A603 - Des perles à partager

A603 - Des perles à partager Solution

2 amis

Considérons le collier AB fait de 2*n perles avec 2*a perles de la couleur noire (1) et 2*b perles de la couleur blanche (2) telles que a+b = n. Toutes les perles peuvent être numérotées 1,2,…,2*n.

Il y a n+1 séquences de n perles : S = [1,2,3,…n], ₁ S = [2,3,….,n+1], ……… ₂ S_n1 = [n+1, n+2, ….., 2*n]. Appelons a_i et b_i les nombres respectifs de perles de couleurs 1 et 2 dans la séquence S . Si l’on exclut le cas trivial ou le collier est fait de perles dont les couleurs sont _i alternées (1,2,1,2,….), on peut dire que parmi les n+1 séquences, il y a au moins une séquence

S telle que i a_i a et b_i b et une séquence S_jtelle que a_ja et b_jb. Par ailleurs, quand on passe de la séquence i à la séquence i+1, le nombre de perles de couleur 1 peut s’accroître d’une unité ou rester stable ou décroître d’une unité. Même remarque s’agissant des perles de couleur 2. Par conséquent, on est sûr qu’entre S et _i S_j, il y aura au moins une séquence

S telle que k a = a et _k b = b. De cette manière deux sections en deux points C et D _k garantissent un nombre égal de perles de couleurs 1 et 2 pour chacun des deux amis. L’un récupérera les segments AC et DB tandis que l’autre prendra CD.

3 amis

Cette fois-ci, on a un collier AB fait de 3*n perles. Le raisonnement est le même que ci- dessus : deux sections aux points C et D permettent de donner au 1^er ami les morceaux AC et DB faits de a perles de couleur 1 et b perles de couleur avec a+b=n. Avec le collier résultant CD qui comporte 2*n perles, on opère comme précédemment avec deux sections E et F : les morceaux CE et FD vont au 2^ème ami et le morceau EF échoit au 3^ème. Au total, il y a quatre sections.

p amis

La généralisation est aisée et donne 2*(p-1) sections