CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES 2008 MP MATHEMATIQUES 2

CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES 2008 MP MATHEMATIQUES 2

I. EXEMPLES 1. 1. Le polynôme caractéristique de M( )est

P_{M( )}(X) =

1 1

0 2

1 1 2

Si on fait C1 C2on voit que 2 se factorise Si on fait L1 +L2on voit que 1 se factorise la trace donne la dernière valeur propre(2 )

P_{M( )}( ) = (1 )(2 )((2 ) .

Les racines deP_{M( )} sont bien les éléments diagonaux deM( ).

Pour tout , la matriceM( )est uneMDP

2. Si 2 f= 0;1gles valeurs propres deM( )sont deux à deux distinctes,M( ) est diagonalisable.

Si = 0 , Sp(M₀) =f1;2g;2 étant double:Mais le sous espace propreE₂ est le planx+y = 0et donc M(0)est diagonalisable.

Si = 1, Sp(M₀) =f1;2g, 1 étant double . Mais le sous espace propre E₁ est la droite y+z= 0

x+y= 0 et M(1) n’est pas diagonalisable.

M( )est diagonalisable si et seulement si 6= 1 2. PA( ) = ²+ 1 qui n’est pas scindé surRdonc :

la matriceAn’est pas à diagonale propre .

3. SoitA= a b c d .

Si la matriceAest à diagonale propre le déterminant est égal au produit des valeurs propres , donc au produit des termes diagonaux

ad bc=ad doncb= 0ouc= 0 . DoncAest triangulaire.

Réciproquement toute matrice triangulaire admet comme valeurs propres ses termes diagonaux.

E2 est donc l’ensemble des matrices triangulaires

: A > b est continue de M2(R) dans R , donc l’ensemble des matrices triangulaires supérieures qui est l’image réciproque def0gpar est un fermé deM2(R):

de même pour l’ensemble des matrices triangulaires inférieures.

E² est donc la réunion de deux fermés.

E2est donc une partie fermée de M2(R)

II. TEST DANS LE CAS n=3

4. Pour uneMDP, le déterminant est égal au produit des valeurs propres donc au produit des termes diagonaux.

UneMDPest inversible si et seulement si ses termes diagonaux sont tous non nuls Il su¢ t de prendre une matrice triangulaire, non diagonale et inversible:

A= 0

@ 1 1 1 0 1 1 0 0 1

1

A,A ¹= 0

@ 1 1 0

0 1 1

0 0 1

1 A

5. Soit A = (aij) une matrice de M³(R). A est une MDP si et seulement si son polynôme caractéristique est égal à (a11 )(a22 )(a33 )soit :

a₁₁ a_1;2 a_1;3 a_2;1 a_2;2 a_2;3 a_3;1 a_3;2 a_3;3

= (a₁₁ )(a₂₂ )(a₃₃ )

En développant par Sarrus on trouve que

8 : a1;2a2;3a3;1+a1;3a2;1a3;2 (a1;1 )a2;3a3;2 (a2;2 )a1;3a3;1 (a3;3 )a1;2a2;1= 0 le polynôme est nul si et seulement si ses coe¢ cients sont nuls.

le terme constant donne :

a1;2a2;3a3;1+a1;3a2;1a3;2 a1;1a2;3a3;2 a2;2a1;3a3;1 a3;3a1;2a2;1= 0 soitdet(A) =a_1;1a_2;2a_3;3 .

le coe¢ cient de donne

a12a21+a13a31+a23a32= 0

AestMDP si et seulement si (detA=a₁₁a₂₂a₃₃) et (a₁₂a₂₁+a₁₃a₃₁+a₂₃a₃₂= 0)

remarque : la condition sur les déterminant est évidente et traduit que le déterminant est le produit des valeurs propres , l’autre condition ne me semble pas facile à trouver sans faire le calcul.

6.

1. MDP:=A->if (det(A)=A[1,1]*A[2,2]*A[3,3]) and ( A[1,2]*A[2,1]+A[1,3]*A[3,1]+A[2,3]*A[3,2]=0) then print( ’oui’ ) else print (’non’ ) ; fi;

2. Les matrices à diagonale propre sontA1, A3, A4, A5, A6 etA8

3. A1; A4 etA8on des inversesMDPpasA3; A5et A6

on peut penser que la condition est

a₁₂a₂₁=a₁₃a₃₁=a₂₃a₃₂= 0

ce qui est compatible aussi avec le fait que toute matrice triangulaire inversible est MDPainsi que son inverse.

III. EXEMPLES DE MATRICES PAR BLOCS 7. SoitM = A B

0 C .

Pour avoir des blocs de taille compatibles avec ceux de l’indication qui suit il faut prendreA2 M^r((R)et C2 M^s(R)

Alors A B

0 C = I_r 0

0 C : A B

0 I_s .

En développantr fois par rapport à la première ligne, on montre quedet I_r 0

0 C = detC En développantsfois par rapport à la dernière ligne, on montre quedet A B

0 I_s = detA.

On a donc bien:

detM = detAdetC

remarque : on démontre dans le cas particulier de 2 blocs diagonaux un résultat admis du cours..

8.

1. SiM = A B

0 C est une matrice par blocs deMn(R)alors : PM( ) = det A Ir B

0 C I_s = det(A Ir) det(C Is) =PA( )PC( )

Donc siAetCsont desMDP, alorsM estMDP :Les matricesAetCayant leurs valeurs propres sur la diagonale les valeurs propres de M sont sur sa diagonale.

On veut ici 13 coe¢ cients non nuls , donc 3 nuls . Il su¢ t donc prendre Ade taille1 1 (qui est obligatoirement MDP )et Cde taille 3 3 MDP ; Bligne quelconque.

seuleA5 (dé…nie à la question 6,) est uneMDP ayant tous les termes sont non nuls) On obtient par exemple :

M = 0 BB

@

1 2 3 4

0 1 1 1

0 1 1 1

0 2 3 6

1 CC A

2. Soit M = A B

0 C L’idée dua)n’est plus utilisable (pourquoi faire faire deux fois la même chose) , puisque si A et C sont desMDP de taille 2 2 , on sait que A et C on sait que Am etC sont triangulaires. .On va donc chercher à ce que les valeurs propres deAsoit sur la diagonale de Cet inversement.

Un exemple : S= 0 1

1 0 est une symétrie de valeurs propres1 et 1 , doncS+ 2I₂ admet les valeurs propres 3 et1

PosonsA= 2 1

1 2 et C= 3 x

y 1 .reste à trouverxety Or les valeurs propres deC sont2double , donc

det(C I2) = ² 4 + 4 soit

xy= 1 Par exemple : ,B= 1 1

1 1 etC= 3 1 1 1 On obtient :

M = 0 BB

@

2 1 1 1 1 2 1 1

0 0 3 1

0 0 1 1 1 CC A

.

IV. QUELQUES PROPRIETES 9. On note A= (aij)2 Mⁿ(R).

Les valeurs propres deAsont les(ai;i)ⁿ_i=1:

Or siA=P DP ¹ on aaA+bI_n=P(aD+bI_n)P ¹ donc les valeurs propres deaA+bI_n sont les(a:ai; i+b), qui sont bien les termes diagonaux deaA+bI_n,

aA+bI_n est donc uneMDP

Les termes diagonaux et les valeurs propres d’une matrice et de sa transposée sont les mêmes,a^tA+bI_n est donc une MDP

10. SoitA2 Eⁿ.

Pourp2N , on poseA_p=A+1

pI_n qui est uneMDP d’après la question précédente.

Ap est inversible , si et seulement si -1

p n’est pas valeur propre deA , ce qui interdit un nombre …ni de valeurs pourp. On poseP =

8>

<

>

1si8p2N -1

p n’est pas valeur propre

1 . (A_p)_p>P est une suite d’éléments deG_n qui versA.

11.

1. 0 1

1 0 est une matrice réelle symétrique donc elle est diagonalisable et aussi trigonalisable, mais d’après la question 3., elle n’est pas à diagonale propre.

Une matrice trigonalisable n’est pas nécessairement uneMDP

2. Par dé…nition, le polynôme caractéristique d’une MDPest scindé, une telle matrice est donc trigonalisable.

UneMDPest trigonalisable 3. SoitA2 Mn(R)

Si A est semblable à une matrice B à diagonale propre, alors les polynômes caractéristiques sont égaux or P_B est scindé, doncP_Aest scindé.

Si PA est scindé, alors A est semblable à une matrice triangulaire supérieure, or toute matrice triangulaire est à diagonale propre donc Aest semblable à uneMDP.

Aest semblable à uneMDP si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé .

12. Il su¢ t d’écrireAcomme une somme de deux matrices triangulaires l’une supérieure , l’autre inférieure.

A= 0 BB BB

@

a11 a1n

0 . .. ... ... . .. ...

0 0 a_nn

1 CC CC A+

0 BB BB

@

0 0

a₂₁ . .. ... ... . .. . .. ... a_n1 a_{n;n 1} 0

1 CC CC A

Pour toutn= 2il existe une matrice qui n’est pas à diagonale propre par exempleA= 0 1

1 0 et qui s’écrit comme somme de deux matrices triangulaires donc comme somme de deux MDP , doncE² n’est pas un sous-espace vectoriel deM²(R).

Pourn >2il su¢ t de prendre par blocs A (0) (0) (0)

Eⁿ n’est pas un espace vectoriel

V. MATRICES SYMETRIQUES ET MATRICES ANTISYMETRIQUES 13. tr(^tAA) =

Xn i=1

Xn j=1

a²_ij.C’est le carré de la norme2surMn(R) 14.

1. A est une matrice réelle et symétrique donc il existe une matrice orthogonale P et une matrice diagonaleD telles queA=P D^tP et^tP =P ¹

tr(^tAA) =tr(P D^tP P D^tP) =tr(P DD^tP) =tr(P D^2tP) =tr(D²) carP D^2tP et D²sont semblables et ont donc la même trace.

Or tr(^tAA) = Xn i=1

Xn j=1

a²_ij et tr(D²) = Xn i=1

2 i, donc

Xn i=1

Xn j=1

a²_ij= Xn i=1

2 i

2. Si de plusA est uneMDP, alors les valeurs propres de Asont les(ai;i)ⁿ_i=1 Donc

Xn i=1

Xn j=1

a²_ij = Xn i=1

a²_ii et donc Xn i=1

X

j6=i

a²_ij = 0,. On a une somme nulle de réelles positifs , il sont tous nuls et la matriceA est diagonale.

Réciproquement, toute matrice diagonale est à diagonale propre.

Les matrices symétriques réelles à diagonale propre sont les matrices diagonales 15. .

1. Aest antisymétrique, donc tous ses éléments diagonaux sont nuls et comme elle est à diagonale propre, son polynôme caractéristique est scindé et toutes ses valeurs propres sont nulles.

A est donc semblable à une matrice diagonale n’ayant que des0sur la diagonale . Donc siA=M at_(bi)(f)on a 8i < n,f(bi)2Vect(bk)ⁱ_k=1¹

f(b_n) =!0 et par une récurrence rapide

( 8i < n j ,f^j(b_i)2Vect(b_k)^{i j}_k=1 8i n j ,f^j(bi) =!0

et donc fⁿ =e0soitA= 0 A étant antisymétrique :

(^tAA)ⁿ= ( AA)ⁿ = ( 1)ⁿA²ⁿ = 0 2. ^tAAest une matrice symétrique réelle donc elle est diagonalisable.

(^tAA)ⁿ= 0donc toutes les valeurs propres de^tAA sont nulles.

On en déduit ^tAA= 0.

3. De ce qui précède, on déduit quetr(^tAA) = 0donc Xn i=1

Xn j=1

a²_ij = 0et donc somme de termes positifs ...

Aest la matrice nulle

VI. DIMENSION MAXIMALE D’UN ESPACE VECTORIEL INCLUS DANS Eⁿ 16.

dimAⁿ =n(n 1) 2 17. SoitF un sous-espace vectoriel deMⁿ(R)tel que l’on aitF Eⁿ.

De la question 15., on déduitF\ Aⁿ =f0g et donc la sommeF+Aⁿ est direct.

DoncdimF+ dimAn= dim(F+An) dimMn(R) =n² On en déduitdimF n² dimAn=n² n(n 1)

2 = n(n+ 1) 2

dimF n(n+ 1) 2

Le sous-espace des matrices triangulaires supérieures est de dimension n(n+ 1)

2 et il est inclus dans Eⁿ. La dimension maximale d’un sous-espace vectorielF deMⁿ(R)véri…antF Eⁿ est donc n(n+ 1)

2 . 18. Il n’existe pas de tel sous espace vectoriel sin= 2puis que touteMDP est triangulaire.

pourn 3On utilise des matrices par blocsM = A B

0 C . On impose à AetC d’être triangulaires inférieures . A etC sont alors bien desMDP;donc aussiM d’après la partie III.

SiB est non nul et siAouC n’est pas diagonaleM n’est pas triangulaire.

En…n l’ensemble des matrices de ce type est un espace vectoriel et comme A B

0 C ; A2T IN F_r; B2 Mr;n r; C2T IN F_{n r}

A 0 0 B 0 0

la dimension est r(r+ 1)

2 +r(n r) +(n r)(n r+ 1)

2 =n(n+ 1) 2 : Sin= 4et r= 2on prend les matrices du type :

a 0 x y b c z t

0 0 A 0

0 0 B C

ou sin= 4 etr= 1 : 0

BB

@ a

0 A 0 0

0 B C 0

0 D E F

1 CC A