ |I|=p,∀ |K|=q). Ici plus généralement, en suivant la technique dite des trois poids due à Hörmander, laquelle va consister en un artifice technique magique visant à dissiper le mystère de la structure du bord∂Ω — non supposé lisse ! — que l’on « approche » lorsque la constante cde{ϕ 6 c} b Ωtend vers l’infini, nous considérerons des espaces de(p, q)-formes de carré intégrable à poids.

Soit donc maintenantϕ∈C⁰(Ω,R)une fonction continue, ditede densité.

Définition 1.5. L’espace des(p, q)-formesL²àpoidsla fonction strictement positivee^−ϕ >

0est :

L²_p,q Ω, e^−ϕ := n

u∈L_p,q(Ω,loc) : Z

Ω

|u|²e^−ϕdλ < ∞o .

Sur cet espace préhilbertien, on notera alors le produit scalaire : hu, vi_ϕ :=

Z

Ω

u^•v e^−ϕdλ

= Z

Ω

X

|I|=p

0 X

|K|=q

0 u_I;Kv_I;Ke^−ϕdλ,

ainsi que la norme associée :

||u||²_ϕ := hu, ui_ϕ = Z

Ω

u^•u e^−ϕdλ,

qui satisfont l’inégalité de Cauchy-Schwarz intégrale : hu, vi_ϕ

6 ||u||_ϕ||v||_ϕ.

En présence d’un poids, une adaptation connue de résultats standard de la théorie des espaces de Hilbert montre la

(4)

Proposition 1.6. Pour une densité continue quelconque ϕ ∈ C⁰(Ω,R), l’espace L²_p,q(Ω, e^−ϕ) est un espace de Hilbert complet pour la métrique dérivée de sa norme

|| · ||_ϕ.

Mentionnons que l’on a un

Lemme 1.7. Pour toute(p, q)-formeu∈L²_p,q(Ω,loc), il existe une densitéϕ∈C⁰(Ω,R+) telle queu∈L²_p,q(Ω, e^−ϕ).

e^−ϕ e^−ϕ

Ω Ω

h h

Cⁿ K

Démonstration. Étant donné une fonctionh∈L²(Ω,loc)quelconque, l’idée, esquissée par le diagramme qui précède, consiste à rabattre la croissance intégrale éventuellement grande deh lorsqu’on s’approche du bord∂Ωen multipliant par un poids e^−ϕ qui tend assez vite vers zéro, ce qui revient à faire dominer la croissance de h par celle de ϕ. L’Exercice 1

propose de mettre au point un argument rigoureux.

Les (p, q)-formes udont tous les coefficients u_I;K ∈ C^∞ sont lisses appartiennent au sous-espace :

Cp,q^∞(Ω) ⊂ L²_p,q(Ω, e^−ϕ) ⊂ L²_p,q(Ω,loc).

Si de plus le support de tous cesu_I;Kest compact, on écrit : u ∈ Cc,p,q^∞ (Ω).

De la même manière qu’on démontre que les fonctions lisses à support compact sont denses dansL², pour des(p, q)-formes au lieu de fonctions et en présence d’un poids, on propose dans l’Exercice 2 une démonstration de la

Proposition 1.8. Pour une densité continue quelconqueϕ∈C⁰(Ω,R), l’espaceCc,p,q^∞ (Ω) est dense dansL²_p,q(Ω, e^−ϕ)pour la norme|| · ||_ϕ :

Cc,p,q^∞ (Ω)^||·||^ϕ = L²_p,q(Ω, e^−ϕ).

Maintenant, s’il s’agit de résoudre ∂u = f dans les espaces de Hilbert L², pour u ∈ L²_p,q(Ω,loc), la différentiation∂u n’est pas toujours définie. Heureusement, la théorie des distributions lui donne un sens.

Exemple 1.9. L’intervalle ]0,1[ ⊂ R étant prototype simplissime d’ensemble ouvert, l’opérateur de différentiation standard :

D: Cc¹ ]0,1[,R

−→ Cc⁰ ]0,1[,R h 7−→ h⁰

(5)

n’est pas en général bien défini lorsque h ∈ L²(]0,1[,R), mais la théorie des distributions lui donne un sens par dualité, en déclarant que D(h) agit sur les fonctions-tests ψ ∈Cc^∞ ]0,1[,R

par une formule :

D(h), ψ

:= − hh, ψ⁰i = − Z 1

0

h(x)ψ⁰(x)dx,

qui est automatiquement satisfaite (sans terme de bord), via une intégration par parties (exercice) lorsque h ∈ Cc¹ est différentiable à support compact. Ainsi, D(h) ∈ D⁰ est toujours une distribution pourh ∈L².

Mais dans certaines circonstances favorables, cette distribution D(h) s’identifie à une fonctionL², et l’on peut définir l’espace de Sobolev :

W¹ ]0,1[,R :=

h∈L²: D(h)∈L² ,

de telle sorte qu’un opérateurDà valeurs dansL² est bien défini sur ce sous-espace :

L² ^D ^//

S

L²

W¹,

D

=={

{{ {{ {{ {

les pointillés signifiant « n’être pas partout défini ». Pour plus d’information, on se reportera

aussi à l’Exercice 3.

D’une manière qui généralise aisément cela au cas d’un ouvertΩ⊂Cⁿ, l’opérateur :

∂: L²(Ω) −→ D⁰(Ω)

possède alors un sens précis et rigoureux, car si(x₁, . . . ,x_2n) ∈ R²ⁿ ∼= Cⁿ sont les coor- données canoniques, l’espace de Sobolev d’ordre1est défini en demandant que les dérivées partielles dans toutes les directions appartiennent encore àL²:

W¹(Ω) :=

h∈L²(Ω) : ∂xih∈L²(Ω), ∀16i62n , et l’on peut écrire :

L²(Ω) ^∂ ^//

S

L²(Ω)

W¹(Ω),

∂

::t

tt tt tt tt

En revenant maintenant à la recherche de(p, q)-formesusatisfaisant∂u =f, pour des raisons qui s’éclairciront ultérieurement, il s’avère utile d’introduiretrois poids différents e^−ϕ¹, e^−ϕ², e^−ϕ³ selon les degrés des formes, et ainsi, de considérer, avec(p, q)quelconques — et maintenant définitivement fixés —, les deux opérateurs :

L²_p,q Ω, e^−ϕ¹ ∂ // L²_p,q+1 Ω, e^−ϕ² ∂ //L²_p,q+2 Ω, e^−ϕ³ ,

les flèches en pointillés signifiant qu’ils ne sont pas partout définis, opérateurs qui seront dorénavant notés :

T ≡ ∂ et S ≡ ∂,

(6)

et qui ne sont en fait définis que sur leurs domaines respectifs :

DomT :=

u∈L²_p,q(Ω, e^−ϕ¹) : ∂u∈L²_p,q+1(Ω, e^−ϕ²) ,

DomS :=

f ∈L²_p,q+1(Ω, e^−ϕ²) : ∂u∈L²_p,q+2(Ω, e^−ϕ³) , de telle sorte qu’un diagramme rigoureux doit se présenter comme suit :

L²_p,q(Ω, e^−ϕ¹) ^∂ ^//

S

L²_p,q+1(Ω, e^−ϕ²) ^∂ ^//

S

L²_p,q+2(Ω, e^−ϕ³)

DomT

T

66l

ll ll ll ll ll ll

DomS.

S

55l

ll ll ll ll ll ll l

Lemme 1.10. L’opérateurT ≡∂ a un domaine dense :

DomT^||·||^ϕ¹ = L²_p,q(Ω, e^−ϕ¹), ainsi queS ≡∂ :

DomS^||·||^ϕ² = L²_p,q+1(Ω, e^−ϕ²).

Démonstration. En effet, on a clairement :

DomT ⊃ Cc,p,q^∞ (Ω) et DomS ⊃ Cc,p,q+1^∞ (Ω),

et ces sous-espaces sont déjà denses, comme l’a affirmé la Proposition 1.8.

Définition 1.11. Un opérateur linéaireT entre deux espaces de Banach (vectoriels normés complets) :

X, || · ||_X

et Y, || · ||_Y à domaineDomT ⊂X :

X ^T ^//

S

Y

DomT,

T

;;w

ww ww ww ww

est ditfermélorsque son graphe :

GrapheT =

x, T(x)

∈X×Y : x∈DomT

est un sous-ensemble fermé du produitX×Y, muni de la topologie dérivant de lanorme du graphe :

(x, y)

_X×Y := ||x||_X +||y||_Y (x∈X, y∈Y). Concrètement, pour établir qu’un opérateurT: DomT −→ Y est fermé, à savoir, pour établir que tous les points adhérents au graphe appartiennent encore au graphe, on part d’une suite quelconque :

x_n, T(x_n)∞

n=1 ∈ GrapheT,

qui est de Cauchy pour la norme du graphe, de telle sorte que, par complétude deX et de Y, il existe deux points-limites :

X 3 x_∞ = lim

n→∞x_n et lim

n→∞T(x_n) = y_∞ ∈ Y, et, pour conclure que :

GrapheT^||·||^X×Y = GrapheT, on cherche à vérifier deux choses :

(7)

x∞∈DomT ; y∞=T(x∞).

Lemme 1.12. L’opérateur de différentiation standard : L²(]0,1[) ^D ^//

S

L²(]0,1[)

DomD

D

88p

pp pp pp pp pp

est fermé.

Démonstration. Comme cela vient d’être expliqué, en partant d’une suite : hn, D(hn)∞

n=1 ∈ GrapheD, telle qu’il existeh∞ ∈L²etl∞∈L² avec :

h_n−h_∞

L² −→

n→∞ 0 et

D(h_n)−l_∞

L² −→

n→∞ 0, il s’agit de faire voir queh∞ ∈DomD, puis quel∞ =D(h∞).

Or en utilisant l’inégalité de Cauchy-Schwarz |R1

0 f ·1| 6 R1

0 |f|²¹₂ R1 0 1²¹₂

on obtient pour toute fonction-testψ ∈C_c^∞(]0,1[)deux majorations :

Z 1 0

h_n−h∞

ψ⁰

6 ^max

[0,1]|ψ⁰|

h_n−h∞

L² −→

n→∞ 0,

Z 1 0

D(f_n)−l∞

ψ

6 ^max

[0,1]|ψ|

D(h_n)−l∞

L² −→

n→∞ 0, qui permettent de passer à la limite dans les identités vraies par définition :

Z 1 0

h_nψ⁰ = − Z 1

0

D(h_n)ψ, ce qui offre sur un plateau :

Z 1 0

h∞ψ⁰ = − Z 1

0

l∞ψ,

l’identité qui signifie exactement que h_∞ ∈ DomD et — simultanément ! — que l_∞ =

D(h∞).

Lemme 1.13. Les deux opérateursT etS : L²_p,q(Ω, e^−ϕ¹) ^∂ ^//

S

L²_p,q+1(Ω, e^−ϕ²) ^∂ ^//

S

L²_p,q+2(Ω, e^−ϕ³)

DomT

T

66m

mm mm mm mm mm mm

DomS,

S

66l

ll ll ll ll ll ll

sontfermés.

Démonstration. Le principe d’argumentation, très similaire à ce qui vient d’être vu sur

]0,1[, est laissé en Exercice 4.

En résumé, nous avons présenté les éléments de pensée du théorème suivant, qui va constituer le vrai point de départ de la théorie.

(8)

Théorème 1.14. Dans un domaine Ω ⊂ C^n>1, pour des densités continues arbitraires ϕ₁, ϕ₂, ϕ₃ ∈C⁰(Ω,R), les deux opérateurs∂:

L²_p,q(Ω, e^−ϕ¹) ^∂ ^//

S

L²_p,q+1(Ω, e^−ϕ²) ^∂ ^//

S

L²_p,q+2(Ω, e^−ϕ³)

DomT

T

66l

ll ll ll ll ll ll

DomS

S

55l

ll ll ll ll ll ll l

sont fermés et à domaine dense.

Puisque l’équation de Poincaré ∂ ◦∂ = 0 valable sur les (p, q)-formes appartenant à Cc,p,q^∞ (Ω)est naturellement héritée (exercice) par ces opérateurs qui prolongent∂, on a :

T DomT

=: ImT ⊂ KerS, et puisqueKerS ⊂DomS (exercice mental), on peut écrire :

S◦T = 0.

Maintenant, en direction du Théorème 1.2, donc dans des espacesL² à poids, il s’agit de résoudre T(u) = f avec f ∈ DomS satisfaisantS(f) = 0, et en abrégeant nos trois espaces de Hilbert :

H1 := L²_p,q(Ω, e^−ϕ¹), H2 := L²_p,q(Ω, e^−ϕ²), H3 := L²_p,q(Ω, e^−ϕ³), cela nécessite de faire un détour par la théorie générale des opérateurs non partout définis.

2. Théorie élémentaire des opérateurs non bornés de Von Neumann

Dans cette section, on raisonnera maintenant exclusivement avec des espaces de Hilbert abstraits généraux. Soit donc pour commencer deuxC-espaces de Hilbert :

H₁,|| · ||_H₁

et H₂,|| · ||_H₂ ,

et soit un opérateur linéaire défini seulement sur un sous-ensemble deH₁:

H1

T //

S

H2

DomT.

T

;;v

vv vv vv vv

Naturellement :

KerT :=

f ∈DomT: T(f) = 0 et ImT := T DomT .

Même si le cas oùDomT =H₁ sera couvert par les raisonnements de cette section, on sous-entend incidemment queDomT $H₁, puisque c’est ce qui se produit pour le∂ dans les espacesL² à poids. De plus, on ne suppose nullement que T: DomT −→ H₂ est un opérateur borné (continu), à savoir il se peut que sa norme d’opérateur :

|||T||| := sup

f∈DomT f6=0

||T(f)||_H₂

||f||_H₁ ∈ [0,∞], soit infinie.

(9)

2.Théorie élémentaire des opérateurs non bornés de Von Neumann 9

Définition 2.1. L’opérateurT est dità domaine denselorsque :

DomT^||·||^H¹ = H₁, et il est ditfermélorsque son graphe :

GrapheT :=

f, T(f)

∈H₁×H₂: f ∈DomT ,

est un sous-ensemble fermé du produitH₁×H₂pour la topologie dérivant de lanorme du graphe :

(f, g)

H1×H2 = ||f||_H₁ +||g||_H₂ (f∈H1, g∈H2). Pour de tels opérateurs T fermés et à domaine dense, Von Neumann a développé une notion très générale — et assez subtile — d’opérateur adjointT^∗, définie tout d’abord en introduisant son domaine :

DomT^∗ :=n

g ∈H₂: la forme linéaire

_DomT −→C

f 7−→ hT(f), gi_H₂

est bornée en norme|| · ||_H₁o , c’est-à-dire qu’il existe une constante06C_g <∞telle que :

hT(f), giH2

6 Cg||f||H1 (∀f∈DomT). Notons alors cette forme linéaire :

Λg: f 7−→ hT(f), giH2.

Puisqu’elle est bornée, le théorème de Hahn-Banach permet alors de la prolonger àH₁ tout entier, sans changer sa norme d’opérateur, ce qui fournit :

Λe_g: H₁ −→ C,

avec |||eΛ_g||| = |||Λ_g|||, et un tel prolongement est unique (exercice mental), car DomT est dense dansH₁. En fait, comme on travaille dans un espace de Hilbert, il n’est pas nécessaire de faire appel au théorème de Hahn-Banach dans toute sa généralité, comme propose de le rappeler l’Exercice 5.

Le théorème de représentation de Riesz offre alors un unique vecteur g_∗ ∈ H₁ qui identifie cette forme linéaire prolongée à un simple produit scalaire :

Λe_g(h) = hh, g∗i_H₁ ^(∀h∈H1), d’où en restriction àDomT :

Λ_g(f) = Λe_g(f) = hf, g∗i_H₁ ^(∀f∈DomT). On laisse en exercice le soin se convaincre que l’application ainsi produiteg 7−→g∗ est linéaire, ce qui justifie de noter :

T^∗(g) := g∗,

en termes d’un certain opérateur linéairea priorinon partout défini et non borné (tout autant que l’étaitT) :

H₁ ←− DomT^∗ : T^∗. Ainsi, à tout opérateurT est donc associé sonadjointT^∗ :

H₁ ^T ^//

S

H₂

DomT

T

;;w

ww ww ww ww

; H₁ ^oo ^T^∗ H₂

S

DomT^∗.

T^∗

ddIIIIIIIII

(10)

Une série de vérités frappantes ont été découvertes par Von Neumann en 1929.

Proposition 2.2. Si T: H₁ 99K H₂ est un opérateur fermé à domaine dense entre deux espaces de Hilbert, alors son adjointH₁ L99H₂ :T^∗est lui aussi fermé à domaine dense.

Démonstration. Introduisons l’application auxiliaire « magique » : σ: H1×H2 −→ H2×H1

(f, g) 7−→ (g,−f), qui transforme le graphe deT en :

σ GrapheT

=

(T(f),−f

: f ∈DomT . Affirmation 2.3. Tout vecteur orthogonal :

(y, x) ∈

σ GrapheT⊥

est de la forme :

x=T^∗y avec y ∈ DomT^∗. Démonstration. Cette relation d’orthogonalité s’exprime comme :

hT(f), yi_H₂ = hf, xi_H₁ (∀f∈DomT). Grâce à cette identité et à l’inégalité de Cauchy-Schwarz, nous voyons que la forme linéaire :

DomT 3 f 7−→ hT(f), yi_H₂

est bornée (continue), et cela signifie exactement quey∈DomT^∗avec en susx=T^∗y.

Une reformulation équivalente de cette affirmation est que :

GrapheT^∗ =

σ GrapheT⊥

,

et puisque l’orthogonal d’un sous-ensemble quelconque d’un espace de Hilbert est toujours fermé, nous obtenons queT^∗ est fermé.

Ensuite, afin de montrer que DomT^∗ est dense, en nous souvenant qu’un sous-espace V ⊂ H d’un espace de HilbertH est dense si et seulement siV^⊥ = V^⊥ = {0}, prenons un élément quelconque :

z ∈ DomT^∗^⊥

= DomT^∗^⊥ , et cherchons à montrer quez = 0. Ainsi :

0 = hz, yi_H₂ (∀y∈DomT^∗), et en introduisant un terme nul quelque peu artificiel mais astucieux :

0 = hz, yi_H₂ +h0, T^∗yi_H₁

◦ (∀y∈DomT^∗),

nous voyons que cela signifie que : (z,0) ∈ GrapheT^∗⊥

= σ GrapheT

=

T(f),−f

: f ∈DomT ,

d’où par identification0 = −f, et finalementz =T(f) = 0, comme voulu.

(11)

2.Théorie élémentaire des opérateurs non bornés de Von Neumann 11

Proposition 2.4. Si T: H₁ 99K H₂ est un opérateur fermé à domaine dense, alors son bi-adjoint coïncide avec lui-même :

T^∗∗

= T.

Démonstration. Nous savons déjà queT^∗ est aussi fermé à domaine dense, et que :

hf, T^∗(g)iH1 = hT(f), giH2 (∀f∈DomT ,∀g∈DomT^∗). Grâce à cette identité, nous voyons que la forme linéaire :

DomT^∗ −→ C

g 7−→ hT^∗(g), fi_H₁ = hg, T(f)i_H₂ est bornée en normeH₂, et ceci signifie précisément l’appartenance :

f ∈ Dom T^∗^∗ , d’où :

DomT ⊂ Dom T^∗∗

. De plus, l’égalité :

hg, T(f)i_H₂ = hT^∗(g), fi_H₁ = hg,(T^∗)^∗(f)i_H₂, valide pour toutg ∈DomT^∗ (dense dansH₂) donne :

T(f) = T^∗)^∗(f) ^(∀f∈DomT), d’où :

GrapheT ⊂ Graphe(T^∗)^∗.

Pour terminer, puisqueGrapheT est fermé et se projette surDomT ⊂H₁qui est dense, on vérifie (exercice : raisonner par contradiction) qu’on a ici «=» au lieu de «⊂».

Théorème 2.5. [Von Neumann 1929]SiT: H₁ 99KH₂est un opérateur (non nécessaire- ment continu) fermé à domaine dense, alors son adjoint :

H₁ L99 H₂ :T^∗

est aussi fermé à domaine dense, et il satisfait l’identité fondamentale :

hf, T^∗(g)i_H₁ = hT(f), gi_H₂ ^(∀f∈DomT ,∀g∈DomT^∗). De plus :

T^∗^∗

= T, et aussi :

KerT^∗ = ImT^⊥

[= (ImT)^⊥],

KerT⊥

= ImT^∗.

Démonstration. Il ne reste plus qu’à établir les deux dernières égalités. Lorsqueg ∈KerT^∗, l’identité fondamentale devient :

0 = hT(f), gi_H₂ (∀f∈DomT), ce qui signifie g ∈ ImT⊥

, donc KerT^∗ ⊂ ImT⊥

, et l’inclusion opposée est aussi satisfaite par simple logique inverse.

(12)

Pour la seconde égalité, puisqueV^⊥ =V^⊥ pour tout sous-espaceV ⊂ H d’un espace de Hilbert, et puisque V^⊥^⊥

=V, en prenant l’orthogonal de la première égalité acquise :

KerT^∗ = ImT⊥

= ImT⊥

, on obtient KerT^∗^⊥

= ImT, ce qui est le résultat voulu après simple échange notation- nelT^∗ ←→ T, pleinement légitimé par le fait que T et T^∗ jouent des rôles parfaitement

symétriques.

3. Un théorème d’existence abstrait De retour à notre diagramme :

L²_p,q(Ω, e^−ϕ¹) ^T ^//

S

L²_p,q+1(Ω, e^−ϕ²) ^S ^//

S

L²_p,q+2(Ω, e^−ϕ³)

DomT

T

66m

mm mm mm mm mm mm

DomS,

S

66l

ll ll ll ll ll ll

dans lequelT ≡∂ etS ≡∂, sachant que :

ImT = T DomT

⊂ KerS ⊂ DomS, l’objectif est d’atteindre l’égalité :

ImT =^? KerS.

Maintenant que nous possédons les éléments de la théorie des opérateurs non bornés de Von Neumann, nous pouvons dévoiler un théorème d’existence abstrait s’appliquant ci-dessous à :

F := KerS,

et qui joue un rôle universel en analyse des équations aux dérivées partielles, y compris pour des applications à la géométrie différentielle et à la géométrie algébrique, et surtout, qui sera notre plus grand atout pour résoudre∂u =f.

Théorème 3.1. Soit T: H₁ 99K H₂ un opérateur fermé à domaine dense entre deux espaces de Hilbert, et soitF ⊂H₂ un sous-espace fermé qui contient l’image deT :

H1

T //H2 T^∗

oo

S

F fermé

S

ImT.

Alors :

F = ImT ⇐⇒

∃ 06C <∞

||g||_H₂ 6C

T^∗g

H1 (∀g∈DomT^∗∩F)

! .

(13)

3.Un théorème d’existence abstrait 13

L’implication principale intéressante est «⇐=», et il s’agit d’une estiméea prioriqui, dans les nombreuses circonstances où on cherche à l’utiliser, représente toujours un travail d’exploration calculatoire substantiel, spécifique à la situation géométrique visée. Pour T^∗ ≡∂^∗, obtenir cette estimée||g||_H₂ 6C||T^∗g||_H₁ pour toutes les(p, q)-formesg ∈DomT seradifficile.

Lorsque l’hypothèse de droite entre grandes parenthèses est satisfaite, une information supplémentaire existe, qui mérite d’apparaître sous forme d’un deuxième énoncé, le plus important et le plus utile des deux.

Théorème 3.2. Entre trois espaces de HilbertH₁, H₂,H₃, soient deux opérateurs fermés T etS à domaines denses satisfaisantS◦T = 0,i.e.ImT ⊂KerS:

H₁ ^T ^//

S

H₂ ^S ^//

S

H₃

DomT ^T ^// ImT

T

KerS

T

DomS ^S ^//ImS.

Si il existe une constante06C <∞telle que :

||g||²_H₂ 6 C²

T^∗g

2 H1 +

Sg

2 H3

(∀g∈DomT^∗∩DomS), alors on a :

ImT = KerS, avec de plus unicité et information quantitative :

∀f ∈ KerS ∃!u ∈ DomT∩ KerT⊥

telle que T u = f avec ||u||H1 6 C||f||H2. Le début de la démonstration de ce deuxième théorème observe que pourg ∈DomT^∗∩

KerS quelconque, l’estimée (plus générale) supposée devient celle du Théorème 3.1 qui précède :

||g||²_H₂ 6 C²

T^∗g

2 H1+ 0

(∀g∈DomT^∗∩KerS), et donc avec F := KerS, l’implication susdite principale «⇐=» offre KerS = ImT, comme voulu. L’information quantitative apparaîtra ultérieurement.

Démonstration du Théorème 3.1. Commençons par l’implication «=⇒», la moins intéres- sante, mais qu’il faut quand même traiter par souci de complétude mathématique.

Supposons donc que F = ImT. Puisque F est fermé dans son espace de Hilbert H₂, donc est un espace de Hilbert en lui-même, l’objectif est de démontrer que l’ensemble :

B :=

g ∈DomT^∗∩F: ||T^∗g||_H₁ 61 ,

est borné, et en fait, est contenu dans une boule fermée de rayon un certain nombre réel fini 06C < ∞.

(14)

Or en nous rappelant qu’un sous-ensemble d’un espace de Hilbert est borné si et seulement si il est faiblement borné (voirla Section8), il suffit, pour tout vecteur fixéf ∈F, de démontrer que l’ensemble des valeurs des produits scalaires :

hf, gi_H₂ ∈C: g ∈B ⊂^?

z ∈C: |z|6C_f <∞

est borné dansC. MaisF =ImT par hypothèse, donc il existeu∈DomT avecf =T u, et donc pour toutg ∈B, on peut majorer :

hf, gi_H₂ =

hT u, gi_H₂

[g∈DomT^∗] =

hu, T^∗gi_H₁

[Cauchy-Schwarz] 6 ||u||H1||T^∗g||H1

[g∈B] 6 ||u||_H₁ ·1

=: C_f < ∞, ce qui signifie bien queB est faiblement borné.

Passons maintenant à l’implication principale «⇐=». En supposant donc qu’il existe une constante06C <∞telle que :

||g||_H₂ 6 C

T^∗g

H1 (∀g∈DomT^∗∩F), l’objectif est de montrer queF, qui contientImT, vaut en faitF =ImT, à savoir de trouver, pourf ∈F quelconque, un vecteuru∈DomT satisfaisantT u=f.

Lemme 3.3. Pourf ∈F fixé, avec la même constanteC, on a : hf, gi_H₂

6 C||f||_H₂||T^∗g||_H₁ (∀g∈DomT^∗). Démonstration. PuisqueF ⊂H₂ est fermé, la somme directe orthogonale :

H₂ = F ⊕^⊥ F^⊥, permet de décomposer toutg ∈DomT^∗ :

g = g⁰ +g⁰⁰ (g⁰∈F, g⁰⁰∈F^⊥), et commeF ⊃ImT entraîne :

F^⊥ ⊂ ImT⊥

= KerT^∗,

il vientT^∗(g⁰⁰) = 0, d’où en particulierg⁰⁰ ∈DomT^∗, et de plus aussi : g⁰ = g−g⁰⁰ ∈ DomT^∗.

Commef ∈F etg⁰⁰ ∈F^⊥, observons aussi que : hf, g⁰⁰i_H₂ = 0,

ce qui permet, en observant queg⁰ ∈DomT^∗∩F, de calculer-majorer : hf, gi

_H

2 =

hf, g⁰i_H₂ +hf, g⁰⁰i_H₂

◦

[Cauchy-Schwarz] 6 ||f||_H₂||g⁰||_H₂

[Hypothèse principale] 6 ||f||_H₂C||T^∗g⁰||_H₁

= C||f||_H₂||T^∗g||_H₁,

comme annoncé.

(15)

4.Densité en norme du graphe pour trois poids 15

Sur le sous-espace linéaireImT^∗ =T^∗ DomT^∗

⊂ H₁, soit maintenant la forme antil- inéaire :

Λ_f: ImT^∗ −→ C T^∗g 7−→ hf, giH2.

Grâce à l’estimation qui vient d’être obtenue,Λ_f est continue surImT^∗ de norme|||Λ_f|||6 C||f||_H₂. En appliquant le théorème de Hahn-Banach, ou en raisonnant d’une manière pure- ment interne à la théorie des espaces de Hilbert comme dans l’Exercice 5, en décomposant :

H₁ = ImT^∗ ⊕^⊥ ImT^∗⊥

= KerT⊥ ⊥

⊕ KerT,

prolongeons :

Λe_f: H₁ −→ C,

comme forme antilinéaire continue de même norme|||eΛ_f|||=|||Λ_f|||6C||f||_H₂, en déclarant Λe_f := 0sur ImT^∗⊥

, le prolongement étant alors unique.

Deus ex Machina !

Le théorème de représentation de Riesz appliqué à l’espace de Hilbert ImT^∗^⊥ =

KerT⊥

fait alors «descendre du Ciel» un unique vecteuru∈ KerT⊥

tel que :

Λe_f(h) = hu, hi_H₁ ^(∀h∈H1), ce qui, en restriction àImT^∗, donne :

Λ_f T^∗g

= hu, T^∗gi_H₁ (∀g∈DomT^∗), puis, en revenant à la définition deΛ_f :

hf, gi_H₂ = hu, T^∗gi_H₁ (∀g∈DomT^∗), identités qui garantissent que :

u ∈ Dom(T^∗)^∗ = DomT, de telle sorte que nous pouvons écrire :

hf, gi_H₂ = hT u, gi_H₂ ^(∀g∈DomT^∗), et enfin des fins, commeDomT^∗ est dense dansH₂, ceci conclut que :

f = T u.

Démonstration du Théorème 3.2. Une inspection rétrograde des arguments qui viennent d’être explicités montre, dans l’application réalisée du théorème de représentation de Riesz— Deus ex machina par excellence lorsqu’il s’agit de « résoudre » des équations aux dérivées partielles —, que l’on peut choisiru∈ KerT⊥

unique satisfaisant de plus :

||u||_H₁ = |||Λ_f||| 6 C||f||_H₂.

(16)

4. Densité en norme du graphe pour trois poids En vue d’établir l’inégalitéa priori :

||f||²_ϕ₂ 6 C²

T^∗f

2 ϕ1 +

Sf

2 ϕ3

(∀f∈DomT^∗∩DomS), il est naturel de penser qu’il suffit de travailler avec des formesf ∈Cc,p,q+1^∞ (Ω), carCc^∞est dense dans l’espaceL². Toutefois, en présence de poids variés et avec un opérateur adjoint à traiter, ceci va requérir un travail non trivial et substantiel.

Rappelons que le produit scalaire ponctuel entre deux(p, q + 1)-formes :

f = X

|I|=p

0 X

|J|=q+1

0f_I;Jdz^I∧dz^J et g = X

|I|=p

0 X

|J|=q+1

0g_I;Jdz^I∧dz^J,

vaut :

f^•g = X

|I|=p

0 X

|J|=q+1

0f_I;Jg_I;J,

et que la norme associé|f|² =f^•f satisfait l’inégalité de Cauchy-Schwarz ponctuelle : f^•g

6 |f| |g|.

Grâce à ce produit, pour une fonction réelle lisse quelconque ϕ ∈ C^∞(Ω,R), on peut introduire le produit scalaireL²à poids strictement positife^−ϕ:

hf, gi_ϕ :=

Z

Ω

X

|I|=p

0 X

|J|=q+1

0f_I;Jg_I;J e^−ϕdλ,

||f||²_ϕ :=

Z

Ω

X

|I|=p

0 X

|J|=q+1

0 f_I;J

2 e^−ϕdλ,

qui satisfait l’inégalité de Cauchy-Schwarz intégrale (exercice) : hf, gi_ϕ

6 ||f||_ϕ||g||_ϕ. Proposition 4.1. Dans un ouvert Ω ⊂ Cⁿ, soit ην

∞

ν=1 une suite de fonctions réelles à support compact :

η_ν ∈ Cc^∞ Ω, [0,1]

, dont les niveaux-plateauxK_ν :={ν= 1} ⊂Ωsont emboîtés :

K_ν ⊂ IntK_ν+1 ^(∀ν>1), et remplissent :

Ω =

∪

ν>1K_ν. On suppose données trois fonctions lisses :

ϕ₁ ∈ C^∞(Ω), ϕ₂ ∈ C^∞(Ω), ϕ₃ ∈ C^∞(Ω), qui satisfont :

e^−ϕ²

n

X

k=1

∂η_ν

∂z_k

2

6 e^−ϕ¹ ^(∀ν>1),

e^−ϕ³

n

X

k=1

∂η_ν

∂z_k

2

6 e^−ϕ² (∀ν>1).

(17)

4.Densité en norme du graphe pour trois poids 17

AlorsCc,p,q+1^∞ (Ω)est dense dansDomT^∗∩DomS pour la norme du double graphe : f 7−→

T^∗f

ϕ1 +||f||_ϕ₂ +

Sf ϕ3. Faisons remarquer que pour tout choix de η_ν∞

ν=1, il existe toujours de tellesϕ₁, ϕ₂, ϕ₃, puisque les deux inégalités à satisfaire reviennent à :

∂ην^•∂ην =

∂ην

2 =

n

X

k=1

∂η_ν

∂z_k

6 e^ϕ^j+1^−ϕ^j (j= 1,2ν>1), donc il suffit de choisirϕ₂, puisϕ₃, qui croissent assez vite à mesure que les compactsK_ν remplissentΩ.

Démonstration. Avant de régulariser les (p, q + 1)-formes f, tronquons leur support en utilisant les fonctionsη_ν.

Lemme 4.2. Pour toutef ∈DomT^∗∩DomS, on a convergenceη_νf −→

ν→∞f pour ces trois normes :

0 = lim

ν→∞

T^∗(η_νf)−T^∗(f) ϕ1

| {z }

À

= lim

ν→∞

η_νf−f ϕ2

| {z }

Á

= lim

ν→∞

S(η_νf)−S(f) ϕ3

| {z }

Â

.

L’intérêt, c’est que cesη_νf ont un support compact, ce qui facilitera leur régularisation.

Démonstration. Grâce à l’inégalité : (η_ν −1)f

e^−ϕ² 6 |f|e^−ϕ²,

la propriété Á découle du théorème de convergence dominée, puisqu’on a convergence ponctuelle(η_ν −1)f −→0partout dansΩ.

PourÂ, il faut bien sûr commencer par vérifier queη_νf ∈ DomS! CommeS ≡ ∂ sur les formes lisses, on se convainc (exercice) que tel est bien le cas, puis que :

S η_νf

= ∂η_ν∧f +η_νS(f).

Autrement dit :

S η_νf

−η_νS(f) = ∂η_ν ∧f.

Maintenant, l’Exercice 7 propose de trouver une constante0 < C_n < ∞ne dépendant que de la dimension telle que pour toute(0,1)-formeµet toute(p, q)-formeu:

µ∧u

2 6 C_n²|µ|²|u|². (4.3)

Application :

S η_νf

−η_νS(f)

2e^−ϕ³ 6 C_n|f|²

∂η_ν

2e^−ϕ³

6 C_n|f|²e^−ϕ². Alors une intégration surΩ:

Z

Ω

S η_νf

−η_νS(f)

| {z }

−→0ponctuellement

2e^−ϕ³dλ =

S η_νf

−η_νS(f)

2

ϕ3 6 ||f||²_ϕ₂ < ∞,

justifie l’utilisation du théorème de convergence dominée pour obtenir : 0 = lim

ν→∞

S η_νf

−η_νS(f)

ϕ3 (∀f∈DomS).