Rapport e sur m

Sécurité : Le fonctionnement du système de pompage vous sera expliqué par le moniteur. Attendre celui-ci avant de toucher aux valves du système. Il ne faut jamais fermer avec force les valves à vide.

Prendre garde aux points à haute tension.

1 Introduction

Au début, très peu de gens croyaient à l'existence de ces corps plus petits que les atomes. Un physicien distingué m'a même dit, après avoir écouté ma conférence à la Royal Institution, qu'il pensait que je m'étais payé leur tête.

J.J. Thomson C'est en 1897 que Joseph John Thomson, au laboratoire Cavendish à l'Université de Cambridge, réussit à mesurer le rapport e/m de l'électron, conrmant ainsi l'existence de cette particule élémentaire. Son existence avait été postulée pour expliquer le comportement de l'électricité, mais on ne s'attendait pas à trouver une si petite particule. Cela révolutionna notre conception du monde atomique. On venait donc de comprendre que les fameux rayons cathodiques que les gens étudiaient étaient en fait constitués d'électrons. Comme la charge de l'électron est mesurable expérimentalement, on peut donc en déduire sa masse, qui est très dicile à mesurer directement. Selon l'électrodynamique classique, deux particules ayant le même rapport charge sur masse suivent, dans le vide, une trajectoire identique lorsqu'elles sont soumises aux mêmes champs électriques et magnétiques.

2 Théorie

2.1 Mouvement d'un électron dans un champ magnétique

Nous étudions d'abord le mouvement d'un électron dans un champ magnétique seul.

Nous utilisons ici les unités MKSA. En général, un électron dans des champs électrique et magnétique ayant une vitesse vsubit une force. Il s'agit de la force de Lorentz qui s'écrit :

F=q[E+v×B] (1)

où

q:−e la charge de l'électron (en Coulomb) E le champ électrique (que l'on suppose nul) B le champ magnétique (en Tesla)

v la vitesse de l'électron (en m/sec)

Pour la géométrie de l'expérience, v est perpendiculaire à B et donc la grandeur de la force est :

F =evB (2)

La direction de cette force se trouve à l'aide de la règle de la main droite. Sans champ électrique, à cause du produit vectoriel, la force est perpendiculaire à la vitesse et donc ne change pas la grandeur de la vitesse. L'électron décrit donc un cercle de rayonr (en mètre).

D'après la mécanique, la force qui retient une particule sur un cercle est la force centripète : Fc= mv²

r (3)

En posantF =F_c, on trouve :

mv²

r =evB (4)

Si l'électron est accéléré (entre le lament et la fente) par une diérence de potentielV, son énergie cinétique est donnée par ^mv₂² =eV. En isolant v, on obtient :

e

m = 2V

r²B² [M KSA] (5)

2.2 Mouvement avec champs électrique et magnétique Supposons la conguration suivante :

x y

E B z

filament

collecteur

Figure 1: Trajectoire de l'électron dans des champs électrique et magnétique.

La force de Lorentz est :

F=q(E+v×B) Pour notre géométrie :

B = −B₀e_z v = vxex+vyey

E = −E₀ey

Les vecteurse_x,e_y ete_z sont des vecteurs unitaires dans les direction x, y et z. La force de Lorentz comprend deux composantes :



 F_x F_y Fz



=q



 0

−E₀ 0



+q



 v_x v_y 0



∧



 0 0

−B₀





selone_x F_x=−qB₀v_y selon ey Fy =qE0+qB0vx

Avec F=ma, où m = masse de l'électron, on obtient : mdvx

dt =−qB₀vy → dvx

dt =−qBo

m vy (6)

mdvy

dt =−qE₀+qB0vx → dvy

dt =−qE0

m +qB0

m vx (7)

Il s'agit donc de deux équations diérentielles couplées qu'il faut chercher à résoudre. On dérive [7] par rapport au temps et en utilisant [6] on obtient :

d²v_y dt² +

qB₀ m

2

v_y = 0 (8)

La solution dev_y(t) est de la forme :

v_y =c₂sinωt+c₁cosωt (9) avec c1 et c2 des constantes. Considérons maintenant :

dvy

dt =−qE0

m +qB0

m vx →vx= 1 ω

dvy

dt +E0

B0

= 1 ω

dvy

dt +ρ0 (10) où l'on a dénit :

ω= eB

m et ρ0 = E0

B0 (11)

Remplaçons maintenant l'expression de vy(t): v_x= 1

ω (ωc₂cos (ωt)−ωc₁sin (ωt)) +ρ₀ =c₂cos (ωt)−c₁sin (ωt) +ρ₀ (12) et donc on a les deux composantes de vitesse :

v_x(t) =c₂cos (ωt)−c₁sin (ωt) +ρ₀

vy(t) =c2sinωt+c1cosωt (13) À l'aide des conditions initialesvx(0) = 0etvy(0) =v0, on trouve quec2 =−ρ₀ etc1 =v0. On a donc que :

vx(t) =−ρ_ocos (ωt)−v0sin (ωt) +ρ0

v (t) =−ρ sinωt+v cosωt (14)

Pour trouver les coordonnéesx(t)ety(t), on intègre par rapport au temps : x(t) =−^ρ_ω⁰sin (ωt) + ^v_ω⁰cos (ωt) +ρ₀t+b₁

y(t) = ^ρ_ω⁰ cosωt+^v_ω⁰sinωt+b2 (15) où les conditions initiales de l'électron sont données par x(0) =y(0) = 0 :

x(t) =−^ρ_ω⁰ sin (ωt) + ^v_ω⁰ cos (ωt) +ρ₀t−^v_ω⁰

y(t) = ^ρ_ω⁰ cos(ωt) +^v_ω⁰ sinωt−^ρ_ω⁰ (16) Au nal, l'électron se situe à (2r, 0), donc :

2r =−^ρ_ω⁰ sin (ωt) + ^v_ω⁰ cos (ωt) +ρ0t−^v_ω⁰

0 = ^ρ_ω⁰ cosωt+^v_ω⁰ sinωt−^ρ_ω⁰ (17) La seconde équation de [17] donne :

0 = ρ0

ω cos (ωt) +v0

ω sin (ωt)−ρ0

ω 0 = ρ₀

ω [cos (ωt)−1] + v₀

ω sin (ωt) 0 =−2ρ0

ω sin² ωt

2

+ 2v0

ω sin ωt

2

cos ωt

2

sin ωt

2

= v₀ ρ₀ cos

ωt 2

tan ωt

2

= v₀

ρ₀ (18)

ω ρ

t v

2

Figure 2: Relation entre v₀ etρ₀

Revenons maintenant à la première a seconde équation de [17] qui donne :

2r=−ρ₀

ω sin (ωt) +v₀

ω cos (ωt) +ρ₀t−v₀ ω 2r= v₀

ω [cos (ωt)−1] + ρ₀

ω [ωt−sin (ωt)]

2r=−2v₀ ω sin²

ωt 2

+ρ₀

ω

ωt−2 sin ωt

2

cos ωt

2

r=−v0

ω sin² ωt

2

+ ρ0

ω ωt

2 −sin ωt

2

cos ωt

2

r=−v0

ω

v₀² v₀²+ρ²₀

+ρ0

ω ωt

2 − v0ρ0

v²₀+ρ²₀

r= ρ₀t 2 −v₀

ω v₀

ω = ρ₀t 2 −r v0=ρ0

ωt 2 −ωr v₀+ωr

ρ₀ = ωt 2

où en remplaçant l'expression de ^ωt₂ dans [18] on trouve : tan

v0+ωr ρ₀

= v0

ρ₀ (19)

une équation transcendante avece/mla quantité recherchée (la seule inconnue de l'équation) car :

v₀ =

r2eV_acc

m ρ₀ = E₀

B₀ ω = eB₀ m

Considérons maintenant l'approximation v₀ρ₀,on remplace ωtparπ−εdans l'équation 2r =−^ρ_ω⁰ sin (ωt) +^v_ω⁰ cos (ωt) +ρ0t−^v_ω⁰ :

2r= v₀

ω [cos (ωt)−1] + ρ₀

ω [ωt−sin (ωt)]

2r= v0

ω [cos (π−ε)−1] + ρ0

ω [π−ε−sin (π−ε)]

2r=−v0

ω +πρ0

ω − ρ0ε ω −v0

ω cos (ε)−ρ0

ω sinε

Nous cherchons à trouver une expression de la tension d'accélération des électronsV_accdonc on doit isoler v0 qui dépend de Vacc.

2r=−v0

ω +πρ0

ω −ρ0ε ω − v0

ω cos (ε)−ρ0

ω sinε v₀

ω [1 + cos (ε)] = πρ₀ ω − ρ₀ε

ω −ρ₀

ω sin(ε)−2r v₀

ω [1 + cos (ε)] = ρ₀

ω [π−ε−sin (ε)]−2r v₀= ρ₀

1 + cos (ε)[π−ε−sin (ε)]− 2ωr 1 + cos (ε)

En développant on obtient : v₀ = ρ₀

1 + cos (ε)[π−ε−sin (ε)]− 2ωr 1 + cos (ε) r2qVacc

m = E0

B0[1 + cos (ε)][π−ε−sin (ε)]− 2qB0r m[1 + cos (ε)]

Vacc= m 2q

E0

B0[1 + cos (ε)][π−ε−sin (ε)]− 2qB0r m[1 + cos (ε)]

2

Finalement, on approxime queωt=π (ou encore ε= 0) : Vacc= m

2q πE0

2B₀ −qB0r m

2

Vacc= r² 2

q m

B_o²−πr

2 E0+π² 8

m q

E0

B₀ 2

(20)

3 Montage expérimental

3.1 Enceinte

Le montage est constitué d'une enceinte sous vide dans laquelle est inséré un bras conte- nant le dispositif permettant de déterminer le rapport e/m. Ce bras supporte deux fentes.

Un lament de tungstène émet des électrons qui sont accélérés vers la première fente et un collecteur récolte les électrons qui traversent la seconde fente.

I

haute tension

chauffage du filament

filament

isolateur isolateur

collecteur métallique plaque (haute tension)

plaque déflectrice

fente B fente A

picoampèremètre

I

F F

H

H.T. Vac

Figure 3: Enceinte où circulent les électrons.

On chaue le lament avec un courant de l'ordre de quatre ampères. Ce lament émet des électrons dans toutes les directions. La haute tension est branchée à une des bornes du

lament ainsi qu'à une plaque métallique située juste en-dessous de ce dernier. La plaque contenant les deux fentes est mise à la masse. Deux bobines situées à l'extérieur de l'en- ceinte génèrent un champ magnétique perpendiculairement au bras. Ce champ fait parcourir une trajectoire courbe aux électrons et leur permet de traverser la fente B. Les électrons atteignent donc le collecteur qui est relié au picoampèremètre. Il en résulte un courant élec- trique que l'on cherche à mesurer en fonction du voltage d'accélération entre le lament et la plaque contenant les fentes. Une plaque située au-dessus de la trajectoire des électrons et que l'on peut porter à diérents potentiels relativement à la masse permet de générer un champ électrique vertical (perpendiculairement au bras et au champ magnétique). On peut donc, avec ce montage, étudier le mouvement des électrons en présence de champs électrique et magnétique croisés.

3.1.1 Alimentation des bobines

On utilise une source ottante pour alimenter les bobines qui génèrent le champ magné- tique. La borne positive de la source est doit être reliée à la borne positive (rouge) de la bobine de gauche. La borne négative de la bobine est ensuite reliée à la borne positive de la bobine de droite. Sa borne négative est reliée à la borne négative de la source.

3.2 Système de pompage

Pour permettre aux électrons de décrire une trajectoire quelconque, il faut tout d'abord faire le vide, car sans vide, un électron subit trop de collisions avec les molécules du milieu pour réussir à parcourir la distance entre les fentes directement. Pour obtenir ce vide, on utilise un système de pompage composé de deux pompes :

1. pompe mécanique

Cette pompe produit un vide primaire. Elle abaisse la pression dans l'enceinte de la pression atmosphérique jusqu'à environ 10^-3 Torr (1 Torr = 1 mm de mercure). La mesure de la pression est alors faite par une jauge opérant dans cet intervalle de pression (jauge Pirani).

Question : Comment fonctionne ce type de jauge ? 2. pompe turbomoléculaire

Une fois le vide primaire obtenu, la pompe turbomoléculaire est utilisée en série avec la pompe mécanique. On peut, à l'aide de ce type de pompe, obtenir un vide de l'ordre de 10^-6 Torr. On mesure le vide à l'aide d'un autre type de jauge (jauge Penning).

Question : Comment fonctionne cet autre type de jauge ?

Trois valves permettent les combinaisons : enceinte-pompe mécanique, enceinte-pompe turbo- pompe mécanique. Partant de la pression atmosphérique, il faut premièrement faire un vide primaire à l'aide de la pompe mécanique seule et ensuite utiliser la pompe turbomo- léculaire. Il ne faut jamais opérer la pompe turbo directement sur l'atmosphère. Une telle erreur causerait des dommages permanents à l'appareillage.

4 Partie expérimentale

Note : Le fonctionnement du système de pompage vous sera expliqué par le moniteur. Attendre celui-ci avant de toucher aux valves du système. Il ne faut jamais fermer avec force les valves à vide.

4.1 Partie I : Champ électrique nul

On utilisera le résultat donné par l'équation [20] en posantE0= 0.

1. À l'aide d'un pied à coulisse, mesurer la distance entre les deux fentes, la largeur de chacune d'elles ainsi que la distance entre la plaque supérieure (permettant l'appli- cation d'un champ électrique) et la plaque contenant les fentes.

2. À l'aide du gaussmètre, mesurer le champ magnétique produit par les bobines (B0 = M I), en variant le courant dans celles-ci de 0 à 500 mA. Tracer le graphique de B₀(I) et obtenir la valeur de M. Comparer cette valeur à celle obtenue par calcul (réf. Berkeley vol. 2) en utilisant les paramètres des bobines donnés en annexe. Vous pouvez simplier la problème en supposant que l'épaisseur de l'enroulement est nulle (comme si tous les tours de l était sur un même rayon).

3. Avec l'aide du moniteur, faites le vide dans l'enceinte.

4. Pour chacune des valeurs deB₀ (100 <I_bobines< 500 mA), obtenir la tension d'accélé- rationV_accpour laquelleI_collest maximal. Prendre soin de mettre la plaque déectrice à la masse en la reliant à la masse de la source de courant. On suggère d'aller de la plus haute tension vers la plus faible. Ajuster le courant servant au chauage du lament permettant de mesurer un courant d'électrons de l'ordre 50 nanoampères à 500 volts. Garder ce courant de chauage xe par la suite.

5. Tracer le graphique de Vacc =f h

(I_bobines)²

i. La pente donne : ^r2M₂ ²_m^e où M est la constante de proportionnalité entreB₀ etI_bobines.

6. Évaluer e/men utilisant la valeur expérimentale deM. 4.2 Partie II : Champ électrique non-nul

1. Appliquer une tension de -30 V sur la plaque déectrice et refaites l'étape 4 de la partie I.

2. Vérier numériquement l'approximation v₀ ρ₀ dans ces conditions. À partir de votre graphique, discuter de l'importance du terme en ^E_B⁰²2

0 de l'équation (20). Calculer e/m et l'ordonnée à l'origine. Discuter.

4.3 Partie III : Validité de l'approximation

1. PourIbob =250 mA, obtenir la tension d'accélération pour laquelleIcoll est maximal en appliquant une tension sur la plaque déectrice variant entre 0 et -110 volts.

2. En utilisant la valeur acceptée de e/m, tracer le graphique de arctan

v0

ρ0

vs E_o. Discuter de la validité de l'approximationv0 ρ0.

3. Obtenir la valeur de e/m en résolvant l'équation transcendante [19] pour quelques points expérimentaux (Vplaque= -10 V, -50 V, -110 V).

Références

[1] Purcell A. M. Gutmann C. and Lallemand P. Électricité et magnétisme (Berkeley : cours de physique, volume 2). Librairie Armand Colin, 1973.

août 2019

Annexe A

a

a ₁ a ₂

c ₂

b ₂ c ₁

b ₁

Bobines d'Helmoltz

(700 tours/bobine)

Figure A-1: Bobines d'Helmoltz

a = 99.5 ± 0.3 mm

a1 = 22.6 ± 0.3 mm a2 = 22.2 ± 0.3 mm b1= 105.1 ± 0.3 mm b2= 105.5 ± 0.3 mm c1 = 21.1 ± 0.3 mm c2 = 21.5 ± 0.3 mm

Tableau A-1: Dimensions des bobines.