Problème corrigé

1. SoitXune variable aléatoire suivant une loi de Cauchy réduite, c’est à dire suivant la loi dx

π(1+x²). Calculer la fonction de répartition deX, notéeF.

CLa fonction de répartition deXest donné, pour toutxréel, par F(x) =

Z_x

-1

du π(1+u²) d’où :

F(x) = ¹Arctan(x) + ¹₂ B

2. Vérifier queFest une bijection de R dans]0, 1[. On noteF^-1son inverse et l’on considère une variable aléatoireUde loi uniforme sur[0, 1]. Quelle est la probabilité queUvaille0 ou1? Montrer queF^-1(U)suit la même loi queX. En déduire une méthode de simulation selon la loi de Cauchy.

C La fonction F est définie sur R et prend ses valeurs dans ]0, 1[, de plus elle est strictement croissante puisque sa dérivée est la densité de probabilité deX qui est strictement positive.

Fest donc bien une bijection de R dans]0, 1[.

L’ensemble {0, 1} est un ensemble de mesure nulle pour la mesure de Lebesgue, et

donc : ¯

P(U=0) = 0 P(U=1) = 0

De ce qui précède, F^-1(U)est bien définie. On va montrer queXetF^-1(U)ont même fonction de répartition (elles auront donc même loi). La fonction de répartition de F^-1(U)est pour toutxréel :

P(F^-1(U≤x) =P(U≤F(x)), puisqueFest une bijection croissante de R dans]0, 1[. On a donc

P(U≤F(x)) = Z_F(x)

0 du=F(x).

F^-1(U)etXont donc même loi.

Pour simuler la loi de Cauchy il suffit de simuler une variable aléatoire de loi uniforme sur [0, 1]et d’appliquer la fonction F^-1(x) = tan¡

π¡

x− ¹₂¢¢

. Les probabilités de tirer0ou1étant nulle, il n’y a pas de problème.B

3. Soit V une variable aléatoire qui vaut 1 ou −1 avec probabilité 1/2 et Z une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre1. Quelle est la loi deVZ? Calculer sa fonction caractéristique. En déduire, en utilisant la formule d’inversion de la transfor-mation de Fourrier, que : Z₊₁

-1

e^iux dx

π(1+x²) =e^-juj.

Ch.1 Rappels de Probabilités 23

CCalculons la loi deVZ. On a pour touteffonction bornée

E(f(VZ)) = E(f(Z)1{V =1}) +E(f(−Z)1{V = −1})

La fonction caractéristique deVZest alors pour touturéel : R₊₁

On en déduit donc en utilisant l’inversion de la transformation de Fourrier que R₊₁

4. SoientXetY deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois de Cauchy de pa-ramètres respectifsaetb. Calculer la loi deX+Y.

CSi les variables aléatoiresXetY sont indépendantes, on peut calculer la fonction caractéristiqueφ_X+YdeX+Y pour toutureél, par :

φ_X+Y(u) = E(e^iu(X+Y))

= E(e^iuXe^iuY)

= E(e^iuX)E(e^iuY)

= φ_X(u)φ_Y(u)

Or, pour tout réel ula fonction caractéristique d’une variable aléatoire de loi de Cauchy de paramètreλ est e^-jjjuj avec la question précédente. D’où,φ_X+Y(u) = e-(jaj+jbj)juj.

X+Y suit une loi de Cauchy de paramètre|a|+|b|.

B

5. Soit(Y_n, n ≥ 1), une suite de variables aléatoires réelles convergeant presque sûrement vers une variable aléatoireZ. Montrer, en utilisant le théorème de Lebesgue, que l’on a, pour tout² > 0

n!+1lim P(|Y_2n−Y_n|≥²) =0.

C Soit ε un reél strictement positif. On considère la variable aléatoire U_n = 1_jY2n-Ynj≥". On peut écrire pour tout entier n,

|Y_2n−Y_n| =|Y_2n−Z+Z−Y_n|≤|Y_2n−Z|+|Z−Y_n|.

Or, on sait que la suite(Y_n, n >1)converge vers Z presque sûrement. On en déduit que la suite(|Y_2n−Y_n|, n>1)converge presque sûrement vers0et donc qu’il existe un rangNavecNentier naturel dépendant deεtel que pour toutn > Non aU_n=0 presque sûrement.

Ainsi,(U_n, n≥1)converge presque sûrement vers0. De plus, pour tout entier naturel non aU_n≤1avec1qui est une variable aléatoire d’éspérance finie égale à1. On peut donc appliquer le théorème de convergence de Lebesgue :

n!+1lim E(U_n) =E( lim

n!+1U_n).

D’où :

n!+1lim P(|Y_2n−Y_n|≥ε) =0.

B

6. Soit(X_n, n ≥1)une suite de variables aléatoires indépendantes suivant une loi de Cau-chy de paramètre1. On considère la suite

Y_n= X₁+X₂ +· · ·+X_n indépen-dantes suivant des lois de Cauchy, on peut faire comme dans la question3et montrer que pour tout entiern:

la loi deY_2n−Y_nqui est une loi de Cauchy de paramètre 1.

De la même manière on peut dire que pour tout n, Y_n suit une loi de Cauchy de paramètre1.

Y_nconverge donc en loi vers une une loi de Cauchy de paramètre 1.

SiY_nconvergeait presque sûrement vers une variable aléatoireZ, alors avec la ques-tion5) on aurait

n!+1lim P(|Y_2n−Y_n|≥1) =0,

orY_2n−Y_nsuit une loi de Cauchy de paramètre1et donc pour tout entier natureln, P(|Y_2n−Y_n|≥1) =

Z

jxj≥1

dx π(1+x²),

est indépendant denet est strictement positif. Il y a alors une contradiction et donc : Y_nne converge pas presque sûrement.

B converge presque sûrement et écrire sa limite sous forme d’une intégrale.

C On va vérifier que l’on peut utiliser la loi des grands nombres pour la variable aléatoirep

|X_i|. Pour cela notons que, commep

|x|est une fonction positive on a :

E(p

Ch.1 Rappels de Probabilités 25

Comme, pourxgrand :

p|x|

π(1+x²) ≈ 1

|x|³⁼²,

E(p

|X_i|)<+∞. La loi des grands nombres permet alors d’affirmer que

(Z_n, n≥1)converge presque sûrement versR

R

√jxjdx (1+x²).

B

8. Vérifier par simulation queY_ndiverge (p.s.) et queZ_nconverge (p.s.).

C On commence à voir pour 3000 tirages deY₄₀₀₀₀ et deY₄₀₀₀₀ −Y₂₀₀₀₀ que Y_n (figure1.3) etY_2n−Y_n(figure1.4) suivent une loi de Cauchy de paramètre1:

FIG. 1.3 – Loi deY_n

FIG. 1.4 – Loi deY_2n−Y_n

Pour 3000 tirages deZ₄₀₀₀₀, on voit un pic (figure1.5) se former :

FIG. 1.5 – Loi deZ_n

B

Ch.1 Rappels de Probabilités 27

Exercice 2

Soientfetgdeux fonctions de R dans R⁺ telles quef(x)etg(x)soient les densités de lois de variables aléatoires à valeurs dans R. On suppose de plus que, pour toutx ∈R

f(x)≤kg(x).

Soient (Y₁, Y₂,· · · , Y_n,· · ·) une suite de variables aléatoires indépendantes suivant la loi de densité g(x) et (U₁, U₂,· · · , U_n,· · ·) une suite de variables aléatoires indépendantes sui-vant une loi uniforme sur [0, 1] indépendante de la suite des Y_i. On pose N = inf{n ≥ 1, kU_ng(Y_n)< f(Y_n)}.

1. Démontrer que N est fini presque sûrement et suit une loi géométrique. Quelle est sa moyenne ?

CCommençons par remarquer quep=P(kU_ng(Y_n) < f(Y_n))ne dépend pas den (cette probabilité s’exprime en fonction de la loi du couple(Y_n, U_n) qui ne dépend pas den). De plus en utilisant l’indépendance deY_net U_n, on peut aussi écrirep sous la forme

Commençons par montrer quepest non nul. Pour cela, remarquons que siA={x∈ R, g(x) =0}, on a

Pour tout entier non nuln, on a (en utilisant les propriétés d’indépendance) P(N≥n) = P(∀k, 1≤k < n, kU_kg(Y_k)≥f(Y_k))

= Yn

k=1

P(kU_kg(Y_k)≥f(Y_k)) = (1−p)ⁿ.

Commep > 0on obtient (parσ- additivité de la probabilité P ... ou par convergence monotone, ... ou par convergence dominé) :

P(N= +∞) = lim

n!+1P(N≥n) =0.

Nest donc fini presque sûrement.

Pour toutnentier naturel non nul, on a (par indépendance)

P(N=n) = P(∀l, 1≤l < n, kU_lg(Y_l)≥f(Y_l), kU_ng(Y_n)< f(Y_n))

P(N=n) =p(1−p)^n-1 Nsuit bien une loi géométrique de paramètrep= _k¹. La moyenne de N est donnée par

E(N) = X

n≥1

np(1−p)^n-1,

grâce au résultat connu sur les séries :

E(N) = _p¹ =k B

2. On définit alors la variable aléatoireXen posant : X=Y_N=X

i≥1

Y_i1{N=i}.

Calculer pournfixé etfbornée E

CSoitnun entier naturel ethune fonction réelle bornée. On a

E(1_fN=ngh(X)) =E(1{∀1≤l < n, kU_lg(Y_l)>f(Y_l)}×1{kU_ng(Y_n)< f(Y_n)}h(Y_n)).

D’où par indépendance entre les tirages, on a

E(1_fN=ngh(X)) = (1−p)^n-1E(1{kU_ng(Y_n)< f(Y_n)}h(Y_n)).

Et par le même raisonnement que dans la question 1) on obtient :

E(1{kU_ng(Y_n)< f(Y_n)}h(Y_n)) =p

Cette relation permet d’identifier la loi du coupleX, Net prouve en particulier queX etNsont des variables aléatoires indépendantes.

Pour identifier la loi deX, il suffit de remarquer que toute fonction réelle bornéeh, E(h(X)) =X

3. En déduire comment on peut simuler une variable aléatoire de loif(x)dxsi on sait simuler une variable aléatoire de loig(x)dx.

Ch.1 Rappels de Probabilités 29

COn a vu queXsuit une loi de densitéf. Il suffit donc de simuler les suites(U_n, n≥ 1)et(Y_n, n≥1)de manière indépendante jusqu’àN(qui est une variable aléatoire) : Y_Ndonne alors un tirage d’une variable aléatoire de loif(x)dx.

On peut remarquer qu’il faut trouver un densitégtelle qu’il existe un kpermettant d’assurer quef(x) ≤ kg(x)pour toutx. C’est souvent possible, quitte à prendrek grand. Cependant pluskest grand, plus l’espérance deN,E(N) = kest grande et plus la simulation sera inéfficace. Il est donc conseillé de choixgde façon à avoirk aussi proche de1que possible.B

Dans le document Processus Aléatoires (Page 22-29)