pmv pmv pmv '''    : : : : 1-

(1)

1

Université Mohammed V Année Universitaire 2019-2020 Faculté des Sciences SMP-S4

Travaux Dirigés du module: Mécanique Quantique Corrigé des exercices de la Série 1

-Effet Compton-

y

III/ Effet Compton

1-

 Etat initial (avant le choc):

Photon : ₁ h

p ^ 

:

Quantité de mouvement avant le choc.

₁ ₁ hc

E p c

   : Energie avant le choc.

Electron : p₂mv

:

Quantité de mouvement avant le choc.

^E² ^



^{p c}²^{2 2}^^{m c}^{2 4}



^1/2 : Energie avant le choc.

 Etat Final (après le choc) :

Photon : 1^'

' p h

  :

Quantité de mouvement après le choc.

₁^' ₁^' ' E p c hc

 



: Energie après le choc.

Electron :

p

^'₂

  ' mv ' :

Quantité de mouvement après le choc.

E2^' 



p c2²' ² m c^{2 4}



^1/2 : Energie après le choc.

1

p h



'1

' p h



2' ' '

p  mv

p2 mv

2 2

: = 1 1 Avec

v c





x 2020-2021

(2)

2

Le choc étant élastique, la quantité de mouvement totale et l’énergie se conservent.

𝑝 + 𝑝 = 𝑝 + 𝑝

E E₁ E₂ E₁^' E₂^' ^hc mc²

       En projection sur les axes x et y, on obtient :

' '

1 2 1 2

x x x x x

p  p  p  p  p avec _x h cos

p mv 

  (avant le choc)

p_y  p₁_y p₂_y  p₁^'_yp₂^'_y avec

p_y  mv^sin(avant le choc)

' '

1cos ' 2cos

px  p  p  (1)

' '

1sin ' 2sin

py  p  p  (2) Et E p c₁^' (p c₂^{'2 2}m c^{2 4 1/2})  p c2^{'2 2}m c^{2 4}



Ep c1^'



²

(3) Le carré de (1) donne: p₂^' cos² (p_xp₁^'cos ') ² (1)’

Le carré de (2) donne: p^'₂sin²(p_yp₁^'sin ') ² (2)’

De (1)’ et (2)’ on déduit : p₂^'2(p_xp₁^'cos ') ²(p_yp sin' )₁^'  ² (4) En remplacent (4) dans (3) on a :

' 2 ' 2 2 2 ' 2

x 1 1 1

(p cos ') (p_y p sin' ) (E )

p m c p

  c

      (5)

(5) 

2 ' '2 2 2 ' '2 2 2 2 2 '

1 1 1 1 2 1

p_x 2 _x cos ' cos ' p_y 2 _yp sin' sin ' E

p p p p p m c p

   

c

       

Alors on déduire que:

𝑝 = (6)

Et on a aussi : − 𝑝 − 𝑝 − 𝑚 𝑐 = (_+ 𝛾𝑚𝑐) − (_− 𝛾𝑚 𝑐 v𝑐𝑜𝑠𝜃) − (−𝛾𝑚 𝑐 v 𝑠𝑖𝑛𝜃) − 𝑚 𝑐

²^hm c v^cos

   

 '

 

1

x

2 cos

2 / c 2p cos' 2 _ysin' hm c v

p E p

 

  

  

  (7)

(3)

3 Et comme 𝑝 =_ , donc (7) devient :

 =  𝛾𝑚

𝐸𝑐 − 𝑝 𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑝 𝑠𝑖𝑛𝜃 (𝑐 + 𝑣 𝑐𝑜𝑠𝜃) (8)

2- Quand un photon frappe l’électron externe d’un atome, cet électron a une énergie cinétique de quelques eV, très inférieure à celle du photon. Dans ces conditions, on peut négliger l’énergie de l’électron et le considérer comme immobile. On prend donc :

0, _y 0, _x h, 1, E hc 2

v p p  mc

 

     

Donc la relation (8) devient :

 −= ℎ

𝑚𝑐(1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃 )

Remarque : ^h _{2, 425 10} ¹²_m mc

   : est appelé longueur d’onde de Compton de l’électron.

3- De (1) et (2) on déduit :

 

' 1 ' 1

tan sin'

cos'

y x

p p p p

 



 



Avec : p_y  mvsin et _x h cos

p mv 

 