L’indispensable sur les espaces de Banach

L’indispensable sur les espaces de Banach

Je rappelle que la compl´ etude d’un espace m´ etrique est ´ equivalente ` a la propri´ et´ e des

“segments emboˆıt´ es” : toute intersection d´ enombrable d´ ecroissante de boules ferm´ ees est d’intersection non vide.

Th´ eor` eme 1 . (Baire) Dans un espace m´ etrique complet, pour toute r´ eunion d´ enombrable de ferm´ es pF

q

remplissant l’espace, l’un d’entre eux contient une boule ouverte.

D´ emonstration – Sans quoi toute boule ouverte B contiendrait pour chaque n ě 1 un point x

qui ne serait pas dans le ferm´ e F

. C’est donc toute une boule ouverte de B, de centre x

qui ne rencontrerait pas F

. Une boule ferm´ ee de rayon un peu plus petit a la mˆ eme propri´ et´ e. On pourrait donc fabriquer par r´ ecurrence une suite B

d´ ecroissante de boules ferm´ ees, de rayon tendant vers 0, telles que B

ne rencontre aucun des ferm´ es F

, . . . , F

. L’espace ´ etant complet, l’intersection non vide des B

contiendrait un point n’appartenant

`

a aucun des ferm´ es F

, en contradiction avec l’hypoth` ese E “ Ť

ně1

F

. B

Je rappelle qu’une sermi-norme sur un espace vectoriel est une ‘norme’ qui peut avoir des vecteurs non nuls de taille nulle.

Th´ eor` eme 2 . (Zabrejko) Soit maintenant pZ, | ¨ |q un espace de Banach et p : Z Ñ R

une semi-norme telle que pour toute s´ erie convergeant ř

ně0

z

dans Z on a p ´ ÿ

ně0

z

¯ ď ÿ

ně0

ppz

q. (0.1)

Il existe alors une constante M telle que pp¨q ď M | ¨ | .

D´ emonstration – Il suffit de voir que p est born´ ee sur la boule unit´ e ferm´ ee B de Z puisque ppλzq “ |λ|ppzq, @λ P R, z P Z. (0.2) Comme Z “ Ť

ně1

tp ď nu l’un des ferm´ es tp ď nu est d’int´ erieur non vide, disons tp ď n

u . Notons z

`r

B une boule ferm´ ee incluse dans tp ď n

u . On a ppB q ď pn

`pp´z

qq{r

“:

m

d’apr` es la propri´ et´ e de positive homog´ en´ eit´ e (0.2), si bien que B Ă tp ď m

u. On peut alors utiliser la propri´ et´ e ´ el´ ementaire suivante, dont la d´ emonstration vous est laiss´ ee.

Lemme – Si B est incluse dans l’adh´ erence d’un ensemble E alors tout point z de B s’´ ecrit sous la forme

z “ ÿ

ně1

2

z

avec z

P E.

On a alors pour tout z de la boule ferm´ ee B ppzq “ p ´ ÿ

ně1

2

z

¯ ď

ÿ

ně1

2

ppz

q ď 2m

.

B Pour une application lin´ eaire T : E Ñ F entre espaces vectoriels norm´ es je note ~T ~ sa norme d’op´ erateur. Je note aussi a À b si a ď mb pour une constante positive m.

Th´ eor` eme 3 . (Banach & co) Soit pE, |¨|q un espace de Banach et pF, |¨|

q un espace vectoriel norm´ e.

‚ Supposons que F est aussi un espace de Banach. Pour qu’une application lin´ eaire T : E Ñ F soit continue il suffit que son graphe `

x, T pxq ˘(

xPE

soit un sous-ensemble ferm´ e de E ˆ F.

1

2

‚ Soit pT q

une famille d’applications lin´ eaires continues de E dans F . Il suffit d’avoir sup

TPT

|T pxq|

ă 8 pour chaque x P E, pour avoir

sup

TPT

~T~ ă 8

‚ Supposons que F est aussi un espace de Banach, et soit T : E Ñ F une bijection continue. Alors T

: F Ñ E est aussi continue :

|x| À ˇ ˇ T pxq ˇ

ˇ

À |x|, @x P E.

D´ emonstration – ‚ Le premier point constitue le th´ eor` eme du graphe ferm´ e. On l’obtient en corollaire du r´ esultat de Zabrejko en travaillant sur l’espace de Banach E en prenant ppxq “ ˇ

ˇ T pxq ˇ

ˇ

. Pour la v´ erification, on ne perd rien ` a prendre une suite x

d’´ el´ ements de E telle que ř

k

ˇ ˇ T px

q ˇ

ˇ

ă 8. Comme F est un espace de Banach la somme ř

k

T px

q est convergente. Si donc la somme ř

k

x

est convergente dans E l’hypoth` ese nous assure que ř

k

T px

q “ T ` ř

k

x

˘

, et la conclusion vient de ce que les sommes partielles v´ erifient ˇ

ˇ ř

kď`

T px

q ˇ ˇ ď ř

n

ˇ ˇ T px

q ˇ

ˇ pour tout `.

‚ Le second point constitue le th´ eor` eme de Banach-Steinhaus, d´ emontr´ e ind´ ependamment par Hahn et Hildebrandt. On l’obtient en corollaire du r´ esultat de Zabrejko en travaillant sur l’espace de Banach E en prenant ppxq “ sup

TPT

ˇ ˇ T pxq ˇ

ˇ

.

‚ Le troisi` eme point constitue le th´ eor` eme de “l’application ouverte”. On l’obtient en corollaire du r´ esultat de Zabrejko en travaillant sur l’espace de Banach F en prenant ppyq “

|x| , avec T pxq “ y. Si l’application T est juste surjective, on peut encore utiliser le r´ esultat de Zabrejko en travaillant sur l’espace de Banach F en prenant ppyq “ inf |x| ; Tpxq “ y (

. La conclusion qui s’ensuit est le fait que T est ouverte : elle envoie un ouvert de E sur un ouvert de F . Pensez au cas particulier de l’identit´ e sur un espace muni de deux normes, en faisant chacune un espace de Banach.

Je vous laisse v´ erifier dans chaque les deux derniers cas que la condition (0.1) de Zabrejko

est bien satisfaite. B

L’´ enonc´ e suivant donne une version du th´ eor` eme de Lax-Milgram qui fonctionne sur des espaces de Banach. Ce type de r´ esultat est utilis´ e en particulier pour r´ esoudre des EDPs, une fois celles-ci reformul´ ees sous une forme ad hoc.

Th´ eor` eme 4 . (Babuska) Soit Z

et Z

deux espaces de Banach. On associe ` a une application lin´ eaire continue a P L

pZ

ˆ Z

, Rq l’application a : Z

Ñ Z

, d´ efinie pour chaque z

P Z

par la formule

apz

qpz

q “ apz

, z

q, @z

P Z

.

L’application a est bijective ssi

a : Z

Ñ Z

est injective et il existe α ą 0 tel que

~apz

q~ ě α|z

|, @z

P Z

. (0.3) Notez que l’injectivit´ e de

a : Z

Ñ Z

, est ´ equivalente ` a l’identit´ e X

ker apz

q “ t0u lorsque Z

est r´ eflexif ; c’est le cas si Z

est un espace de Hilbert.

D´ emonstration – Supposons a bijective. On a d’abord

kerp

aq “ =mpaq

“ 0. (0.4) Le th´ eor` eme de l’application ouverte nous dit par ailleurs que l’inverse (ensembliste) de l’application a est continu, ce que traduit l’estim´ ee (0.3).

R´ eciproquement, on voit sur l’identit´ e (0.4) que =mpaq est dense dans Z

. L’estim´ ee de continuit´ e (0.3) donne ` a la fois que a est injective et que son image est ferm´ ee. (Une suite de Cauchy dans l’image de a provient d’une suite de Cauchy de Z

; la continuit´ e de a fait

le reste.) B