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Agrégation Interne 2002 Exercices de Propagation

Corrigé

Exo n°1 : milieu supraconducteur.

1. Equations de Maxwell : ^{E B E B}_t ^B o^J o o ^E_t

o 

 







 





 

 

 

 





 , Div 0 ,Rot ,Rot

Div .

Définition des potentiels :

t V A E

A

B 









 



 Rot , Grad .

2. Alors la composante statique du champ électrique disparaît. En régime variable, on sait (équation de Maxwell - Gauss & équation de continuité de la charge électrique) que (t)_oe^t/, où l’on a

s 10^17

 

 

 ^o non mesurable donc ^0. Il en résulte que Div E  0, & que

t E A







 

.

 Equation de propagation de E :

  ^{ }   _



 







 





 

 

 

 

 



 







 













 t

J E B t

t t

E B E

E

E

_{o o o}

 

 







 Grad Div Rot - Rot

Rot

Rot

. Avec la loi

locale de London ₂









o

E A J

 

 , on obtient :

2 2

2 2

2 2

1









 

 







 

 



 

















 E

t E t

E E t

E t

A t

E _o E _{o o o o o}





 





 

.

 Equation de propagation de B :

  ^{B B}   ^{B B J}

o

^E _t  ^J 

o

_t   ^E 









 Grad Div Rot Rot Rot

Rot

Rot

_{o o o o}



 







 



 







 























. Avec la loi

locale de London ₂









o

E A J

 

 , on obtient :

 

_



 











 



 





 













 

 



















 









 t

B t B

t E B

t E A

B _{o o}





 

 



2 o o

2 o o

o Rot Rot

Rot , soit :

2 2

2









 

 





 B

t B t

B _{o o} B _o





 

. C’est bien sûr la même équation.

 Equation de propagation de A :

   

t E E A

t J E

B A

A

A

_o

o

o



 



 







 







 





 

 





















 

 









2 o o

o

Rot

o

Div Grad Rot

Rot

. En utilisant

t E A







 

, on obtient :

^A _t ^A   ^A

t

A 

_o

A    

Div

2

Grad

2 o 2

o



 



 



 

 







. On retrouve la même équation de

propagation avec la première jauge de Lorentz Div A 0, cas particulier de la seconde 0

Div 



 



 t

A _{o o} V

avec V = cste. Il en résulte que  est homogène à une longueur.

3. Equation locale de Poynting : on calcule



^{E B}

 

^{B E E B}



o o













 1 .Rot .Rot

1 Div

Div 



 



 , soit :



 







 







 



 











 









 

 t

E E A

t E

B B _{o o o}

o



 

 





. 2

1 .

Div , ce qui s’écrit aussi, avec

t E A







 

: ' 2

Div E

t

u 







, avec ₂

2 2 2

2 1 2

' 1





 





o o

oE B A

u . Le terme supplémentaire dans la densité d’énergie, lié au potentiel - vecteur, peut compenser le terme de pertes Joule, traduisant ainsi la propriété bien connue des supraconducteurs, pour se ramener à une équation de continuité de la forme (comme dans le vide, donc sans pertes) : ^{Div  0}



 

 t

 u

.

4. On part de l’équation de propagation de B : ²_{2 2}









 

 





 B

t B t

B _{o o} B _o





 

, & on la réduit.

Invariances par translation : ^{0 2}₂

y B B z

x 

 





 

 



  

. Régime permanent : _^_t ^0. Il reste :





 



 



 

 _{/ /}

2 2 2

'_o ^y

oe y B e

B B B

y

B    

. Le milieu est infini, pas d’onde réfléchie, le champ ne peut devenir infini, donc B^'o^0 d’où B y( )B e_o. ^{ y/}

. Il y a amortissement du champ même en régime permanent, à la différence de l’effet de peau dans un conducteur ordinaire : c’est l’effet Meissner.

5. On a : ₂

2 2

1 2

e n

c c m

S o o

o

 







  , ^Dim(nS^)L3, ₂ ²

2 2

2

) 4 Dim(

 

 

 

 MLT

L F e

r F e

o

o , d’où :

2 2 2 2 3

2 1

) (

Dim L

T L L MLT L

M  



 



 

 _{ } homogène.

Exo n°2 : Effet de peau.

1. Equations de Maxwell dans le conducteur :

t E B

B 







 

 0,Rot

Div , ^{Div } _^{  0}

o

E

car, dans un conducteur ^{J E}(loi locale d’Ohm), & ^{Div 0}





  J t

(équation de continuité de la charge électrique). Par élimination, en supposant que la conductivité  est uniforme (donc ne dépend que du temps) :



 









 

  0 ( ) _o ^t/

o

e dt t

d . La conductivité du cuivre valant : ^{6.10 SI}

10 . 67 , 1

1

1 ₇

8 

 



 _ , on a :

s 10 . 5 , 10 1

. 6

10 . 85 ,

8 ₁₉

7

12 

 

 

 

 ^o , & donc en régime permanent (^{t 6,9.}) on a ^0. Enfin : t

E E

B _{o o o}



 











 

 ( )

Rot . On calcule :

^Rot   ^{Rot E     E   Grad}   ^{Div E }

^{, soit :}

 

^E_t

t E E

t E E

B t t t

E B _{o o o o o o}







 

 











 







 







 

 

 

 





 







 







 

 

 



2 2

Rot -

Rot .

Le métal étant un milieu isotrope, ne peut modifier la polarisation de l’onde, donc le champ électrique dans le métal est, comme dans le vide, dirigé suivant l’axe Oz (passage d’un équation vectorielle à une équation scalaire). Le métal est globalement invariant par translation suivant les directions Ox & Oz, ce qui se traduit mathématiquement par : _^_x ^ _^_z ^0. Il reste donc : ^E_t

t E y

E _z

z o o z o







 

 



 



2 2 2

2

. L’onde étant la propagation d’une vibration est un phénomène périodique dans le temps, donc le champ est représentable par une série de Fourier. L’équation d’onde étant linéaire, chaque terme de la série (purement sinusoïdal) la vérifie séparément, ce qui permet de travailler avec une dépendance sinusoïdale

en temps en e^jt, & donc pour tout problème on aura _^_t ^{ j}, la différence se faisant sur la dépendance spatiale. En posant alors E_z(y,t)e^jt.f(y), & en substituant dans l’équation d’onde, on obtient une équation différentielle déterminant la fonction ^f(y) : ²₂ ^



^{2   j }



^.f(y)0

dy f

d o o o .

2. On a donc ^ _^{ 1}_ ^1017rad/s

o , ce qui est largement vérifié dans le domaine électromagnétique (on ne va pas chercher à propager de la lumière dans du métal !), donc on a :











 







 



















 _o

o o o o

o

o j j j

2 & l’équation en f devient : ²₂ ^{K2f 0}

dy f

d , en posant :

 



 







 









 j

j K j

K _{o o} 1

2

1 ²

2 , avec ^ _{ }

o

2 , d’où : f(y)A.e^jKy B.e^jKy, puis :

 

_^

 

_^

 







 



 





 y

j t

j y B

j t

j A t y

E_z( , ) .exp 1 .exp 1 , soit aussi :





 

 



 





 



 



 

 



 





  y

t y j

y B t y j

A t y

E_z( , ) .exp exp .exp exp . Le second terme étant une onde sinusoïdale amortie représente l’onde incidente (confirmé par le signe dans la phase), le premier terme donne une onde amortie si on lit la courbe de droite à gauche, & donc correspond à l’onde réfléchie (confirmé par le signe dans la phase). Comme le métal est un milieu infini, il n’y a pas d’onde réfléchie, donc A = 0.

Comme on néglige l’onde réfléchie par la surface du métal, il en résulte, par application de la relation de continuité sur le champ tangentiel, que B Eo, d’où :



 





 

 



 





 

 y

t y j

E t y

E_z( , ) _oexp .exp , d’où, en notation réelle : 



 









 ^{ } y

t e

E t y

E_z( , ) _o ^y/ .cos . La courbe représente donc une sinusoïde amortie, de période ^2^{}o ^2^_^c , ce qui revient à dire

que :

   



 

 





 

 

 









o o o o

o 1 1 1

2 2

2 ^{2 2} ₂

2

2 & on retrouve toujours la même condition. La

période de la sinusoïde amortie dans le métal est donc beaucoup plus courte que celle de la sinusoïde pure dans le vide.

3. Puissance Joule volumique : ^{J E} d

d  

 .



P (second membre de l’équation locale de Poynting), soit : E2

d

d 



 

P . Si on utilise les notations complexes (cf puissance complexe) : ^{. *} 2 1 EE d

d  



 

P , ce qui

donne : 



 





 

 



 





 



 



 





 



 





 

 



 





 



 

y E

t y y j

y E t y j

d E

d _o

o

o exp 2

exp 2 . exp exp

. 2 exp

1 ²

P . Sur le

tuyau : ^dab.dy donc :



 



 



 



 





 

 

 



 





 

 



 

0 2

0 0

2

2 2 exp

2 2 2 exp

y ab

abdy E y

dP E^{o o}

P , soit aussi :

2 2

2 ab E_o 

 

P . Pour en déduire la résistance R_HFen haute fréquence, il faut écrire que P RHFIeff² . On calcule : ^{I E dS}

S z.



^

 . Les vecteurs ^{E&J E} étant dirigés suivant Oz, le courant élémentaire traverse la bande a.dy vaut : ^{dI J}.^{dS E}oexp ^y .exp ^{j t y}^a.^dy



 





 

 



 





 





 d’où on déduit le courant

total :

 

 



^{   }



 

 



 

 



 



 





 

 



 





 







0 0

0 exp .exp . exp 1 . 1

j e dy aE

y j e

aE dy y a t y j

E dI I

t o j t

o j

o . On en

déduit :

 

. 4 2

1 _* ²

2  



 ^o

eff aE

I I

I , puis

 

 

^a

b aE

ab E R I

o o eff

HF  







 

 ₂ ² ₂

. 4

4 P .

, donc de la forme classique :

S l S R l

 



 avec l b(dimension le long du courant) & S a(surface orthogonale au courant), &

donc la résistance en haute fréquence du courant est la même que celle en courant continu d’un conducteur qui aurait la longueur . Il en résulte que l’effet d’un courant haute fréquence ne se fait sentir que sur une épaisseur de l’ordre de , d’où la technologie des circuits imprimés.

La conductivité du cuivre valant : ^ _^{1 }_1,67.¹_108 ^6.107SI. On calcule :

Pour le secteur (fréquence 50 Hz, donc 100π SI) : ^1cm

10 . 6 . 10 . 4 . 100

2 2

7

7 



 



 

 _

o

En électronique rapide (fréquence 1 MHz) : ^{15 m}

10 . 6 . 10 . 4 . 10 2

2 2

7 7

6  



 



 

 _

o .

Exo n°3 : Corde vibrante.

1. D’après l’énoncé, l’action du champ de pesanteur est négligée, ainsi que toute cause d’amortissement ; les seules forces extérieures appliquées à l’élément de corde sont donc les tensions :

) (

) (

.a T x T x x

dm       .

cos

dm   dl x  x

 au premier ordre en . Comme on se limite aux mouvements transversaux, il n’y a pas d’accélération longitudinale (suivant Ox) & l’accélération transversale (suivant Oy) vaut :

²

² x a_y y



  . On écrit la relation fondamentale de la dynamique en projection:

Sur Ox : ^{0 T(xx,t).cos(xx,t) T(x,t).cos(x,t)}

Sur Oy : ^{( , ).sin ( , ) ( , ).sin ( , )}

²

² T x x t x x t T x t x t

t

x y      



 

  

A l’ordre 1, cos   1 & la norme de la tension est constante, & donc égale à T à l’extrémité. Théorème des accroissements finis sur la deuxième équation, avec sin :

 

x x F t x t

x x t T

x y





 













 

 

 ( , ) ( , )

²

² . Or ^



 

 x

Tan y d’où

²

² x

y

x 

 





 , d’où l’équation de

d’Alembert : ⁰

²

²

² 1

²

² 



 





t y V x

y , avec ^{V  T}_ .

2. La solution générale est donc de la forme :

 x t A  t kx B  t kx

y ,  .cos    .cos   , avec kV . Conditions aux limites : on a des nœuds de vibration aux extrémités (corde fixée ou guidée), ce qui implique :

A B t B

t A t

t

y(0, )0  0 .cos  .cos   . Les ondes incidente & réfléchie sont en opposition de phase. Alors : yx,t2Asintsinkx. Puis :

L n

kL kL t A t

t L y

n

 















 2

sin . sin . 2 0

0 ) ,

( .

Les conditions aux limites amènent naturellement la quantification des paramètres de l’onde : la longueur d’onde est quantifiée suivant :

n

n  2L

 , & la pulsation suivant :

L n V V k_n

n   

 . La

solution générale s’écrit donc : ^y ^{x,t }



^{Ansin n Vtsin n x}.