D216-Le sapin bleu

Par ailleurs AGF et BCD sont aussi des triangles isocèles de sommets respectifs G et C. Les relations suivantes en découlent :

angle(ACB) = angle(DAE) = 2*a et angle(BCD) = 180° - 2*angle(ADC) = 180° – 2*angle(ADE) + 2*angle(CDE) = 180°- 2*(90°-a) + 4*a = 6*a.

Comme les points A, C et E sont alignés, on a la relation angle(ACB) + angle(BCD) + angle(DCE) = 180°.D’où 2*a + 6*a + 90° - a = 180° 7*a = 90 angle (DAE) = 2*a = 180°/7 = π /7

Question n°2

La loi des cosinus dans le triangle ADG donne la relation )

7 π/ cos(

2.AD.AG.

AG AD

DG²  ² ² avec AG = 1 et AD = DH/sin( π /14) = 1/[2sin( π /14)].

On obtient DG²= 1 / [4.sin²( π /14)] + 1 – cos( π /7) / sin( π /14)= (8x³4x²4x1)/4x² en posant x = sin( π /14)

A l’aide d’une calculette scientifique, on parvient au résultat assez surprenant DG²=2.

Connaissant ce résultat, on peut le retrouver et ainsi le démontrer à l’aide de l’équation donnant la valeur de sin( π /7).

On part de sin(7u) que l’on exprime à l’aide de X=sin(u). On écrit

sin(7u)=sin(6u)*cos(u)+sin(u)*cos(6u) puis sin(6u)=sin(5u)*cos(u)+sin(u)*cos(5u),etc... On obtient sin(7u) = X.(64X⁶112X⁴56X²7)

(2)

Pour u =π /7, on a donc l’équation 64X⁶112X⁴56X²7= 0.

CommeX²sin²(π/7)4sin²(π/14)cos²(π/14)4x²(1x²), on en déduit l’équation du 12^ème degré en x :

0 7 224 2016

7680 14080

12288

4096x¹² x¹⁰ x⁸ x⁶ x⁴ x²  qui peut être factorisée de la manière suivante :

1) 4x 4x

(8x³ ²  .

7) 28x 84x

280x 336x

896x 512x

1152x 256x

(512x⁹ ⁸ ⁷ ⁶ ⁵ ⁴ ³ ²  =0 D’où l’équation 8x³4x²4x1= 0 et l’on retrouve l’identité

2 2

3

2 (8x 4x 4x 1)/4x

DG     dans laquelle DG²prend la valeur 2.

En conclusion DG = 2

Avec les angles π /7 et π /14, le polygone régulier (assez) connu qui vient naturellement à l’esprit est l’heptagone. Il a été démontré que contrairement au triangle équilatéral et au pentagone régulier que l’on peut construire avec une règle non graduée et un compas,

l’heptagone comme bien d’autres polygones réguliers est réfractaire à ce type de construction.

Il existe toutefois une méthode alternative dite construction dite de Neusis . On trace le segment DE de longueur unité qui sera l’un des côtés de l’heptagone puis sa médiatrice prise pour axe vertical. La construction de Neusis consiste à marquer sur la règle deux points A et G tels que AG=DE=1 puis à faire glisser cette règle en plaçant le point A sur l’axe vertical et le point G sur le cercle (tracé en rouge) de centre D et de rayon 2 , ces deux points étant alignés avec E. On a ainsi le sommet A de l’heptagone opposé au côté DE et l’angle DAE vaut π /7.

La construction des autres sommets de l’heptagone ne soulève aucune difficulté. Le centre du cercle circonscrit à l’heptagone est à l’intersection des médiatrices de DE et AD. Sur ce cercle, on trace immédiatement avec quatre arcs de cercle de rayon unité les points H puis K, puis J et enfin I.

A noter diverses propriétés curieuses de l’heptagone :

(3)

1) l’aire du triangle ADI est égale à 7R²/4où R est le rayon du cercle circonscrit à l’heptagone.

2) sin(π /7).sin(2 π /7)sin(4 π /7)= 7/8 avec π /7, 2 π /7 et 4 π /7 représentant respectivement les angles DAI, ADI et AID au sein du triangle ADI.