lim 15 51

PanaMaths Septembre 2013

Déterminer :

3 2

4

17 76 17 89

lim 15 51

n

n n n

→+∞

− n + −

− et

n

^{lim 5}

_→+∞

( n − ³ n

²

n + ¹¹ n

³

)

Analyse

Pour chacune des limites demandées, on a intérêt à commencer par une analyse … Dans le premier cas, on a affaire à une fonction rationnelle de la variable n. Dans ce cas, une méthode classique est connue. Dans le second cas l’expression ressemble à celle d’un polynôme mais la racine carrée rend les choses un peu plus délicates. Mais pas beaucoup plus !

Résolution

Æ 17 ³ 76₄² 17 89

lim 15 51

n

n n n

→+∞ n

− + −

−

Remarque : nous effectuons ci-dessous le calcul sans faire appel au théorème des termes de plus haut degré applicable aux suites de la forme un = f n

( )

où f est une fonction rationnelle, ce théorème n’étant plus au programme de la Terminale S depuis la rentrée 2012.

Avec ce théorème, signalons que l’on aurait :

3 2 3

4 4

17 76 17 89 17 17

lim lim lim 0

15 51 15 15

n n n

n n n n

n n n

→+∞ →+∞ →+∞

− + − = = =

−

Voyons maintenant comment procéder sans …

On peut, mais ça n’est pas obligatoire, procéder à une analyse pour commencer.

En tenant compte de lim lim ² lim ³

n n n n n n

→+∞ = →+∞ = →+∞ = +∞, on a facilement, au numérateur :

( )

3

somme

3

lim 17

lim 17 17 lim 17

n

n n

n

n n

n

→+∞

→+∞

→+∞

= +∞⎪⎫⎬ ⇒ + = +∞

= +∞⎪⎭

( )

(

²

)

^somme

(

²

)

lim 76

lim 76 89

lim 89 89

n

n n

n

→+∞ n

→+∞

→+∞

− = −∞ ⎪⎫⎬ ⇒ − − = −∞

− = − ⎪⎭

Au numérateur, nous avons donc affaire à une forme indéterminée du type « ∞ − ∞ ».

PanaMaths Septembre 2013

Au dénominateur, on a :

(

⁴

)

^somme

(

⁴

)

lim 15

lim 15 51

lim 51 51

n

n n

n

→+∞ n

→+∞

→+∞

= +∞ ⎪⎫⎬ ⇒ − = +∞

− = − ⎪⎭

La suite proposée étant une fonction rationnelle de la variable entière n, nous factorisons classiquement, au numérateur et au dénominateur, par le terme de plus haut degré.

Pour tout entier naturel n non nul :

2 3

3 3 3

3 2 2 3

4

4

4 4

76 17 89 76 17 89

17 1 17 17 17 1

17 76 17 89 17 17 17 17

51 51

15 51 15 1 15 1

15 15

n n

n n n n

n n n n n n

n n

n n n

⎛ − + − ⎞

⎜ ⎟ − + −

− + − = ⎝ ⎠= ×

− ⎛⎜⎝ − ⎞⎟⎠ −

Comme 1 1₂ 1₃ 1₄

lim lim lim lim

n^→+∞n =n^→+∞n =n^→+∞n =n^→+∞n , on a (addition) :

2 3 4

76 17 89 51

lim 1 lim 1 1

17 17 17 15

n^→+∞ n n n n^→+∞ n

⎛ − + − ⎞= ⎛ − ⎞=

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

D’où :

2 3 division 2 3

4 4

76 17 89 76 17 89

lim 1 17 17 17 1 lim 1 17 17 17 1

51 1 51

lim 1 1

15 15

n

n n

n n n n n n

n n

→+∞

→+∞

→+∞

⎛ − + − ⎞= ⎫

⎜ ⎟ ⎪ − + −

⎝ ⎠ ⎪ ⇒⎬ =

⎛ − ⎞= ⎪ −

⎜ ⎟ ⎪

⎝ ⎠ ⎭

Et enfin :

2 3

multiplication 2 3

4

4

76 17 89

1 17 17 17 76 17 89

lim 1 51 1 lim 17 1 17 17 17 0

15 15 1 51

17 15

lim 0

15

n

n

n

n n n

n n n

n n

n n

→+∞

→+∞

→+∞

− +− − = ⎫⎪⎪⎪⎬ ⇒ ⎛⎜⎜ × − + − ⎞⎟⎟=

⎪ ⎜ − ⎟

⎝ ⎠

= ⎪⎭⎪

3 2

4

17 76 17 89

lim 0

15 51

n

n n n

→+∞ n

− + − =

−

Æ _n^{lim 5}_→+∞

(

^{n−3n2 n+11n3}

)

A partir de lim lim ² lim ³

n n n n n n

→+∞ = →+∞ = →+∞ = +∞, on a immédiatement (addition)

(

³

)

lim 5 11

n n n

→+∞ + = +∞ et _n^lim_→+∞

(

^{−3n2 n}

)

^{= −∞.}

Nous avons donc affaire à une forme indéterminée du type « ∞ − ∞ ».

PanaMaths Septembre 2013

Pour tout entier naturel n, on a facilement : n ≤n² n≤n³. Pour tout entier naturel n non nul, il vient alors :

2 3

2 3 3 3

3 3 3 2

5 3 11 5 3

5 3 11 n n n n 11

n n n n n n

n n n n n n

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

− + = ×⎜⎜⎝ − + ⎟⎟⎠= ×⎜⎝ − + ⎟⎠

Comme 1₂ 1

lim lim 0

n^→+∞n =n^→+∞ n = , on a (multiplication) :

2

lim 1 0

n^→+∞n n = puis :

2

addition

multiplication

2 3

2

3

lim 5 0

3 5 3

lim 0 lim 11 11 5 3

lim 11

lim 11 11

lim

n

n n

n n

n

n n

n n n n n

n n n

n

→+∞

→+∞ →+∞

→+∞

→+∞

→+∞

⎫ ⎫

= ⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎛− ⎞= ⎬ ⇒ ⎛ − + ⎞= ⎪ ⎡ ⎤

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞

⎝ ⎠= ⎪⎪ ⎝ ⎠ ⎬⎪ ⇒ ⎢⎣ ×⎜⎝ − + ⎟⎠⎥⎦= +∞

⎪ ⎪

⎭ ⎪

= +∞⎭⎪

(

^{2 3}

)

lim 5 3 11

n n n n n

→+∞ − + = +∞