M.M.F.A.I. Ann´ee 2001-02 Fonctions analytiques
EXAMEN du 12 juin 2002 Dur´ee : 3 h
Exercice 1
Soit τ un nombre complexe de partie imaginaire > 0. Posonsq = e2iπτ. Consid´erons la fonction qui `a z associe
θτ(z) = 1 i
+∞
X
n=−∞
(−1)nq(n+12)2e(2n+1)iπz 1. D´emontrer que la fonctionθτ est bien d´efinie et est une fonction enti`ere.
2. D´emontrer qu’on aθτ(−z) =−θτ(z),θτ(z+ 1) =−θτ(z) et θτ(z+τ) =−1qe−2iπzθτ(z).
3. En d´eduire que sinetmsont deux nombres entiers, on aθτ(n+mτ) = 0.
4. D´emontrer qu’il existe z0 ∈ C tel que les segments I1 = [z0, z0 +τ], I2 = [z0+τ, z0+τ + 1], I3 = [z0+τ+ 1, z0+ 1] etI4= [z0+ 1, z0] ne contiennent pas de z´ero deθτ. Soientc1, c2,c3 etc4 des chemins (continus) deC `a supports dansI1,I2,I3 etI4respectivement et reliant respectivementz0`a z0+τ,z0+τ
`
az0+τ+ 1,z0+τ+ 1 `a z0+ 1 etz0+ 1 `az0.
5. Calculer (θ0τ/θτ)(z+ 1)−(θτ0/θτ)(z) et (θ0τ/θτ)(z+τ)−(θτ0/θτ)(z).
6. En d´eduireR
c1θτ0/θτ(z)dz+R
c3θ0τ/θτ(z)dzpuisR
c2θτ0/θτ(z)dz+R
c4θ0τ/θτ(z)dz.
7. Combien la fonction θτ a-t-elle de z´eros dans l’int´erieur du parall´elogramme de sommets z0, z0+τ, z0+τ+ 1 etz0+ 1. Quels sont les z´eros deθτ ?
Exercice 2
Soitf une fonction continue [0,+∞[→R. Pour nentier ≥1, on note In(f) la primitive n-i`eme de f qui vaut 0 en 0.
1. ´Etablir l’´egalit´e
In(f)(x) = Z x
0
(x−t)n−1 (n−1) ! f(t)dt.
2. En d´eduire, pourαnombre complexe de partie r´eelle>0, une d´efinition deIα(f) compatible avec ce qui pr´ec`ede et v´erifiant de plus les conditions suivantes. On aIα(f)(0) = 0 ; l’application (x, α)7→Iα(f)(x) est continue ; pour x∈ [0,+∞[ fix´e l’applicationα7→Iα(f)(x) est holomorphe ; pour α∈C de partie r´eelle
>1, la fonctionx7→Iα(f)(x) est d´erivable de d´eriv´eeIα−1(f)(x).
3. Soientαet β des nombres complexes de parties r´eelles>0. ´Etablir la formule Iα+β(f) =Iα(Iβ)(f).
(On rappelle la formule Γ(α)Γ(β) = Γ(α+β)R1
0 tα−1(1−t)β−1dt.)
4. D´emontrer queIα(f)(x) tend versf(x) lorsqueαtend vers 0 par valeurs r´eelles>0.
5. Supposonsf de classeC∞. Montrer que pourx∈]0,+∞[ etαnombre complexe de partie r´eelle>0, on a
Iα(f)(x) =Iα+1(f0)(x) + f(0)xα Γ(α+ 1).
En d´eduire que, pour tout x∈]0,+∞[, la fonction α7→Iα(f)(x) admet un prolongement holomorphe `aC.
Quelle est la valeur de ce prolongement en−n, lorsquenest un entier≥0 ?
Exercice 3
On note <et =les fonctions partie r´eelle et partie imaginaire respectivement. On rappelle que la fonction ζ est donn´ee par le produit eulerien
ζ(s) =Y
p
1 1−p−s
o`u le produit porte sur les nombres premiers. Pour xnombre r´eel>0, on pose ψ(x) = X
p,k,pk≤x
logp et
ψ1(x) = X
p,k,pk≤x
(x−pk) logp
o`upparcourt les nombres premiers et o`ukparcourt les nombres entiers≥1. On rappelle la formule explicite ψ1(x) = x2
2 +ζ0
ζ(0)x−ζ0
ζ(−1)−X
ρ
xρ+1 ρ(ρ+ 1) −
∞
X
k=1
x1−2k 2k(2k−1), o`u ρparcourt les z´eros deζ de partie r´eelle dans [0,1]. Posons
θ= Sup{<(ρ)/ρ∈C, ζ(ρ) = 0}.
On rappelle le nombreN(T) de z´eros deζde partie imaginaire dans ]0, T[ est ´egal `a 2πT log2πT −2πT +O(log(T)) lorsqueT tend vers l’infini.
1. Poursnombre complexe de partie r´eelle >1, ´etablir successivement les formules :
−ζ0
ζ(s) =X
p +∞
X
k=1
p−kslogp= Z +∞
1
t−sdψ(t) = 1
s−1+ 1 +s Z +∞
1
t−s−1(ψ(t)−t)dt, o`u pparcourt les nombres premiers.
2. En d´eduire qu’on a
Inf{α∈R/ψ(x) =x+O(xα)} ≥θ.
3. D´emontrer les in´egalit´es, pourx≥2,
ψ1(x)−ψ1(x−1)≤ψ(x)≤ψ1(x+ 1)−ψ1(x).
4. D´emontrer qu’on a, pourx≥1,
ψ1(x+ 1)−ψ1(x) =x−X
ρ
(x+ 1)ρ+1−xρ+1
ρ(ρ+ 1) +O(1) lorsquextend vers +∞, et o`uρparcourt les z´eros deζ dans la bande critique.
5. D´emontrer les in´egalit´es, pourρz´ero deζ dans la bande critique et pourx≥1,
|(x+ 1)ρ+1−xρ+1
ρ(ρ+ 1) | ≤5 xθ+1
|=(ρ)|2 et
|(x+ 1)ρ+1−xρ+1
ρ(ρ+ 1) | ≤2 xθ
|=(ρ)|.
6. En d´eduire la relation, pour tout nombre r´eel >0 et lorsquextend vers l’infini X
ρ
(x+ 1)ρ+1−xρ+1
ρ(ρ+ 1) =O(xθ+).
7. D´emontrer que l’hypoth`ese de Riemann ´equivaut `a la validit´e, pour tout nombre r´eel >0, de l’estimation asymptotique
ψ(x) =x+O(x1/2+), lorsquextend vers +∞.
