Td corrigé Agrégation Interne 1998 pdf

Agrégation Interne 1998 Exercices de Propagation

Corrigé

Exo n°1 : RAS.

Exo n°2 : Indice d’un milieu conducteur.

1. On obtient :

t E t

E

E c^r _o







 









 

²

²

² .

2. On a donc : ^E  ^Eo^.exp



^j(^t ^k^.r⁾



, d’où on déduit l’expression des opérateurs différentiels :



 

 j

t &  jk





 . Par substitution dans l’équation de propagation, on obtient la relation de dispersion :  ^r  j_o

k c

²

² ² , ou : ^{ r  j}_o^ k c

²

² ² .

3. L’indice de réfraction vérifie la relation de dispersion ^{k.vk.}_n^c, d’où on déduit que :

   

_



 







 









 





 







 

 



r o

r o n jn n jn j

j c

k c _{1 2} ² _{1 2} ²

²

²

²

² ² d’où le système :

22 12 n

r n 

 & ^ _^_

o

n n_{1 2}

2 . On élimine n1 pour obtenir n2 :

2 2

22 2 

 









 







r n o

n conduisant à l’équation bicarrée ⁰

² 4

²

2 22

24 





 





o rn

n . On ne retient que la solution positive :



















 



 

 ²

1 ²

2 1 ^{2 2}

2

o r

n r .

4. Le vecteur d’onde s’écrit alors : 1 2 ⁽n1 jn2⁾

jk c k

k     . On remplace dans l’expression du champ électrique & on obtient :



^{( . )}



^.exp

^

^{( ( ) )}

^

^{. exp}

^

^{( )}

^

exp

. j t k r E j t k₁ jk₂ x E e ² j t k₁x

E

E  _o     _o     _o ^{k x}  

. L’onde s’amortit en _e^_^x, & donc :

2 2 1

n c k  



 .

5. AN :

 f = 10 kHz donc, avec  = 2f, on calcule : ^{9.10 1}

10 . 2 . 80

10 . 36 .

4 ₄

4

9  



 







 o

r , d’où on déduit que :

1900 10

. 9 . 2 40

2

2  4 





 









 

o o

r

n r puis ^2,5m

10 . 2 . 1900

10 . 3

4

8 

 

 .

 f = 50 MHz donc, avec  = 2f, on calcule : ¹⁸

10 . 5 . 2 . 80

10 . 36 . 4

7 9 



 







 o

r , donnant 324 au carré, un

peu limite pour l’approximation : ^{40.18 26,8}

2

2 2  





 









 

o o

r

n r puis :

^3,5cm

10 . 5 . 2 . 8 , 26

10 . 3

7

8 

 

 . Les hautes fréquences sont plus fortement amorties, utiliser des basses fréquences pour communiquer dans l’eau.

Exo n°3 : Câble coaxial.

1. Loi des nœuds :

t dx v C dx G t x v t dx x i t x

i _{o o}



 





 ( , ) ( , ) . .

) ,

( soit :

) 1 ( .

. t

C v v x G

i o o 

 



 



Loi des mailles :

t dx i L dx R t x i t dx x i t x

v _{o o}



 





 ( , ) ( , ) . . )

,

( soit : ^{. . (2)}

t L i i x R

v o o 

 



 



2. On calcule :

x t C v x G v x

i

x ^{o o}  

 



 

 

 



 







 ²

.

² . ² ) : 1

( puis

² . ²

² . ) : 1 (

t C v t G v t

x i

t ^{o o} 

 



 

 



 



 







 &

de même :

x t L i x R i x

v

x ^{o o}  

 



 

 

 



 







 ²

.

² . ² ) : 2

( puis

² . ²

² . ) : 2 (

t L i t R i t

x v

t ^{o o} 

 



 

 



 



 







 . Par élimination, on

obtient :







 



 



 





 





 



t R i t L i t C

L i i R x G

i o o o o o o

² . ²

.

² .

² & de même :







 



 



 





 





 



t G v t C v t L

C v v G x R

v o o o o o ² o

. ²

² .

² ce qui fournit les équations des télégraphistes :



o o o o



o o o

o R C L G

t i i R t G

L i x C

i 





 

 





²

²

²

² &



_{o o o o}



o o o

o R C L G

t v v R t G

L v x C

v 





 

 





²

²

²

²

3. Dans le cas d’une ligne sans pertes (Ro = 0 & Go = 0), il reste :

² 0

²

²

² 



 





t L i x C

i o o & ⁰

²

²

²

² 



 





t L v x C

v o o . On reconnaît l’équation d’onde de d’Alembert, & donc la vitesse des ondes vérifie :

1 ²

² 1 c

C V L

o o o o

 

 

 , résultat logique pour une ligne sans pertes.

4. Pour une onde plane progressive se déplaçant vers les x > 0, & vérifiant la condition initiale, on a :

)

. (

) ,

(x t I_oe^{j t kx}

i  ^{ } & de même : v(x,t) V_o.e^j(tkx). Pour une ligne sans pertes, les équations (1)

& (2) deviennent : ) ' 1 ( . t C v x

i o 

 

 

 & ^{. (2')}

t L i x

v o 

 

 

 . En reportant, on obtient :

)

( _o

o

o C j V

jkI  

 &  jkVo Lo⁽jIo⁾ ce qui donne :

k L C

k I

V _o

o o

o 

 

 . Avec la relation de

dispersion  kc & l’expression de la vitesse

o oC

c L1 , on obtient pour l’impédance caractéristique du câble :

a b C

L I

z V

o o o

o o

C o .Ln

2 1





 



 . Pour une onde se propageant dans l’autre sens, on aurait (le courant se retournant) : ^{v(x,t) z}_C ^.i(x,t).

AN : ^{60Ln2,3 50}

1 3 , .Ln2 10 36 10 . 2 4

1  ₇  ₉   

  ^

zC

5. Compte tenu de la remarque précédente, la traduction de l’impédance caractéristique s’écrit :

) , ( . ) , ( . ) ,

(x t z i x t z i x t

v  _{C i}  _{C r} , soit : ^{( , )}



^. j⁽ t kx^{) '}o^{. j( t kx)}



C Io e I e

z t x

v  ^{ }  ^{ } .

A l’extrémité de la ligne, la loi d’Ohm donne :



^{. ( ) ' . ( )}

 

^{. ( ) ' . ( )}



) , ( . ) ,

(X t zi X t zI_oe^{j t kX} I_oe^{j t kX} z_C I_oe^{j t kX} I_oe^{j t kX}

v   ^{ }  ^{ }  ^  ^{ } , d’où l’on déduit

que :

 

^. j⁽ t kX⁾



C



^'o^{. j( t kX)}

C zIoe z z I e

z  ^   ^ . Le facteur de réflexion pour les amplitudes est défini, pour les courants, par la relation : ^{r I}_{I X}^X _t^t _I^I _z^z _z^z

C C o o i

I r 

 



 ^'

) , (

) ,

( & pour les tensions, par la relation :

o I o i

V r r

I z

I z t

X V

t X

r V  



 ( , ) ) , (

C

C ' . Le facteur de réflexion pour les énergies R est défini par le rapport des énergies incidente & réfléchie, qui sont des fonctions quadratiques des courants ou des intensités, donc R = r². Cas particuliers :

 z = 0 : le câble est court-circuité à son extrémité. Alors rI = - rV = 1, & R = 1. La réflexion de l’énergie est totale.

 z ->  : le câble est en circuit ouvert à son extrémité. Alors rI = - rV = - 1, & R = 1. La réflexion de l’énergie est encore totale.

 z imaginaire pure : il n’y a pas de consommation de puissance à l’extrémité de la ligne, donc ici encore R = 1.

 z = zC : alors rI = rV = 0, donc R = 0. Il n’y a pas d’énergie réfléchie, toute l’énergie de l’onde incidente est absorbée au bout de la ligne : c’est l’adaptation d’impédance.

6. L’énergie est contenue dans l’inductance & la capacité, donc : ^² 2

² 1 2

1L i C v

u  _o  _o . La puissance est donnée par : P (x, t) = i (x, t).v (x, t). On écrit un bilan de puissance sur une tranche dx de câble :

) . ( ) , ( ) ,

( udx

t t dx x t

x 

 



 P

P d’où : ^_ ^_ ^0

t u x

P On reconnaît l’équation de continuité de l’énergie. Vérification :



 

 





 

 

 c

t x c g

t x f t x

i( , ) & _



 



 



 

 





 

 

 c

t x c g

t x f z t x

v( , ) _C d’où on déduit que :

 

^{2 2}

 

²

2 1 2

1L f g C z f g

u _o   _{o C}  . Or : o

o o o C

o L

C C L z

C ²   donc ^u ^Lo^(f²^g²) soit : )

' ' (

2L ff gg t

u  o 



 . De la définition de P (x, t), on déduit que :

²)

² ( ) ( ) ( ) ,

(x t  f g z_C f g  z_C f g

P donc ^{2 ' 1 2 ' 1 2 (ff' gg')}

c z gg c

ff c x z

C  C 



 



 



 



 



 



 

P

Avec o o o

o o

C L C L

C L c

z   , on retrouve bien l’équation de continuité de l’énergie.

Exo n°4 : Corde vibrante.

On isole un élément de corde situé entre les abscisses x & x + dx. On appelle T(x) & T(xdx)

les tensions aux deux extrémités de l’élément. On écrit la relation fondamentale de la dynamique (sans le poids) en projection :

) , ( cos . ) , ( ) , (

cos . ) , (

0 T xdx t  xdx t  T x t  x t

car x ne varie pas ; )

, ( sin . ) , ( ) , (

sin . ) ,

² (

² T x dx t x dx t T x t x t

t

dx y      



   

.

A l’ordre 1, cos  1 & la norme de la tension est constante, & donc égale à F à l’extrémité. Théorème des accroissements finis sur la deuxième équation :

 

dx x F t x t

dx x t F

dx y





 









 

  ( , ) ( , ) .

²

² , or ^



 

 x

Tan y d’où l’équation de d’Alembert :

² 0

²

² 1

²

² 



 





t y V x

y , avec ^{V  F}_ .

Exo n°5 : Ondes sonores dans les fluides.

1. Dans l’étude générale du mouvement d’un fluide, on a 6 inconnues



c,P,,T



qui dépendent des 4 variables ^{(x, y,z,t)}. Elles sont déterminées par les 6 équations suivantes : équation vectorielle d’Euler, & 3 équations scalaires : continuité de la masse, équation d’état du fluide, invariant du processus thermodynamique. On s’intéresse à l’aspect mécanique du problème, & donc on ignorera la variable thermodynamique T. Les équations déterminant l’évolution d’un fluide parcouru par des ondes sonores sont dans ces conditions :

) 3 ( ), 1

2 ( Grad )

Grad . (

), 1 ( 0 ) ( Div

S



 









 









 







 





P v P v

c t c

c c

t ^s



 



L’équation (1) est une équation de continuité traduisant la conservation de la masse. L’équation (2) est

une forme de l’équation d’Euler : ^{c c P g}

t

c   







 

 

 



  ( .Grad) Grad , avec l’hypothèse suivante : on néglige le poids du fluide, car s’il n’était pas nul, il serait compensé par la poussée d’Archimède, résultante des forces de pression non nulle seulement s’il y a variation de pression (d’autre part, en règle générale, le mouvement du fluide aura lieu suivant une direction orthogonale au champ de pesanteur).

L’équation (3) traduit l’invariant du processus thermodynamique, donc isentropique.

A l’ordre 1, on obtient donc :

 



^{( )0}



^{Div 0 (4)}

) Div

0 ( ¹ _{1 1} ¹  ₁ 





 









 







  c

c t

t ^{o o}

o   

 

^{( )}



^.Grad



^{Grad( )} 1 ^Grad 1 ⁽⁵⁾

1 1

1 1

1 P

t P c

P c

t c

c o o

o 



 









 

 



 



 

) 6 ( 1

1

1 1 1

1 1 1

1 1

P P P

P _{S o S o} ^{o s}

s    





 



 









 















2. Pour obtenir l’équation de propagation de la pression, on prend la divergence de l’équation (5) :

 ^{Div c}

₁

 ^{Div ( Grad P}

₁

^{) P}

₁

o

t     



  

. En utilisant les équations (4) & (5), & en remarquant qu’à l’ordre

1, l’équation (6) montre que le coefficient s est constant :

t P

c t _{o s}



 





 







_oDiv₁ ^{1 1} , on

obtient l’équation cherchée : ^{ 1 1}₂ ^_^²_t^P_²^{1 0} c

P

s , avec

s s o

c  1

. Pour un gaz parfait :

cste

Pv^  pour une isentropique. On prend la différentielle logarithmique : ^{ 0} v dv P

dP , d’où on

déduit : _{v P}^v _{v P}^v _P

s S  









 









 

 1 1 1

, rT

P

o  v 

 1

& donc : c_s  rT , c’est la formule de Laplace.

Avec le formalisme de l’onde plane : j jk kcs

t  ,    ,  .



  

, l’équation (5) devient :

1 1

1 1

1 P P c c

jc jkP c

j _{o s}

o   s  

 .

3. On isole un élément de surface dS à l’intérieur du fluide. Alors la puissance élémentaire dP associée à la force élémentaire dF est donnée par : dP dF.c₁  P₁c₁.dS, & donc la puissance sonore traversant une surface S vaut : ^^

S

dS

.

P , & apparaît comme le flux du vecteur  P₁c₁



 .

Comme en électromagnétisme, on calcule la divergence du vecteur _^ :



_{1 1}



₁^{. (} ₁⁾ ₁^.Grad ₁

Div Pc P Div c c P . En utilisant les équations précédentes, on obtient :



 







 







 















 t

c c

P t _o

o

1 1

1 1 1 .

Div

 

 .

Avec 1 _o_sP1, on obtient :

2 1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

0 1 2

1 2

Div 1 c P u c P

t ^{o s}    ^o  ^s



   



 



, densité d’énergie.

On en déduit que l’énergie cinétique volumique vaut ₁² 2

1 c

e_c  _o , & l’énergie potentielle volumique

vaut : ₁²

2

1 P

e_p  _s .

Exo n°6 : Impédance acoustique.

1. Théorème de Bernoulli en x_o^ & x_o^: même z, la vitesse est continue, la masse volumique aussi, d'où continuité de la pression. On peut aussi traduire l’équilibre d’un piston situé en xo. La continuité du débit volumique Dv suppose le fluide incompressible, ce qui suppose réalisée l’une des deux conditions suivantes : ^vcs ou ^L : c’est donc le cas. La section étant variable, on doit raisonner sur le débit volumique & non pas, comme d’habitude, sur la vitesse.

2. L’équation d’Euler P

t

v  Grad





s’écrit ^{j c jk P j}_c ^P

s

 







 ( ) en régime sinusoïdal, soit

v Z v c

P. _s  . , & on retrouve la définition d’une impédance : cause (surpression) divisée par effet (vitesse du fluide mis en mouvement). On vérifie que pour une onde réfléchie, le changement de signe de la vitesse implique un changement de signe de l’impédance. D’après la relation précédente, si P est solution de l’équation de d’Alembert, la vitesse aussi, & on peut écrire :

) (

)

( _{1 1 1}

1

1 f x c t g x c t

v   _s   _s & P1 1c_s1v1 dans le milieu 1, & dans le milieu 2 on a : )

( ₂

2

2 f x c t

v   _s & P2 2c_s2v2. Alors on traduit les conditions aux limites en xo : continuité du débit volumique : D_v1D_v2 S₁v₁S₂v₂ S₁



f₁g₁



S₂f₂

continuité de la pression : P₁P₂ ₁c_s1v₁₂c_s2v₂ ₁c_s1



f₁g₁



₂c_s2f₂ On fait le rapport des équations :

D D r Z r g f

g Z f

Z 

 



 

1 11 1 1

1 1 1

2 , d’où on déduit :

p

D r

Z Z

Z

r Z 



 

2 1

2

1 , où

1 1 1 1

1 1

f g f S

g

r_D S  est le facteur de réflexion défini pour les débits & rp celui pour les surpressions (changement de signe dû à l’onde réfléchie). Calcul du facteur de transmission pour les débits

1 1

2 2

f S

f

t_D S : la première relation donne : 1rD tD, soit :

2 1

2 1 Z Z t_D Z

  . Calcul du facteur de transmission pour les surpressions :

s D

p s t

Z Z f f Z Z S S f c

f t c

1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1

2 2

2  



 , soit aussi :

2 1

2 2 Z Z t_p Z

  .

3. La puissance acoustique traversant une surface S est donnée par le flux du vecteur  Pv



 , soit la

quantité : SPvS  PDv. Le facteur de réflexion pour les énergies est donc donné par la relation (le signe provenant de l’onde réfléchie) :

2 2 1

2 1 

 







 



 Z Z

Z r Z

r

R _{D p} . Le facteur de transmission est donné par (pas de changement de signe) :



₁ ¹ ₂²



²

4 Z Z

Z t Z

t T _{D p}

 

 . On vérifie que l’on a : R + T = 1, ce qui traduit la conservation de l’énergie.

4. Les deux conduites contenant le même fluide, on a : 1 2, c_s1 c_s2 d’où :

1 2 2 1

S S Z

Z  , d’où les

valeurs des facteurs :

2 2 1

2

1 



 







 

S S

S

R S &



₁ ¹ ₂²



²

4 S S

S T S

  . Cas particuliers :

 Si S2 ⁰ : ^{R1, T 0}. Le débit de sortie est nul, il ne sort rien, tout est réfléchi. Alors Z2^, c’est l’équivalent une ligne en sortie ouverte.

 Si S2 ^ : ^{R1, T 0}. Le surpression en sortie est nulle (pour conserver une puissance finie), il ne sort rien, tout est réfléchi. Alors Z2 ⁰, c’est l’équivalent une ligne en court-circuit.

L’adaptation d’impédance dans le cas d’un seul fluide correspond donc à S1 = S2, & le facteur de transmission devient rapidement très faible si les deux sections diffèrent beaucoup. Dans un pavillon acoustique, on doit donc réaliser une croissance de la section (pour compenser les pertes d’énergie &

maintenir le flux  constant) faible mais régulière (pour réaliser localement l’adaptation d’impédance) : c’est la cas du pavillon exponentiel.