A620. Les pièces de l'oncle Picsou
Problème proposé par Christian Romon
L’oncle Picsou a entassé 200 pièces en or (20 francs Napoléon) parmi lesquelles il y a une pièce fausse mais il ne sait pas laquelle. Son banquier lui propose d’examiner ces pièces de la
manière suivante. L’oncle Picsou lui présente un lot de pièces. Si la pièce fausse est dans le lot, le banquier lui facture 3 €. Si la pièce fausse n’y est pas, la facture est ramenée à 2 €. La pingrerie de l’oncle Picsou est légendaire. Comment l’aider à dépenser une somme minimale en
€ pour qu’il soit certain d’identifier la fausse pièce ?
Ayant retenu vos bons conseils, l’oncle Picsou sort de sa poche 2011 pièces d’argent (5 francs Semeuse) parmi lesquelles il y a une pièce fausse. Quelle sera sa dépense minimale pour repérer la pièce fausse ?
Quelles seraient les dépenses minimales pour chacun des deux tas si le banquier facture la consultation d’un lot de pièces respectivement 2 € et 1 € au lieu de 3 € et de 2 €.
Solution de Jean Nicot
On examine pour des tailles de lots croissantes, le coût de la détermination de la pièce fausse.
On choisit de plus la présentation de pièces pouvant éventuellement procurer un gain
supplémentaire selon la réponse du banquier, repéré par g en cas de réponse 2€ favorable ou G si la réponse 3€ est favorable
Pour 3 € ou 2 € selon présence ou non de la pièce fausse
Lot Total Coût pour pièces pièces non Gain ( G ou g selon la
le lot € présentées présentées réponse à 3 € ou 2 €)
2 3 1 1 g
3 5 1 2 G
4 6 2 2 g
5 7 2 3 g
6 à 7 8 3 3 à 4 g pour 6
8 à 9 9 4 4 à 5 g pour 8
10 à 12 10 5 5 à 7 g pour 10
13 à 16 11 7 6 à 9 g pour 13 à 14
17 à 21 12 9 8 à 12 g pour 17 à 18
22 à 28 13 12 10 à 16 g pour 22 à 24
29 à 37 14 16 15 à 21 g pour 29 à 32
38 à 49 15 21 17 à 27 g pour 38 à 42
50 à 65 16 28 22 à 37 g pour 50 à 56
66 à 86 17 37 29 à 49 g pour 66 à 74
87 à 114 18 49 38 à 65 g pour 87 à 98
115 à 151 19 65 50 à 86 g pour 115 à 130
152 à 200 20 86 66 à 114 g pour 152 à 172
201 à 265 21 114 87 à 151 g pour 201 à 228
266 à 351 22 151 115 à 200 g pour 266 à 302
352 à 465 23 200 152 à 265 g pour 352 à 400
466 à 616 24 265 201 à 351 g pour 466 à 530
617 à 816 25 351 266 à 465 g pour 617 à 702
817 à 1081 26 465 352 à 616 g pour 817 à 930
1082 à 1432 27 616 466 à 816 g pour 1082 à 1232
1433 à 1897 28 816 617 à 1081 g pour 1433 à 1632
1898 à 2513 29 1081 817 à 1432 g pour 1898 à 2162
An à Bn n B(n-3) A(n-3) à B(n-2) g pour An à 2*B(n-3) avec An =1+B(n-1) et Bn=B(n-2)+ B(n-3)
Au plus, il suffit donc de 20€ pour le tas de 200 pièces et 29€ pour les 2011.
Pour 2 € ou1 € selon présence ou non de la pièce fausse
Lot Total Coût pour pièces pièces non Gain ( G ou g selon la
le lot € présentées présentées réponse à 2 € ou 1 €)
2 2 1 1 g
3 3 1 2 G
4 à 5 4 2 2 à 3 g pour 4
6 à 8 5 3 3 à 5 g pour 6
9 à13 6 5 4 à 8 g pour 9 et 10
14 à 21 7 8 6 à 13 g pour 14 à 16
22 à 34 8 13 9 à 21 g pour 22 à 26
35 à 55 9 21 14 à 34 g pour 35 à 42
56 à 89 10 34 22 à 55 g pour 56 à 68
90 à 144 11 55 35 à 89 g pour 90 à 110
145 à 233 12 89 56 à 144 g pour 145 à 178
234 à 377 13 144 90 à 233 g pour 234 à 288
378 à 610 14 233 145 à 377 g pour 378 à 466
611 à 987 15 377 234 à 610 g pour 611 à 754
988 à 1597 16 610 378 à 987 g pour 988 à 1220
1598 à 2584 17 987 611 à 1597 g pour 1598 à 1974
An à Bn n B(n-2) A(n-2) à B(n-1) g pour An à 2*B(n-2) avec An =1+B(n-1) et Bn=B(n-1)+ B(n-2)
Au plus, il suffit alors de 12 € pour le tas de 200 pièces et 17 € pour celui de 2011 pièces.
Dans tous les cas, Picsou peut espérer dépenser 1 ou 2 € de moins que les valeurs indiquées si sa répartition des pièces présentées est « bonne » avec une probabilité supérieure à 1/2.
