() () () () () () () () () () () () () () () () () () () " " " " " " dft " " " " " " dfx " " dyx fx,y fx,y fx,y fx,y fx,y fx,y fx,y fx,y fx,y fx,y fx,y fx,y fx,y fx,y 2 2 xy.y xy.y " " x x dx dt dx " " " " " " " " " " " " " " x y x y x y x y x y x y x y !

(1)

1

DÉRIVÉES ET DIFFÉRENTIELLES - exercices

A. EXERCICES DE BASE I. Fonction de deux variables

1.

• Indiquer (dans le plan (x,y)...) le domaine de définition de la fonction : f(x, y) = ln(xy) + y^3/2 - 1

2.

• Calculer les expressions respectives de

!

"f x,y

( )

"x et

!

"f x,y

( )

"y ^.

• Calculer les valeurs respectives de f,

!

"f x,y

( )

"x et

!

"f x,y

( )

"y pour : x = 1 et y = 2.

II. Dérivées partielles et dérivée totale

• On considère la fonction : f(x, y) = x² sin(y) - y, où les quantités x = x(t) et y = y(t) dépendent elles mêmes du temps t.

• Calculer les dérivées partielles

!

"f x,y

( )

"x et

!

"f x,y

( )

"y ^.

• Montrer que la fonction définie par : f(t) = f(x(t), y(t)) a pour dérivée “totale” par rapport au temps :

!

df t

( )

dt = f^• = 2x sin(y) x^• + (x² cos(y) - 1) y^•

◊ remarque : les ^• désignent la dérivation par rapport au temps.

B. EXERCICE D'APPROFONDISSEMENT III. Dérivées partielles et dérivée totale

1.

• Indiquer (dans le plan (x,y)...) le domaine de définition de la fonction : f(x, y) =

!

xy. y

(

²"x

)

2.

• Calculer les expressions respectives de

!

"f x,y

( )

"x et

!

"f x,y

( )

"y ^.

• Calculer les valeurs respectives de f,

!

"f x,y

( )

"x et

!

"f x,y

( )

"y pour : x = 1 et y = 2.

3.

• On se limite, dans le plan, à une courbe dʼéquation y = y(x) = 2x+1 ; calculer f(x) = f(x, y(x)) et réexprimer de même les dérivées

!

"f x,y

( )

"x et

!

"f x,y

( )

"y (calculées précédemment) en fonction de x

seul.

• Calculer la dérivée totale

!

df x

( )

dx et comparer à :

!

"f x,y

( )

"x +

!

"f x,y

( )

"y

!

dy x

( )

dx .

IV. Dérivée dans la direction d'un vecteur

1.

• Indiquer (dans le plan (x,y)...) le domaine de définition de la fonction : f(x, y) =

!

xy. y

(

²"x

)