Processus Aléatoires

Processus Aléatoires

J

F

DELMAS B

JOURDAIN

B

LAPEYRE

Table des matières

1 Rappels de Probabilités 7

1.1 Notion de tribu et de variables aléatoires . . . 7

1.2 Espérance d’une variable aléatoire . . . 8

1.3 Théorèmes de convergences pour les espérances . . . 10

1.4 Loi d’une variable aléatoire réelle . . . 12

1.5 Loi d’un vecteur aléatoire . . . 13

1.6 Convergence presque sûre et théorèmes liés . . . 16

1.7 Convergence en loi d’une famille de variables aléatoires . . . 18

1.8 Autres type de convergence . . . 20

1.9 Problème corrigé . . . 22

1.10 Exercices . . . 29

2 Vecteurs gaussiens - Mouvement Brownien 33 2.1 Vecteurs gaussiens . . . 33

2.2 Mouvement Brownien . . . 37

2.3 Vers une construction du mouvement brownien . . . 39

2.4 Régularité des trajectoires. . . 41

2.5 Caractère gaussien du mouvement brownien . . . 42

2.6 Exercices . . . 44

2.7 Travail dirigé : Test d’adéquation à une loi . . . 46

3 Espérance conditionnelle 49 3.1 Tribus construites à partir de variables aléatoires . . . 49

3.2 Notion d’espérance conditionnelle . . . 50

3.3 Cas d’un couple gaussien . . . 54

3.4 Travail dirigé : Estimation bayesienne . . . 56

3.5 Exercices . . . 58

4 Martingales à temps discrets 61 4.1 Introduction à la notion de martingale . . . 61

4.2 Exemples . . . 62

4.3 Un exemple générique de martingale . . . 64

4.4 Notion de temps d’arrêt . . . 65

4.5 Théorème de convergence des martingales . . . 67

4.6 Convergence de Martingales et algorithmes stochastiques . . . 69

4.7 Travail dirigé : Temps de sortie d’une marche aléatoire . . . 75

4.8 Exercices . . . 77 3

5 Chaînes de Markov à temps discret 79

5.1 Chaîne de Markov . . . 79

5.2 Calcul de lois . . . 82

5.3 Exemple d’utilisation des chaînes de Markov . . . 84

5.4 Chaînes de Markov et espérance conditionnelle . . . 86

5.4.1 Solution d’un problème d’arrêt optimal . . . 88

5.5 Exercices . . . 92

5.6 Travail dirigé : Modélisation de l’évolution d’une population . . . 95

5.7 Travail dirigé : Algorithme de Hastings-Metropolis . . . 97

5.8 Travail dirigé : Récurrence de la marche aléatoire simple . . . 98

6 Propriété de Markov forte 101 6.1 Propriété de Markov génèrale . . . 101

6.2 Introduction à la propriété de Markov forte. . . 102

6.3 Tribu des événements antérieurs à un temps d’arrêt . . . 102

6.4 Propriété de Markov forte : première approche . . . 105

6.5 Exercices . . . 107

6.6 Contrôle : Loi du supremum d’une marche aléatoire . . . 109

7 Options européennes dans le modèle de Cox-Ross-Rubinstein 111 7.1 Le modèle . . . 112

7.1.1 description . . . 112

7.1.2 liens entre les paramètresr, aetb . . . 113

7.1.3 le cas d’une seule période de temps :N=1 . . . 114

7.2 Portefeuilles, arbitrages . . . 115

7.2.1 portefeuille . . . 115

7.2.2 Absence d’Opportunités d’Arbitrage . . . 116

7.3 Pricing des options européennes . . . 118

8 Mouvement brownien et martingales 121 8.1 Généralités sur les processus à temps continu . . . 121

8.2 Extensions de la définition du mouvement brownien . . . 122

8.3 Exemples de martingales browniennes . . . 122

8.4 Exemples d’utilisation de la propriété de martingale . . . 123

8.5 Propriété de Markov forte du mouvement brownien . . . 125

8.6 Exercices . . . 127

8.7 Travail dirigé : Principe de réflexion . . . 129

Table des figures

1.1 Densitée^-12x2/√

2πdeN(0, 1) . . . 13

1.2 Fonction de répartition . . . 13

1.3 Loi deY_n . . . 25

1.4 Loi deY_2n−Y_n . . . 25

1.5 Loi deZ_n . . . 26

3.1 Projection orthogonale surH_B . . . 50

4.1 Trajectoire de la marche aléatoire symétrique . . . 62

4.2 Temps de sortie de[a, b]par une marche aléatoire . . . 75

5.1 Histogramme de la loi du nombre maximum de F consécutifs après 100 tirages 85 5.2 Probabilité d’avoir au moinsnF consécutifs après 100 tirages . . . 85

8.1 Principe de réflexion . . . 129

5

Chapitre 1

Rappels de Probabilités

1.1 Notion de tribu et de variables aléatoires

Définition 1.1.1 SoitΩun ensemble et Aun sous ensemble de l’ensemble P(Ω) des parties de Ω. On dit que A est une tribu si cet ensemble est stable par les opérations ensemblistes naturelles, plus précisément :

– stabilité par∩,∪et passage au complémentaire : siAetBappartiennent àA, alorsA∩B, A∪BetA^cappartiennent àA.

– stabilité par réunion et intersection dénombrables : si pour touti ∈ N^∗, A_i ∈ A alors

∪_i≥1A_iet∩_i≥1A_isont dansA.

– ∅, Ω∈ A.

Remarque 1.1.2 Areprésente une information disponible.

Exemples

– A ={∅, Ω}est la plus petite tribu. On l’appelle la tribu triviale. Elle représente l’absence totale d’information.

– A =P(Ω)est une tribu appelée tribu discrète qui représente l’information totale.

– Soit(B₁, . . . , B_n)une partition deΩ, alors : A=©

∪réunion finieB_ikª , est une tribu.

– SoitΩ=R, on appelle tribu borélienne la plus petite tribu contenant les intervalles de R.

On la noteB(R).

Remarque 1.1.3 Il est facile de vérifier que l’intersection d’une famille quelconque de tribus reste une tribu. La tribu borélienne de R est donc définie comme l’intersection de toutes les tribus qui contiennent les intervalles de R. Comme tout ouvert de R s’exprime comme union dénombrable d’intervalles ouverts disjoints, la tribu borélienne contient tous les ouverts de R et tous les fermés par passage au complémen- taire.

En fait la tribu borélienneB(R)est strictement plus petite que l’ensemble de toutes les parties de R, mais la preuve de ce résultat délicat repose sur l’utilisation de l’axiome du choix.

La notion de tribu permet de préciser la définition d’une variable aléatoire.

Définition 1.1.4 Une applicationXdeΩdans R est une variable aléatoire mesurable par rap- port à la tribuA, si pour toutB∈ B(R):

{ω∈Ω, X(ω)∈B}={X∈B}∈ A.

On dit alors queXest une variable aléatoireA-mesurable.

7

Définition 1.1.5 Une probabilité P sur(Ω,A)est une mesure positive de masse totale1définie surA. Cela signifie que :

– pour toutA∈ A, P(A)∈[0, 1]est défini, – P(Ω) =1,

– si pour tout entieri≥1,A_i∈ Aet la famille desA_iest disjointe, alors : P(∪_i≥1A_i) =X

i≥0

P(A_i).

Le triplet(Ω,A,P)s’appelle espace de probabilité.

On voit que pour une variable aléatoire A-mesurable on peut définir P(X ∈ A) pour toutA, borélien de R.

Remarque 1.1.6 En choisissant A_i = ∅ pour i ≥ n+1, on obtient que si A₁, . . . , A_n sont disjoints P(∪ⁿ_i=1A_i) =P_n

i=1P(A_i).

Définition 1.1.7 On dit qu’une propriété est vraie presque sûrement, si cette propriété est vé- rifiée avec probabilité 1. On dit ainsi qu’une suite (X_n, n ≥ 1) converge presque sûrement si :

P µ

n!+1lim X_nexiste

¶

=1.

1.2 Espérance d’une variable aléatoire

La notion d’espérance est la formalisation du concept de moyenne.

Cas des variables aléatoires positives Soit (Ω,A,P) un espace de probabilité. SoitX une variable aléatoire réelle à valeurs R₊∪{+∞}mesurable par rapport à la tribuA(en plus de la définition1.1.4, on suppose simplement que{X= +∞}∈ A). Notez bien que l’on accepte que Xpuisse prendre la valeur+∞avec probabilité non nulle

SiXprend un nombre fini de valeurs de R,{x₁, . . . , x_n}, on définit l’espérance naturellement par

E(X) :=

Xn

i=1

x_iP(X=x_i).

On étend l’espérance a toute variable aléatoireXpositive en “approchant”Xpar la suite crois- sante(X_n, n≥1)donnée par

X_n =

n2Xⁿ-1

k=0

k 2ⁿ1¯

k

2ⁿ ≤X < k+1 2ⁿ

°+n1{X≥n}.

Notez que pour un nfixé on sait donner une valeur à E(X_n)(car X_n prend un nombre fini de valeurs)

E(X_n) =

n2ⁿ

X

k=0

k 2ⁿP

µ k

2ⁿ ≤X < k+1 2ⁿ

¶

+nP(X≥n).

On définit alors l’espérance E(X)par

E(X) = lim

n!1E(X_n).

Ch.1 Rappels de Probabilités 9

La limite existe forcément comme limite croissante de nombres réels positifs. Elle peut être égale à+∞. Dans tous les cas elle définit l’espérance de la variable aléatoire positiveX.

Notez que si P(X= +∞)> 0, on a par construction pour toutn E(X)≥nP(X≥n)≥nP(X= +∞).

On a donc E(X) = +∞. Par contraposée, on voit qu’une variable aléatoire positive d’espérance finie est finie avec probabilité1. Autrement dit

E(X)<+∞implique P(X <+∞) =1. (1.1)

Exercice 1 Vérifier à partir de la construction de l’espérance que, si0 ≤ X ≤Y on a E(X) ≤ E(Y).

Cas des variables aléatoire de signe quelconque SiXest une v.a. réelle de signe quelconque, on dit qu’elle est intégrable si E(|X|) <∞(E(|X|)est toujours définie d’après ce qui précède).

Notez que1.1implique que|X|est finie presque sûrement. Comme X1_X≥0 ≤|X|et(−X)1_X<0 ≤|X|

On a, par croissance de l’espérance, E(X1_X≥0) ≤ E(|X|) <+∞et E((−X)1_X<0) ≤ E(|X|) <

+∞. On peut donc définir l’espérance par la différence de deux nombres réels (finis !) E(X) = E(X1_X≥0) −E((−X)1_X<0).

On admet les propriétés suivantes de l’espérance.

1. Linéarité. Soient X et Y deux v.a. intégrables, soient α, β ∈ R. Alors la v.a.

αX+βY est intégrable, et on a

E[αX+βY] =αE[X] +βE[Y].

2. E(1_A) =P(A).

3. Positivité. SoitXune v.a. réelle positive p.s., c’est-à-dire telle que P(X≥0) = 1, alors on a E(X)∈[0,∞]. En particulier E(X)≥0.

4. Soient X et Y deux v.a. réelles intégrables telles que X ≤ Y p.s., c’est-à-dire telles que P(X≤Y) = 1, alors on a

E(X)≤E(Y).

1.3 Théorèmes de convergences pour les espérances

Les théorèmes suivants sont fondamentaux lorsque l’on cherche à justifier proprement que :

n!1lim E(X_n) =E

³

n!1lim X_n

´ .

Cette égalité bien que naturelle ne va pas de soi et est en général fausse, même si on peut la justifier dans de nombreux cas. L’espérance d’une variable aléatoire positiveXa été construite comme la limite des espérances de variables aléatoires X_n qui convergent versXen croissant.

C’est pourquoi le théorème suivant que nous admettrons est naturel.

Théorème 1.3.1 (Théorème de convergence monotone) Si (X_n, n ≥ 1) est une suite de variables aléatoires croissantes positives, i.e.

0≤X_n≤X_n+1, on peut affirmer que :

E( lim

n!+1X_n) = lim

n!+1E(X_n).

Noter que l’on n’impose ni l’intégrabilité desX_n ni celle de lim_n!+1X_n, ce qui rend ce théo- rème très pratique : rien n’interdit aux limites à droite et à gauche de l’égalité de prendre la valeur+∞. Si l’une vaut+∞cela implique que l’autre vaut aussi+∞.

Remarque 1.3.1 Une application directe de ce dernier résultat montre que l’on a toujours : X

n≥0

E(|X_n|) = E ÃX

n≥0

|X_n|

! .

Lorsque l’on peut prouver queP

n≥0E(|X_n|)<+∞, on est donc sûr que E

ÃX

n≥0

|X_n|

!

<+∞.

La variable aléatoireP

n≥0|X_n|est donc finie presque sûrement et la sérieP

n≥0X_n est donc forcément (absolument) convergente. En particulier,X_ntends presque sûrement vers0.

On démontrerait de façon identique que si, pour un entierpplus grand que1 X

n≥0

E(|X_n|^p)<+∞,

alors lim_n!+1X_n=0. Ce résultat (très facile à obtenir !) est l’un des rares moyens qui permet de prouver la convergence presque sûre.

Le résultat le plus important pour passer à la limite dans les espérances est le

Ch.1 Rappels de Probabilités 11

Théorème 1.3.2 (Théorème de convergence dominée (ou de Lebesgue)) On sup- pose que la suite(X_n, n≥1)vérifie

– convergence presque sûre : P

µ

n!+1lim X_nexiste

¶

=1.

– domination : pour toutn,

|X_n|≤X,^ avec E( ^X)<+∞.

On peut alors affirmer que lim_n!+1X_nest intégrable et que : E( lim

n!+1X_n) = lim

n!+1E(X_n).

Nous allons montrer que le théorème de convergence dominée découle du théorème de convergence monotone. Pour cela nous allons commencer par établir le

Théorème 1.3.3 (Lemme de Fatou) Soit(X_n)_n∈N^∗une suite de v.a. positives p.s. On a : E

µ

n!1lim inf

k≥nX_k

¶

≤ lim

n!1 inf

k≥nE(X_k).

Démonstration : On poseY_n=inf_k≥nX_k. La suite(Y_n)est une suite croissante de variables positives.

Par le théorème de convergence monotone, E(lim

n Y_n) =lim

n E(Y_n).

Pourk≥n,Y_n≤X_k et par croissance de l’espérance, E(X_k)≥E(Y_n). Donc inf_k≥nE(X_k)≥E(Y_n).

En passant à la limiten→+∞dans cette inégalité, on obtient limn inf

k≥nE(X_k)≥lim

n E(Y_n) =E(lim

n Y_n).

On peut alors démontrer le théorème de convergence dominée :

Démonstration : On noteX=lim_nX_n. Par passage à la limite dans l’inégalité de domination|X_n|≤X,^ on obtient que|X| ≤X, ce qui assure l’intégrabilité de^ X. On a également|X−X_n| ≤|X|+|X_n| ≤2X.^ Ainsi les variablesY_n=2X^−|X−X_n|sont positives. Le lemme de Fatou implique alors

E µ

n!1lim inf

k≥n(2X^−|X−X_k|)

¶

≤ lim

n!1 inf

k≥nE(2X^−|X−X_k|), inégalité qui se récrit

2E( ^X) −E Ã

limn sup

k≥n|X−X_k|

!

≤2E( ^X) −lim

n sup

k≥nE(|X−X_k|).

Comme par convergence de X_n vers X, sup_k≥n|X− X_k| converge presque sûrement vers 0 lorsque n→+∞, on en déduit que

limn sup

k≥nE(|X−X_k|)≤0

et donc que lim_nE(|X−X_n|) =0. On conclut en utilisant l’inégalité

|E(X) −E(X_n)|≤E(|X−X_n|)

qui s’obtient par linéarité et croissance de l’espérance.

1.4 Loi d’une variable aléatoire réelle

Définition 1.4.1 SoitXune variable aléatoire à valeurs dans R. On dit que cette variable aléa- toire admet une densité p(x)(p(x) étant une fonction positive d’intégrale sur R égale à1) si pour toute fonctionf:R→R bornée ou positive, on a :

E(f(X)) = Z

R

f(x)p(x)dx.

Remarque 1.4.2 Notons que la loi d’une variable aléatoire est caractérisée par : – sa fonction de répartition :

u∈R→F_X(u) = P(X≤u), – ou sa fonction caractéristique :

u∈R→Φ_X(u) =E¡ e^iuX¢

. SiXadmet la densitép,F_X(u) =R_u

-1p(x)dxetΦ_X(u) =R

Re^iuxp(x)dx.

Exemple de loi : la loi gaussienne Un exemple de loi à densité sur R très utile est la loi gaussienne. On dit queGsuit une loi gaussienne centrée réduite si pour toute fonctionfbornée :

E(f(G)) = Z

R

f(x)e^-x22 dx

√2π.

La fonction caractéristique de cette loi vaut : E¡

e^iuG¢

=e^-u22 .

la fonction de répartition n’admet pas de formule explicite et on la note souventN: N(x) =

Z_x

-1

e^-u22 du

√2π.

Ch.1 Rappels de Probabilités 13

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

0.0 0.5

FIG. 1.1 – Densitée^-12x2/√

2πdeN(0, 1)

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

0 1

FIG. 1.2 – Fonction de répartition On dit que Xsuit une loi gaussienne de moyennem et d’écart-typeσ(ou de variance¹ σ²) si, pour toute fonction positive :

E(f(X)) = Z₊₁

-1

f(x)e^-(x-m)222 dx σ√

2π.

On vérifie que E(X) = met Var(X) =σ² et l’on dit queXsuit la loiN(m, σ²).

Notons que siXsuit une loi gaussienne de moyennem et de varianceσ², alors G= (X− m)/σest une gaussienne de moyenne0et de variance1(on dit aussi centrée réduite). On voit donc que l’on peut toujours écrire une gaussienne(m, σ²)sous la formeX=m+σG,Gétant une gaussienne centrée réduite. Cette remarque est souvent utile pour simplifier certains calculs.

Il est facile d’expliciter la fonction caractéristique d’une gaussienne(m, σ²)en effet : E¡

e^iuX¢

=E¡

e^iu(m+G)¢

=e^iumE¡ e^iuG¢

=e^iume^-(u)22 =e^iuE(X)e^-u22Var(X).

1.5 Loi d’un vecteur aléatoire

Définition 1.5.1 SoitX= (X₁, . . . , X_d)une variable aléatoire prenant ses valeurs dans R^d. On dit que X admet une densitép(x₁, . . . , x_d), si pour toute fonction positive ou bornée f de R^d dans R on a :

E(f(X₁, . . . , X_d)) = Z

Rⁿ

f(x₁, . . . , x_d)p(x₁, . . . , x_d)dx₁. . . dx_d.

La densité d’un vecteur aléatoire permet de calculer la densité de chacune de ses composantes grâce à la formule des densités marginales :

Proposition 1.5.2 Si le vecteur aléatoire X = (X₁, . . . , X_d)possède la densité p(x₁, . . . , x_d) alors pour tout1 ≤i ≤ d,X_ipossède la densitép_i(x_i)obtenue à partir depen intégrant sur les autres variables :

p_i(x_i) = Z

R^d-1

p(x₁, . . . , x_d)dx₁. . . dx_i-1dx_i+1. . . dx_d.

1La variance d’une variable aléatoire est donnée par : Var(X) =E(X²) −E(X)²=E

­

(X−E(X))²

® .

La fonction de répartition d’un vecteur est rarement utilisée, mais on peut définir la fonction caractéristique d’un vecteur par, pour toutu= (u₁, . . . , u_d)vecteur de R^d:

Φ_X(u) = E¡ e^iu:X¢

= Z

Rⁿ

e^iu:xp(x)dx, avecu.x=u₁x₁+· · ·+u_dx_detdx=dx₁. . . dx_d.

La fonction caractéristique caractérise la loi du vecteurX: on peut montrer que si Xet Y sont deux vecteurs à valeurs dans R^dtels que pour toutu∈R^d:

E¡ e^iu:X¢

=E¡ e^iu:Y¢

,

alors la loi deXest identique à celle deY et donc pour toute fonction réelle positive ou bornée fsur R^d:

E(f(X)) = E(f(Y)).

La notion d’indépendance est centrale en probabilité. C’est la façon naturelle de spécifier un modèle d’évolution.

Commençons par définir l’indépendance de deux variables aléatoires.

Définition 1.5.3 On dit que deux variables aléatoires réellesXetY sont indépendantes, si l’on a l’une des deux propriétés équivalentes suivantes

– pour toutAetBensemble (de la tribu borélienne pour les amateurs !) P(X∈A, Y ∈B) = P(X∈A)P(Y ∈B),

– Pour toutfetgfonctions bornées (et mesurable pour les mêmes amateurs) de R dans R E(f(X)g(Y)) =E(f(X))E(g(Y)).

On peut généraliser cette définition ànvariables aléatoires.

Définition 1.5.4 On dit que nvariables aléatoires réelles(X₁, . . . , X_n)sont indépendantes, si l’on a l’une des deux propriétés équivalentes suivantes

– pour tout ensembleA₁, . . . , A_n

P(X₁ ∈A, . . . , X_n∈A_n) = P(X₁ ∈A). . .P(X_n ∈A_n), – Pour tout(f_k, 1≤k≤n)fonctions bornées de R dans R

E(f₁(X₁). . . f_n(X_n)) = E(f₁(X₁)). . .E(f_n(X_n)).

Définition 1.5.5 On dit que(X_n, n≥ 0)est une suite de variables aléatoires indépendantes si, tout vecteur de longueur fini est constitué de variables aléatoires indépendantes.

On peut caractériser l’indépendance d’un vecteur aléatoire sur la densité de la loi. Le résultat est exprimé pour un couple de variables aléatoires mais s’étend sans difficulté au cas vectoriel.

Proposition 1.5.6 Un couple(X, Y)de variables aléatoires réelles admettant une loi de densité p(x, y), est un couple de variables aléatoires indépendantes si et seulement si, on peut mettre psous la forme

p(x, y) =p₁(x)p₂(y),

p₁ etp₂ étant deux densités de loi à valeurs réelles. En outre,Xadmet alors la densité p₁ etY la densitép₂.

Ch.1 Rappels de Probabilités 15

Démonstration : Supposons d’abord quep(x, y) =p₁(x)p₂(y). Soitfetgdeux fonctions bornées E(f(X)g(Y)) =

Z

R²

f(x)g(y)p(x, y)dxdy= Z

R²

f(x)g(y)p₁(x)p₂(y)dxdy.

En utilisant le théorème de Fubini pour des intégrales réelles on obtient E(f(X)g(Y)) =

Z

R

f(x)p₁(x)dx Z

R

g(y)p₂(y)dy.

En faisantg=1on obtient

E(f(X)) = Z

R

f(x)p₁(x)dx, et de même

E(g(Y)) = Z

R

g(y)p₂(y)dy.

On a finalement

E(f(X)g(Y)) =E(f(X))E(g(Y)).

XetYsont donc indépendantes.

Réciproquement supposons queXetYsoient indépendantes. Commençons par construirep₁etp₂. Pour cela, notons que, en toute généralité, on a

E(f(X)) = Z

R²

f(x)p(x, y)dxdy= Z

R

f(x) µZ

R

p(x, y)dy

¶ dx.

Ce qui prouve que la loi deXadmet une densité donnée par p₁(x) =

Z

R

p(x, y)dy.

De même la densité de la loi deYest donnée par p₂(y) =

Z

R

p(x, y)dx.

Pour simplifier la preuve, on supposera quep,p₁etp₂sont des fonctions continues. On a P(X∈[x, x+²], Y∈[y, y+²]) =P(X∈[x, x+²])P(Y ∈[y, y+²]).

Donc : Z_x+

x

Z_y+

y p(u, v)dudv= Z_x+

x p₁(u)du Z_y+

y p₂(v)dv.

On peut alors diviser par²²et passer à la limite lorsque²tend vers0, pour obtenir, pour toutx, y: p(x, y) =p₁(x)p₂(y).

Simulation d’une gaussienne centrée réduite Nous allons voir comment l’on peut simuler des variables aléatoires suivant la loi gaussienne centrée réduite. Pour cela, appelons G₁, G₂ deux gaussiennes centrées réduites indépendantes et notonsRle rayon polaire :

R=r(G¯ ₁, G₂) = q

G²₁+G²₂,

etΘ=θ(G¯ ₁, G₂), l’angle polaire (il est plus prudent de ne pas expliciter la formule de l’angle polaire !). Soitfune fonction positive, on a :

E(f(R, Θ) = Z

R²

f(¯r(x, y),θ(x, y))e¯ ^-x2+y22 1

2πdxdy.

Un changement de variable polaire permet alors d’affirmer que : E(f(R, Θ) =

Z

r>0;∈[0;2[

f(r, θ)e^-r22 1

2πrdrdθ.

Ceci permet d’identifier la loi du couple(R, Θ)comme étant la loi de densité : 1{r > 0}re^-r2=2× 1{θ∈[0, 2π[}

2π .

On en déduit que les deux variables aléatoires Ret Θsont indépendantes.Θsuit une loi uni- forme sur [0, 2π[ et un changement de variable simple (exercice) montre que R² suit une loi exponentielle de paramètre1/2.

On en déduit que :

U₁ =e^-R2=2etU₂ = Θ 2π,

sont deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois uniformes sur [0, 1]. Il est facile d’exprimerG₁ etG₂à l’aide deU₁etU₂:

G₁ =p

−2log(U₁)cos(2πU₂) G₂ =p

−2log(U₁)sin(2πU₂).

Ceci conduit à la méthode classique de simulation d’une variable aléatoire gaussienne : – tirerU₁etU₂indépendantes selon une loi uniforme sur[0, 1],

– renvoyerp

−2log(U₁)sin(2πU₂).

1.6 Convergence presque sûre et théorèmes liés

Rappelons l’un des théorèmes fondamentaux du calcul des probabilités : la Loi Forte des Grand Nombres.

Théorème 1.6.1 Soit(X_i, i ≥1)une suite de variables aléatoires indépendantes suivant toutes la même loi qu’une variable aléatoireX. On suppose que E(|X|) < +∞. Alors, pour presque toutω:

E(X) = lim

n!+1

1

n(X₁(ω) +· · ·+X_n(ω)).

Ce résultat est d’une importance centrale en statistique et les méthodes de Monte-Carlo en sont une application directe.

Ch.1 Rappels de Probabilités 17

Remarque 1.6.1 La condition que E(|X|) < +∞ est évidemment essentielle. On vérifie, par exemple, que si (X_i, i ≥ 1)est une suite de variables aléatoires indépendantes suivant une loi de Cauchy standard, c’est à dire de densité donnée par :

1 π(1+x²),

alors la loi de (X₁ +· · · +X_n)/n est égale à celle de X₁ (on pourra démontrer ce résultat en exercice, en admettant que la fonction caractéristique de la loi de Cauchy est donnée par E(e^iuX1) = e^-juj). On peut alors en déduire que(X₁+· · ·+X_n)/nne peut converger vers une constante.

Application On considère un modèle d’évolution du cours d’une action en temps discret.

Entre l’instant net l’instantn+1, on suppose le cours peut soit monter en étant multiplié par un facteurβ > 1soit baisser en étant multiplié par un facteurα ∈]0, 1[mais que sa moyenne reste constante.

Pour formaliser cette idée, on se donne une suite (T_i, i ≥ 1) de variables aléatoires i.i.d. à valeurs dans{α, β}d’espérance E(T_i) = 1. Un rapide calcul montre que

P(T_i=α) =p= β−1

β−α et P(T_i=β) =p=1−p. Le cours de l’action à l’instantnest

S_n=T₁×T₂×. . .×T_n= Yn

i=1

T_i.

Les variables ln(T_i) à valeurs dans {ln(α),ln(β)} sont intégrables. Comme pour tout x > 0 différent de1, ln(x)< 1−x,

E(ln(T_i)) =pln(α) +pln(β)< p(1−α) +p(1−β) =1−E(T_i) =0.

En appliquant la loi forte des grands nombres, on obtient que _n¹ P_n

i=1ln(T_i)converge presque sûrement vers E(ln(T₁)) < 0 lorsque n → +∞. Donc P_n

i=1ln(T_i) = ln(S_n) tend presque sûrement vers−∞. Par composition avec la fonction exponentielle, on conclut queS_nconverge presque sûrement vers0.

Mais par indépendance desT_i, E(S_n) =Q_n

i=1E(T_i) =1. On a donc 1=lim

n E(S_n)>E(lim

n S_n) =0.

Cet exemple naturel montre que l’espérance de la limite n’est pas toujours égale à la limite des espérances. Il ne faut toutefois pas se décourager lorsque l’on doit calculer l’espérance d’une limite. Les théorèmes de convergence monotone et surtout de convergence dominée permettent de conclure dans bien des cas. L’exemple illustre simplement la nécessité de vérifier l’hypothèse de positivité et de croissance pour appliquer le théorème de convergence monotone et l’hypo- thèse de domination pour appliquer celui de convergence dominée.

Ici la suiteS_n n’est pas croissante, ce qui explique que le théorème de convergence monotone ne s’applique pas. Et comme la conclusion du théorème de convergence dominée est infirmée, on en déduit que l’hypothèse de domination n’est pas vérifiée : E(sup_nS_n) = +∞. Enfin on peut noter que l’inégalité donnée par le Lemme de Fatou est stricte.

1.7 Convergence en loi d’une famille de variables aléatoires

Définition 1.7.1 Soit (X_n, n ≥ 1) une suite de variables aléatoires réelles, on dit que cette suite converge en loi vers une variable aléatoire X si, pour toute fonction continue et bornée f:R→R,

n!+1lim E(f(X_n)) =E(f(X)).

On peut montrer le résultat, important mais délicat à prouver, suivant.

Proposition 1.7.2 (X_n, n≥1)converge en loi vers une variable aléatoireXsi et seulement si, pour tout réelu:

n!+1lim E¡ e^iuXn¢

=E¡ e^iuX¢

.

Nous pouvons maintenant rappeler l’un des résultats fondamentaux du cours de probabilité de 1ère année : le théorème de la limite centrale.

Théorème 1.7.1 Soit (X_n, n ≥ 1) une suite de variables aléatoires indépendantes suivant toutes la même loi qu’une variable aléatoire X. On suppose que E(X²) < +∞. On note σ² la variance deX, alors :

√n µ1

n(X₁+· · ·+X_n) −E(X)

¶

converge en loi versσG, Gétant une variable aléatoire suivant une loi gaussienne centrée réduite.

Démonstration : Quitte à retrancher E(X)àX, on se ramène au cas oùXest une variable aléatoire de moyenne nulle. Notons alors :

Φ_n(u) =E µ

e^{iuX1+√···n+Xn}

¶ .

En utilisant le fait que lesX_nsont indépendantes et de même loi, on obtient : Φ_n(u) =E

³ e^iu√Xn

´_n .

Puis, en faisant un développement de Taylor à l’ordre2 en 0de u → E

³ e^iu√Xn

´

, on obtient (voir la remarque1.7.3pour un argument précis) :

E

³ e^iu√Xn

´

=1+E(X) u

√n− 1

2E(X²)u² n + 1

n²_n. avec lim_n!+1²_n=0. Finalement, comme E(X) =0, E(X²) =σ²et

E

³ e^iu:√Xn

´

=1− 1

2nσ²u²+ 1 n²_n. Donc :

n!+1lim Φ_n(u) = lim

n!+1

µ 1− 1

2nσ²u²+ 1 n²_n

¶_n

=e^-2u22 . Ceci prouve le résultat annoncé grâce à la proposition1.7.2.

Remarque 1.7.3 Pour justifier en détail le développement limité, il faut vérifier que la fonctionΦ(u) définie par :

Φ(u) =E

³ e^iuX

´ ,

Ch.1 Rappels de Probabilités 19

est 2 fois différentiable, les dérivées secondes partielles étant continues. Pour ceci, on commence par prouver que, comme E(|X|)<+∞, on a :

Φ⁰(u) =E

³ iXe^iuX

´ . Puis, comme E(|X|²)<+∞, on a déduit que :

Φ⁰⁰(u) = −E

³ X²e^iuX

´ ,

et l’on peut aussi prouver queΦ⁰⁰(u)est continue en utilisant le théorème de convergence dominée.

Notons²_n = _n¹ (X₁+· · ·+X_n) −E(X). Considérons la fonctionf(x) = 1{x ∈[a, b]}. Cette fonction n’est pas continue aux points aetb. Mais comme P(G = a) = P(G = b) = 0, on peut étendre (exercice difficile) le résultat du théorème précédent pour obtenir, que pour tout a < b:

n!+1lim P µ σ

√na≤²_n≤ σ

√nb

¶

= Z_b

a

e^-x22 dx

√2π. On prend, alors,b= −aet on choisitade façon à avoir :

Z_a

-a

e^-x22 dx

√2π =pproche de1.

Les valeurs classiques depsontp=0.95(qui correspond àa=1.96) etp=0.99(a=2.6).

Dans les applications pratiques on “oublie le passage à la limite” pour affirmer que P

³

|²_n|≤1.96^√_n

´

est de l’ordre de0.95. On a donc avec une probabilité proche de0.95que : E(X)∈

·1

n(X₁+· · ·+X_n) −1.96 σ

√n, 1

n(X₁+· · ·+X_n) +1.96 σ

√n

¸

Application à la méthode de Monte-Carlo On cherche à calculer E(X). On suppose que E(X²) < +∞ et que, de plus, l’on sait simuler une suite de variables aléatoires (X_n, n ≥ 1) (cela signifie que l’on peut considérer les variables aléatoires comme indépendantes et tirées selon la loi deX).

À l’issue den tirages on va estimer la moyenne m par la moyenne empirique ¯m définie par :

m¯ = 1

n(X₁ +· · ·+X_n).

Quelle est la précision de cette estimation ? Le théorème de la limite centrale nous dit que : P

µ

m∈[m¯ −1.96 σ

√n,m¯ +1.96 σ

√n]

¶

≈0.95.

L’écart-type σn’est évidemment pas explicitement connu lorsque l’on utilise une méthode de Monte-Carlo et l’on doit donc trouver une méthode d’estimation pourσ. La méthode habituel- lement utilisée est la suivante, on pose :

σ¯²_n= 1 n−1

Xn

i=1

(X_i−m)¯ ² = 1 n−1

Xn

i=1

X²_i − n n−1m¯ ².

On peut alors montrer (exercice facile) que E(σ¯²_n)σ² (on dit que l’on a affaire à un estimateur sans biais de σ²) et que, presque sûrement, lim_n!+1σ¯²_n = σ² (on dit que l’estimateur est convergent).

Dans la pratique, au cours de la simulation, en plus de stocker la somme desX_i on stocke également la somme P

iX²_i de leurs carrés (cela ne coûte pratiquement rien de plus) pour cal- culer ¯σ²_nà l’aide de sa seconde expression ci-dessus. On remplaceσpar ¯σ_ndans les extrémités de l’intervalle et l’on affirme que (bien que l’on ait rajouté une autre source d’erreur) :

P µ

m∈[m¯ −1.96σ¯_n

√n,m¯ +1.96σ¯_n

√n]

¶

≈0.95.

Exercice 2 Implementer la méthode de Monte-Carlo qui vous est suggérée avec Gune gaus- sienne centrée réduite et X = 1{G≥λ} pour λ = 0, 1, 2, . . . , 5. Comment évolue l’erreur relative de la méthode ?

Exercice 3 Calculer par simulation (ou au moins essayer !) E¡ e^G¢

pourσ =1, 2, 5. Préciser à chaque fois l’intervalle de confiance. Que constatez vous ? Comment interpréter ce résultat.

1.8 Autres type de convergence

Définition 1.8.1 On dit qu’une suite de v.a.(X_n)_n∈N^∗converge en probabilité vers une v.a.X si et seulement si pour toutε > 0,

n!1lim P(|X_n−X|> ε) = 0.

Proposition 1.8.2 La convergence p.s. entraîne la convergence en probabilité.

Démonstration : Soit(X_n, n ∈ N^∗)une suite de v.a qui converge p.s. versX. La suite de v.a.

discrètes positives(1_jXn-Xj>")_n∈N^∗ converge p.s. vers0. De plus elle est uniformément bornée par1. Par le théorème de convergence dominée, on en déduit que :

n!1lim E£

1_jXn-Xj>"

¤ = lim

n!1P(|X_n−X|> ε) =E h

n!1lim 1_jXn-Xj>"

i

=0.

Proposition 1.8.3 De toute suite qui converge en probabilité, on peut extraire une sous-suite qui converge presque sûrement.

Démonstration : Soit(X_n)_n∈N^∗une suite de v.a. qui converge en probabilité versX. On définit la sous-suite de manière suivante :σ(1) = 1et

σ(n+1) =inf

¯

p > σ(n)tel que P(|X_p−X|> 1 n)≤ 1

n²

° .

La suite (X_n) converge en probabilité, cela assure que la sous-suiteσ(n)est bien définie. On en déduit, par convergence monotone, que

E

"

X

n≥1

1|X_(n)-X|>_n¹

#

≤X

n≥1

1

n² <∞.

Ch.1 Rappels de Probabilités 21

Cela implique que p.s. P

n≥11|X(n)-X|>_n¹ < ∞. Les termes d’une série convergente tendent vers0. Donc p.s. lim_n!11|X_(n)-X|>¹_n =0. Comme la fonction indicatrice ne prend que deux valeurs 0 ou 1, cela entraîne que p.s. 1|X(n)-X|>_n¹(ω)est nul à partir d’un certain rangn₀ (qui dépend de ω). Donc, à partir d’un certain rang,¯¯X_(n)−X¯¯ < _n¹. En particulier, cela implique que p.s. lim_n!1X_(n)=X. Donc la sous-suite(X_(n))converge p.s. versX.

Proposition 1.8.4 La convergence en probabilité implique la convergence en loi.

Remarque 1.8.5 En fait, on a le résultat plus fort du à Paul Lévy : soit(X_n, n∈N^∗)une suite de v.a. réelle (vectorielle à valeurs dans R^d). Siψ_Xn converge vers une fonction ψ continue en 0, alorsψ est la fonction caractéristique d’une v.a. vectorielle X et la suite (X_n, n∈N^∗) converge en loi versX.

Remarque 1.8.6 Il existe un résultat similaire pour les tranformées de Laplace.

Proposition 1.8.7 Soit (X_n, n ∈ N^∗) une suite de v.a. qui converge en loi vers la loi d’une v.aX. Soitfune fonction à valeurs réelles, mesurable bornée. SoitAl’ensemble des points de discontinuité def(A∈ B(R^d)).

Si P(X∈A) =0, alors lim

n!1E[f(X_n)] =E[f(X)].

Remarque 1.8.8 On peut également montrer que la suite(X_n, n∈N^∗)converge en loi versX si et seulement si la suite de fonctions de répartition F_Xn(x)converge presque partout vers la fonction de répartition deX.

1.9 Problème corrigé

1. SoitXune variable aléatoire suivant une loi de Cauchy réduite, c’est à dire suivant la loi dx

π(1+x²). Calculer la fonction de répartition deX, notéeF.

CLa fonction de répartition deXest donné, pour toutxréel, par F(x) =

Z_x

-1

du π(1+u²) d’où :

F(x) = ¹Arctan(x) + ¹₂ B

2. Vérifier queFest une bijection de R dans]0, 1[. On noteF^-1son inverse et l’on considère une variable aléatoireUde loi uniforme sur[0, 1]. Quelle est la probabilité queUvaille0 ou1? Montrer queF^-1(U)suit la même loi queX. En déduire une méthode de simulation selon la loi de Cauchy.

C La fonction F est définie sur R et prend ses valeurs dans ]0, 1[, de plus elle est strictement croissante puisque sa dérivée est la densité de probabilité deX qui est strictement positive.

Fest donc bien une bijection de R dans]0, 1[.

L’ensemble {0, 1} est un ensemble de mesure nulle pour la mesure de Lebesgue, et

donc : ¯

P(U=0) = 0 P(U=1) = 0

De ce qui précède, F^-1(U)est bien définie. On va montrer queXetF^-1(U)ont même fonction de répartition (elles auront donc même loi). La fonction de répartition de F^-1(U)est pour toutxréel :

P(F^-1(U≤x) =P(U≤F(x)), puisqueFest une bijection croissante de R dans]0, 1[. On a donc

P(U≤F(x)) = Z_F(x)

0 du=F(x).

F^-1(U)etXont donc même loi.

Pour simuler la loi de Cauchy il suffit de simuler une variable aléatoire de loi uniforme sur [0, 1]et d’appliquer la fonction F^-1(x) = tan¡

π¡

x− ¹₂¢¢

. Les probabilités de tirer0ou1étant nulle, il n’y a pas de problème.B

3. Soit V une variable aléatoire qui vaut 1 ou −1 avec probabilité 1/2 et Z une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre1. Quelle est la loi deVZ? Calculer sa fonction caractéristique. En déduire, en utilisant la formule d’inversion de la transfor- mation de Fourrier, que : Z₊₁

-1

e^iux dx

π(1+x²) =e^-juj.

Ch.1 Rappels de Probabilités 23

CCalculons la loi deVZ. On a pour touteffonction bornée

E(f(VZ)) = E(f(Z)1{V =1}) +E(f(−Z)1{V = −1})

= ¹₂R₊₁

0 f(u)e^-udu+ ¹₂R₊₁

0 f(−u)e^-udu

= ¹₂R₊₁

-1f(u)(1_fu<0ge^u+1_fu>0ge^-u)du D’oùVZsuit la loi

1

2e^-jujdu.

La fonction caractéristique deVZest alors pour touturéel : R₊₁

-11

2e^iux-jxjdx = R₊₁

0 1

2e^iux-xdx+R₀

-11

2e^iux+xdx

= ¹₂(_1+u^1+iu₂ + _1+u^1-iu₂)

= _1+u¹ ₂

On en déduit donc en utilisant l’inversion de la transformation de Fourrier que R₊₁

-1 e^iux

1+x²dx = 2π¹₂e^-juj d’où la fonction caractéristique de la loi de Cauchy ré- duite :

Z₊₁

-1

e^iux

π(1+x²)dx=e^-juj B

4. SoientXetY deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois de Cauchy de pa- ramètres respectifsaetb. Calculer la loi deX+Y.

CSi les variables aléatoiresXetY sont indépendantes, on peut calculer la fonction caractéristiqueφ_X+YdeX+Y pour toutureél, par :

φ_X+Y(u) = E(e^iu(X+Y))

= E(e^iuXe^iuY)

= E(e^iuX)E(e^iuY)

= φ_X(u)φ_Y(u)

Or, pour tout réel ula fonction caractéristique d’une variable aléatoire de loi de Cauchy de paramètreλ est e^-jjjuj avec la question précédente. D’où,φ_X+Y(u) = e-(jaj+jbj)juj.

X+Y suit une loi de Cauchy de paramètre|a|+|b|.

B

5. Soit(Y_n, n ≥ 1), une suite de variables aléatoires réelles convergeant presque sûrement vers une variable aléatoireZ. Montrer, en utilisant le théorème de Lebesgue, que l’on a, pour tout² > 0

n!+1lim P(|Y_2n−Y_n|≥²) =0.

C Soit ε un reél strictement positif. On considère la variable aléatoire U_n = 1_jY2n-Ynj≥". On peut écrire pour tout entier n,

|Y_2n−Y_n| =|Y_2n−Z+Z−Y_n|≤|Y_2n−Z|+|Z−Y_n|.

Or, on sait que la suite(Y_n, n >1)converge vers Z presque sûrement. On en déduit que la suite(|Y_2n−Y_n|, n>1)converge presque sûrement vers0et donc qu’il existe un rangNavecNentier naturel dépendant deεtel que pour toutn > Non aU_n=0 presque sûrement.

Ainsi,(U_n, n≥1)converge presque sûrement vers0. De plus, pour tout entier naturel non aU_n≤1avec1qui est une variable aléatoire d’éspérance finie égale à1. On peut donc appliquer le théorème de convergence de Lebesgue :

n!+1lim E(U_n) =E( lim

n!+1U_n).

D’où :

n!+1lim P(|Y_2n−Y_n|≥ε) =0.

B

6. Soit(X_n, n ≥1)une suite de variables aléatoires indépendantes suivant une loi de Cau- chy de paramètre1. On considère la suite

Y_n= X₁+X₂ +· · ·+X_n

n .

Calculer la loi deY_2n−Y_n. La suite desY_nconverge t’elle en loi ? presque sûrement ? CPour tout entiern > 0,

Y_2n−Y_n= −(X₁+· · ·+X_n) + (X_n+1+· · ·+X_2n)

2n .

Comme−X₁,−X₂, . . . ,−X_n, X_n+1, . . . , X_2n sont des variables aléatoires indépen- dantes suivant des lois de Cauchy, on peut faire comme dans la question3et montrer que pour tout entiern:

la loi deY_2n−Y_nqui est une loi de Cauchy de paramètre 1.

De la même manière on peut dire que pour tout n, Y_n suit une loi de Cauchy de paramètre1.

Y_nconverge donc en loi vers une une loi de Cauchy de paramètre 1.

SiY_nconvergeait presque sûrement vers une variable aléatoireZ, alors avec la ques- tion5) on aurait

n!+1lim P(|Y_2n−Y_n|≥1) =0,

orY_2n−Y_nsuit une loi de Cauchy de paramètre1et donc pour tout entier natureln, P(|Y_2n−Y_n|≥1) =

Z

jxj≥1

dx π(1+x²),

est indépendant denet est strictement positif. Il y a alors une contradiction et donc : Y_nne converge pas presque sûrement.

B

7. Montrer que la suite(Z_n, n≥1)définie par Z_n =³p

|X₁|+p

|X₂|+· · ·+p

|X_n|

´ /n converge presque sûrement et écrire sa limite sous forme d’une intégrale.

C On va vérifier que l’on peut utiliser la loi des grands nombres pour la variable aléatoirep

|X_i|. Pour cela notons que, commep

|x|est une fonction positive on a :

E(p

|X_i|) = Z

R

p|x|dx

π(1+x²).

Ch.1 Rappels de Probabilités 25

Comme, pourxgrand :

p|x|

π(1+x²) ≈ 1

|x|³⁼²,

E(p

|X_i|)<+∞. La loi des grands nombres permet alors d’affirmer que

(Z_n, n≥1)converge presque sûrement versR

R

√jxjdx (1+x²).

B

8. Vérifier par simulation queY_ndiverge (p.s.) et queZ_nconverge (p.s.).

C On commence à voir pour 3000 tirages deY₄₀₀₀₀ et deY₄₀₀₀₀ −Y₂₀₀₀₀ que Y_n (figure1.3) etY_2n−Y_n(figure1.4) suivent une loi de Cauchy de paramètre1:

FIG. 1.3 – Loi deY_n

FIG. 1.4 – Loi deY_2n−Y_n

Pour 3000 tirages deZ₄₀₀₀₀, on voit un pic (figure1.5) se former :

FIG. 1.5 – Loi deZ_n

B

Ch.1 Rappels de Probabilités 27

Exercice 2

Soientfetgdeux fonctions de R dans R⁺ telles quef(x)etg(x)soient les densités de lois de variables aléatoires à valeurs dans R. On suppose de plus que, pour toutx ∈R

f(x)≤kg(x).

Soient (Y₁, Y₂,· · · , Y_n,· · ·) une suite de variables aléatoires indépendantes suivant la loi de densité g(x) et (U₁, U₂,· · · , U_n,· · ·) une suite de variables aléatoires indépendantes sui- vant une loi uniforme sur [0, 1] indépendante de la suite des Y_i. On pose N = inf{n ≥ 1, kU_ng(Y_n)< f(Y_n)}.

1. Démontrer que N est fini presque sûrement et suit une loi géométrique. Quelle est sa moyenne ?

CCommençons par remarquer quep=P(kU_ng(Y_n) < f(Y_n))ne dépend pas den (cette probabilité s’exprime en fonction de la loi du couple(Y_n, U_n) qui ne dépend pas den). De plus en utilisant l’indépendance deY_net U_n, on peut aussi écrirep sous la forme

p= Z₁

0

Z

R

1fkug(x)<f(x)gg(x)dudx.

Commençons par montrer quepest non nul. Pour cela, remarquons que siA={x∈ R, g(x) =0}, on a

p= Z₁

0

Z

R=A1fkug(x)<f(x)gg(x)dudx.

D’où

p= Z

R=A

ÃZ f(x) kg(x)

0 du

!

g(x)dx= Z

R=A

f(x) k dx.

En tenant compte de l’inégalitéf(x)≤kg(x), on obtient pour toutxdeA,f(x) =0.

D’oùp = R

R

f(x)k dx. On en déduit, commefest une densité, que p = _k¹. pest en particulier strictement positif.

Pour tout entier non nuln, on a (en utilisant les propriétés d’indépendance) P(N≥n) = P(∀k, 1≤k < n, kU_kg(Y_k)≥f(Y_k))

= Yn

k=1

P(kU_kg(Y_k)≥f(Y_k)) = (1−p)ⁿ.

Commep > 0on obtient (parσ- additivité de la probabilité P ... ou par convergence monotone, ... ou par convergence dominé) :

P(N= +∞) = lim

n!+1P(N≥n) =0.

Nest donc fini presque sûrement.

Pour toutnentier naturel non nul, on a (par indépendance)

P(N=n) = P(∀l, 1≤l < n, kU_lg(Y_l)≥f(Y_l), kU_ng(Y_n)< f(Y_n))

= Yn

l=1

P(kU_lg(Y_l)< f(Y_l))×P(kU_ng(Y_n)< f(Y_n)).

D’où